2.1 等式与不等式性质（第1课时）（教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

2.1 等式与不等式性质 （第1课时） 教学设计 1、 教学目标 课程目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。 数学学科素养 1.数学抽象：不等式的基本性质； 2.逻辑推理：不等式的证明； 3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用； 4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）； 5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。 2、 重点难点 重点：掌握不等式性质及其应用． 难点：不等式性质的应用． 3、 学情分析&教材分析 等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫. 4、 学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步掌握用作差法比较两实数的大小． 5、 导入新知 大家知道，相等关系与不等关系是数学也是日常生活中最基本的关系．例如长与短、远与近的比较；例如同学们之间高与矮、轻与重的比较；例如国家人口的多少、面积的大小的比较；再例如新冠疫苗接种速度的快与慢的比较．正所谓，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”． 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示． 问题1　生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志，你知道它们的含义吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？ 提示　①最低限速.②限制质量.③限制高度.④限制宽度.⑤通行时间. 问题2 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，“限速40 km/h”，就是v的大小不能超过40，于是． 对于（2），由题意，得． 对于（3），设的三条边为，则，．① 对于（4），如图2.1-1，设是线段外的任意一点，垂直于，垂足为，是线段上不同于的任意一点，则． ① 你能写出其他的可能情况吗？ 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式．接着，就可以用不等式研究相应的问题了． 问题3某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为万元．于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 ． ① 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围． 如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质． 知识梳理 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实． 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是．那么，当点在点的左边时，；当点在点的右边时，． 关于实数大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么．反过来也对． 这个基本事实可以表示为 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆” 6、 应用新知 例1 比较和的大小． 分析：通过考查这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系． 解：因为， 所以． 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．这是解决不等式问题的常用方法． 【变式】已知,比较与的大小. 【解析】因为 因为,所以,所以, 所以. 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小． 探究 图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 问题4　你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？ 提示　设直角三角形的两条直角边的长为a，b(a≠b)，则正方形的边长为.这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2＋b2>2ab. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab. 于是就有a2＋b2≥2ab. 将图2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4．在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为．由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式 ． 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有 ． 于是就有． 问题5　你能证明问题4中得到的不等式吗？ 一般地，，有， 当且仅当时，等号成立． 事实上，利用完全平方公式，得 ． 因为，，当且仅当时，等号成立，所以．因此，由两个实数大小关系的基本事实，得，当且仅当时，等号成立． 反思感悟　用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当地设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围． 7、 能力提升 题型一：用不等式(组表示不等关系) 【练习1】用一段长为的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园,墙长,要求菜园的面积不小于,靠墙的一边长为.试用不等式表示其中的不等关系. 【解析】由于矩形菜园靠墙的一边长为,而墙长为, 这时菜园的另一条边长为. 因此菜园的面积,依题意有,即. 故该题中的不等式关系表示为 【变式1】用一段长为的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园,墙长,要求矩形菜园的长宽都不能超过,靠墙的一边长为.试用不等式表示其中的不等关系. 【解析】由于矩形菜园靠墙的一边长为, 这时菜园的另一条边长为. 而矩形的长宽都不能超过,有即. 方法技巧： 1.用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数； (2)适当设未知数表示变量； (3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式. 2.用不等式表示不等关系的注意点 (1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一. 题型二： 作差法比较大小 【练习2】已知,比较与的大小. 【解析】 . 由得,而,, . 【变式2】:若“”,比较与的大小. 【解析】 . , 当时,; 当时,; 当时,. 反思感悟　作差法比较两个实数大小的基本步骤 题型三： 重要不等式 【练习3】已知,求证：≥2. 【证明】方法一：利用, 当且仅当时，等号成立. 方法二：, 反思感悟　在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质． 跟踪训练3　已知,,且,试比较$xy$与2的大小关系. 解由重要不等式可知当且仅当时取等号), 即,所以 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系． (2)作差法比较大小． (3)重要不等式． 2．方法归纳：作差法． 3．常见误区：实际问题中变量的实际意义． 1、两个实数比较大小的方法作差法作商法 2. 不等式的基本性质 ①对称性:传递性: ②(可加性) ③,那么;(可乘性) ,那么 ④那么,(乘法法则) ⑤,那么.(条件)(乘方性) ⑥那么(条件)(开方性) 3.重要不等式 一般的,,有当且仅当时,等号成立. 一般的,,有当且仅当时,等号成立. 它有两个常见的变式: ①当时,(当且仅当时取等号); ②当时,(当且仅当时取等号). 9、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P39的练习1~3题； (3)课本P42的练习1~2题； (4)课本习题2.1的3、4、5、6、7、8题. 附教材P39练习及参考答案 练习（第39页） 1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系： （1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度从地面算起不能超过4m； （2）与的和为非负实数； （3）如图，在一个面积小于350 的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长大于宽的4倍． 1．解析：（1）； （2）； （3） ． 2．比较和的大小． 2．解析：， ． 3．已知，证明． 3．解析：， 又，． 10、 板书设计 2.1等式性质与不等式性质 1.不等式性质 例1 例2 例3 2.重要不等式 3.空集 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$