2024-2025学年上学期高二开学测试模拟卷数学-3（19题型 新高考区专用）

2024-2025学年第一学期高二开学测试模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A． B． C．8 D．10 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n 5．下表统计了中国在第10届至第19届亚运会中获得的金牌数： 届数 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 金牌数 94 183 125 129 150 165 199 151 132 201 则中国获得金牌数的第40百分位数是（    ） A．132 B．141 C．150 D．151 6．在中，角的对边分别为，面积为，若，且，则（ ） A． B． C． D． 7．圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是 C．圆台的高是 D．圆台的体积是 8．骑自行车是一种既环保又健康的运动，如图是某自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，、、均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．复平面内表示复数的点位于第二象限 B．若复数z满足，则 C．若复数，则且时z为纯虚数 D．若复数z满足，则 10．已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B．函数的一个对称中心为 C．是函数的一个周期 D．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 11．在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．对于任意点，都有平面平面 C．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 D．若平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ． 13．某校要求每名学生只参加某一个兴趣小组，并对高一、高二年级的3个兴趣小组的学生人数进行了统计，结果如下表： 书法组 舞蹈组 乐器组 高一 x 20 30 高二 45 30 10 已知按兴趣小组类别用分层抽样的方法，从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取了30人，其中书法组被抽取12人，则 ． 14．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设函数 (1)当时，求的取值范围；(2)若，且，求的值. 16．如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是，，的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 17．在①；②，这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题目． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足________． (1)求； (2)已知，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高． 18．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者. (2)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 19．对于平面向量，定义“变换”： ，其中表示中较大的一个数，表示中较小的一个数.若，则.记. (1)若，求及； (2)已知，将经过次变换后，最小，求的最小值； (3)证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高二开学测试模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A． B． C．8 D．10 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n 5．下表统计了中国在第10届至第19届亚运会中获得的金牌数： 届数 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 金牌数 94 183 125 129 150 165 199 151 132 201 则中国获得金牌数的第40百分位数是（    ） A．132 B．141 C．150 D．151 6．在中，角的对边分别为，面积为，若，且，则（ ） A． B． C． D． 7．圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是 C．圆台的高是 D．圆台的体积是 8．骑自行车是一种既环保又健康的运动，如图是某自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，、、均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．复平面内表示复数的点位于第二象限 B．若复数z满足，则 C．若复数，则且时z为纯虚数 D．若复数z满足，则 10．已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B．函数的一个对称中心为 C．是函数的一个周期 D．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 11．在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．对于任意点，都有平面平面 C．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 D．若平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ． 13．某校要求每名学生只参加某一个兴趣小组，并对高一、高二年级的3个兴趣小组的学生人数进行了统计，结果如下表： 书法组 舞蹈组 乐器组 高一 x 20 30 高二 45 30 10 已知按兴趣小组类别用分层抽样的方法，从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取了30人，其中书法组被抽取12人，则 ． 14．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设函数 (1)当时，求的取值范围；(2)若，且，求的值. 16．如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是，，的中点. （1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的余弦值. 17．在①；②，这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题目． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足________． (1)求； (2)已知，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高． 18．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者. (2)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 19．对于平面向量，定义“变换”： ，其中表示中较大的一个数，表示中较小的一个数.若，则.记. (1)若，求及； (2)已知，将经过次变换后，最小，求的最小值； (3)证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高二开学测试模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数除法求得，结合共轭复数定义求得后可得虚部． 【详解】复数， 则． 所以的虚部为． 故选：A． 2．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式求出，结合二倍角的余弦公式计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：D. 3．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的原则进行求解即可. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：D 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n 【答案】B 【分析】根据线线，线面，面面平行或垂直的判定定理逐项分析即可. 【详解】若 则与相交、平行或异面, 故A错误; 因为所以又因为 所以 故B正确; 若 则与的位置关系不确定,故C错误; 若 则或异面,故 D 错误. 故选：B. 5．下表统计了中国在第10届至第19届亚运会中获得的金牌数： 届数 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 金牌数 94 183 125 129 150 165 199 151 132 201 则中国获得金牌数的第40百分位数是（    ） A．132 B．141 C．150 D．151 【答案】B 【分析】首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】将中国在亚运会中获得的金牌数按从小到大的顺序排列为94，125，129，132，150，151，165，183，199，201． 因为，所以中国获得金牌数的第百分位数是． 故选：B． 6．在中，角的对边分别为，面积为，若，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：， 由正弦定理得， 即， 由， 得，， ，， 即，即，则， 故选：． 7．圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是 C．圆台的高是 D．圆台的体积是 【答案】C 【分析】根据给定条件，作出圆台侧面展开图，求出圆台的母线长和高，再利用表面积和体积公式求解判断作答. 【详解】依题意，圆台侧面展开图，如图，    设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得，又， 则，同理，于是圆台的母线，高， 表面积， 体积，ABD正确，C错误. 故选：C 8．骑自行车是一种既环保又健康的运动，如图是某自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，、、均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及辅助角公式可求得的最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 因为、、均是边长为的等边三角形， 则、、、，设点， 则，， 所以，. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．复平面内表示复数的点位于第二象限 B．若复数z满足，则 C．若复数，则且时z为纯虚数 D．若复数z满足，则 【答案】ACD 【分析】求出复平面内表示复数的对应的点可判断A；举反例可判断B；根据复数分类可判断C；根据复数加法的几何意义可判断D． 【详解】A选项：复平面内表示复数的点位于第二象限，故A正确； B选项：若，则，但，故B错误； C选项：若复数，则且时z为纯虚数，故C正确； D选项：根据复数加法的几何意义可知，设， 则， 所以， 所以复数z对应的点的集合为圆心为、半径为1的圆， 所以，故D正确． 故选：ACD. 10．已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B．函数的一个对称中心为 C．是函数的一个周期 D．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 【答案】BCD 【分析】根据函数图象可得及函数的最小正周期，即可求出，再利用待定系数法求出，再根据正弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】由图可知，， 所以，所以， 故， 又，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，故A错误； 对于B，因为， 所以函数的一个对称中心为，故B正确； 对于C，因为函数的最小正周期为， 所以是函数的一个周期，故C正确； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度， 得，故D正确. 故选：BCD. 11．在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．对于任意点，都有平面平面 C．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 D．若平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为 【答案】AB 【分析】 利用线面平行的判定判断A；利用面面垂直的判定判断B；求出异面直线夹角的余弦范围判断C；举例说明判断D作答. 【详解】在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点）， 对于A，当点与重合时，由，得，有， 而平面，平面，因此平面，即平面，A正确； 对于B，由平面，平面，得，又， 平面，则平面， 而平面，因此平面平面，B正确； 对于C，由平面，平面，得，因为， 显然是锐角，则是异面直线与所成的角，而， ，C错误； 对于D，当点与重合时，与选项B同理得平面，当平面为平面时， 平面截正方体所得截面图形为矩形，其周长为，D错误. 故选：AB 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】利用向量积的运算公式直接求解即可 【详解】∵由得，， ∴， 故答案为： 13．某校要求每名学生只参加某一个兴趣小组，并对高一、高二年级的3个兴趣小组的学生人数进行了统计，结果如下表： 书法组 舞蹈组 乐器组 高一 x 20 30 高二 45 30 10 已知按兴趣小组类别用分层抽样的方法，从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取了30人，其中书法组被抽取12人，则 ． 【答案】15 【分析】利用分层抽样的等比例性质列方程，即可求出x. 【详解】由题设，，解得. 故答案为：15. 14．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为 ． 【答案】 【分析】结合题意，找出垂直底面且过底面外接圆圆心的直线，则球心必在该直线上，设出球心，借助球心到各顶点距离相等，结合勾股定理计算即可得半径，运用球的体积公式即可得球的体积. 【详解】连接，分别取、、中点、、，连接、、， 由底面是正方形，平面，和均为等边三角形， 故，底面，又，故， 则，故， 由为底面正方形中心，，故羡除外接球球心在直线上， 连接、、，设半径为，，则, 由底面，平面，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故，故， 又，故有，即， 又， 故有，解得， 故，即， 则这个几何体的外接球的体积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查几何体外接球问题，关键在于借助题目条件，找出垂直底面且过底面外接圆圆心的直线，则该几何体的外接球球心必在该直线上，设出该点位置，从而可结合勾股定理计算出该球半径，即可得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设函数 (1)当时，求的取值范围； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式和两角和或差的三角函数公式对函数解析式化简整理，即可求解； （2）根据已知求得的值，讨论角的范围得，利用二倍角公式求解即可. 【详解】（1） ， 因为，所以， 所以的取值范围为 （2）由， 得， ， ， ， 又， ， ， 16． （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为，由正四棱柱，可知为点到平面的高，结合已知，即可求得答案； （2）取AD的中点Q，连接NQ，BQ，证明且，可得为异面直线MN与所成角(或其补角)，求解三角形可得再由余弦定理可得异面直线MN与所成角的余弦值. 【详解】（1）， 在正四棱柱中 平面，即为点到平面的高 （2）取的中点Q，连接， N为的中点 且， M为的中点， ，且 且 四边形是平行四边形， 且 同理可证且 且 为异面直线与所成角(或其补角). 在正方形中，，E为中点 . 异面直线与所成角的余弦值为. 17．在①；②，这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题目． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足________． (1)求； (2)已知，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高． 【答案】(1)答案不唯一，见解析 (2)答案不唯一，见解析 【分析】（1）若选①，由所选边角关系式，边化角，经过三角恒等变换可求得的值；若选②，由所选边角关系式，角化边，利用余弦定理可求得的值. （2）由（1）中所得的值及△ABC的外接圆半径可求得，由余弦定理及完全平方和公式可得，最后由等面积法可求得△ABC的边AB上的高. 【详解】（1）若选①: 由正弦定理和 得， 即， 整理得，即， 因为， 解得，又因为，解得. 故. 若选②: 由余弦定理得化简得， 所以，因为，解得. 故. （2）若选①: 则，， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 又因为，所以， 解得， 由△ABC的面积得. 故. 若选②： 则，， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 又因为，所以， 解得， 由△ABC的面积得. 故. 18．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者. (2)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】(1)岁 (2) (3)10 【分析】（1）由频率分布直方图的平均数算法可得； （2）根据古典型概念公式可得； （3）根据分层抽样平均数和方差公式可得. 【详解】（1）设这人的平均年龄为，则 （2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），， 对应的样本空间的样本点为： 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则 ， 所以 （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10. 据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差为10. 19．对于平面向量，定义“变换”： ，其中表示中较大的一个数，表示中较小的一个数.若，则.记. (1)若，求及； (2)已知，将经过次变换后，最小，求的最小值； (3)证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得. 【答案】(1) (2)1349. (3)证明见解析 【分析】（1）先根据已知的新定义求出，从而可求出及； （2）根据求出，从而可求出，进而可得且，则可求出的最小值； （3）分，，和四种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以或 所以， 即. 由题意可得， ， ， 根据规律可得且， 由且可得的最大值为674，所以， 所以，此后进入循环. 所以当时，； 当时，； 当时，. 所以最小时，的最小值为1349. （3）证明：当时，显然存在，使得. 当时，，即，存在，使得. 同理，当时，存在，使得. 当时，若，则，存在，使得. 若，设. 假设对任意，则均不为0. 因为，所以. 若，则， 若，则， 所以， 所以，即. 因为，所以， 所以， 与矛盾，故假设不正确，即存在，使得. 综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使得. 【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的新定义，解题的关键是对平面向量新定义的正确理解，根据新定义求解，考查分析问题的能力、理解能力和计算能力，属于难题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$一、 单选题 (40分) 二、 多选题 (18分) 三、 填空题 (15分) 四、 解答题 (77分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第1页（共4页） 缺考填涂标记 2024-2025学年第一学期高二开学测试模拟卷 数学 注 意 事 项 姓名：　　　　　　　　　　    班级：　　　　　　　　　　 考号：　　　　　　　　　　    考场：　　　　　　　　　　 座位号：　　　　　　　　　 1、主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔填写。 2、不得使用涂改液、修正带。 3、不得在打分框内书写、涂抹。 4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 准考证号 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 12.　　　　　　　　　 　13.　　　　　　　　 14.　　　　　　　　 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第2页（共4页） 16.(15分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第3页（共4页） 18.(17分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第4页（共4页） 19.(17分)