专题1.3 集合的基本运算9种常见考法归类（96题）-2024-2025学年《考点通关》高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

2024-2025学年《考点通关》高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题1.3 集合的基本运算9种常见考法归类（96题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 并集的运算 考点二 交集的运算 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 （一）根据交集的结果求集合或参数 （二）根据并集的结果求集合或参数 考点四 补集的运算 考点五 集合的交、并、补集的综合运算 考点六 根据补集或混合运算结果求集合或参数 （一）根据补集的运算结果求集合或参数 （二）根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 考点七 容斥原理 考点八 韦恩图的应用 考点九 集合的基本运算新定义问题 知识点1 并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 并集的性质： 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 高频性质：若. 注：对并集概念的理解 (1) 仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2) 对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 交集的性质： 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算满足分配律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 高频性质：若. 注：对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 考点一 并集的运算 解题策略：1、集合并集的运算 (1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成； (2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但xB”；“x∈B，但xA”；“x∈A，且x∈B”．因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．可用图表示． 2、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 注：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个．　　 1．（2023春·浙江宁波·高二统考期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2.（2024·湖南·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4.（2023·全国·高三专题练习）若集合，则（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高三下·四川德阳·期末）已知集合，集合，则的子集个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 考点二 交集的运算 解题策略：1、集合交集的运算 (1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成； (2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”； (3)∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅. 2、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．　 6．（2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·高一假期作业）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·北京·统考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023春·江西宜春·高一上高中学校考期中）若集合，或，则集合等于（    ） A．或 B． C． D． 10.（23-24高三下·天津·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 11.（2023·河北承德·统考模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合则=________． 13．（2023秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）若集合，，则__________. 14.（2024·辽宁·二模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知集合，，则的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 16.（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 17.（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ． 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 解题策略：1.求集合交集、并集中参数的思路 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解、或解集为怎样的范围．　　 3解方程组或解不等式组来确定参数的值或范围.解题时，需注意两点： ①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件； ②对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性. 2.利用集合的交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等条件，解答时常借助于交、并集的定义及集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B，A∩B＝A∪B⇔A＝B.等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．　 （一）根据交集的结果求集合或参数 186．（2023春·北京·高二北京二十中校考期中）已知集合，集合，若，则可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（2023春·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考阶段练习）已知集合，，若，则实数a取值集合为（    ） A． B． C． D． 20.（2024·辽宁·二模）已知集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 21.（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22.（23-24高三上·上海·阶段练习），或，且，则的取值范围是 . 23.（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则实数的取值范围为___________. 24．（2024·全国·高一假期作业）设集合, (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 25．（2023秋·吉林长春·高一汽车区第三中学校考期末）已知非空集合， (1)当时，求； (2)求能使成立的的取值范围. 26.（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 27.（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． （二）根据并集的结果求集合或参数 28．（2024·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知集合，，，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 29．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 30.（2024·安徽阜阳·一模）设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31.【多选】（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 32.（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，且，则实数m的取值范围是______． 34．（2023秋·高一单元测试）已知集合或，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 35．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)当时，求C的非空真子集的个数． 36.（2024高一·全国）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 知识点2 补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 注：(1)∁UA的三层含义： ①∁UA表示一个集合； ②A是U的子集，即A⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． (2)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (3)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． 3.德摩根律 (1) (2) 4.运用补集思想解题的步骤 当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其解题步骤为： 第一步：否定已知条件，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数范围； 第三步：取反面问题对应的参数范围的补集． 考点四 补集的运算 解题策略：求集合补集的策略 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． 37.（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 38．（2023春·云南昆明·高二统考期中）设全集或，则＝（    ） A．或 B．或 C． D．{0，1，2，3，4，5，6} 39．（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 40.（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 41．（2024·全国·高三专题练习）设集合是小于的正整数，，，求，，． 42．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，求． 43．（2024·全国·高一专题练习）已知R为全集，集合，集合． (1)求； (2)若，求实数a的值． 44.（2023·全国·高三专题练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 45.（2024·四川凉山·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点五 集合的交、并、补集的综合运算 解题策略：解决集合运算问题的方法 (1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行： 交集元素仔细找，属于A且属于B； 并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一； 全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集． (2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集． (3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解． 46．（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）设全集，，，则（    ） A．{1，2} B． C． D． 47.（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）设集合，，，则 A． B． C． D． 48．（2024·全国·高一假期作业）设全集，，则）等于（    ） A． B． C． D． 49．（2023秋·山西大同·高一统考期末）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 50.（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 51.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，求，，，. 52．（2024·高一课时练习）全集，则为__________． 53．（2024·全国·统考）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 54．（江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 55．（2024·全国·统考）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 56.（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点六 根据补集结果求集合或参数 解题策略：1.由集合的补集求解参数的问题 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解． (2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解． 2.利用交并补混合运算求参数范围的解题思路 (1)根据并集求参数范围：， 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 (2)根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 （一）根据补集的运算结果求集合或参数 57．（2024·全国·高一假期作业）已知全集，则（    ） A．{1} B．{3} C．{4} D．{1，3，4} 58．（2023秋·浙江温州·高一校考开学考试）已知集合，，求实数的值. 59.（2024·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 60.（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）设集合，，，若，则 . （二）根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 61.（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 62.（2023春·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知集合，． （1）若，求； （2）已知，求实数的取值范围． 63．（2024·高一课时练习）已知集合，若，求实数m的取值范围． 64．（2023秋·浙江金华·高一校考阶段练习）记不等式的解集为A，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 65.（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 66．（2023秋·陕西渭南·高一统考期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 67．（2024·江苏·高一假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为________. 68．【多选】（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 69.（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 70.（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，. (1)求； (2)若，且，求a的值； (3)设集合，若C的真子集共有3个，求m的值. 知识点3 容斥原理与Venn图 1.容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 2.如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 考点七 容斥原理 71．（2024·高一课时练习）高一年级某班共有45人，其中文艺爱好者20人，体育爱好者15人，文艺、体育均不爱好的20人，问：文艺、体育均爱好的有多少人? 72.（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 73．（2023秋·安徽六安·高一校考阶段练习）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 74.（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（    ） A．70％ B．56％ C．40％ D．30％ 75.（2023·全国·高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 76．（2024·全国·高三专题练习）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有几人三项工作都参加了．试问这支测绘队至少有多少人？ 77.【多选】（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 78.（23-24高一上·河北·月考）某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15种水果，第二天售出了12种水果，第三天售出14种水果，前两天售出相同种类的水果有7种，后两天售出相同种类的水果有6种．那么该水果这三天售出的水果至少有 种． 考点八 韦恩图的应用 79．（2024·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知全集，则图中阴影部分代表的集合为（    ） A． B． C． D． 80．（2024·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 81.（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 82．（2023秋·湖南永州·高一校考阶段练习）已知全集，集台和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．无穷多个 83．（2024·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图，集合均为的子集，表示的区域为（    ） A．I B．II C．III D．IV 84．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知全集为U，，则其图象为（    ） A．   B．   C．   D．   85.【多选】图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A． B． C． D． 86.（23-24高一上·安徽淮北·月考）如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 87.【多选】（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（    ） A．已知，，则 B．如果，那么 C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则 D．已知或，，则或 考点九 集合的基本运算新定义问题 88．（2024·安徽蚌埠·统考二模）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 89．（2023秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）定义且，若，，则等于（    ） A．A B．B C． D． 90．（2023春·江西赣州·高一校联考期中）定义运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 91．（2024·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 92.（23-24高一上·广东惠州·月考）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 93．（2024·全国·模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（    ） A．9 B．4 C．27 D．8 94.（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（    ） A． B． C． D． 95.【多选】（2023秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中．以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属同一类 96.【多选】（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 $$2024-2025学年《考点通关》高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题1.3 集合的基本运算9种常见考法归类（96题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 并集的运算 考点二 交集的运算 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 （一）根据交集的结果求集合或参数 （二）根据并集的结果求集合或参数 考点四 补集的运算 考点五 集合的交、并、补集的综合运算 考点六 根据补集或混合运算结果求集合或参数 （一）根据补集的运算结果求集合或参数 （二）根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 考点七 容斥原理 考点八 韦恩图的应用 考点九 集合的基本运算新定义问题 知识点1 并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 并集的性质： 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 高频性质：若. 注：对并集概念的理解 (1) 仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2) 对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 交集的性质： 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算满足分配律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 高频性质：若. 注：对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 考点一 并集的运算 解题策略：1、集合并集的运算 (1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成； (2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但xB”；“x∈B，但xA”；“x∈A，且x∈B”．因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．可用图表示． 2、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 注：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个．　　 1．（2023春·浙江宁波·高二统考期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2.（2024·湖南·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由并集的定义可得出答案. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 3．（2023春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，然后根据并集的定义可求得结果. 【详解】由，得， 因为， 所以， 故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，又， 所以． 故选：D． 5.（23-24高三下·四川德阳·期末）已知集合，集合，则的子集个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据并运算可得，即可根据子集个数公式求解. 【详解】,所以子集个数为， 故选：A 考点二 交集的运算 解题策略：1、集合交集的运算 (1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成； (2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”； (3)∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅. 2、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．　 6．（2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集的定义求解， 【详解】由题意得， 故选：A 7．（2024·全国·高一假期作业）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以. 故选：C 8．（2024·北京·统考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 9．（2023春·江西宜春·高一上高中学校考期中）若集合，或，则集合等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据交集运算法则得到答案. 【详解】，或，则. 故选：C. 10.（23-24高三下·天津·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 11.（2023·河北承德·统考模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，， . 故选：A 12．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合则=________． 【答案】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】由题意可得，解方程可得，故． 故答案为： 13．（2023秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）若集合，，则__________. 【答案】 【分析】由题意得，4，2，，再求即可． 【详解】，1，3，， ，，4，2，， 故，， 故答案为：，． 14.（2024·辽宁·二模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集定义即可求解. 【详解】设， 因为，， 所以，故，故, 所以,所以. 故选：C. 15．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知集合，，则的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据交集的运算可得. 【详解】由集合，得，故子集的个数为， 故选：C 16.（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数. 【详解】由题意得，，又集合， 若，则，此时， 则，故子集个数为； 若，则，此时显然集合不成立，舍去； 若，，同理舍去. 综上得：时，子集个数为4个； 故选：B. 17.（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据为单元素集，所以，即可求解. 【详解】因为，且为单元素集，所以， 所以的最小值为． 故答案为：． 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 解题策略：1.求集合交集、并集中参数的思路 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解、或解集为怎样的范围．　　 3解方程组或解不等式组来确定参数的值或范围.解题时，需注意两点： ①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件； ②对于涉及A∪B＝A或A∩B＝B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性. 2.利用集合的交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等条件，解答时常借助于交、并集的定义及集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B，A∩B＝A∪B⇔A＝B.等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．　 （一）根据交集的结果求集合或参数 186．（2023春·北京·高二北京二十中校考期中）已知集合，集合，若，则可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据交集结果求出的范围，一一对照选项即可. 【详解】由题意得若，则，比较选项知C选项满足题意， 故选：C. 19．（2023春·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考阶段练习）已知集合，，若，则实数a取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果. 【详解】由，知，因为，， 若，则方程无解，所以； 若，，则， 因为，所以，则； 故实数取值集合为. 故选：D. 20.（2024·辽宁·二模）已知集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据交集的结果，根据端点值的大小，列式求解. 【详解】因为，所以，则． 故答案为：． 21.（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由，得，易知集合非空， 则， 解得． 故选：B. 22.（23-24高三上·上海·阶段练习），或，且，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据条件及集合的运算，借助数轴，即可求出结果. 【详解】因为，或，且， 由图知或，得到或， 故答案为：或. 23.（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【详解】当时，，解得； 当时，即或时， 此时方程的两个根需满足小于等于， 则，，得，， 综上，. 故答案为：. 24．（2024·全国·高一假期作业）设集合, (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据并集的定义运算即得； （2）由题可得，分类讨论进而可得不等式即得. 【详解】（1）当时，，； （2）， 当时，满足题意，此时，解得； 当时，解得， 实数m的取值范围为. 25．（2023秋·吉林长春·高一汽车区第三中学校考期末）已知非空集合， (1)当时，求； (2)求能使成立的的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集定义求解； （2）根据集合的包含关系及交集定义列不等式组求解． 【详解】（1）当时，， ； （2）， 且，， ∴， 解得， 的取值范围是. 26.（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）化简集合，根据补集、交集的运算求解； （2）分类讨论，根据交集为空集列出不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，， 所以， 所以. （2）由（1）知， 当时，，解得，此时满足； 当时，由可得：或， 解得或, 综上，实数的取值范围为或. 27.（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 【答案】(1) (2)或1 【分析】（1）根据集合的并集定义求解即可； （2）由集合对两端点的距离要求，可分三类情况考虑并验证即得. 【详解】（1）当时，，则； （2）因为，，，且， ①当时，则，解得， 此时，此时，满足题意； ②当时，有，解得， 则，此时，不满足题意，舍去； ③当时，有，解得， 此时，，满足题意． 综上，实数m的值为或1． （二）根据并集的结果求集合或参数 28．（2024·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知集合，，，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据并集的结果，分类讨论当、时集合A、B的情况，即可求解. 【详解】， 当即时，，不符合题意； 当即时，，此时. 所以. 故选：B. 29．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据集合并集运算，结合数轴即可得到结果. 【详解】由题意知，可得. 故答案为： 30.（2024·安徽阜阳·一模）设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据并集的定义列出不等式，进而可得出答案. 【详解】 因为或，，且， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B． 31.【多选】（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【分析】由，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】， 因为，所以， 当时，， 当时，， 则或，所以或， 综上所述，或或. 故选：ABD. 32.（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 当，即时，，符合题意； 当时， 则，解得， 综上所述实数的取值范围为. 故选：C. 33.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，且，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，则. 当时，即当时，，满足题意； 当时，即当时，， 由可得，解得，此时. 综上所述，. 故答案为：. 34．（2023秋·高一单元测试）已知集合或，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，列不等式，即可求出的取值范围； （2）由，得到，列不等式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）因为，所以解得． 故的取值范围是． （2）因为，所以， 则或，解得或． 故的取值范围是． 35．（2024·江苏·高一假期作业）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)当时，求C的非空真子集的个数． 【答案】(1) (2)254 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）由集合C中元素个数，求C的非空真子集的个数. 【详解】（1）∵，∴， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2）∵，集合C中共8个元素， 因此，集合C的非空真子集个数为. 36.（2024高一·全国）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）因为，所以，将代入，求出即可得出答案； （2）利用得到，分和四种情况讨论即可得出结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以将代入，整理得， 解得：或， 当时，，所以； 当时，，所以； 经检验，或都满足条件． （2）因为由可得： 当时，，解得或； 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个不相等的根， 所以，所以，所以无解． 综上：或． 知识点2 补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 注：(1)∁UA的三层含义： ①∁UA表示一个集合； ②A是U的子集，即A⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． (2)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (3)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． 3.德摩根律 (1) (2) 4.运用补集思想解题的步骤 当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其解题步骤为： 第一步：否定已知条件，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数范围； 第三步：取反面问题对应的参数范围的补集． 考点四 补集的运算 解题策略：求集合补集的策略 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． 37.（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集的定义，即可求解. 【详解】由题意知.由，得. 故选：D. 38．（2023春·云南昆明·高二统考期中）设全集或，则＝（    ） A．或 B．或 C． D．{0，1，2，3，4，5，6} 【答案】D 【分析】根据集合的并运算即可求解. 【详解】由于或，所以， 故选：D 39．（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故或. 故选：B. 40.（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出全集，然后根据补集运算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 41．（2024·全国·高三专题练习）设集合是小于的正整数，，，求，，． 【答案】，，. 【分析】根据集合的交并补的概念可求出结果. 【详解】由题意得，，， 所以，，. 42．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，求． 【答案】，，或. 【分析】根据集合交集、并集和补集的概念与运算，准确运算，即可求解. 【详解】由集合， 可得，， 由补集的概念与运算，可得或. 43．（2024·全国·高一专题练习）已知R为全集，集合，集合． (1)求； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1)或； (2). 【分析】(1)根据补集的定义求解即可； (2)根据交集的定义求解即可. 【详解】（1）解：因为R为全集，集合， 所以或； （2）解：因为，集合，， 所以，解得. 44.（2023·全国·高三专题练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，可知集合表示的是的奇数倍， 而由可知，集合表示的是的整数倍， 即，所以. 故选：B 45.（2024·四川凉山·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出两个集合和之间的关系，再根据补集运算的定义求解即可． 【详解】因为集合或，， 所以， 故选：B． 考点五 集合的交、并、补集的综合运算 解题策略：解决集合运算问题的方法 (1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行： 交集元素仔细找，属于A且属于B； 并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一； 全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集． (2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集． (3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解． 46．（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）设全集，，，则（    ） A．{1，2} B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集和补集的定义求解即可. 【详解】因为所以， ∴. 故选：D. 47.（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）设集合，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，选A． 48．（2024·全国·高一假期作业）设全集，，则）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，根据集合的交集运算，即得答案. 【详解】由题意，则， 故， 故选：C 49．（2023秋·山西大同·高一统考期末）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的补集、交集运算即可. 【详解】因为集合，，， 所以，所以. 故选：C. 50.（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由并集和补集的运算得出即可. 【详解】由，所以， 故选：A． 51.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，求，，，. 【答案】答案见解析. 【详解】因为，， 所以,所以； 因为，， 所以,所以； 因为，， 所以，所以； 因为，， 所以，所以. 52．（2024·高一课时练习）全集，则为__________． 【答案】/ 【分析】利用交集与补集运算即可得到结果. 【详解】因为， 所以，， ∴， 故答案为：. 53．（2024·全国·统考）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 54．（江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】,,,, 故选:C 55．（2024·全国·统考）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 56.（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的混合运算，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】由题得：，，， 或，或， 所以，故A错误； 或，故B错误； 或，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 考点六 根据补集结果求集合或参数 解题策略：1.由集合的补集求解参数的问题 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解． (2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解． 2.利用交并补混合运算求参数范围的解题思路 (1)根据并集求参数范围：， 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 (2)根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 （一）根据补集的运算结果求集合或参数 57．（2024·全国·高一假期作业）已知全集，则（    ） A．{1} B．{3} C．{4} D．{1，3，4} 【答案】A 【分析】根据交并补的定义求解. 【详解】由题意得，所以； 故选：A. 58．（2023秋·浙江温州·高一校考开学考试）已知集合，，求实数的值. 【答案】 【分析】根据题意得或，再解方程求解即可. 【详解】解：由题意得： ①当时，解得： 代入检验，得，，满足条件 ②当时，无解 综上所述，. 59.（2024·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：C. 60.（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）设集合，，，若，则 . 【答案】 【分析】根据补集的运算可得，即可列等式求解. 【详解】由可得，由于，所以，所以，解得， 故答案为： （二）根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 61.（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或. 故选：B. 62.（2023春·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知集合，． （1）若，求； （2）已知，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）条件选择见解析，. （2）由，得到，列出不等式组，即可求解； 【详解】（1）当时，集合， 因为，所以或． （2）因为，可得，则，解得． 63．（2024·高一课时练习）已知集合，若，求实数m的取值范围． 【答案】或 【分析】利用一元二次方程以及集合的交集、补集运算进行求解. 【详解】因为，所以当时，；当时，， 因为，所以， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或， 所以实数m的取值范围为或. 64．（2023秋·浙江金华·高一校考阶段练习）记不等式的解集为A，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，代入，进而可求得； （2）求出，再根据可得实数的取值范围． 【详解】（1），，即， 当时，，又集合或 ； （2）由已知， ， . 65.（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由分类讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. （2）由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为或 （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 66．（2023秋·陕西渭南·高一统考期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由已知结合集合补集的运算即可求解； (2)由，则，然后对是否为空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）， . （2）由得，， 当时，由，可得，即； 当时，由，且， 可得，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 67．（2024·江苏·高一假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为________. 【答案】或. 【分析】根据，分和两种情况讨论求解. 【详解】已知集合，且， 或 当时，，解得，符合题意； 当时，且， 则或，解得， 综上：实数的取值范围为或. 故答案为：或. 68．【多选】（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据和分类讨论，求出m的取值范围，再判断选项即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以或， 解得或， 因为，所以. 综上，m的取值范围为或， 故选：BC 69.（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且，+ 解得，所以实数m的取值范围是． 70.（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，. (1)求； (2)若，且，求a的值； (3)设集合，若C的真子集共有3个，求m的值. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）求出全集和集合A，根据补集的运算即可求得答案； （2）根据元素和集合的关系即可求得答案； （3）判断C中的元素个数，确定，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，， 故； （2）由，且，可得若，则，不合题意； 若，则，又，故； （3）由于， 集合，C的真子集共有3个， 则C中必有2个元素，故. 知识点3 容斥原理与Venn图 1.容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 2.如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 考点七 容斥原理 71．（2024·高一课时练习）高一年级某班共有45人，其中文艺爱好者20人，体育爱好者15人，文艺、体育均不爱好的20人，问：文艺、体育均爱好的有多少人? 【答案】 【分析】画出表示参加体育爱好者、文艺爱好者集合的图，结合图形进行分析求解即可． 【详解】解：设参加体育爱好者、文艺爱好者的人数构成的集合分别为，， 则．，， 由公式 知 故 则该班文艺、体育均爱好的人为人． 故答案为：． 72.（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 73．（2023秋·安徽六安·高一校考阶段练习）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 【答案】对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生分别有21人、8人. 【解析】设对事件A、B都赞成的学生人数为x，利用图列方程求解x即可. 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合M，赞成事件B的学生全体为集合N， 设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的人数为，赞成A而不赞成B的人数为，赞成B而不赞成A的人数为，作出图如下所示， 依题意可得，解得， 所以对A、B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人. 【点睛】本题考查集合的应用、利用图进行集合的运算，属于中档题. 74.（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（    ） A．70％ B．56％ C．40％ D．30％ 【答案】C 【详解】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％， 这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例， 设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为x， 则对物理或历史感兴趣的同学的比例是56％＋74％－x， 所以56％＋74％－x＝90％， 解得％， 故选：C. 75.（2023·全国·高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】设集合{参加足球队的学生}， 集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 76．（2024·全国·高三专题练习）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有几人三项工作都参加了．试问这支测绘队至少有多少人？ 【答案】44 【分析】借助韦恩图分析可解. 【详解】记集合是参加测量的学生，是参加计算的学生， 是参加绘图的学生，则由已知可得如下韦恩图. 所以 已知，故这支测绘队至少有44人. 77.【多选】（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 78.（23-24高一上·河北·月考）某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15种水果，第二天售出了12种水果，第三天售出14种水果，前两天售出相同种类的水果有7种，后两天售出相同种类的水果有6种．那么该水果这三天售出的水果至少有 种． 【答案】20 【解析】设这三天售出相同种类的水果有种， 第一天售出、第二天未售出、且第三天售出的水果相同种类有种， 则这三天售出水果的种类关系如图所示． 由图可知，该水果店这三天售出水果有种， 由，得，所以． 故该水果店这三天售出的水果至少有20种． 故答案为：20 考点八 韦恩图的应用 79．（2024·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知全集，则图中阴影部分代表的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据Venn图，由集合运算可解. 【详解】由题意，而阴影部分为. 故选：C 80．（2024·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察出图中阴影部分表示的集合为，结合交集的定义即可求解. 【详解】由得， 图中阴影部分表示的集合是，故. 故选：A 81.（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中韦恩图结合集合间运算分析判断. 【详解】图中阴影部分表示的集合为. 故选：D． 82．（2023秋·湖南永州·高一校考阶段练习）已知全集，集台和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．无穷多个 【答案】B 【分析】由韦恩图可得阴影部分表示的集合为，由交集，补集的概念可得结果. 【详解】由题意，集合， ，所以阴影部分表示的集合为， 有个元素. 故选：B 83．（2024·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图，集合均为的子集，表示的区域为（    ） A．I B．II C．III D．IV 【答案】D 【分析】由补集和交集的概念求解即可. 【详解】由补集的概念，表示的区域如下图所示阴影区域， ∴表示的区域为下图所示阴影区域， 即为图中的区域Ⅳ. 故选：D. 84．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知全集为U，，则其图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据给定条件，可得，结合韦恩图的意义判断作答. 【详解】全集为U，，则有，选项BCD不符合题意，选项A符合题意. 故选：A 85.【多选】图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 所以阴影部分所表示的集合为 ， 再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项CD不正确，故选：AD. 86.（23-24高一上·安徽淮北·月考）如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为题图中的阴影部分是的子集，且不属于集合，属于集合的补集，即是的子集， 则阴影部分所表示的集合是，故选：C. 87.【多选】（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（    ） A．已知，，则 B．如果，那么 C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则 D．已知或，，则或 【答案】BD 【分析】根据集合新定义判断A、B，应用韦恩图确定判断C，由求集合判断D. 【详解】A：由且，故，错误； B：由且，则，故，正确； C：由韦恩图知：如下图阴影部分， 所以，错误； D：或，则或，正确. 故选：BD 考点九 集合的基本运算新定义问题 88．（2024·安徽蚌埠·统考二模）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，理解新定义，可得，通过的集定义与集合运算即可得出结论. 【详解】试题分析：根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为， 故选：D. 89．（2023秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）定义且，若，，则等于（    ） A．A B．B C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 90．（2023春·江西赣州·高一校联考期中）定义运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用集合的新定义和交集运算即可. 【详解】由题意得， 所以. 故选：C. 91．（2024·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算，得到元素个数. 【详解】，则，则中元素的个数为 故选：C 92.（23-24高一上·广东惠州·月考）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合，， 则，， 由定义可得：且， 且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确．故选：C 93．（2024·全国·模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（    ） A．9 B．4 C．27 D．8 【答案】C 【分析】直接列举可得. 【详解】当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为； 当时，集合B可以为. 故满足题意的“AB互衬对”个数为27. 故选：C 94.（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为元素，，，，，在集合的所有非空子集中分别出现次， 则对的所有非空子集中元素执行乘再求和， 则这些和的总和是． 故选：B. 95.【多选】（2023秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中．以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属同一类 【答案】ACD 【详解】A选项，，故，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，故，C正确； D选项，由题意可知能被5整除，故分别被5除的余数相同，故整数，属同一类，D正确. 故选：ACD 96.【多选】（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可. 【详解】对于A,因为⊕，所以，， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为⊕，所以，， 即与是相同的，所以，B正确； 对于C,因为⊕，所以，， 所以，即C错误； 对于D由于 ， 而，故，即D错误． 故选：AB． $$