第3章对圆的进一步认识单元测试（B卷提升篇）2024-2025学年青岛版数学九年级上册

青岛版9上数学第3章 对圆的进一步认识单元测试（B卷提升篇）（含解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题 1．如图是某商品标牌的示意图，⊙O与等边△ABC的边BC相切于点C，且⊙O的直径与△ABC的高相等，已知等边△ABC边长为4，设⊙O与AC相交于点E，则AE的长为（　　） A． B．1 C．﹣1 D． 2．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，以AB为直径的圆分别交BC，AC于D，E两点，AD交BE于F点，现给出下列命题：①DE+BD=AD；②△ABE与△ABD的面积差为ED2  ， 则（　　） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题 3．如图，在正方形中，对角线相交于点O，E是边的中点，连接，分别交于点P，Q，将AP绕点P逆时针旋转90°交的延长线于点F．下列结论：①；②；③若三角形的面积为4，则正方形的面积为18；④．其中结论正确的序号有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④ 4．如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B、D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交于点G，给出四个结论：①；②；③；上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．如图，在中，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点M，N，则线段长度的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 6．如图所示，半径为的的弦，，交于点，为上一点，连接，，，．有下列结论：①；②若．则；③若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．如图，已知是圆的直径，，是圆的弦，，射线、交于点，将绕点顺时针旋转，从与重合开始到与第一次重合停止，则点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 8．如图1，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作，将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转，再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…，如图2，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（　　） A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.6 9．某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示 若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（    ） ①在M处放置2台该型号的灯光装置 ②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置 ③在P处放置2台该型号的灯光装置 A．① B．①② C．②③ D．①②③ 10．如图，在矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与⊙O相切于点E，则BB1的长为（　　） A． B．2 C． D． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 11．如图，已知直线与x、y轴交于A、B两点，的半径为1，P为上一动点，切于Q点．当线段长取最小值时，直线交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为 ． 12．如图，的直径长为16，点E是半径的中点，过点E作交于点C，D．点P在上运动，点Q在线段上，且，则的最大值是 ． 13．在已知线段，且、两点都在的外，圆上动点与点的最小距离为6，与点的最小距离为4，若为直角三角形，则的半径 ． 14．如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为 ． 15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的端点A，B均落在格点上． （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）经过点A，B的圆交网格线于点，在上有一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 16．如图，已知菱形中，，为钝角，于点，为的中点，连接，.若，则过、、三点的外接圆半径为 . 三、解答题 17．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，因此，三角形的是三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心． （1）如图1，△ABC是等边三角形，BC=10，点O是△ABC的外心，求点O与点A之间的距离． （2）如图2，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，已知BD=6，CD=4，求AD的长． （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=240°，∠C=3∠A,BD=10,求四边形ABCD面积的最大值． 18．问题提出 （1）如图1，点P是的平分线OC上一点，，垂足为D，若，则点P到边OB的距离是 ； 问题探究 （2）如图2，已知矩形ABCD的一边AB长为6，点P为边AD上一动点，连接BP、CP，且满足，求BC的最小值；（结果保留根号） 问题解决 （3）如图3，正方形ABCD是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中米，三条观光小路BM、BN和MN（小路宽度不计，M在AD边上，N在CD边上）拟将这个展示区分成四个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，MB平分，并且要求的面积尽可能小，那么是否存在满足条件的面积最小的？若存在，请求出的面积的最小值．若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 19．如图，在平行四边形中，于，，，经过点作圆和边切于点（点可与点、重合），交边、边于、． 求的长； 若点在边上，求弧的长； 若点与点重合，判断点与圆的位置关系； 设圆的半径为，直接写出的取值范围． 20．问题提出 （1）如图1，在四边形中，，，，与之间的距离为4，则四边形的面积为______； 问题探究 （2）如图2，在四边形中，，若，对角线，求四边形的最大面积； 问题解决 （3）某地在文旅开发建设中规划设计梯形为非遗展示区，计划分为传统、创新两个区域．如图3，已知，，，，，则是否存在面积最大的四边形？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 21．如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G． (1)当圆C经过点A时，求CP的长； (2)联结AP，当时，求弦EF的长； (3)当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长． 22．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于线段和点C（点C不在直线上），给出如下定义：过点C作直线的平行线l，如果线段关于直线l的对称线段是的弦，那么线段称为的点C对称弦． (1)如图，，，，，，在线段，中，的点H对称弦是___________； (2)等边的边长为1，点，若线段是的点C对称弦，求t的值； (3)点M在直线上，的半径为1，过点M作直线的垂线，交于点P，Q．若点N在上，且线段是的点N对称弦，直接写出点M的横坐标m的取值范围． 23．已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（）进行了如下的实验操作：    (1)如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边恰好与相切于点D，则切线长 ； (2)如图2，将三角板的顶点A在上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若边与相切于点M，求点B的坐标； (3)请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在上滑动，直角顶点B恰好落在上且在y轴右侧，边与y轴的正半轴交于点G，与的另一交点为H，若，求的长． 24．如图1，菱形边长为3，延长至点C，使得．连接，．点E，F分别在线段和上，且满足，连接，交于点O，过点B作，交延长线于点M，连接． (1)求与之间的数量关系； (2)当时，求的长度； (3)如图2，过点M作交于N，求的最大值． 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．B 【分析】通过求解CE的长度来求出AE的长，连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出⊙O的直径，进而得到半径OC的长度；根据切线和等边三角形的性质不难的得出∠OCF=30°，再在Rt△OFC中，利用特殊角的三角函数值求出FC的长，最后利用垂径定理即可得出CE的长. 【详解】连接OC，并过点O作OF⊥CE于F. ∵△ABC为等边三角形，边长为4， ∴∠ACB=60°，△ABC的高为2. ∵等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等， ∴⊙O的半径OC=. ∵⊙O与BC相切于点C， ∴∠OCB=90°. ∵∠ACB=60°， ∴∠OCF=30°. ∵在Rt△OFC中，∠OCF=30°，OC=， ∴FC=， ∴CE=2FC=3（cm） ∴AE=AC-CE=4-3=1（cm） 故选B. 【点睛】本题考查了切线的性质, 垂径定理, 圆周角定理, 弦切角定理等知识的综合运用，通过求出CE的长间接求出AE的长，在解题过程中要仔细分析题目，想想要求CE的长，需要借助哪些辅助线进行解决. 2．D 【分析】①过点E作⊥HE交AD于H，构造等腰直角三角形，根据圆周角定理，得到角相等，证明△AEH≌△BDE，得到AH=BD，由DH=DE，由等量代换得到DE+BD=AD； ②由①证得：DE+BD=AD，两边平方得：2DE2=（AD-BD）2=AD2+BD2-2AD•BD=AB2-2AD•BD，等式的两边乘以得：DE2=AB2-AD•BD=S△ABE-S△ABD，得到②是真命题． 【详解】①过点E作⊥HE交AD于H， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°，∠ADB=90° ∵∠EAB=45°，∴∠EBA=45°， ∴∠EDA=45°， ∴∠EHD=∠EDA=45°， ∴∠AHE=∠EDB=135°， 在△AEH与△BDE中， ， ∴△AEH≌△BDE， ∴AH=BD， ∵DH=DE， ∴AD=AH+DH=BD+DE， ∴①是真命题； ②∵S△ABE=AE•BE=AB2，S△ABD=AD•BD， 由①证得：DE+BD=AD， ∴DE=AD-BD， ∴2DE2=（AD-BD）2=AD2+BD2-2AD•BD=AB2-2AD•BD ∴DE2=AB2-AD•BD=S△ABE-S△ABD， ∴②是真命题， 故选D． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积的求法，圆周角定理，正确的作出辅助线是解体的关键． 3．D 【分析】①正确．利用四点共圆证明即可； ②正确．设,求出即可解决问题； ③错误，通过计算正方形的面积为； ④正确．证明即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， 连接． ∵， ∴， ∴A，P，B，F四点共圆， ∴， ∴， ∴，故①正确， 设,则， ∴，即，故②正确， ∵，E是边的中点 ∴ ∴，故③错误， ∵E是边的中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 4．D 【分析】取的中点，连接，利用直角三角形性质可得，即，四点共圆，再运用勾股定理即可判断结论①；将绕点顺时针旋转得到，可证得，即可判断结论②；连接，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，可证得，再结合等腰直角三角形性质即可判断结论③； 【详解】解：如图1，取的中点，连接， ∵，四边形是正方形， ， ， ， 四点共圆， ， 在中，， 在中，， ∴；故①正确； 将绕点顺时针旋转得到，如图2， ， ， 共线， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； 连接，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，如图3， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 5．D 【分析】如图所示，设的外接圆圆心为O，过点O作于E，连接，利用垂径定理，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质证明，可以得到要使最小，则的直径要最小，过点C作于点，以为直径作圆与分别相交于点，连接，此时，线段的长度最小，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，设的外接圆圆心为O，过点O作于E，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要使最小，则的直径要最小， 过点C作于点，以为直径作圆与分别相交于点，连接，此时，线段的长度最小， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，正确确定最小值时的情形是解题的关键． 6．D 【分析】①由弦，可得，进而可得，然后由圆周角定理，证得，即可判定；②连接，由，，可求得，进而可得是等腰直角三角形，则可求得；③设与相交于点G，连接，易证得是等腰三角形，即可判断． 【详解】①∵弦， ∴， ∴， ，故①正确； ②连接， ， ∴，故②正确； ③设与相交于点G，连接， ∵， 在和中， ∵， 其中正确的是：①②③，故选D. 【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键. 7．C 【分析】如图，连接、，根据、的长可得，即可证明是等边三角形，可得，可得旋转的角度为，根据圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可得，即可得出点E的运动轨迹为的外接圆，且所对的圆心角为，设外接圆圆心为O1，O1E旋转的角度为，连接，根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理列方程可求出的长，利用弧长公式即可求出的长，即可得答案． 【详解】如图，连接、、 ∵为的直径， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， 同理：， ∴， ∵绕点顺时针旋转，从与重合开始到与第一次重合停止， ∴旋转的角度为， ∴点的运动根据为的外接圆，且弦所对的圆心角为， 设外接圆的圆心为，则旋转的角度为，图中为点的运动路径， 连接，则， ∵点为的圆心， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：O1A=，(负值舍去) ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质及弧长公式，正确得出点E的运动轨迹并熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 8．D 【详解】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1．故选D． 点睛：本题考查了正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度． 9．B 【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图 ∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区， ∴优弧所对圆周角 如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且 ∴为优弧所对圆周角 ∴，即①方案成立； 在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接、、、、、,如下图， ∵，， ∴②方案成立； 在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，和相切于点P 如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总 根据题意， ，即两台灯光照亮角度总和 ∴③方案不成立； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解． 10．C 【分析】连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G，由题意可得：四边形B1EFC为矩形，则EF=B1C=8，由勾股定理可求线段CF的长；由旋转的性质可得：∠OCF=∠B1CG，则，，利用直角三角形的边角关系可求B1 G和CG，最后利用勾股定理可得结论． 【详解】解：如图，连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G， ∵边A1B1与⊙O相切于点E， ∴OE⊥A1B1， ∵四边形A1B1C1D1是矩形， ∴A1B1⊥B1C，B1C⊥CD1， ∵四边形B1EFC为矩形， ∴EF=B1C=8， ∵CD为直径作⊙O， ∴， ∴OF=EF－OE=3， ∵A1B1 //CD1，OE⊥A1B1， ∴OF⊥CD1， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，圆的切线的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，旋转的性质，连接EO，利用切线的性质得到OE⊥A1B1，是解决此题的关键． 11． 【分析】先找到长取最小值时P的位置即为OP⊥AB时，然后画出图形，由于PM即为P到直线a的距离的最大值，求出PM长即可． 【详解】解：如图， 在直线上，x=0时，y=4，y=0时，x=， ∴OB=4，OA=， ∴， ∴∠OBA=30°， 由切于Q点，可知OQ⊥PQ， ∴， 由于OQ=1，因此当OP最小时长取最小值，此时OP⊥AB， ∴，此时，， ∴，即∠OPQ=30°， 若使P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方， 过P作PE⊥y轴于E， ，， ∴， ∵，∴∠OPE=30°， ∴∠EPM=30°+30°=60°，即∠EMP=30°， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到Ｐ点的位置是解题的关键． 12． 【分析】延长到，使得，连接，，，．首先证明，解直角三角形求出，求出的最大值即可解决问题． 【详解】解：延长到，使得，连接，，，． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 在中，，， ， ， ， 的最大值为， 的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 13．2或20 【分析】设与交于点，与交于点，分当时，当时，当时三种情况讨论，再根据勾股定理，列方程求解即可． 【详解】解：设与交于点，与交于点， 当时，如图， 圆上动点与点的最小距离为6，与点的最小距离为4，    则， 在中，， ， （舍去）； 当时，如图，圆上动点与点的最小距离为6，与点的最小距离为4，      则， 在中，， ， ， 当时，为斜边，， ， 故此情况不成立，舍去． 综上所述：的半径的值为2或20． 故答案为：2或20． 【点睛】本题考查了点与圆的关系，勾股定理，解一元二次方程等知识，运用分类讨论的思想方法是本题的关键． 14．π﹣． 【分析】结合题意，利用三角形边长关系，得出△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，将阴影部分的面积转化为三角形的面积，然后利用扇形面积，建立等式，计算结果，即可. 【详解】连接OE、OD，点D、E是半圆的三等分点， ∴∠AOE＝∠EOD＝∠DOB＝60° ∵OA＝OE＝OD＝OB ∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形， ∴AB∥DE，S△ODE＝S△BDE； ∴图中阴影部分的面积＝S扇形OAE﹣S△OAE+S扇形ODE＝=． 故答案为． 【点睛】考查圆综合问题，考查等边三角形的判定，关键将阴影部分面积转化为苛求的三角形面积，难度中等． 15． 作图见解析 【分析】（Ⅰ）直接利用勾股定理求解即可； （Ⅱ）先确定圆的两条直径，交点为圆心O；再连接AC交中间水平的网格线于点F，连接AC，作出垂直于AC的直径交AB于I，连接CI并延长交⊙O于D，即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）由勾股定理得：， 故答案为：． （Ⅱ）连接MN，∠MAN=90°，则MN为直径， 连接AP交圆于Q，由格点△ASP≌△BTA可证得：∠PAB=90°， 连接BQ，BQ为直径，且BQ与MN的交点即为圆心O． 连接AC，交中间水平的网格线于点F，可知F为AC的中点， 连接OF并延长交AB于I，则OI为弦AC的垂直平分线， 连接CI并延长交⊙O于点D， 该点即为所求． 理由：∵OI为AC的垂直平分线， ∴CI=AI， ∴∠ACI=∠CAI， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理在格点中的应用，圆心位置的确定，垂径定理的推论，同圆中圆周角、弧的关系等知识点．利用垂径定理的推论作出AC的垂直平分线是解题关键． 16． 【分析】通过延长MN交DA延长线于点E，DF⊥BC,构造全等三角形，根据全等性质证出DE=DM,,再通过AE=BM=CF,在Rt△DMF和Rt△DCF中，利用勾股定理列方程求DM长，根据圆的性质即可求解. 【详解】如图，延长MN交DA延长线于点E，过D作DF⊥BC交BC延长线于F,连接MD, ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=4，AD∥BC, ∴∠E=∠EMB, ∠EAN=∠NBM, ∵AN=BN, ∴△EAN≌BMN, ∴AE=BM,EN=MN, ∵, ∴DN⊥EM, ∴DE=DM, ∵AM⊥BC,DF⊥BC,AB=DC,AM=DF ∴△ABM≌△DCF, ∴BM=CF, 设BM=x,则DE=DM=4+x, 在Rt△DMF中，由勾股定理得，DF2=DM2-MF2=(4+x)2-42, 在Rt△DCF中，由勾股定理得，DF2=DC2-CF2=4 2-x2, ∴(4+x)2-42=4 2-x2, 解得，x1=,x2=（不符合题意，舍去） ∴DM=， ∴ ∴过、、三点的外接圆的直径为线段DM, ∴其外接圆的半径长为. 故答案为：. 【点睛】本题考查菱形的性质，全等的判定与性质，勾股定理及圆的性质的综合题目，根据已知条件结合图形找到对应的知识点，通过“倍长中线”构建“X字型”全等模型是解答此题的突破口，也是解答此题的关键. 17．（1）OA=;(2)12;(3) 75+25. 【分析】（1）连接OA,OB,OC根据等边三角形的性质求解（2）先做△ABC的外接圆⊙ O,连接OB，OC,OA,过点O做OM⊥BC于点M，过点O做ON⊥AD与点N，结合直角三角形性质，矩形性质，勾股定理求解即可（3）分别做△ABD、△CBD的外接圆⊙ 0、⊙ 0＇，根据圆的性质结合四边形面积计算公式即可得到答案. 【详解】 连接OA,OB,OC，BC=10，过O点作OM⊥AB于点M, OA= (2)如图，做△ABC的外接圆⊙ 0，连接OB，OC,OA,过点O做OM⊥BC于点M，过点O做ON⊥AD与点N，由∠BAC=45°，知∠BOC=90°，BM=（BD+CD）=5,易知△OBM是等腰直角三角形，故OA=OB= BM=5 ,易知四边形OMDN是矩形，故DN=OM=5,ON=DM=1,在Rt△AON中12， 有AN=  = =7,     ∴AD=AN+ND=7+5=12. (3) ∵∠ABC+∠ADC=240°，∴∠A+∠C=120°，∵∠C=3∠A，∴∠A=30°，∠C=90°.如图，分别做△ABD、△CBD的外接圆⊙ 0、⊙ 0＇，易知四边形ABCD面积的最大值为四边形A＇B＇C＇D＇的面积，其中A＇、C＇分别为其所在的优弧的中点，连接OB、OD，则∠BOD=2∠A=60°，易知OA＇=BD=10, 0＇C＇=BD=5,OO＇=0＇B=5.∴四边形A＇B＇C＇D＇为BD A＇C＇=10(10+5+5)=75+25.∴四边形ABCD面积的最大值为75+25. 【点睛】此题重点考查学生对三角形外接圆的应用能力，熟练掌握三角形外接圆的计算方法是解题的关键. 18．（1）2；（2）；（3）存在，平方米 【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等性质即可求得答案． （2）过点P作，可得四边形ABGP是矩形，作的外接圆，过O作于F，根据题意可得到，即和都是的直角三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半即可求得，，根据则根据三边的关系即可求得R的取值范围，即可求得答案． （3）过点B作于点G，根据正方形ABCD 的性质结合判定定理求证，，从而可得，，即可得，作的外接圆，过O作于F，连接OM、ON、OB，根据结论可得，，从而得到三边的关系，即可求得的取值范围，当取最小时即可求得的面积的最小值． 【详解】（1）解：点P是的平分线OC上一点，，且， 点P到边OB的距离为， 故答案为：． （2）如图2，过点P作于点G，则四边形ABGP是矩形， ∴， 作的外接圆，过O作于F，连接OB、OC、OP， ， ， ∴， 设的半径为R，则，， ∵， ∴，解得， ∴，即BC的最小值为． （3）存在．理由如下： 如图3，过点B作于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴米，， ∴，， ∵MB平分，，， ∴米， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， 作的外接圆，过O作于F，连接OM、ON、OB，则，，设，则，， ∵， ∴，解得（米）， ∴（米）， ∴MN的最小值为（米）， ∴（平方米）． 综上，存在满足条件的面积最小的，的面积的最小值为平方米． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定及性质、圆与四边形的综合应用，熟悉角平分线上的点到角两边的距离相等的性质、熟练掌握全等三角形的判定及性质和线段间的最值问题是解题的关键． 19．（1）；（2）；（3）在圆的外部，理由见解析；（4） ． 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及勾股定理即可求解； （2）若点O在边BC上，AC切⊙O于点C，连接OE，根据同角的三角函数求出OE，即可求解； （3）设⊙O交直线AD于点M，连接CM，AO，由切线的性质及圆周角定理得出∠B=∠ACM，根据等角的三角函数求出AM，即可得出结论； （4）当CE为⊙O的直径时，半径r最小，此时，Rt△ABC斜边上的高CE为⊙O的直径，根据三角形的面积可得CE，即可求出半径r的最小值，当点E与点B重合时，半径r最大，连接OB，过O作ON⊥BC于N，根据等角的三角函数求出OB，即可得出结论． 【详解】解：（1）连接BD交AC于H， ∵于， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2）若点O在边BC上，如图2， ∵∠ACB=90°， ∴AC切⊙O于点C， 连接OE， ∴∠OEB=90°， ∴AE=AC=3， ∴BE=AB-AE=5-3=2， ∵， ∴， 由于圆心在上，因此， ∴弧的长为； （3）设⊙O交直线AD于点M，连接CM，AO，如图3， ∵∠DAC=90°， ∴CM是⊙O的直径， ∵AB切⊙O于A点， ∴∠OAB=90°， ∵∠B+∠BAC=90°，∠OAC+∠BAC=90°， ∴∠B=∠OAC， ∵OA=OC， ∴∠ACM=∠OAC， ∴tan∠B==tan∠ACM=， ∴AM=＜AD， ∴点D在⊙O的外部； （4）， 当CE为⊙O的直径时，半径r最小，此时，Rt△ABC斜边上的高CE为⊙O的直径，如图4， 由（1）知，AC=3，BC=4，AB=5， ∴CE=， ∴圆O的半径为r=； 当点E与点B重合时，半径r最大，连接OB，过O作ON⊥BC于N，如图5， ∵∠OBA=90°，∠ONB=90°， ∴∠ABC+∠OBC=90°，∠OBC+∠BON=90°， ∴∠ABC=∠BON， 在Rt△OBN中，tan∠BON=tan∠ABC=， 又∵BC=4， ∴BN=BC=2， ∴ON=， ∴OB=，即r的最大值为， 综上，r的取值范围为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行四边形的性质以及勾股定理，切线的性质，等角的三角函数，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．（1）10 （2）四边形的面积的最大值为 （3）存在，四边形的面积的最大值为 【分析】（1）利用梯形的面积公式求解即可； （2）如图2中，设交于，过点作于，交于，取的中点，连接．由，推出的最大值为3，当的值最大时，点与重合，此时，是等腰直角三角形，，由此即可解决问题； （3）如图3中，延长交的延长线于，证明，，求出面积的最大值即可解决问题． 【详解】解：（1）在四边形中，，，，，与之间的距离为4， 四边形的面积， 故答案为：10． （2）如图2，设交于点，过点作于点，延长交于点，取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 当的值最大时，点与点重合． 此时，和是等腰直角三角形，， 的最大值为， 四边形的面积的最大值为． （3）存在，理由如下：如图3，延长，交于点E， ， ∴， ， ．， ． 设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积为， 四边形的面积为， ， ，， 点是在以点为圆心，且扇形圆心角所对的弧上， 当时，的面积最大，最大值为， ， ， 的最大值为， 四边形的面积的最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了梯形的面积，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21．(1)5 (2) (3) 【分析】（1）当点在上时，点和点重合，过点作于，直接利用勾股定理求出进而得出答案； （2）首先得出四边形是菱形，进而得出的长，进而利用锐角三角函数关系得出以及的长； （3），只能，利用，得出，进而求出即可． 【详解】（1）解：如图1，设的半径为， 当点在上时，点和点重合，过点作于， ， ，， ， 此时； （2）解：如图2，若，为平行四边形， ， 四边形是菱形， 联结、，则， ， 由（1）知，，则， ， ； （3）解：如图3：联结，过点作于点，设， ，， ，． ， ， ， ， ，即， 又， 当时，、、重合，则不存在． 即 只能， ， ， ， ，即， 解得：，， ． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，解题的关键是利用分类讨论得出是等腰三角形时只能进而求解． 22．(1)，； (2)，，，； (3)，且． 【分析】（1）根据题目中新定义，分别求出，，，，再判定这些点是否在上即可； （2）分类讨论，当点C在边下方时，当点C在边上方时，分别求解即可； （3）如图所示，分别求出m最小值与最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵的半径为2． ∴，在上， ∴线段是的点H对称弦； ∵，，， ∴，， ∵的半径为2． ∴，在上， ∴线段是的点H对称弦． （2）解：如图，当在x上方，点C在边下方时，线段是的点C对称弦，为弦，设与y轴交于点M，与y轴交于点G，连接， ∴点M是的中点． ∵等边的边长为1， ∴，． ∵的半径为2， ∴． ∴． ∴． 当点C在边上方时，可以得到． 当在x下方时，利用圆的轴对称性，同理可以得到，． （3）解：如图所示，m取得最小值与最大值，过点M作轴于S，交直线于点K， 则，，， 由勾股定理得， ∴， 设， ∴ 解得， 又因点N不在直线上，所以， ∴点M的横坐标m的取值范围为 且． 【点睛】本题考查新定义，等边三角形的性质，轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用，避免漏解． 23．(1) (2) (3)或 【分析】（1）连接，得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得的长； （2）连接，设线段交于点，过点作于，得出四边形是矩形，根据垂径定理以及矩形的性质得出，在中，勾股定理求得，中，勾股定理求得，即可求得点的坐标； （3）分类讨论，①当在点上方时，过点作于点，连接，根据90度角所对的弦是直径，得出是的直径，进而勾股定理求得，垂径定理求得，在中，得出，在中求得，继而根据即可求解；②当点在点下方时，过点作，同一法证明点重合，进而垂径定理即可求解． 【详解】（1）如图，连接，    ∵边恰好与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴中，,， ∴， ∴, 故答案为：； （2）如图，连接，设线段交于点，过点作于，    ∵边与相切于点， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴， ∴中，, ∴， （3）解：①如图，当在点上方时，过点作于点，连接，    ∵， ∴是的直径， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴, 在中，， ∵， ∴， 在中，， ， ∴； ②当点在点下方时，如图， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵， 在中，， 过点作， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即点重合， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）可证明，从而，进而得出，进而得出结果； （2）作，交的延长线于点，作于点，根据得出，，从而，依次求得，，，，进而求得，，，进而求得，进一步得出结果； （3）以为边在下方作等边三角形，可求得，从而点在等边三角形的外接圆上运动，连接，，，交于，则，，可证得，从而，进而求得，从而点在以为圆心，3为半径的圆上运动，故当与相切时，最大，从而得出最大，延长，交于点，根据得出设，则，从而得出，求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图1， 作，交的延长线于点，作于点， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图2， 以为边在下方作等边三角形， 由上知：， ， 点在等边三角形的外接圆上运动， 连接，，，交于，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，3为半径的圆上运动， 当与相切时，最大， ， 最大， 延长，交于点， ，， ， 设，则， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$