2.1 等式与不等式性质 （第2课时）（教学课件）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第 2 章 2.1 等式与不等式性质 (第2课时） 人教A版2019必修第一册 等式性质与不等式性 学习目标 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。 目录 CATALOG 01.不等式的性质 03.题型强化训练 02.作差法比较大小 04.小结及随堂练习 01 不等式的性质 等式性质与不等式性 导入新知 回顾 1.比较大小：作差法(与0比较) 作差→变形(化为因式的积或平方和)→与0比较 ①画图(对/△/开) ②配方 2.重要不等式： 可用于求最值 > > 学习新知 请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 思考 等式有下面的基本性质 性质1 如果a=b,那么b=a;(对称性） 性质2 如果a=b,b=c,那么a=c;(传递性） 性质3 如果a=b,那么a±c=b±c;(加法） 性质4 如果a=b,那么ac=bc;(乘法） 性质5 如果a=b,c≠0,那么 (除法） 可以发现，性质1,2反映了相等关系自身的特性，性质3,4,5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性． （运算的不变性即为性质） 学习新知 探究 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质吗，并加以证明吗？ 等式 不等式 对称性 传递性 学习新知 等式 不等式 加法 注：不等式两边同时加上（或减去）同一个实数，不等式与原不等式同向． （不等号方向不变） 注：不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边． 移项法则： 学习新知 等式 不等式 乘法 注： 不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变； 不等式两边同乘一个负数，不等式方向相反． 应用新知 利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质． 例如，利用性质2，3可以推出： 应用新知 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据 应用新知 1.对称性 2.传递性 3.可加性 5.同向可加性 4.可乘性 6.同向可乘性(同号) 7.正数乘方性 8.正数开方性 > 证 02 等式性质与不等式性 作差法比较大小 应用新知 例2. 证明： 应用新知 应用新知 反思感悟　 (1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 应用新知 【跟踪练习】对于实数a，b，c有下列结论： ①若a>b，则ac<bc； ②若ac2>bc2，则a>b； ③若a<b<0，则a2>ab>b2； ④若c>a>b>0，则 ； ⑤若a>b， ，则a>0，b<0． 其中正确结论的有____________． ② ③ ④ ⑤ 总结新知 比较大小的方法 ①特殊值法 ②性质法 ③作差法：作差并与0比较 ④作商法：作商并与1比较 可用于判断不等式不成立，不能用于证明不等式成立. 03 题型强化训练 等式性质与不等式性 能力提升 题型一：等式性质与不等式的性质 反思感悟　 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质． (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 能力提升 题型二：利用不等式的性质证明不等式 能力提升 题型二：利用不等式的性质证明不等式 能力提升 题型二：利用不等式的性质证明不等式 反思感悟　(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 能力提升 题型三：利用性质比较大小 能力提升 题型三：利用性质比较大小 总结新知 比较大小的两种方法 能力提升 题型四：利用不等式的性质求代数式的取值范围 反思感悟　利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 04 小结及随堂练习 等式性质与不等式性 课堂总结 课堂总结 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔a<b ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2) 8 可开方性 a>b>0⇒ (n∈N*，n≥2) 课堂总结 (1)作差.对要比较大小的两个实数(或式子)作差； (2)变形.对差进行变形； (3)判断差的符号.结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)得出结论. 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键.在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等. 方法技巧： 比较两个实数(代数式)大小的步骤： 课堂总结 利用不等式的性质求取值范围的策略 1．建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用次不等式的 性质进行运算，求得待求的范围． 2．同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过 程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 作业 (1)教材第39页练习1-3题； (2)教材第42页习题2.1第3、4、5、6、7题； 等式性质与不等式性 练习(第5页) 1．证明不等式性质1，3，4，6． 练习(第5页) 练习(第5页) ＞ ＜ ＜ ＜ 习题2.1（第42页） 1．举出几个现实生活中与不等式有关的例子． 习题2.1（第42页） 2．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元．列出不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入” ． 习题2.1（第42页） 习题2.1（第42页） 习题2.1（第42页） 4．一个大于50且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2．试用不等式表示上述关系，并求这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）． 习题2.1（第42页） 习题2.1（第42页） 习题2.1（第42页） B 习题2.1（第42页） 9．证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．并据此说明，人 们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因． 所以圆的面积更大 原因：自来水管的横截面是圆形的，可以最大面积地使水通过，减少阻力． 习题2.1（第42页） 习题2.1（第42页） 习题2.1（第42页） 12．火车站有某公司代运的甲种货物1 530 ，乙种货物1 150 ．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢，25甲种货物和35乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？ 习题2.1（第42页） 所以共有三种方案，方案一：安排A型货厢28节，B型货厢22节； 方案二：安排A型货厢29节，B型货厢21节； 方案三：安排A型货厢30节，B型货厢20节． 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【变式】已知,求证:. 证明：方法一：因为,所以, 所以,所以, 所以, 即,所以, 又因为,所以. 证明：方法二： 因为,所以, 所以,所以, 所以,因此. 【变式】已知,求证:. 【练习1】(多选)已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，则下列选项中不正确的是(　　) A．a＋d>b＋c B．a＋c>b＋d C．ad>bc D．ac>bd 【答案】　ACD 【解析】不妨设a＝2，b＝1，c＝0，d＝－1， 此时a＋d＝b＋c＝1，故A错误； ad＝－2<bc＝0，故C错误； 设a＝－3，b＝－4，c＝－5，d＝－6， 则ac＝15<bd＝24，故D错误； 因为a>b，c>d，根据不等式的基本性质 同向可加性得a＋c>b＋d，故B正确． 例2　 已知c>a>b>0，求证：>. 证明　方法一　因为c>a>b>0，所以0<c－a<c－b， 所以(c－a)(c－b)>0， 所以0<·(c－a)<·(c－b)， 即0<<，即>>0， 又因为a>b>0，所以>. 例2　 已知c>a>b>0，求证：>. 方法二　因为a>b>0，所以<， 因为c>0，所以<，所以－1<－1，即<， 因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0. 所以>. 例2　已知c>a>b>0，求证：>. 证明 方法三　－＝ ＝＝， 因为c>a>b>0，所以a－b>0，c－a>0，c－b>0， 所以>. 【练习3】下列命题中一定正确的是(　　) A.若,且,则 B.若,则 C.若,且,则 D.若,且,则 【答案】　A 【解析】对于,又, ,故A正确; 对于,当时,有,故错; 对于,当时,有,但,故错; 对于,当时,有,但,故错. 作商比较法 乘方比较法 依据 a>0，b>0，且>1⇒a>b； a>0，b>0，且<1⇒a<b a2>b2且a>0，b>0⇒a>b 应用范围 同号两数比较大小或指数式之间比较大小 要比较的两数(式)中有根号 步骤 ①作商 ②变形 ③判断商值与1的大小 ④下结论 ①乘方 ②用作差比较法或作商比较法 例4　已知－6<a<8,2<b<3，求2a＋b，a－b及的取值范围． 解 因为－6<a<8,2<b<3，所以－12<2a<16， 所以－10<2a＋b<19. 又因为－3<－b<－2，所以－9<a－b<6.又<<， ①当0≤a<8时，0≤<4； ②当－6<a<0时，0<－a<6， 所以0<－<3，所以－3<<0. 由①②得－3<<4. $