第3章对圆的进一步认识单元测试（A卷基础篇）2024-2025学年青岛版数学九年级上册

青岛版9上数学第3章 对圆的进一步认识单元测试（A卷基础篇） 第I卷（选择题） 一、单选题 1．某同学以一个边长为1的正六边形的三个顶点为圆心，边长为半径，向外画了三段圆弧，设计了如图所示的图案．则图案外围轮廓的周长为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 2．用反证法证明“a≥b”时应先假设（　　） A．a≤b B．a＞b C．a＜b D．a≠b 3．如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（　　） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 4．如图，中，，是内心，则等于（ A．120° B．130° C．150° D．160° 5．如图，已知，C为坐标轴上一点，且是直角三角形，则满足条件的C点有(    )个． A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（　　） ①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB A．1 B．2 C．3 D．4 7．一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度（如图）．则截面圆中弦的长为（    ） 、 A． B． C． D． 8．如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则的长为（    ）    A． B． C．4 D． 9．如图，C是以为直径的半圆O上一点，连接，，分别以，为直径向外作半圆，，的中点分别为D，E，连接，，若要求出的长，只需知道（    ）    A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 10．如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=2，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H．①△ABP∽△HCB；②AH的最小值为-；③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积；④在运动过程中，点H的运动路径的长为，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 11．如图，在⊙O中，弧AB=弧CD，∠AOB与∠COD的关系是 ． 12．如图，在⊙O中弦AB、CD相交于点E，∠A＝30°，∠AED＝75°，则∠B的度数为 ． 13．一个直角三角形的两条直角边长分别为、，则它的外接圆半径为 ；内切圆的半径为 ． 14．如图，点是正六边形内部一个动点，，则点到这个正六边形六条边的距离之和为 ．    15．生活中的车轮都是圆形的，但除了圆之外，其实还有一种几何图形可以做为车的轮子，即莱洛三角形．莱洛三角形又称“勒洛三角形”、“圆弧三角形”，它是一种特殊三角形．分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，且该圆弧是以另外两个顶点为端点的一段劣弧．由这样的三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形．若有一个正三角形其边长为2，则由它所形成的莱洛三角形的周长为 ． 16．如图，已知的直径与弦的夹角为，过C点的切线与的延长线交于点P，且，则的半径为 ．    三、解答题 17．如图，内接于，为的直径．，，求的长．    18．如图是一个半圆，已如，阴影部分的面积是，求图中三角形的高．（取3.14）    19．在中，，以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点分别交、于点，． (1)如图，连接，若，求的大小； (2)如图，若点为的中点，的半径为，求的长． 20．如图，在中，为直径，弦与交于点，连接，．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，过点作的切线与的延长线交于点，若，求的度数． 21．已知是的直径，弦与相交于点E，过点C作的切线与的延长线交于点P，． （1）如图①，若点D为的中点，求的大小； （2）如图②，若，求的大小． 22．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，且AC＝13，AB＝12，∠ABC＝90°，求⊙O的半径长． 23．如图，在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，∠CAB=45°，AC=2，∠ACB=60°，点B在x轴正半轴，点C在第一象限，动点D在边AB上运动，以CD为直径作⊙O与AC，AB分别交于E，F，连接EF． （1）当△CEF成为等边三角形时，AE：EC= ； （2）当EF=时，点D的坐标为 ． 24．如图，为的直径，，垂足为点，，垂足为点，． (1)求的长； (2)求的半径． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】图案外围轮廓的周长=三条弧长之和，利用函数公式计算即可； 【详解】正六边形的内角==120°， ∴扇形的圆心角=360°﹣120°=240°， ∴图案外围轮廓的周长=3×=4π， 故选C. 【点睛】考查正多边形与圆，弧长公式等知识，解题的关键是求出扇形的圆心角，记住弧长公式：l=． 2．C 【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可． 【详解】解：用反证法证明“a≥b”时，应先假设a＜b． 故选：C． 【点睛】本题结合长度的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 3．A 【分析】本题考查切线的性质，根据直线与圆的位置关系，求出圆心转动过的路程即可． 【详解】解：∵等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等， ∴圆在三角形的边上转动了3圈， ∵在每个顶点处，转动的角度是， ∴在三个顶点处转动，即在三个顶点共转1圈． 则这个圆共转了4圈． 故选A． 4．B 【分析】根据内心的性质得到BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，再利用角平分线的定义和三角形内角和定理计算可得． 【详解】解：∵I是内心， ∴BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI， ∵∠A=80°， ∴∠ABC+∠ACB=100°， ∴∠BIC=180°-（∠CBI+∠BCI） =180°-（∠ABC+∠ACB） =130°， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内心，解题的关键是掌握三角形的内心是三条角平分线的交点． 5．B 【分析】过点作的垂线，交轴于点，交轴于点；过点作的垂线，交轴于点，交轴于点；根据直径所对的圆周角为直角，以为直径作圆，根据和的坐标求出的长度，即为圆的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与轴相切，可得出圆与轴有个交点，与轴交于点．所以满足条件的点共有个． 【详解】解：分三种情况考虑： ①当为直角顶点时，过作，交轴于点，交轴于点，此时满足题意的点为，； ②当为直角顶点时，过作，交轴于点，交轴于点，此时满足题意的点为，； ③当为直角顶点时，以为直径作圆，由、，可得此圆与轴相切， 则此圆与轴有个交点，与轴有个交点，分别为． 综上，所有满足题意的有个． 故选：B． 【点睛】此题考查了圆周角定理，直角三角形以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．注意：若是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 6．A 【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD；根据线段中点的定义可得AD＝BD；根据垂径定理可作判断③；延长OD交⊙O于E，连接CE，根据垂径定理可作判断④． 【详解】过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'， 由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'， ∴AC＝CD'＝CD， 故①正确； ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∵AC＝CD'，故②正确； ∴， 由折叠得：， ∴； 故③正确； 延长OD交⊙O于E，连接CE， ∵OD⊥AB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∴CD不平分∠ACB， 故④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理． 7．C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求出的长，即可由垂径定理求得的长． 【详解】解：由题意得： ，， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∵， ∴， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查圆周角定理、三角形的内角和定理、解直角三角形，先根据90度的圆周角所对的弦是直径判断出是直径，再根据圆周角定理求得，，，进而利用锐角三角函数求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴是直径，则， ∵C为的中点， ∴，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 故选：D． 9．C 【分析】记交于，连接交于，连接、、，根据垂直平分线的判定，弧、弦之间的关系，证明垂直平分，垂直平分，推出和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，证明点C、D、E在同一直线上，证明是等腰直角三角形，推出，即可选择答案． 【详解】解：如图，记交于，连接交于，连接、、，    ∵C是以为直径的半圆O上一点， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，也在垂直平分线上， ∵，的中点分别为D，E， ∴，， ∴，， ∴点D在的垂直平分线上，点E在垂直平分线上， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点和点分别是和的中点，即点和点分别是以，为直径向外所作半圆的圆心， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴，即点C、D、E在同一直线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴若要求出的长，只需知道的长即可， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、弦之间的关系，垂直平分线的判定，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． 10．B 【分析】根据CH⊥BP，矩形ABCD中，可知，可证△ABP∽△HCB；根据当 在同一直线上时，最短，即可得出的最小值；根据扫过的面积，扫过的面积，即可得出扫过的面积不等于扫过的面积；根据点H的运动路线（轨迹）为，运用弧长公式即可得出结果． 【详解】①CH⊥BP，矩形ABCD中， △ABP∽△HCB，故①正确； ②连接， 当在同一直线上时，最短， 此时， 即的最小值为，故②正确； ③如图所示， 在运动过程中，扫过的面积， 扫过的面积， 扫过的面积不等于扫过的面积，故③错误； ④在运动过程中， ∵∠BHC=90°， ∴点H在以BC为直径，OB为半径的圆上， ∴点H的运动路线（轨迹）长为，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了轨迹、矩形的性质的运用及直径所对的圆周角为直角，掌握弧长计算公式以及扇形的面积公式是解题关键． 11．∠AOB=∠COD 【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系求解． 【详解】∵弧AB=弧CD，∴∠AOB=∠COD． 故答案为∠AOB=∠COD． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 12．45° 【分析】根据题意可得∠A=∠D=30°，然后根据三角形外角的性质可求解∠B． 【详解】解：∵∠A=30°， ∴∠A=∠D=30°， ∵∠AED=75°， ∴∠B=∠AED-∠D=45°； 故答案为45°． 【点睛】本题主要考查圆周角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 13． 5 2 【分析】先利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，作答即可． 【详解】根据勾股定理，得该直角三角形的斜边是10． 根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，则其外接圆的半径是5； 根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，则其内切圆的半径是2． 故答案为：5，2． 【点睛】本题考查了勾股定理、求解直角三角形的外接圆及内接圆的半径的知识，掌握直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，是解答本题的关键． 14． 【分析】根据正六边形的性质求出正六边形的“边心距”，再将问题转化为“边心距”的6倍即可．． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接、，过点O作，垂足为T，    ∵正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴， 过点P分别作正六边形的各条边的垂线，垂足分别为M、N、S、Q、G、H， 则点P到这个正六边形六条边的距离之和， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正六边形的性质是正确解答的关键． 15．2π 【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：∵△ABC是正三角形，边长为2， ∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°， ∴莱洛三角形的周长为， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了弧长的计算和等边三角形的性质，注意：如果扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，那么这个圆心角所对的弧长为． 16． 【分析】由切线的性质得到，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可得出，然后在中利用含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解答本题的关键． 17．3 【分析】证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，勾股定理的应用，熟记直径所对的圆周角是直角是解本题的关键． 18． 【分析】利用可得三角形的面积，在利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：圆的半径为：， ， ， ，解得：， 三角形的高为． 【点睛】本题考查了三角形的面积及扇形的面积，熟练掌握其公式是解题的关键． 19．(1) (2)6 【分析】 此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． （1）连接，由在中，，是切线，易得，即可求得，继而求得答案； （2）首先连接，，由（1）得：，由点F为的中点，易得是等边三角形，继而求得答案． 【详解】（1） 解：连接， 为半径的圆与相切于点， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； （2） 连接，， 由得：， ， ，点为的中点， ，， ， ， ， ， ． 20．(1)； (2)． 【分析】（1）连接，先求得，最后求得； （2）连接，由切线的性质得，由，，得，，最后求得的度数． 【详解】（1）解：如图①，连接，    ∵是的一个外角，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴； （2）解：如图②，连接．    ∵， ∴． ∵是切线， ∴． ∴． ∵，， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 21．（1）19°；（2）32° 【分析】（1）连接OC，根据切线的性质，得，求得，的度数，根据等腰三角形的性质求解即可； （2）连接，根据题意，求得，根据平行线的性质，证明，利用角的平分线求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接． ∵是的切线， ∴，即． ∵，∴． ∵点D为的中点，为直径， ∴． ∴． ∵，∴． ∴． （2）如图，连接， 由（1）知，． ∵，∴． ∴． ∵，∵． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握切线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 22．2 【分析】先利用勾股定理计算出BC=5，再根据切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，则可判断四边形BEOD为正方形，得到BD=BE=OD，设⊙O的半径为r，则BE=BD=r，AD=AB-BD=12-r，CE=BC-BE=5-r，然后利用切线长定理得到AF=AD=12-r，CF=CE=5-r，于是12-r+5-r=13，再解关于r的方程即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵AC=13，AB=12， ∵Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC分别切于点D、E， ∴OD⊥AB，OE⊥BC， ∵∠ABC=90°， ∴四边形BEOD为正方形， ∴BD=BE=OD， 设⊙O的半径为r，则BE=BD=r，AD=AB-BD=12-r，CE=BC-BE=5-r， ∵Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别切于点D、E、F， ∴AF=AD=12-r，CF=CE=5-r， ∴12-r+5-r=13， 解得r=2， 即⊙O的半径长为2． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线长定理． 23．1：；（，0） 【详解】试题分析：（1）连接ED可知，∠CED=90°，由∠CAB=45°，可得△AED是等腰直角三角形，又因为△CEF是等边三角形，所以∠CEF=60°，由圆周角定理可知∠ACD=30°，由锐角三角函数tan∠DCE=，所以； （2）过点O作OG⊥EF于点G，由垂径定理可求得OF=，即可以求出直径CD=，然后设AE=x，利用勾股定理可得：ED2+CE2=CD2，即x2+（2﹣x）2=，即可求出DE的长度，而AD=AE=，即可得D的坐标为（D的坐标为（，0）． 考点：1、垂径定理，2、勾股定理，3、圆周角定理 24．(1)4 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质、垂径定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，证明是解决问题2的关键． （1）只要证明，推出，再根据垂径定理可得； （2）只要证明，可得，由此即可解决问题； 【详解】（1）∵， ∴ 在中 ∴ ∴ ∵， ∴   ∵是的直径， ∴ ∴． （2）∵是的半径，， ∴， ∵， ∴．   ∵， ∴， ∴． 又∵       ∴ ∴     即的半径是． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$