精品解析：上海民办华曜宝山实验学校中考2023年 全真模拟考数学试卷

上海民办华曜宝山实验学校中考2023年全真模拟考 数学试卷 （考试时间：100分钟 总分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 如果一个实数的平方等于它本身，那么这样的实数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 2. 已知四个实数a，b，c，d，若a>b，c>d，则（ ） A. a+c>b+d B. a-c>b-d C. ac>bd D. 3. 某工厂为这次防控新冠肺炎疫情捐款，下表为捐款额与捐款人数的汇总表，如果用扇形图来表示捐款额与相应的捐款人数，那么捐款额为50元的人数在扇形图中的圆心角为（ ） 捐款额（元） 50 80 100 150 200 捐款人数 40 50 30 45 35 A. B. C. D. 4. 已知抛物线与的开口方向相反，且对称轴相同，那么抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 如图，在梯形中，，，，，对角线、交于点．当边的长度发生变化时，下列说法中正确的是（ ） A. 点到边的距离不变 B. 点到边的距离不变 C. 点到边的距离不变 D. 点到边的距离不变 6. 如图，点、分别在边、上，线段与交于点．下列命题中，假命题是（ ） A. 如果与均是的角平分线，且，那么 B. 如果与均是的角平分线，且，那么 C. 如果与均是的高，且，那么 D. 如果与均是的高，且，那么 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 小于的正整数共有______个． 8. 因式分解：______． 9. 已知关于的一元二次方程有两个相等实数根，那么的值是________________________． 10. 方程的解为_____． 11. 现有四张卡片，上面分别写着1、2、3、4，随机选择其中的两张任意组成一个二位数，恰好是3的倍数的概率是________________． 12. 已知点、在抛物线上，点，点在轴上，且位于点的上方，如果四边形是正方形，那么点的坐标为______________． 13. 已知为正的中心，记，，则____________________．（用、表示） 14. 如图，，，，那么____度． 15. 如果两个不全等的等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．设一对合同三角形的底角分别为和，那么______________．（用的代数式表示） 16. 试着画函数的大致图像，可知其图像有最__点（填“高”或“低”），该点的坐标为______________． 17. 如图，是的重心，、、、分别是、、、的中点，如果，，，那么四边形的周长是__． 18. 如图，在中，，，将绕边上点旋转，点、、所对应的点分别是点、、．如果恰好是与的比例中项，那么__________________________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 解方程组： 21. 如图，在中，，． （1）求的面积； （2）以为直径画圆，分别交边、于点、，连接，求线段的长． 22. 小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地机会自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度(以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完)，如图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图象(线段AB)，其中设定扫地时间为x分钟，扫地速度为y平方分米/分钟． (1)求y关于x的函数解析式； (2)现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为多少分钟？ 23. 如图，点位于矩形对角线上，过点分别作矩形两邻边的平行线交矩形四边于点、、、，点是线段上一点，线段与于点．求证： （1）矩形与矩形的面积相等； （2）． 24. 如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、． （1）求该抛物线的表达式： （2）如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； （3）将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 25. 如图1，在中，，，点是形内一点，，，，垂足分别为、、． （1）当为中点时，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）当时，求的度数； （3）当与相似时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海民办华曜宝山实验学校中考2023年全真模拟考 数学试卷 （考试时间：100分钟 总分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 如果一个实数的平方等于它本身，那么这样的实数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．分析平方等于它本身的实数，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴平方等于它本身，那么这样的实数有0和1，共计2个． 故选：B． 2. 已知四个实数a，b，c，d，若a>b，c>d，则（ ） A. a+c>b+d B. a-c>b-d C. ac>bd D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及反例的应用逐项分析即可． 【详解】A. ∵a>b，c>d，∴ a+c>b+d，正确； B.如a=3，b=1，c=2，d=-5时， a-c=1，b-d =6，此时a-c<b-d，故不正确； C. 如a=3，b=1，c=-2，d=-5时， ac=-6，bd =-5，此时ac<bd，故不正确； D. 如a=4，b=2，c=-1，d=-2时，，，此时 ，故不正确； 故选A． 【点睛】本题考查了不等式的性质及举反例的应用，举反例是解选择题常用的一种方法，要熟练掌握． 3. 某工厂为这次防控新冠肺炎疫情捐款，下表为捐款额与捐款人数的汇总表，如果用扇形图来表示捐款额与相应的捐款人数，那么捐款额为50元的人数在扇形图中的圆心角为（ ） 捐款额（元） 50 80 100 150 200 捐款人数 40 50 30 45 35 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形图中的圆心角的度数，熟练掌握扇形统计图的知识是解题关键．利用“捐款额为50元的人数占比”，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知捐款额为50元的人数在扇形图中的圆心角为 ． 故选：D． 4. 已知抛物线与的开口方向相反，且对称轴相同，那么抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据已知条件可得、符号相反且，进而得出，再代入即可得出答案． 【详解】解：抛物线与的开口方向相反， 、符号相反， 对称轴相同， ， ， ， 抛物线的对称轴是直线． 故选：C． 5. 如图，在梯形中，，，，，对角线、交于点．当边的长度发生变化时，下列说法中正确的是（ ） A. 点到边的距离不变 B. 点到边的距离不变 C. 点到边的距离不变 D. 点到边的距离不变 【答案】A 【解析】 【分析】先证得，，则，，过点作于点，过点作，的延长线交于，于，过点作于，证明得，由此可对选项进行判断；证明得，由此可对选项进行判断；根据，得，由此可对选项进行判断；设，则，，则，，进而得，根据可得，由此可对选项进行判断． 【详解】解：四边形为梯形，，，， ， ， ，， ，， 过点作于点，过点作，的延长线交于，于，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 即． ， 点到边的距离不变， 故选项A正确，符合题意； ，， ， 又，的延长线交于， 四边形为矩形， ，， ， ， 即， ， 当边的长度发生变化时，随的变化而变化， 故选项B不正确，不符合题意； ，， ， 当边的长度发生变化时，随的变化而变化， 故选项D不正确，不符合题意； 设，则，， ，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 即， 整理得：， 当边的长度发生变化时，随的变化而变化， 故选项C不正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，点到直线的距离，熟练掌握梯形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 6. 如图，点、分别在边、上，线段与交于点．下列命题中，假命题是（ ） A. 如果与均是的角平分线，且，那么 B. 如果与均是的角平分线，且，那么 C. 如果与均是的高，且，那么 D. 如果与均是的高，且，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，命题和定理，关键是灵活应用全等三角形的判定来解决问题．由选项A的条件推出，得到，选项B的条件不能判定；选项C，由的面积，推出，由三角形内角和定理推出，得到，因此；由选项D的条件推出，得到，推出，由三角形面积公式得到． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵与均是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A是真命题，不符合题意； B．由与均是的角平分线，且，得不到， 故B是假命题，符合题意； C．∵与均是的高， ∴的面积， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故C是真命题，不符合题意； D．∵与均是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积， 故D是真命题，不符合题意． 故选：B． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 小于的正整数共有______个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键． 先估算出的取值范围，再列出小于的正整数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴小于的正整数有4，3，2，1，共有4个， 故答案为：4． 8. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，运用分组分解法进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 9. 已知关于的一元二次方程有两个相等实数根，那么的值是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题利用了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：明确（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根是解答的关键．根据有两个相等实数根，则，得到有关的方程即可求出的值． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 10. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，先把两边平方，转化为，然后求解即可，把无理方程转化成一元二次方程是解题的关键． 【详解】解： ，整理得：， 解得：，， 当时，不符合题意，舍去， 故答案为：． 11. 现有四张卡片，上面分别写着1、2、3、4，随机选择其中的两张任意组成一个二位数，恰好是3的倍数的概率是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键． 列表可得出所有等可能的结果以及恰好是3的倍数的结果数，再利用概率公式即可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好是3的倍数的结果有4种， 恰好是3的倍数的概率是：． 故答案为：． 12. 已知点、在抛物线上，点，点在轴上，且位于点的上方，如果四边形是正方形，那么点的坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，正确表示出点的坐标是解题的关键． 连接，利用正方形的性质得出与互相垂直平分，，设，即可得出，代入得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， 与互相垂直平分，， 轴， 设， 点， ， ∴， 点、在抛物线上， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为， 故答案为：． 13. 已知为正的中心，记，，则____________________．（用、表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量、等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 结合等边三角形的中心的定义以及平面向量的运算法则可得答案． 【详解】解：如图所示， 点是正的中心， ，． ，， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，，，，那么____度． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过点作，设，，证明，根据“两直线平行，内错角相等”可得，，结合求得的值，进而可得的值，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作， 根据题意，，， ∴可设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：100． 15. 如果两个不全等的等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．设一对合同三角形的底角分别为和，那么______________．（用的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，两个等腰三角形的腰长相等，面积也相等，则腰上的高相等，分两种情况讨论：这两个三角形都是锐角或钝角三角形；两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，分别求解即可获得答案． 【详解】解：∵两个等腰三角形的腰长相等，面积也相等， ∴腰上的高相等， 可分两种情况讨论： ①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，如下图， 则有，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ， 即有； 此时两个等腰三角形全等，不符合题意； ②当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，如下图， 则有，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 此时两个等腰三角形不全等，符合题意． 故答案为：． 16. 试着画函数的大致图像，可知其图像有最__点（填“高”或“低”），该点的坐标为______________． 【答案】 ①. 高 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象，找到隐含条件是解题的关键． 先画出函数的图象，再根据函数的图象的性质即可求解． 【详解】解：如图，函数的大致图像如图， 由函数可知， 随着的增大而减小， 因为， 当时，有最大值为1， 所以函数图象有最高点且该点的坐标为． 故答案为：高；． 17. 如图，是的重心，、、、分别是、、、的中点，如果，，，那么四边形的周长是__． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，延长交于，由三角形重心的性质推出，是中点，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，因此，由三角形中位线定理推出，于是得到四边形的周长． 【详解】解：连接，延长交于， 是的重心， ，是中点， ，，， ， ，是中点， ， ， 、分别是、中点， 是的中位线， ， 同理：，，， ， 四边形的周长． 故答案为：10． 【点睛】本题考查三角形的重心，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边的中线，关键是由三角形中位线定理推出． 18. 如图，在中，，，将绕边上点旋转，点、、所对应的点分别是点、、．如果恰好是与的比例中项，那么__________________________． 【答案】或 【解析】 【分析】连接、过作于由旋转得，，，．故，，得，进而由恰好是与的比例中项得，，又证明得，从而证明，或，进而分两种情况讨论求解即可。 【详解】解∶连接、过作于 由旋转得，，，． ∴,, ∴，， ∴ 得∶即 ∵恰好是与的比例中项， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴即， ∴， ∴， ∴，或， ∴当，、，重合， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵面积， ∴， ∴ ∴， ∴． 当时， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，因式分解及有理数的乘法法则，掌握相似三角形的判定及性质是解题关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算、特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的性质、特殊角的三角形函数值、零指数幂和负整数指数幂运算法则进行运算，然后相加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程组： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解方程组，熟练掌握解方程（组）的常用方法和步骤是解题关键．将原方程组整理，可得，，进而可得关于的一元二次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由②可得，③， 由①可得，， ∴， 将③代入，可得， 整理可得， 解得，， ∴，， ∴该方程组的解为，． 21. 如图，在中，，． （1）求的面积； （2）以为直径画圆，分别交边、于点、，连接，求线段的长． 【答案】（1）8 （2）2.4 【解析】 【分析】（1）过点作于点，利用三角函数和勾股定理，可解得，的值，利用三角形面积公式即可获得答案； （2）根据题意作圆并连接，结合为直径，易得，进而解得，的值，同理可得的值，证明，利用相似三角形的性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴， ∴在中，可有， ∴， ∵，即， 解得， ∴，， ∴； 【小问2详解】 根据题意作圆，并连接，如下图， ∵为直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴在中，， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、圆周角、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 22. 小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地机会自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度(以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完)，如图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图象(线段AB)，其中设定扫地时间为x分钟，扫地速度为y平方分米/分钟． (1)求y关于x的函数解析式； (2)现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为多少分钟？ 【答案】(1)y＝﹣5x+600；(2)他应该设定的扫地时间为60分钟． 【解析】 【分析】(1)设AB的解析式为y＝kx+b，把A(20，500)，B(100，100)代入解方程组即可． (2)设他应该设定的扫地时间为x分钟．由题意，解方程即可． 【详解】(1)设AB的解析式为y＝kx+b，把A(20，500)，B(100，100)代入 得到， 解得， ∴y＝﹣5x+600． (2)设他应该设定的扫地时间为x分钟，180平方米=18000平方分米， 由题意， 整理得x2﹣120x+3600＝0， ∴x＝60， 经检验x＝60是分式方程的解． ∴他应该设定的扫地时间为60分钟． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建方程解决实际问题，注意解分式方程必须检验． 23. 如图，点位于矩形对角线上，过点分别作矩形两邻边的平行线交矩形四边于点、、、，点是线段上一点，线段与于点．求证： （1）矩形与矩形的面积相等； （2）． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，同理可得，，为矩形， ∴，，， ∴， ∴； （2） 证明：如下图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）证明四边形，，，均为矩形，由矩形的性质可得，，，即可证明结论； （2）证明，结合，可证明，进而可得，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、． （1）求该抛物线的表达式： （2）如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； （3）将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将、、代入得，，计算求解，进而可得抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，则，，设，则，，由，可求，即，待定系数法求直线的解析式为；联立，计算求解即可；如图1，由轴，可知，关于对称轴对称，由，可得与重合，由，可知对称轴为直线，则，可求，进而可求； （3）如图2，由题意知，、两直线的距离为2，设，，则，，，，，，可求，根据，求解即可，由，可得，然后作答即可． 【小问1详解】 解：将、、代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 联立， 解得， 或， ∴； 如图1， ∵轴， ∴，关于对称轴对称， 又∵， ∴与重合， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图2， 由题意知，、两直线的距离为2， 设，，则，， ∴，，，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质是解题的关键． 25. 如图1，在中，，，点是形内一点，，，，垂足分别为、、． （1）当为中点时，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）当时，求的度数； （3）当与相似时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长，交于，可得出，，根据得出，进而得出结果； （2）可证得四边形是矩形，从而，根据得出是的外接圆的圆心，从而得出； （3）连接，，可推出当是等腰直角三角形时，；当时，作于，可证得，从而，．设，，则，，，可得出，可证得，从而得出，可证得，从而得出，进而得出，求得，的值，进一步得出结果，当时，可得出相同的结果． 【小问1详解】 解：如图1， 延长，交于， ，， ， ，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 是的外接圆的圆心， ； 【小问3详解】 解：如图3， 连接，， 与相似，是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ，，， ， ，， 点、、、共圆， ， 同理可得， ， ， ， 如图4， 当时，， 作于， ， ， ， ， ， ，， 设，， 则，，， ， ①， ， ， ， ， ， ， 点、、、共圆，点、、、共圆， ，， ；， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ②， 由①②得， ， ， ， 当时， 同理可得， ， 综上所述：的面积为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $