2024-2025学年人教版八年级数学上册 点拨训练第06讲 三角形的外角

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第06讲 三角形的外角 学习目标 1. 会识别三角形的外角。 2. 能用三角形外角的性质进行有关的计算。 3. 经历观察、实验、归纳、猜想、证明的过程，推导三角形外角的性质，发展逻辑推理能力。 老师告诉你 比较图形中角的大小的方法 1.根据角的度数大小进行比较； 2.根据三角形的外角的性质比较角的大小，构造外角，利用外角的性质比较角的大小时，可以把求证中的大角放在三角形的外角位置，小角放在内角位置，也可以把它们的一部分分别放在外角和内角的位置上。 3.利用角的不等关系的传递性比较角的大小，如α>β，β>r，则α>r 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1三角形外角的定义 1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图∠ACD是△ABC的一个外角。 2.三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线。 【新知导学】 例1-1．下列说法错误的是（    ） A．不是三角形的外角 B．是三角形的外角 C． D． 【对应导练】 1．下列各图中，是的外角的是（    ） A． B． C． D． 2 .下列关于三角形的外角，说法错误的是：（ ） A. 一个三角形只有一个外角； B .三角形每个顶点处都有两个外角； C .三角形的每个外角都是与它相邻内角的邻补角； D .一个三角形共有六个外角。 知识点2三角形内、外角的关系 1.文字叙述：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 2.几何语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B 3.三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角. 【新知导学】 例2-1．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（　　） A. 45° B. 60° C. 75° D. 15° 【对应导练】 1．如图，AB∥CD，且∠A=40°，∠D=24°，则∠E等于（　　） A. 40° B. 32° C. 24° D. 16° 2．将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1=（　　） A. 45° B. 50° C. 60° D. 75° 3．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的∠ABC的度数为（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 80° 4．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A. 2∠A＝∠1﹣∠2 B. 3∠A＝2（∠1﹣∠2） C. 3∠A＝2∠1﹣∠2 D. ∠A＝∠1﹣∠2 5．如图，在△ABC中，∠C＝62°，△ABC两个外角的角平分线相交于G，则∠G的度数为_____． 知识点3 三角形的外角和 1.文字叙述：三角形的外角和等于360°。 2.几何语言：∵ ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角 ∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=360 ° 【新知导学】 例3-1.下列关于三角形的外角和叙述正确的是（ ） A .三角形的外角和等于180° B .三角形的外角和就是所有外角的和 C .三角形的外角和等于所有外角和的一半 D .以上都不对 【对应导练】 1. 三角形的三个顶点处各取一个外角，这三个角中最少可以有_________个钝角，最多可以有___________个钝角。 2. 三角形中所有外角（每个顶点处各取一个外角）中，锐角最多有（ ） A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 2、 题型训练 1.利用三角形内、外角关系求角的度数 1．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”.如图是一个燕尾形，已知，，，则的度数为______. 2．一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角，则_____. 3．如图，已知，则为________. 4．如图，在中，，，过点A作边上的高，交的延长线于点D，平分，交于点E.求：（1）的度数；（2）的度数. 5．如图，AD平分，，. （1）求度数； （2）若；求的度数. 2.利用三角形内、外角关系解决探究性问题 6．探究与发现: 探究一:我们知道,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么,三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢? 已知:如图1,与分别为的两个外角,试探究与的数量关系. 探究二:三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系? 已知:如图2,在中,DP,CP分别平分和,试探究与的数量关系. 探究三:若将改为任意四边形ABCD呢? 已知:如图3,在四边形ABCD中,DP,CP分别平分和,试利用上述结论探究与的数量关系. 7．在中，与的平分线相交于点P. （1）如图①，若，则____；(用的代数式表示，请直接写出结论) （2）如图②，作外角、的角平分线交于点Q，试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数. 8． （1）如图1，在中，P是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想. （2）如图2，在中，P是内角和外角的n等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想. （3）如图3，AD、BE相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，请直接写出的度数. 9．如图,在中,平分为射线上一点(不与点重合),且于点. (1)如果点与点重合,且,如图1,求的度数； (2)如果点在线段上(不与点重合),如图2,问与有怎样的数量关系?请说明理由. (3)如果点在外部,如图3,此时与的数量关系是否会发生变化?请说明理由. 10．如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点P，若，求的度数. 3、 牛刀小试 1、 填空题（每小题4分，共32分） 1．如图，直线AB∥CD，∠M=90°，∠CEF=120°，则∠MPB=（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2．如图，△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，点D在BC延长线上，则∠ACD的度数是（　　） A. 65° B. 105° C. 115° D. 125° 3．如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，EF∥AD，∠CAB=∠EDF=90°，∠C=45°，∠EFD=30°，∠BFD的度数是（　　） A. 15° B. 20° C. 30° D. 45° 4．小敏玩“抖空竹”游戏，她发现可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE=82°，∠DCE=115°，则∠E的度数是（　　） A. 31° B. 32° C. 33° D. 34° 5．将一副三角板如图所示放置，使两个直角重合，则∠AFE的度数是（　　） A. 175° B. 165° C. 155° D. 145° 6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若∠ADC=65°，则∠BAC的大小为（　　） A. 25° B. 35° C. 50° D. 70° 7．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高，若∠B=38°，∠C=72°，则∠DAE的度数是（　　） A. 70° B. 35° C. 18° D. 17° 8．一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠α的度数为（　　） A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 2、 填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=_____度． 10．如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为 _____度． 11．如图，已知∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°，则∠A=_____度． 12．如图所示，在△ABC中，∠A=40°，BP、CP是△ABC的外角平分线，则∠P=_____． 13．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则： （1）∠A1=_____； （2）∠An=_____． 3、 解答题（共6小题，48分） 14．（6分）如图，△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平分线，求∠CDB的度数． 15.（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=29°，CD是边AB上的高，E是边AB延长线上一点． 求：（1）∠CBE的度数； （2）∠BCD的度数． 16．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC=10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC=46°，求∠AFB的度数． 17．（9分）在△ABC中，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连接DE． （1）如图①，已知∠BAC=90°，∠BAD=60°，求∠CDE的度数． （2）如图①，已知∠BAC=90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系； （3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系． 18．（7分）如图所示，AB，CD相交于点E，CF，BF分别为∠ACD和∠ABD的平分线且相交于点F，求证：∠F=（∠A+∠D）． 19．（12分）如图1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O． （1）若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝ °，∠O＝ °； （2）探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由； （3）若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度数． （4）如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，则∠1＋∠2的度数为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第06讲 三角形的外角（解析版） 学习目标 1. 会识别三角形的外角。 2. 能用三角形外角的性质进行有关的计算。 3. 经历观察、实验、归纳、猜想、证明的过程，推导三角形外角的性质，发展逻辑推理能力。 老师告诉你 比较图形中角的大小的方法 1.根据角的度数大小进行比较； 2.根据三角形的外角的性质比较角的大小，构造外角，利用外角的性质比较角的大小时，可以把求证中的大角放在三角形的外角位置，小角放在内角位置，也可以把它们的一部分分别放在外角和内角的位置上。 3.利用角的不等关系的传递性比较角的大小，如α>β，β>r，则α>r 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1三角形外角的定义 1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图∠ACD是△ABC的一个外角。 2.三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线。 【新知导学】 例1-1．下列说法错误的是（    ） A．不是三角形的外角 B．是三角形的外角 C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质结合图形解答即可． 【详解】解：A、∠1不是三角形ABC的外角，正确，故A选项不符合题意； B、∠ACD是三角形ABC的外角，正确，故B选项不符合题意； C、∠ACD＝∠A＋∠B，错误，故C选项符合题意； D、∠B＜∠1＋∠2，正确，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答． 【对应导练】 1．下列各图中，是的外角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形一个角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做这个三角形的外角. 根据三角形外角定义：逐个选项分析判断即可. 【详解】三角形一个角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做这个三角形的外角. 由定义可知，选项D中的是的外角，其余选项中的都不是的外角. 故选D 【点睛】本题考查三角形外角定义，熟练掌握该定义是解题关键. 2 .下列关于三角形的外角，说法错误的是：（ ） A. 一个三角形只有一个外角； B .三角形每个顶点处都有两个外角； C .三角形的每个外角都是与它相邻内角的邻补角； D .一个三角形共有六个外角。 【答案】A 【分析】三角形一个角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做这个三角形的外角. 根据三角形外角定义：逐个选项分析判断即可. 【详解】三角形一个角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做这个三角形的外角. 由定义知三角形每个顶点处有两个外角，故A错误；B正确；三角形的每个外角都是与它相邻内角的邻补角，C正确，一个三角形共有六个外角，D正确， 故选A 【点睛】本题考查三角形外角定义，熟练掌握该定义是解题关键. 知识点2三角形内、外角的关系 1.文字叙述：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 2.几何语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B 3.三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角. 【新知导学】 例2-1．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（　　） A. 45° B. 60° C. 75° D. 15° 【答案】C 【解析】先求出∠2和∠3的度数，再根据三角形外角性质求解即可． 解：由三角板的性质可得：∠2=30°，∠3=45°， ∴∠1=∠2+∠3=30°+45°=75°． 故选：C． 【对应导练】 1．如图，AB∥CD，且∠A=40°，∠D=24°，则∠E等于（　　） A. 40° B. 32° C. 24° D. 16° 【答案】D 【解析】由AB∥CD，得∠ACD=∠A=40°，而∠D=24°，故∠E=16°． 解：∵AB∥CD， ∴∠ACD=∠A=40°， ∵∠ACD=∠D+∠E，∠D=24°， ∴40°=24°+∠E， ∴∠E=16°， 故选：D． 2．将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1=（　　） A. 45° B. 50° C. 60° D. 75° 【答案】D 【解析】如图（见解析），先根据三角板可得∠2=45°，∠4=30°，再根据角的和差可得∠3=45°，然后根据三角形的外角性质即可得． 解：如图，由题意可知，∠2=45°，∠4=30°， ∵两个三角板中有刻度的边互相垂直， ∴∠3=90°-∠2=45°， ∴∠1=∠3+∠4=45°+30°=75°， 故选：D． 3．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的∠ABC的度数为（　　） A. 50° B. 60° C. 75° D. 80° 【答案】C 【解析】由三角形的外角性质可求得∠ABF=15°，从而可求得∠ABC的度数． 解：∵∠F=30°，∠BAC=45°，∠BAC是△ABF的外角， ∴∠ABF=∠BAC-∠F=15°， ∵∠CBF=90°， ∴∠ABC=∠CBF-∠ABF=75°． 故选：C． 4．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A. 2∠A＝∠1﹣∠2 B. 3∠A＝2（∠1﹣∠2） C. 3∠A＝2∠1﹣∠2 D. ∠A＝∠1﹣∠2 【答案】A 【解析】根据折叠的性质可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到，，然后列式整理即可得解． 解：根据折叠的性质，得． 在中，， 在中，， ∴，即． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及折叠的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质把角与角之间联系起来是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，∠C＝62°，△ABC两个外角的角平分线相交于G，则∠G的度数为_____． 【答案】59°##59度 【解析】先利用三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA=180°-∠C=118°，从而利用三角形外角的性质求出∠DAB+∠EBA=2∠C+∠CAB+∠CBA=242°，再由角平分线的定义求出，由此求解即可． 解：∵∠C=62°， ∴∠CAB+∠CBA=180°-∠C=118°， ∵∠DAB=∠C+∠CBA，∠EBA=∠C+∠CAB， ∴∠DAB+∠EBA=2∠C+∠CAB+∠CBA=242°， ∵△ABC两个外角的角平分线相交于G， ∴，， ∴， ∴∠G=180°-∠GAB-∠GBA=59°， 故答案为：59°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 知识点3 三角形的外角和 1.文字叙述：三角形的外角和等于360°。 2.几何语言：∵ ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角 ∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=360 ° 【新知导学】 例3-1.下列关于三角形的外角和叙述正确的是（ ） A .三角形的外角和等于180° B .三角形的外角和就是所有外角的和 C .三角形的外角和等于所有外角和的一半 D .以上都不对 【答案】C 【分析】三角形的外角和是每个顶点处各取一个外角的和，根据定义逐个分析判断即可 【详解】三角形外角和等于360°，故A错误； 三角形的外角和是每个顶点处各取一个外角的和，故B错误； 三角形每个顶点处有两个外角，两个角是对顶角，三角形的外角和是每个顶点处各取一个外角的和，所以三角形的外角和等于所有外角和的一半，故C正确 故选C 【点睛】本题主要考查了三角形外角和定理，正确掌握定理是解题关键。 【对应导练】 1. 三角形的三个顶点处各取一个外角，这三个角中最少可以有_________个钝角，最多可以有___________个钝角。 【答案】2 3 【分析】根据题意可分为当三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情况讨论即可得出答案 【详解】①当三角形是锐角三角形时，它的外角有三个钝角 ②当三角形是直角三角形时，它的外角有两个钝角； ③当三角形是钝角三角形时，它的外角有两个钝角； 所以最少有两个钝角，最多有3个钝角。 【点睛】本题主要考查了三角形外角定义，性质，解题关键是把锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外角分类讨论。 2. 三角形中所有外角（每个顶点处各取一个外角）中，锐角最多有（ ） A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角，三角形的内角和，三角形内角最多有一个钝角，从而外角最多一个，由此得出结论。 【详解】由于三角形中最多有一个钝角，由内角的补角是锐角，得锐角最多只有1个。 故选C 2、 题型训练 1.利用三角形内、外角关系求角的度数 1．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”.如图是一个燕尾形，已知，，，则的度数为______. 答案： 解析：连接，延长到E. ，， ， ，，， . 故答案为：. 2．一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角，则_____. 答案：130° 解析：如图， 由等边三角形和直角三角形可得，， ， 且， ， ， 故答案为130°. 3．如图，已知，则为________. 答案： 解析：由图可得： 是的外角， ， ， ， ， 是的外角， ， 故填：. 4．如图，在中，，，过点A作边上的高，交的延长线于点D，平分，交于点E.求：（1）的度数；（2）的度数. 答案：（1） （2） 解析：（1），，， . （2）， ， ， 平分， ， . 5．如图，AD平分，，. （1）求度数； （2）若；求的度数. 答案：（1） （2） 解析：（1）， ， 平分， ， ， ， ； （2）设，则，， ， ， ， ， 解得， . 2.利用三角形内、外角关系解决探究性问题 6．探究与发现: 探究一:我们知道,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么,三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢? 已知:如图1,与分别为的两个外角,试探究与的数量关系. 探究二:三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系? 已知:如图2,在中,DP,CP分别平分和,试探究与的数量关系. 探究三:若将改为任意四边形ABCD呢? 已知:如图3,在四边形ABCD中,DP,CP分别平分和,试利用上述结论探究与的数量关系. 答案：见解析 解析:探究一:,, ; 探究二:,CP分别平分和, ,, ; 探究三:DP,CP分别平分和, ,, . 7．在中，与的平分线相交于点P. （1）如图①，若，则____；(用的代数式表示，请直接写出结论) （2）如图②，作外角、的角平分线交于点Q，试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数. （1）答案： 解析：如图①中， 与的平分线相交于点P， ， ， ， . 故答案为. （2）答案：.理由见解析 解析：结论：. 理由：如图②中， 外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， . （3）答案：的度数是90°或60°或120°. 解析：延长CB至F， BQ为的外角的角平分线， BE是的外角的角平分线， ， CE平分， ， ， ， 即， 又， ， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，，，则； ④，，，则. 综上所述，的度数是90°或60°或120°. 8． （1）如图1，在中，P是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想. （2）如图2，在中，P是内角和外角的n等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想. （3）如图3，AD、BE相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，请直接写出的度数. 答案：（1）； （2）； （3）30° 解析： 9．如图,在中,平分为射线上一点(不与点重合),且于点. (1)如果点与点重合,且,如图1,求的度数； (2)如果点在线段上(不与点重合),如图2,问与有怎样的数量关系?请说明理由. (3)如果点在外部,如图3,此时与的数量关系是否会发生变化?请说明理由. 答案：(1), . 平分. 为的外角, . , . (2).理由如下： 平分, . 为的外角, . , . (3)不发生变化.理由如下： 平分, . 为的外角, . , , 与的数量关系不发生变化. 10．如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点P，若，求的度数. 答案：解:是的外角，是的外角, 平分平分, 3、 牛刀小试 1、 填空题（每小题4分，共32分） 1．如图，直线AB∥CD，∠M=90°，∠CEF=120°，则∠MPB=（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可． 解：∵AB∥CD， ∴∠EFP=∠CEF=120°， ∴∠MPF=∠EFP-∠M=120°-90°=30°， ∴∠MPB=180°-∠MPF=180°-30°=150°， 故选：D． 2．如图，△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，点D在BC延长线上，则∠ACD的度数是（　　） A. 65° B. 105° C. 115° D. 125° 【答案】C 【解析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．直接根据三角形外角的性质进行计算即可． 解：∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD=∠A+∠B=65°+50°=115°． 故选：C． 3．如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，EF∥AD，∠CAB=∠EDF=90°，∠C=45°，∠EFD=30°，∠BFD的度数是（　　） A. 15° B. 20° C. 30° D. 45° 【答案】A 【解析】根据平行线的性质推出∠BDF=∠EFD=30°，根据三角尺的特征得出∠ABC=45°，从而根据三角形外角的性质进行求解即可． 解：∵EF∥AD，∠EFD=30°， ∴∠BDF=∠EFD=30°， 又∠CAB=90°，∠C=45°， ∴∠ABC=45°， ∴∠BFD=∠ABC-∠BDF=45°-30°=15°， 故选：A． 4．小敏玩“抖空竹”游戏，她发现可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE=82°，∠DCE=115°，则∠E的度数是（　　） A. 31° B. 32° C. 33° D. 34° 【答案】C 【解析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=82°，可得∠CFE=82°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE． 解：如图，延长DC交AE于F， ∵AB∥CD，∠BAE=82°， ∴∠CFE=∠BAE=82°， 又∵∠DCE=115°，∠E+∠CFE=∠DCE， ∴∠E=∠DCE-∠CFE=115°-82°=33°， 故选：C． 5．将一副三角板如图所示放置，使两个直角重合，则∠AFE的度数是（　　） A. 175° B. 165° C. 155° D. 145° 【答案】B 【解析】根据邻补角的概念求出∠ADF，再根据三角形的外角性质计算即可． 解：∵∠EDC=45°， ∴∠ADF=135°， ∵∠AFE是△ADF的一个外角， ∴∠AFE=∠A+∠ADF=30°+135°=165°， 故选：B． 6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若∠ADC=65°，则∠BAC的大小为（　　） A. 25° B. 35° C. 50° D. 70° 【答案】C 【解析】根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD=∠BAC，根据三角形的外角性质得到∠B+∠BAC=65°，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 解：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC， ∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=65°， ∴∠B+∠BAC=65°， ∵∠C=90°， ∴∠B+∠BAC=90°， ∴∠BAC=50°， 故选：C． 7．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高，若∠B=38°，∠C=72°，则∠DAE的度数是（　　） A. 70° B. 35° C. 18° D. 17° 【答案】D 【解析】由∠B+∠C+∠BAC=180，得∠BAC=180°-∠B-∠C=70°．由AD平分∠BAC，得∠BAD==35°，故∠ADE=∠B+∠BAD=73°．由AE是△ABC的高，得∠AEC=90°．由∠AEC=∠ADE+∠DAE，得∠DAE=∠AEC-∠ADE=17°． 解：∵∠B+∠C+∠BAC=180， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-38°-72°=70°． 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD==35°． ∴∠ADE=∠B+∠BAD=38°+35°=73°． ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC=90°． 又∵∠AEC=∠ADE+∠DAE， ∴∠DAE=∠AEC-∠ADE=90°-73°=17°． 故选：D． 8．一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠α的度数为（　　） A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】根据EF∥BC得出∠FDC=∠F=30°，进而得出∠α=∠FDC+∠C即可． 解：如图， ∵EF∥BC， ∴∠FDC=∠F=30°， ∴∠α=∠FDC+∠C=30°+45°=75°， 故选：C． 2、 填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=_____度． 【答案】45 【解析】根据三角形的外角的性质及三角形的内角和定理可求得． 解：∵∠ABD是△ABC的外角，∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°， ∴∠1=180°-∠ABD-∠D=180°-110°-25°=45°． 10．如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为 _____度． 【答案】48 【解析】根据平行线的性质得∠BFD=∠B=68°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，得∠D=∠BFD-∠E，由此即可求∠D． 解：∵AB∥CD，∠B=68°， ∴∠BFD=∠B=68°， 而∠D=∠BFD-∠E=68°-20°=48°． 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和． 11．如图，已知∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°，则∠A=_____度． 【答案】80 【解析】根据三角形的外角性质得到∠1=∠DAC+∠C，∠2=∠DAB+∠B，则有∠1+∠2=∠DAC+∠C+∠DAB+∠B，即∠BDC=∠A+∠B+∠C，然后把∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°代入进行计算即可得到∠A的度数． 解：连AD并延长，如图， ∵∠1=∠DAC+∠C，∠2=∠DAB+∠B， ∴∠1+∠2=∠DAC+∠C+∠DAB+∠B， ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C， 而∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°， ∴142°=∠A+34°+28°， ∴∠A=142°-34°-28°=80°． 故答案为80． 12．如图所示，在△ABC中，∠A=40°，BP、CP是△ABC的外角平分线，则∠P=_____． 【答案】70° 【解析】根据题意得∠PBC=（∠A+∠ACB），∠PCB=（∠A+∠ABC），由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得∠P与∠A的关系，从而计算出∠P的度数． 解：∵BP、CP是△ABC的外角平分线， ∴∠PBC=（∠A+∠ACB），∠PCB=（∠A+∠ABC）， 又∵∠PBC+∠PCB+∠P=180°， ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） =180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） =180°-（180+∠A） =90°-∠A， ∵∠A=40°，∴∠P=90°-×40°=70°． 13．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则： （1）∠A1=_____； （2）∠An=_____． 【答案】(1);(2); 【解析】（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解； （2）与（1）同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 解：（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1， ∴∠A1=∠A， ∵∠A=θ， ∴∠A1=； （2）同理可得∠A2=∠A1=•θ=， 所以∠An=． 故答案为：（1），（2）． 3、 解答题（共6小题，48分） 14．（6分）如图，△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平分线，求∠CDB的度数． 【解析】先利用三角形的内角和求出∠ABC，再利用角平分线的性质求出∠ABD，最后利用三角形的外角性质求出∠CDB． 解：∵∠A=50°，∠C=72°， ∴∠ABC=180°-∠A-∠C =180°-50°-72° =58°． ∵BD是△ABC的一条角平分线， ∴∠ABD=ABC=29°． ∴∠CDB=∠A+∠ABD =50°+29° =79°． 15.（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=29°，CD是边AB上的高，E是边AB延长线上一点． 求：（1）∠CBE的度数； （2）∠BCD的度数． 【解析】（1）依据三角形外角的性质，即可得到∠CBE的度数； （2）依据同角的余角相等证得BCD=∠A，可求得结果． 解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=29°，∠CBE是△ABC的外角， ∴∠CBE=∠ACB+∠A=90°+29°=119°； （2）∵CD是AB边上的高， ∴∠ADC=90°． ∴∠A+∠ACD=90°． ∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠A=29°， ∴∠BCD=∠A=29°． 16．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC=10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC=46°，求∠AFB的度数． 【解析】根据直角三角形的性质求出∠BAD的度数，得到∠BAC的度数，根据邻补角的性质求出∠CAM的度数，根据角平分线的定义求出∠MAE的度数，根据三角形的外角的性质计算即可． 解：∵AD是高， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD=90°-∠ABC=44°，又∠DAC=10°， ∴∠BAC=54°， ∴∠MAC=126°， ∵AE是∠BAC外角的平分线， ∴∠MAE=∠MAC=63°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠ABC=23°， ∴∠AFB=∠MAE-∠ABF=40°． 17．（9分）在△ABC中，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连接DE． （1）如图①，已知∠BAC=90°，∠BAD=60°，求∠CDE的度数． （2）如图①，已知∠BAC=90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系； （3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系． 【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=60°，由于AD=AE，于是得到∠ADE=60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=75°-45°=30°； （2）设∠BAD=x,于是得到∠CAD=90°-x,根据等腰三角形的性质得到∠AED=45°+，于是得到结论； （3）设∠BAD=x,∠C=y,根据等腰三角形的性质得到∠BAC=180°-2y,由∠BAD=x,于是得到∠DAE=y+x,即可得到结论． 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠B=∠C=45°， ∵∠BAD=60°， ∴∠DAE=30°， ∵AD=AE， ∴∠AED=75°， ∴∠CDE=∠AED=∠C=30°； （2）设∠BAD=x, ∴∠CAD=90°-x, ∵AE=AD， ∴∠AED=45°+， ∴∠CDE=x, 即； （3）设∠BAD=x,∠C=y, ∵AB=AC，∠C=y, ∴∠BAC=180°-2y, ∵∠BAD=x, ∴∠AED=y+x, ∴． 即． 18．（7分）如图所示，AB，CD相交于点E，CF，BF分别为∠ACD和∠ABD的平分线且相交于点F，求证：∠F=（∠A+∠D）． 【解析】由角的平分线得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形内角和定理和三角形的外角性质，即可得出结论． 解：如图所示： ∵CF、BF分别是∠ACD和∠ABD的平分线， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 在△AMC和△FMB中，∠A+∠1=∠3+∠F①， 在△AEC和△DEB中，∠A+∠1+∠2=∠3+∠4+∠D， 即∠A+2∠1=2∠3+∠D②， 由①×2-②得，∠A=2∠F-∠D， 即2∠F=∠A+∠D， ∴∠F=（∠A+∠D）． 19．（12分）如图1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O． （1）若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝ °，∠O＝ °； （2）探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由； （3）若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度数． （4）如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，则∠1＋∠2的度数为 ． 【答案】（1）80，40 （2）∠A=∠O；理由见解析 （3）∠ACB=60°； （4）120° 【解析】（1）由三角形内角和定理可求∠A，求出∠OBC，和∠BCO，再由三角形内角和定理即可求出结论； （2）由题中角平分线可得∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC，进而得出∠A=180°-∠ABC-180°+∠ACD=∠ACD-∠ABC，即可得出结论； （3）AC与BO交于点E，由OCAB，证得∠ABO=∠O，由AC⊥BO，证得∠AEB=90°，故2∠O+∠O=90°，进而证得∠A=60°，∠ABC=2∠ABO即可证得结论； （4）连接，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵∠ABC=66°，∠ACB=34°， ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°， ∵∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O， ∴∠OBC=∠ABC=33°，∠OCD=（180°-34°）=73°， ∴∠O=∠OCD-∠OBC=40°， 故答案为：80、40； 【小问2详解】 解：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO=∠ABC， ∵CO平分∠ACD， ∴∠ACO=∠ACD， 如图，AC与BO交于点E， ∵∠AEB=∠CEO， ∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACO， ∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACD， ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠ABO， ∴∠A+∠ABO=∠O+∠A+∠ABO， ∴∠A=∠O； 【小问3详解】 解：如图，AC与BO交于点E， ∵OCAB， ∴∠ABO=∠O， ∵AC⊥BO， ∴∠AEB=90°， ∴∠A+∠ABO=90°， ∴2∠O+∠O=90°， ∴∠O=30°， ∴∠A=60°，∠ABC=2∠ABO=60°， ∴∠ACB=60°； 【小问4详解】 解：如图，连接， ∵平分∠ABC，平分∠ACB， ∴=∠ABC，=∠ACB， ∵=120°， ∴=180°-120°=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠BAC=180°-120°=60°， ∵沿DE折叠， ∴，， ∵∠1=，∠2=， ∴∠1+∠2=2=2∠BAC=2×60°=120°， 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识． 学科网（北京）股份有限公司 $$