第六章--平行四边形任务单合集 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

《平行四边形》（八）多边形的内角和外角和（2）我的思考 总结是： 学习目标 i. 掌握平行四边形的对称性； ii. 经历平行四边形的边和角性质的推导过程，进一步提高逻辑推理能力； iii. 利用平行四边形的性质解决问题，提高学生解决问题的能力. 课堂探究 一、平行四边形边的相关概念 你能给这样的图形下个定义吗？ 两组 叫做平行四边形.用符号“▱”表示. 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线. 如图,四边形ABCD是平行四边形,记作▱ABCD,读作“平行四边形ABCD”,线段BD就是▱ABCD的一条对角线 例1 如图，DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来. 二、平行四边形的性质 将平行四边形绕着两条对角线的交点旋转180°，你有什么发现？ 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗? 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与 ∠D之间的数量关系吗? 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的 ；平行四边形的 相等. 已知：四边形ABCD是平行四边形。求证：AB=CD，BC=DA ，∠ B = ∠ D ∠ BAD= ∠ DCB 平行四边形性质： 边：平行四边形对边平行相等 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB ∥ CD，BC ∥ AD.AB=CD，AD=BC 角：平行四边形对角相等、邻角互补 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形；∴ ∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B(∠D)=1800 对称性：平行四边形是中心对称图形 例2 已知:如图在平行四边形ABCD中， E，F 是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE = DF． 例3 如图,在▱ABCD中,连接BD,E是DA延长线上的点,F是BC延长线上的点,且AE=CF,连接EF交BD于点O.求证:OB=OD. 例4 已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF. 《平行四边形》（一）平行四边形的性质（1）我的思考 总结是： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 i. 经历平行四边形对角线性质的推导过程，进一步提高逻辑推理能力； ii. 利用平行四边形对角线性质解决问题，提高学生解决问题的能力. 课堂探究 一、平行四边形的对角线的性质 我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢? 如图，在平行四边形ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O. 猜一猜：OA与OC,OB与OD有什么关系? 已知：如上图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 对角线：平行四边形的对角线互相平分 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC, OB=OD 补充性质： 1. △ABO≌ △CDO，△AOD ≌ △COB， △ ABD ≌ △CDB， △ ABC ≌ △CDA ； 2. △AOB、 △AOD、 △DOC、 △COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一. 例1 已知：如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：OE=OF. 请判断下列图中，OE=OF还成立么？为什么？ 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的对应线段总相等，且这条直线二等分平行四边形的面积． 归纳总结： 研究对象 研究结果 几何表示 对边 邻边 对角 邻角 对角线 例2 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：BE＝DF. 例3 已知▱ABCD与▱EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，求证：AE＝CF. 例4 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EO⊥AC.(1)若△ABE的周长为10 cm，求平行四边形ABCD的周长；(2)若∠DAB＝108°，AE平分∠BAC，求∠ACB的度数。 课后练习 1. 在平行四边形ABCD中，∠A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D的值可以是（       ） A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．2∶2∶1∶1 D．1∶2∶1∶2 2. 平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（       ） A．4和6 B．6和8 C．8和12 D．20和30 3. 有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质：②平行四边形是中心对称图形：③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是（       ）． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 4. 如图，在中，已知，，，则的长为（       ） 第4题图 第5题图 第6题图 A． B． C． D． 5. 如图，在平行四边形ABCD中，平分，，，则平行四边形ABCD的周长是（　　） A．16 B．14 C．26 D．24 6. 如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线之和是（       ） A．18 B．28 C．36 D．46 7. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（     ） 第7题图 第8题图 第12题图 A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3） 8. 如图，已知的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（       ） A．8 B．6 C．4 D．3 9. 已知平行四边形ABCD的周长是30，若AB＝10，则BC＝________． 10. 过对角线交点O作直线m，分别交直线于点E，交直线于点F，若，则的长是_________． 11. 在中，，在上取，则的度数是_______． 12. 如图，在中，交于O，若，则的长为_________． 13. 如图，小斌用一根50m长的绳子围成一个平行四边形场地，其中一边长16m，求其他三边的长度． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．求证：BE//DF． 15. 如图，在中，对角线与相交于点O，．求的长度及的面积． 《平行四边形》（二）平行四边形的性质（2）我的思考 总结是： 学习目标 i. 经历平行四边形的判别定理的探索过程，发展学生的合情推理的能力； ii. 探索并证明平行四边形的判别定理，发展学生的演绎推理的能力. 课堂探究 一、平行四边形的判定定理1 怎样判定一个四边形是平行四边形？ 方法1：用平行四边形的定义判定 定义： ； 平行四边形的性质的逆命题是： 平行四边形对边平行；逆命题： 平行四边形对边相等；逆命题： 平行四边形对角相等；逆命题： 平行四边形对角线互相平分；逆命题： 思考：这些逆命题可否成为平行四边形的判定方法？ 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 几何语言：∵AB＝CD，AD＝BC（已知）；∴四边形ABCD是平行四边形 二、平行四边形的判定定理2 已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 几何语言：∵AB∥CD, AB=CD；∴四边形ABCD是平行四边形 思考：一组对边平行而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 例1 已知：如图，在□ABCD中，点E，F分别在AB和CD上，BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形． 例2 如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,BE=AF.求证:四边形ADEF是平行四边形. 例3 如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：(1)AE=CF；(2)四边形AECF是平行四边形． 例4 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与EB相交于点G，CE与DF相交于点H，试说明四边形EGFH为平行四边形． 《平行四边形》（三）平行四边形的判定（1）我的思考 总结是： 学习目标 i. 探索并掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 这一判定定理，能够证明并能运用； ii. 根据不同的条件，选择合适的平行四边形的判定方法，发展演绎推理能力。 课堂探究 一、平行四边形的判定定理3 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，并且OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形． 平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 几何语言：∵AO=CO，BO=DO；∴四边形ABCD是平行四边形. 例1 如图，E，F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形． 二、平行四边形的判定4： 已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D， 求证：四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 几何语言：∵ ∠A=∠C,∠B=∠D；∴四边形ABCD是平行四边形. 例2 如下图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F．连接EB，EC．求证:四边形AECF是平行四边形． 例3 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形． 《平行四边形》（四）平行四边形的判定（2）我的思考 总结是： 学习目标 i. 探索并证明平行四边形其他相关的结论，发展演绎能力； ii. 利用平行四边形的判定研究“夹在平行线之间的平行线段相等”，并理解平行线之间的距离； iii. 能够综合运用平行四边形的判定定理和性质进行计算和证明． 课堂探究 一、平行线之间的距离 如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干个点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度. 猜想：平行线间距离处处相等？ 已知：如图,直线a∥b，A、B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D.求证：AC＝BD. 归纳总结：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离都相等,这个距离称为平行线之间的距离. (简记为：两条平行线间的距离处处相等）. 几何语言：如图，A，C是l1上任意两点，∵l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2，∴AB＝CD. 思考：若垂线段改为夹在两条平行线间的平行线段呢？它们是否相等呢？说明理由. 知识拓展:(1)夹在两条平行线间的任何平行线段都相等；(2)等(或同)底等（或同）高的三角形的面积相等． 二、平行四边形性质与判定的综合运用 例1 已知：如图，在□ABCD中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM=BN，DF=BE．求证：四边形MENF是平行四边形． 例2 如图，在ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE． 例3 已知：如图，在ABCD中，E，F分别是边CD和AB上的点，AE//CF，BE交CF于点H，DF交AE于点G. 求证：EG=FH. 例4 如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG//BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BF=BE. 例5 如图，将平行四边形ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处.求证：四边形ABFE是平行四边形. 例6 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积. 课后练习 1. 四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（       ） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 2. 在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（            ） A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC C．AB ∥CD，AB＝CD D．AB∥CD，AD＝BC 3. 下列命题错误的是（       ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 4. 能确定平行四边形的大小和形状的条件是（       ） A．已知平行四边形的两邻边 B．已知平行四边形的相邻两角 C．已知平行四边形的两邻边和一条对角线 D．已知平行四边形的两条对角线 5. 如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（       ） 第5题图 第7题图 第8题图 A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 6. 四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（　　） A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形 B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形 C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形 D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形 7. 如图，ABCD，ADBE，点B、C、E在一直线上，连结AC、AE，则图中与△AED面积相等的三角形有（　　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8. 如图，在四边形中，，使四边形成为平行四边形，应增加的条件是（       ） A． B． C． D． 9. 平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别______的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别______的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别______的四边形是平行四边形；（4）对角线______的四边形是平行四边形；（5）一组对边______的四边形是平行四边形 10. 已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为___________． 11. 已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是__________． 第11题图 第13题图 12. 在中，，若E为的中点，则_______． 13. 已知：如图A、C是▱DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 14. 已知：如图，直线与的对角线平行，延长，，，分别交于点E，F，G，H．求证：． 15. 已知：如图，在中，E，F分别是和上的点，且．求证：过的中点O． 《平行四边形》（五）平行四边形的判定（3）我的思考 总结是： 学习目标 i. 理解三角形中位线的概念； ii. 经历探索三角形中位线定理的过程，会证明三角形的中位线定理； iii. 能应用三角形中位线定理解决简单问题,体会转化思想，培养几何直观、推理能力. 课堂探究 一、三角形的中位线及其性质 取△ABC三边的中点D、E、F，连接DE、EF、FD，△ABC被分成了四个小三角形.这四个小三角形有什么关系？ 把连接△ABC两边AB、AC中点的线段DE，叫做△ABC的中位线. 连接三角形两边中点的线段，叫做的中位线. 符号语言：∵ D、E分别为AB、AC的中点∴ DE为△ABC的中位线 三角形中位线和中线的联系和区别 相同之处：都是和边的中点有关的线段； 不同之处：中位线是两个中点的连线；中线是一个顶点和对边中点的连线. 已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC，DE＝BC. 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 符号语言：∵ DE是△ABC的中位线∴ DE∥BC，DE=BC 二、中点四边形 已知：如图，在四边形ABCD中， E，F，G，H分别为各边的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形. 实际上，顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关. 原四边形两条对角线 连接四边中点所得四边形 互相垂直 相等 互相垂直且相等 既不互相垂直也不相等 例1 如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、 AC的中点： （1）若∠ADF=50°，则∠B= °； （2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△ DEF的周长为 . 例2 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长． 课后练习 1. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形AEDF的周长是（       ） 第1题图 第2题图 第3题图 A．18 B．16 C．14 D．12 2. 如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（       ） A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定 3. 如图，中，点D、E、F分别为边的中点，则下列关于线段和之间关系的说法中正确的是（       ） A． B． C．和互相平分 D．以上答案都不对 4. 如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（       ） 第4题图 第8题图 第9题图 A． B． C． D． 5. 中，点D、E分别为边上的一点．给出命题：①如果D为的中点，且，那么E也是的中点；②如果，那么．其中（       ）． A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 6. 中，点D、E、F分别为边的中点，作．若的面积是12，则的面积是（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 7. 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的（       ） A．中线 B．中垂线 C．中位线 D．中间线 8. 厨房角柜的台面是三角形（如图），把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（       ） A． B． C． D． 9. 如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2 cm，则BC的长度是_______ cm． 第10题图 第11题图 第12题图 10. 如图，，________． 11. △ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，AB=5，AC=7，则ED=_______． 12. 如图，中，平分于D，，F为中点，连结，给出下列结论：①，②，③，④．其中正确的是____________（填序号） 13. 如图，．利用平移或旋转的方法研究图中的线段之间的位置关系和数量关系． 14. 的三边长分别为a，b，c，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，再以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形．求这个小三角形的周长． 15. 如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点．四边形是平行四边形吗？请证明你的结论． 《平行四边形》（六）三角形的中位线我的思考 总结是： 学习目标 i. 经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展合情推理能力； ii. 掌握多边形内角和公式，进一步发展演绎推理能力。 课堂探究 一、多边形的内角和 五边形有五个内角，分别为∠A，∠B，∠C，∠D，∠E．平面几何中，含有三边及以上的图形叫做多边形，有几条边就含有几个内角． 多边形的内角有什么特征呢？ 多边形 边数 一个顶点出发的对角线条数 分成三角形的个数 计算规律 三边形 四边形 五边形 六边形 n边形 例1 一个多边形的内角和是1080°，它是几边形？ 例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由. 二、认识正多边形 正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？ 正三角形的内角为 =60°. 正四边形(正方形)的内角为 =90°. 正五边形的内角为 =108°. 正六边形的内角为 =120°. 正八边形的内角为 正n边形的内角是 . 例3 在五边形ABCDE中，∠A +∠B =240°,∠C =∠D=∠E=2∠B.求∠B的度数. 例4 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F. 例5 一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2 570°，则这个内角是多少度? 《平行四边形》（七）多边形的内角和外角和（1）我的思考 总结是： 学习目标 i. 经历探索多边形外角和公式的过程，进一步发展合情推理能力； ii. 掌握多边形外角和公式，进一步发展演绎推理能力。 课堂探究 一、多边形的外角和 对角线：在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 外角：多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。 猜测一下，n边形的外角和是多少度吗？ 证明：n边形的外角和为360° 多边形外角和定理： 多边形的外角和都等于360° 例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 知识归纳：1.多边形的外角和为360°.2.多边形的内(外)角和与边数间的关系： (1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加． (2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关，其作用是：①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数． 例2 一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数． 例3 已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数． 例4 有一个正多边形，它的一个外角等于相邻内角的0.2倍，这个多边形是几边形？ 知识归纳： 1. 多边形的内角和等于(n－2)·180°，多边形的外角和等于360°； 2. 多边形的边数与内角和、外角和的关系： 1) n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°； 2) 多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关. 3. 正n边形：正n边形的内角的度数为，外角的度数为 。 课后练习 1. 平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠BPD的度数为（　　） A．110° B．125° C．130° D．155° 2. 一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是（     ） A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形 3. 如果一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，那么这个多边形是（       ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是（       ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 5. 若一个多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6. 下列说法中，正确说法有 ①由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形； ②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角； ③各条边都相等的多边形是正多边形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7. 小明一笔画成了如图所示的图形，则的度数为（       ） A．360° B．540° C．600° D．720° 8. 在矩形ABCD中，一条直线将矩形任意分为两部分，设这两部分图形的内角和分别为x、y，则x＋y的和是（       ） A．360°、540°、720° B．360°、540° C．540°、720° D．360°、720° 9. 若正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是___________. 10. 一个多边形的每个外角的度数为60°，则这个多边形的内角和是 ____________度； 11. 如图，的度数为_______． 12. 如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点可以连___________条对角线． 13. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是多少？ 14. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形．这个多边形是几边形？它的内角和是多少？ 15. 如图是一个凹多边形，，，，；求的值．    $$