精品解析：四川省达州市渠县李馥中学2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

四川省达州市渠县李馥中学2023-2024学年九年级上学期 期末模拟考试数学测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别平行且相等 B. 两组对角分别相等 C. 相邻两角互补 D. 对角线相等 2. 走入考场之前老师送你一句话“Wish you success”．在这句话中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是(　　) A. B. C. D. 3. 下列四个选项中，是如图所示的几何体的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列方程中，不是一元二次方程的是(　　) A. y2＋2y＋1＝0 B. x2＝1－3x C. a2－a＋＝0 D. x2＋x－3＝x2 5. 如图，在△ABC中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，DEAB，且CE：EB＝2：3，则DE：AB等于（　　） A. 2：3 B. 2：5 C. 3：5 D. 4：5 6. 在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若垂直平分，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是菱形 7. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图4，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（　　） A. :1 B. :1 C. 5:3 D. 不确定 9. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的大小为（　　） A. 30° B. 40° C. 45° D. 60° 10. 如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为【 】 A. 3 B. 4 C. D. 5 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼．如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则可估计鱼塘中约有鱼________条． 12. 如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体,它的主视图的面积为_____．  13. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=________． 14. 如图，如图，已知双曲线与直线交于、两点，轴于点，若，则__． 15. 如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是________． 16. 如图所示,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O,点E，F，G,H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6,则四边形EFGH的面积为____． 三、解答题（共66分） 17. 解下列方程： （1）x2－6x－6=0；（2）(x＋2)(x＋3)=1. 18. 设、是关于的方程的两个实数根．试问：是否存在实数，使得成立，请说明理由． 19. 相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘转出了红色，转盘转出了蓝色，或者转盘转出了蓝色，转盘转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；在其他情况下小明获胜； ． （1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； （2）若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由． 20. 已知如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻在太阳光下的投影． （1）请你在图中画出此时在阳光下的投影． （2）在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，计算的长． 21. 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 22. 如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且． （1）求证：，并求的度数； （2）若，试求的值． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图形与反比例函数（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH＝3，tan∠AOH，点B的坐标为（m，﹣2）． （1）求△AHO的周长； （2）求该反比例函数和一次函数的解析式． 24. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F． （1）如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF． （2）如图②，若BD＝CE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明． （3）如图③，在(2)的条件下，若点E在CA的延长线上，那么（2）中结论还成立吗？试证明． 25. 如图1，四边形ABCD和AEFG是两个互相重合的矩形，如图2将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转α度（0≤α≤90°），点G恰好落在矩形ABCD的对角线上，AB与FG相交于点M，连接BE交FG于点N． （1）当AB=AD时，请直接写出∠ABE的度数； （2）当∠ADB=60°时，求∠ABE的度数； （3）如图3，当AB=2AD=2时，①求点A到直线BE的距离； ②直接写出△BMN的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县李馥中学2023-2024学年九年级上学期 期末模拟考试数学测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别平行且相等 B. 两组对角分别相等 C. 相邻两角互补 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同,可得到答案. 【详解】矩形的对角线相等且平分, 菱形的对角线垂直且平分,所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等, 故选: D. 【点睛】本题主要考查矩形和菱形对角线的性质. 2. 走入考场之前老师送你一句话“Wish you success”．在这句话中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母， 其中有字母“s”4个； 故其概率为． 故选C 【点睛】概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 3. 下列四个选项中，是如图所示的几何体的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可，熟练掌握三视图的确定方法是解题的关键． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选：． 4. 下列方程中，不是一元二次方程的是(　　) A. y2＋2y＋1＝0 B. x2＝1－3x C. a2－a＋＝0 D. x2＋x－3＝x2 【答案】D 【解析】 【详解】由一元二次方程的定义：“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程”可知，选项A、B、C中的方程都是一元二次方程； 选项D中的方程：化简后为：，所以选项D中的方程是一元一次方程. 故选D. 5. 如图，在△ABC中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，DEAB，且CE：EB＝2：3，则DE：AB等于（　　） A. 2：3 B. 2：5 C. 3：5 D. 4：5 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质和比例性质即可得出答案． 【详解】∵DEAB， ∴△CDE∽△CAB， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故选B． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和比例性质，比例的性质是本题的关键． 6. 在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若垂直平分，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定，依次判断，即可求解， 本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误； 若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；选项B错误； 若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误； 若平分，则四边形是菱形；选项D正确； 故选：D． 7. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 8. 如图4，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（　　） A. :1 B. :1 C. 5:3 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】连接OA、OD，由已知可以推出OB：OA=OE：OD，推出△ODA∽△OEB，根据锐角三角函数即可推出AD：BE的值． 【详解】 解：连接OA、OD， ∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点， ∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°， ∴OD：OE=OA：OB=：1， ∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA 即∠DOA=∠EOB， ∴△DOA∽△EOB， ∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1． 故选A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，本题的关键在于找到需要证相似的三角形，找到对应边的比即可． 9. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的大小为（　　） A. 30° B. 40° C. 45° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】连接BD，首先根据∠A=60°，AB=AD，得到△ABD是等边三角形，然后根据等边三角形三线合一的性质得到DP⊥AB，然后根据平行线的性质得到∠CDP=∠APD=90°，最后根据折叠的性质求解即可． 【详解】如图，连接BD， ∵菱形ABCD中，∠A=60°，AB=AD， ∴△ABD是等边三角形，∠ADC=120°， ∵点P是AB的中点， ∴DP⊥AB， ∵CDAB， ∴∠CDP=∠APD=90°， ∴由折叠的性质可得：∠CDE=∠CDP=45°． 故选：C． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质以及折叠的性质等知识，解题的关键是在含有60°内角的菱形中，连接较短的对角线，把菱形分成的两个三角形是等边三角形． 10. 如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为【 】 A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设P的坐标是 ，推出A的坐标和B的坐标，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】∵点P在上， ∴设P的坐标是． ∵PA⊥x轴， ∴A的横坐标是p． ∵A在上， ∴A的坐标是． ∵PB⊥y轴， ∴B的纵坐标是． ∵B在上， ∴，解得：x=﹣2p． ∴B的坐标是（﹣2p，）． ∴． ∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴， ∴PA⊥PB． ∴△PAB的面积是：． 故选C． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼．如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则可估计鱼塘中约有鱼________条． 【答案】1200 【解析】 【详解】设鱼塘中约有条鱼，根据题意得： 解得：， 经检验，x=1200是原方程的根， 即鱼塘中大约有1200条鱼. 12. 如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体,它的主视图的面积为_____．  【答案】 【解析】 【分析】先画出此几何体的主视图，再求出面积． 【详解】解：此几何体的主视图是： ∴主视图的面积=5×12=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于常见题型，正确画出其主视图是解题的关键． 13. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=________． 【答案】. 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质得出BO=3，CO=4，AC⊥BD，进而利用勾股定理以及直角三角形面积求法得出答案． 【详解】∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4， 在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4， ∴BC=， ∵OE⊥BC， ∴OE•BC=OB•OC， ∴OE=． 14. 如图，如图，已知双曲线与直线交于、两点，轴于点，若，则__． 【答案】4 【解析】 【分析】作轴，设的坐标是，得到的坐标是，则，，，，结合，代入即可求解， 本题考查了，反比例函数根据图形面积求比例系数，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的性质． 【详解】解：如解图，过点作轴于， 设的坐标是，根据双曲线的两个分支关于原点对称，的坐标是，则，，，， ∵， ∴，即，解得：， 故答案为：4． 15. 如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且能表示出长和宽，根据面积可列方程． 设宽为，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程． 【详解】解：设宽为，根据题意，得 ． 故答案为：． 16. 如图所示,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O,点E，F，G,H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6,则四边形EFGH的面积为____． 【答案】12 【解析】 【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：点、分别为四边形的边、的中点， ，且． 同理求得，且， 又， ，且． 四边形是矩形． 四边形的面积，即四边形的面积是12． 故答案是：12． 【点睛】本题考查的是中点四边形，解题的关键是利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 三、解答题（共66分） 17. 解下列方程： （1）x2－6x－6=0；（2）(x＋2)(x＋3)=1. 【答案】（1）x1=3＋，x2=3－；（2）x1=，x2= 【解析】 【分析】（1）用“配方法”解此方程即可； （2）用“公式法”解此方程即可． 【详解】解：（1）x2－6x－6＝0， 配方得：x2－6x＋9＝ 15， ∴ (x－3)2＝ 15， ∴ x－3＝ ± ， ∴x1＝3＋，x2＝3－； （2）原方程可化为：， ∴△=， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选用是解答的关键． 18. 设、是关于的方程的两个实数根．试问：是否存在实数，使得成立，请说明理由． 【答案】不存在实数，使得成立． 【解析】 【分析】由于x1、x2是关于x的方程x2-4x+k+1=0的两个实数根，利用判别式可以确定k的一个取值范围，再利用根与系数的关系和已知条件也可以确定k的一个取值范围，然后即可解决题目问题． 【详解】∵方程有实数根， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ， 若，即， ∴． 而， 因此，不存在实数，使得成立． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式求出k的一个取值范围，然后利用已知条件和根与系数的关系得到k的一个取值范围，比较即可确定k是否存在． 19. 相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘转出了红色，转盘转出了蓝色，或者转盘转出了蓝色，转盘转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；在其他情况下小明获胜； ． （1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； （2）若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由． 【答案】（1） 解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下： 红 （红，红） （蓝，红） （黄，红） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （黄，蓝） 红 （红，红） （蓝，红） （黄，红） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （黄，黄） 红 蓝 黄 （2） 解：此游戏的规则对小明、小芳不公平，理由： 根据上述表格可得，共有种等可能结果，其中（红，蓝）或（蓝，红）的结果有种结果， ∴配成紫色的概率为，则不能配成紫色的概率为， ∵，即不能配成紫色的可能性大一些， ∴此游戏对小明、小芳不公平． 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，理解“配成紫色”的转法，掌握列表法或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据随机事件的概率计算公式进行求解是解题的关键． （1）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来即可； （2）根据（1）中的计算结果，再由概率公式计算配成紫色的概率和不能配成紫色的概率，进行判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻在太阳光下的投影． （1）请你在图中画出此时在阳光下的投影． （2）在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，计算的长． 【答案】（1） 在阳光下的投影是如图所示； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据平行投影的性质可先连接，再过点作交地面与点，即为所求； （2）根据平行的性质可知，利用相似三角形对应边成比例即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为， ， ，，， ， ， ， 答：的长为． 【点睛】本题通过投影的知识结合图形相似的性质巧妙地求出点D离地面的距离，是平行投影性质在实际生活中的应用． 21. 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 【答案】该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游. 【解析】 【分析】首先根据共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x﹣25）人，每人降低20元，共降低了20（x﹣25）元．实际每人收了[1000﹣20（x﹣25）]元，列出方程求解． 【详解】设该单位这次共有名员工去天水湾风景区旅游， 因为，所以员工人数一定超过25人， 可得方程， 整理，得， 解得：， 当时，，故舍去， 当时，，符合题意 ， 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法及应用，关键是表示出参加旅游每人所付费用是解决问题的关键． 22. 如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且． （1）求证：，并求的度数； （2）若，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依据等边三角形的性质得到，，然后由，依据全等三角形的性质可得到，最后，再依据三角形的外角的性质求解即可； （2）先证明，依据相似三角形的性质得到，从而可得到问题的答案， 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴. 又∵， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图形与反比例函数（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH＝3，tan∠AOH，点B的坐标为（m，﹣2）． （1）求△AHO的周长； （2）求该反比例函数和一次函数的解析式． 【答案】（1）；（2）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为： 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的性质计算，计算得，根据勾股定理的性质，计算得，即可完成求解； （2）结合（1）的结论，根据直角坐标系的性质，得，通过求解一元一次方程，即可得反比例函数解析式，再通过列分式方程并求解，得及点坐标，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】（1）∵OH＝3，tan∠AOH，AH⊥y轴 ∴ ∴ ∴ ∴△AHO的周长； （2）∵OH＝3，，点A在第二象限 ∴ ∵反比例函数（k≠0）的图象过A点 ∴ ∴ ∴反比例函数解析式为：； ∵反比例函数的图象过B点，点B的坐标为（m，﹣2） ∴ ∴ 经检验，是的解； ∴ ∵一次函数y＝ax+b（a≠0）的图形过A、B两点 ∴ ∴ ∴一次函数解析式为：． 【点睛】本题考查了三角函数、勾股定理、一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数、勾股定理、一次函数、反比例函数的性质，从而完成求解． 24. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F． （1）如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF． （2）如图②，若BD＝CE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明． （3）如图③，在(2)的条件下，若点E在CA的延长线上，那么（2）中结论还成立吗？试证明． 【答案】（1） 证明：在题图①中作EGAB交BC于点G， 则∠ABC＝∠EGC，∠D＝∠FEG， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠EGC＝∠C， ∴EG＝EC， ∵BD＝CE，∴BD＝EG， ∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠GFE， ∴△BFD≌△GFE， ∴DF＝EF； （2）DF＝EF； （3） 成立． 在题图③中作EGAB交CB的延长线于点G， 则仍有EG＝EC，△BFD∽△GFE， ∴， ∵BD＝CE＝EG， ∴DF＝EF， 【解析】 【分析】（1）在题图①中作EGAB交BC于点G，利用平行线的性质和等腰三角形的性质可证得：EG=EC；再证△BFD≌△GFE即可； （2）在题图②中作EGAB交BC于点G，则∠D＝∠FEG，同（1）可得EG＝EC； 再证△BFD∽△GFE，利用相似三角形的性质即可证得：DF＝EF； （3）在题图③中作EGAB交CB的延长线于点G，同（2）证：EG＝EC，△BFD∽△GFE，再利用相似三角形的性质可得：DF＝EF，即（2）中的结论仍然成立． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：DF＝EF， 在题图②中作EGAB交BC于点G，则∠D＝∠FEG， 由（1）得EG＝EC， ∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠EFG， ∴△BFD∽△GFE， ∴， ∵BD＝CE＝EG， ∴DF＝EF； 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判断和性质，在第（1）问中通过作平行线的方法，把BD和CE集中到△CEG中是解决这问的关键；弄清第（1）小问的解题思路后，参照第（1）问的思路去思考，就可得到后两问的解题思路． 25. 如图1，四边形ABCD和AEFG是两个互相重合的矩形，如图2将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转α度（0≤α≤90°），点G恰好落在矩形ABCD的对角线上，AB与FG相交于点M，连接BE交FG于点N． （1）当AB=AD时，请直接写出∠ABE的度数； （2）当∠ADB=60°时，求∠ABE的度数； （3）如图3，当AB=2AD=2时，①求点A到直线BE的距离； ②直接写出△BMN的周长． 【答案】（1）∠ABE=45°；（2）∠ABE=60°；（3）点A到直线BE的距离为；△BMN的周长为=+． 【解析】 【分析】(1)当AB=AD时,判断出点G和点B重合,即可得出结论; (2) 先判断出△ADG是等边三角形, 得出∠DAG=, 再判断出△ABE是等边三角形, 即可得出结论; (3)①先确定出BD=, sin∠ADB== =COS∠ABD, 进而得出AQ=, 再判断出ΔADQ∽ΔABH, 即可得出结论; ②先求出BH=, 即: BE=2BH=再判断出∠FEN=∠ABD, 即可求出∠BNM, 最后由ΔBMN∽ΔBAE, 求出M N=BM=, 即可得出结论. 【详解】解：（1）如图1， 当AB=AD时，矩形ABCD和矩形AEFG都是正方形， ∴旋转使点G在正方形对角线上时，点G和点B重合， 在△ABE中，∠BAE=90°，AE=AB， ∴∠ABE=45°； （2）在Rt△ABD中，∠ADB=60°， 由旋转知，AD=AG， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴∠BAG=90°﹣60°=30°， ∴∠BAE=90°﹣30°=60°， ∵AB=AE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠ABE=60°； （3）①如图3， 过点A作AH⊥BE于H， ∴∠BAH=∠BAE， ∴AH就是点A到直线BE的距离， 在Rt△ABD中，AB=2AD=2， ∴AD=1，根据勾股定理得，BD=，sin∠ADB====cos∠ABD， 过点A作AQ⊥BD于Q， ∴∠DAQ=∠DAG， 在Rt△ADQ中，tan∠ADB==， ∴AQ=AD=， 由旋转知，∠DAG=∠BAE， ∴∠DAQ=∠BAH， ∵∠AQD=∠AHB， ∴△ADQ∽△ABH， ∴=， ∴AH=， 即：点A到直线BE的距离为； ②由①知，AH=， 在Rt△ABH中，根据勾股定理得，BH==， ∴BE=2BH=， 由①知，∠ABE=∠ADB， ∴∠NBG=90°， ∵∠NFE=90°， ∴∠FEN=∠BGN， ∵∠BGN+∠QAG=90°， ∴∠FEN=∠GAQ=∠DAQ=∠ABD， 在Rt△EFN中，cos∠FEN==cos∠ABD=， ∴=， ∴EN=， ∴BN=BE﹣NE=， ∵MN∥AE， ∴△BMN∽△BAE， ∴， ∴=， ∴MN=BM=， ∴△BMN的周长为MN+BM+BN=． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，三角函数及相似三角形的证明与性质，综合性较大，需综合运用所学知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $