1.4.2 充要条件-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第一册)

第 1 章 集合与常用逻辑用语 1.4.2 充要条件 人教A版2019必修第一册 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 教学目标 情境引入 01 情景导入 曹操赤壁兵败之后欲投南郡,除华容道外,还有一条大路,前者路险,但近50里;后者路平,但远50里.曹操发现“小路山边有数处起烟,大路并无动静”.曹操推断“诸葛亮多谋,使人于山僻烧烟,他却伏兵于大路,我偏不中计!” 哪知这正与诸葛亮的推断吻合:曹操熟读兵书,会搬用“虚则实之,实则虚之”的原理,不如来一个实而实之,以傻卖傻,故燃炊烟,最终使曹操败走华容道.曹操的错误在于把不可靠的臆作为已知条件,经过推理,得到的结论当然是不可靠的。 温故知新 一般地，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q， 并且说p是q的充分条件， q是p的必要条件。 充要条件 02 概念讲解 探究：如果p⇒q，p是q的什么条件？q是p的什么条件? 如果q⇒p,p是q的什么条件？q是p的什么条件 p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。 q⇒p，则p是q的必要条件，q是p的充分条件。 如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q. 则p是q的充分必要条件，简称充要条件。 概念讲解 充要条件 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 定义 （1）若p q，则称p是q的充分不必要条件． （2）若p q，则称p是q的必要不充分条件． （3）若q，则称p是q的既不充分也不必要条件． ⇒ ⇍ ⇏ ⇐ ⇍ 知识拓展 概念讲解 例1.下列各组命题中，哪些p是q的什么条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； 正方形对角线互相垂直且平分，pq对角线互相垂直且平分不一定是正方形qp； 所以p是q的充分不必要条件 （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； 相似则三边乘比例，pq；三边成比例一定相似，qp， 所以p是q的充要条件 概念讲解 （4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0). （3）p：xy>0，q：x>0，y>0； 例1.下列各组命题中，哪些p是q的什么条件？ xy>0即x>0，y>0或x＜0，y＜0，pq，x>0，y>0可以得到xy>0，qp； 所以p是q的必要不充分条件 x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根⇔a+b+c=0(a≠0)，即p⇔q； 所以p是q的充要条件 概念讲解 练习：设集合A={1，，-2} ，集合B={2，4}，则“”是“”的（ ）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 解：若，则A={1,4,-2}，，满足充分条件要求； 若 ，不满足必要条件要求； 所以“”是“”的充分不必要条件，选A A 概念讲解 【2】等价法 【1】定义法： （1）分清命题的条件和结论 （2）找推式，判断的真假 （3）根据条件和推式得出结论 将命题转化成为另一个与之等价的且便于判断真假的命题 【3】赋值法 对于选择题，可以取一些特殊值或者特殊情况，用来说明结论或者推导不成立，但不可用于证明题。 归纳小结：判断充充要条件的方法 集合角度研究充要条件 03 概念讲解 探究：集合的角度判断充分必要条件 设集合A={|p()}和集合B={|q()} ，利用集合的包含关系来判断充要条件 B A B A A(B) 小范围 ⟹ 大范围 p是q的充要条件即A=B p是q的充分不必要条件即A⫋B p是q的必要不充分条件即B⫋A p是q的既不充分也不必要条件即AB且BA A B A B 或 概念讲解 例2.已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． {m|m≥9} 概念讲解 概念讲解 例3.已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么： ①s是q的什么条件？ ②r是q的什么条件？ ③p是q的什么条件？ 解：利用图示，表示出p，q，s，r之间的关系如下： ①因为qr，rs，所以qs；又有sq，所以s是q的充要条件 ②因为rs，sq，所以rq；又有qr，所以r是q的充要条件 ③因为pr，rs，sq，所以pq；又有qp，所以p是q的充分不必要条件 充要条件的证明 04 概念讲解 例4.证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0. 概念讲解 概念讲解 方法总结 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件, 由“条件”⇒“结论”是证明充分性, 由“结论”⇒“条件”是证明必要性.证明要分两个环节:一是证充分性;二是证必要性. 课堂小结 05 课堂小结 分析　解答本题可先确定p和q,再分充分性(由ac<0推证方程有一个正实数根和一个负实数根)和必要性(由方程有一个正实数根和一个负实数根推证ac<0)进行证明. $$