6.4 用相似三角形综合应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

6.4 用相似三角形综合应用 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【考点5 利用相似三角形测量距离】 知识点1 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 代四方楼阁式砖塔，它是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面距离AB为2米，已知平面镜到塔底部中心的距离BC为86米，小明眼睛到地面距离AE为1.5米，已知AE⊥AC，CD⊥AC，点A、B、C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔CD的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【变式1-1】（2023春•绿园区期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度为 　　米． ​ 【变式1-2】（2023•宝鸡模拟）成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度（AB），测量方法如下：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到瞭望塔AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中B，C，D三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度ED约为1.75m，测得BC＝40m，CD＝1m，请你帮助他求出该瞭望塔的高度AB． 【变式1-3】（2023•启东市二模）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长． （2）求灯泡到地面的高度AG． 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【典例2】（2023春•岱岳区期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米． （1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？ （2）求信号发射塔的高度． 【变式2-1】（2022秋•滨海新区校级期末）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝12m，则旗杆AB的高为　 　m． 【变式2-2】（2022秋•武侯区校级期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【变式2-3】（2022秋•铁西区校级期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP． 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【典例3】（2023•横山区模拟）西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城西安的地标性建筑，吸引了不少人慕名而来．节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度DE．如图，他拿着一根笔直的小棍BC，站在距城墙约30米的点N处（即EN＝30米），把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知乐乐的臂长CM约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求城墙的高度DE． 【变式3-1】（2022•滨海县校级三模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝40m，则铁塔的高度为 　　m． 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【典例4】（2023春•河口区期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度． 【变式4-1】（2022秋•惠来县期末）综合实践活动 在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度．如图，九（1）班数学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼MN的高度，他们在教学楼前的D处竖立一个长度为4米的直杆CD，测得DN等于18米，让同学调整自己的位置，使得他直立时眼睛A、直杆顶点C和高楼顶点M三点共线．此时测量人与直杆的距离BD＝3.2米，眼睛高度AB＝1.6米．请你根据以上测量数据求出这栋教学楼MN的高度． 【变式4-2】（2023•榆林一模）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB的高度． 【变式4-3】（2023•临渭区二模）庆安寺塔（图1），位于临渭区交斜镇东堡村南，当地人又称其为来化塔．如图2，某校社会实践小组为了测量庆安寺塔的高度AB，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算庆安寺塔的高度AB． 知识点2 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【考点5 利用相似三角形测量距离】 【典例5】（2022春•港闸区校级月考）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD＝AC，连结BC并延长到点E，使CE＝BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离． 【变式5-1】（2023春•新泰市期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　） A．20m B．30m C．40m D．60m 【变式5-2】（2022•柳北区模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河岸的这一边选取点B和点C，使AB⊥BC，然后再选取点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝160m，DC＝80m，EC＝50m，求A、B间的大致距离． 一、单选题 1．如图，利用标杆测量建筑物的高度．如果标杆高，测得，，则建筑物的高度是（    ） A． B． C． D． 2．如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点到蜡烛、光屏的距离分别为、，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是放大镜成像原理图，若物的高为，则像的高为（    ） A． B． C． D． 4．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（    ） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米 5．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（    ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法． 如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为（   ）米． A．7.5 B．7 C．6.5 D．6 8．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是（    ） A． B． C． D． 9．如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，那么窗户的高为（　　）m． A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是 米． 11．如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面 ． 12．在《数书九章》（宋·秦九韶）巾记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米． 13．如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛高为6cm，则像的长 cm． \ 三、解答题 14．如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 15．某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．    16．【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 17．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4 用相似三角形综合应用 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【考点5 利用相似三角形测量距离】 知识点1 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 代四方楼阁式砖塔，它是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面距离AB为2米，已知平面镜到塔底部中心的距离BC为86米，小明眼睛到地面距离AE为1.5米，已知AE⊥AC，CD⊥AC，点A、B、C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔CD的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】64.5米． 【解答】解：由题意得：∠EBA＝∠DBC， ∵EA⊥AC，DC⊥AC， ∴∠EAB＝∠DCB＝90°， ∴△DCP∽△ABP， ∴＝， ∴＝， ∴AB＝64.5米， ∴长安塔的高度AB为64.5米． 【变式1-1】（2023春•绿园区期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米，则旗杆的高度为 　8　米． ​ 【答案】8． 【解答】解：由题意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴＝， ∵AB＝1.6米，OB＝2米，OD＝10米， ∴＝， 解得：CD＝8， ∴旗杆的高度为8米， 故答案为：8． 【变式1-2】（2023•宝鸡模拟）成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度（AB），测量方法如下：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到瞭望塔AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中B，C，D三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度ED约为1.75m，测得BC＝40m，CD＝1m，请你帮助他求出该瞭望塔的高度AB． 【答案】该瞭望塔的高度AB为70m． 【解答】解：由题意得：∠ECD＝∠ACB，AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠CDE＝90°， ∴△ABC∽△EDC， ∴， ∴， ∴AB＝70， ∴该瞭望塔的高度AB为70m 【变式1-3】（2023•启东市二模）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长． （2）求灯泡到地面的高度AG． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE， 则△BFC∽BED， 故， 即， 解得：BC＝3； （2）∵AC＝5.4m， ∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m）， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴∠FBC＝∠GBA， 又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴＝， ∴， 解得：AG＝1.2（m）， 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m． 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【典例2】（2023春•岱岳区期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米． （1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？ （2）求信号发射塔的高度． 【答案】19.8米． 【解答】解：（1）∵BC⊥AC，DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， （2）∵△ABC∽△ADE， ∴， 即， ∴DC＝19.8（米）， ∴古塔的高度为19.8米． 【变式2-1】（2022秋•滨海新区校级期末）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝12m，则旗杆AB的高为　8　m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵OD＝4m，BD＝14m， ∴OB＝OD+BD＝18m， 由题意可知∠ODC＝∠OBA，且∠O为公共角， ∴△OCD∽△OAB， ∴＝， 即＝， 解得AB＝8， 即旗杆AB的高为8m． 故答案为：8． 【变式2-2】（2022秋•武侯区校级期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】A 【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm， 由相似三角形对应高的比等于相似比得到：＝． 解得x＝6． 即蜡烛火焰的高度是6cm． 故选：A． 【变式2-3】（2022秋•铁西区校级期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP． 【答案】路灯的高度OP是m． 【解答】解：∵AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴＝，即＝， ∴OP＝（m）． 答：路灯的高度OP是m． 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【典例3】（2023•横山区模拟）西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城西安的地标性建筑，吸引了不少人慕名而来．节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度DE．如图，他拿着一根笔直的小棍BC，站在距城墙约30米的点N处（即EN＝30米），把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知乐乐的臂长CM约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求城墙的高度DE． 【答案】城墙的高度DE为12米． 【解答】解：由题意可作出下图： 由题意得，AF＝60厘米＝0.6米，AG＝EN＝30米，BC＝24厘米＝0.24米， ∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝， ∴＝， ∴DE＝12， ∴城墙的高度DE为12米． 【变式3-1】（2022•滨海县校级三模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝40m，则铁塔的高度为 　16　m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作CH⊥AB于H，交EF于P，如图， 则CH＝DA＝40m，CP＝50cm＝0.5m，EF＝20cm＝0.2m， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CBA， ∴， 即＝， ∴AB＝16（m）， 即铁塔的高度为16m． 故答案为：16． 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【典例4】（2023春•河口区期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度． 【答案】树高CD为6.5米． 【解答】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G， 由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四边形EFDH为矩形， ∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米， ∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.7＝1.2（米）， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH， ∴， ∴， 解得：CH＝4.8， ∴CD＝CH+DH＝4.8+1.7＝6.5（米）， 答：树高CD为6.5米． 【变式4-1】（2022秋•惠来县期末）综合实践活动 在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度．如图，九（1）班数学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼MN的高度，他们在教学楼前的D处竖立一个长度为4米的直杆CD，测得DN等于18米，让同学调整自己的位置，使得他直立时眼睛A、直杆顶点C和高楼顶点M三点共线．此时测量人与直杆的距离BD＝3.2米，眼睛高度AB＝1.6米．请你根据以上测量数据求出这栋教学楼MN的高度． 【答案】17.5米． 【解答】解：如图： 过点A作AH⊥MN于点H，交CD于点E，则四边形ABDE，四边形ABNH都是矩形． ∴NH＝DE＝AB＝1.6米，AE＝BD＝3.2米，EH＝DN＝18米， ∵CD＝4米， ∴CE＝CD﹣DE＝4﹣1.6＝2.4（米）， ∵CE∥MH， ∴△ACE∽△AMH， ∴＝， ∴＝， ∴MH＝15.9（米）， ∴MN＝MH+NH＝15.9+1.6＝17.5（米）． 答：这栋教学楼MN的高度是17.5米． 【变式4-2】（2023•榆林一模）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB的高度． 【答案】25m． 【解答】解：设BE＝ym，由题意可知， ∵EF∥AB，GH∥AB， ∴△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC， ∴，， ∵EF＝HG＝2， ∴， ∴， 解得：y＝23， 则，即， 解得：AB＝25， 答：该古建筑AB的高度为25m． 【变式4-3】（2023•临渭区二模）庆安寺塔（图1），位于临渭区交斜镇东堡村南，当地人又称其为来化塔．如图2，某校社会实践小组为了测量庆安寺塔的高度AB，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算庆安寺塔的高度AB． 【答案】30米． 【解答】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF， ∴∠ABC＝∠CDE＝∠GHF＝90°， ∵∠DEC＝∠BEA， ∴△EDC∽△EBA， ∴＝， ∴＝， ∵∠HFG＝∠BFA， ∴△HFG∽△BFA， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∴BD＝42， ∴＝， ∴AB＝30（米）， 答：庆安寺塔的高度AB为30米 知识点2 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【考点5 利用相似三角形测量距离】 【典例5】（2022春•港闸区校级月考）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD＝AC，连结BC并延长到点E，使CE＝BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离． 【答案】池塘两端A，B的距离为30米． 【解答】解：∵CD＝AC，CE＝BC， ∴＝，＝， ∴＝， ∵∠DCE＝∠ACB， ∴△DCE∽△ACB， ∴＝＝， ∵DE＝15， ∴AB＝30（米）， 答：池塘两端A，B的距离为30米． 【变式5-1】（2023春•新泰市期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　） A．20m B．30m C．40m D．60m 【答案】C 【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴△BAE∽△CDE， ∴， ∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m， ∴， 解得：AB＝40， 【变式5-2】（2022•柳北区模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河岸的这一边选取点B和点C，使AB⊥BC，然后再选取点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝160m，DC＝80m，EC＝50m，求A、B间的大致距离． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可得：∠ABD＝∠ECD＝90°，∠ADB＝∠EDC， 则△ABD∽△ECD， 故＝， 即＝， 解得：AB＝100． 答：A、B间的距离为100m． 一、单选题 1．如图，利用标杆测量建筑物的高度．如果标杆高，测得，，则建筑物的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先根据题意得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的值，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点到蜡烛、光屏的距离分别为、，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，会用相似三角形对应边成比例． 根据题意，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：如图，过点O作并延长交于点E， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．如图，是放大镜成像原理图，若物的高为，则像的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的值． 【详解】解：由题意得，，， ∴四边形是矩形． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 4．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（    ） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ，， ∴，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， ， 即，，， ∴，则， ∴米， ∴光源与小明的距离应增加米， 故选：C． 5．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 6．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴，即， 解得， 即河宽为， 故选：D． 7．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法． 如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为（   ）米． A．7.5 B．7 C．6.5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定．由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得米， 故选：D． 8．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意得，有即可求得，结合眼睛离地面的高度即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∵眼睛D离地面的高度为， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，那么窗户的高为（　　）m． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 根据题意可得：，然后证明A字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ∴， ∴， 解得：， ∴窗户的高为， 故选：D． 二、填空题 10．如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是 米． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由题意知，得出，根据求出的值． 【详解】解：由题意知， ∴ 在和中 解得 故答案为：5． 11．如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据两三角形相似列出比例式进而求解即可． 【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则， 解得． 故答案为：3． 12．在《数书九章》（宋·秦九韶）巾记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米． 【答案】17.6// 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键． 如图，过F作于Q，交于H，可得，证明，可得，可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，过F作于Q，交于H，则，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）． 故答案为：． 13．如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛高为6cm，则像的长 cm． \ 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由题意得，列出比例式，代入数据即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 三、解答题 14．如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)米 (2)变短了，变短了米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 15．某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．    【答案】宽为120米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过F作于G，则，证明，可得，再，得到，即可解答，熟练证明三角形相似是解题的关键. 【详解】解：如图所示，过F作于G，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴河宽为120米.    16．【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 【答案】问题1：证明见解析；问题2： 【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明，根据相似三角形的性质可得； 问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解． 【详解】问题1：由题可得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同 问题2：由（1）可得      ∵ ∴ ∴ 答：②号“”的高度应为 17．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 31 学科网（北京）股份有限公司 $$