专题04 解题技巧专题：勾股定理应用中的最短路径问题（7大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题04 解题技巧专题：勾股定理应用中的最短路径问题 目录 【题型一 平面图形上的“捷径”问题】 1 【题型二 平面图形上的饮水问题】 2 【题型三 圆柱上的最短路径问题】 2 【题型四 圆锥上的最短路径问题】 3 【题型五 正方体上的最短路径问题】 4 【题型六 长方体上的最短路径问题】 4 【题型七 台阶上的最短路径问题】 5 【题型一 平面图形上的“捷径”问题】 例题：（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了 ，却踩伤了花草．    【变式训练】 1．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图(1)，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图(2)，经过测量，，计算仅仅少走了 步．(假设米为步) 【题型二 平面图形上的饮水问题】 例题：（20-21八年级上·陕西西安·期中）如图，牧童在处放牛，牧童家在处，、处距河岸的距离、的长分别为500m和700m，且，两点的距离为500m，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（    ） A．1000m B．1200m C．1300m D．1700m 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸的距离的长分别为和，且C，D点的距离为，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为 ． 【题型三 圆柱上的最短路径问题】 例题：（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的半径等于，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，有一圆柱体，它的高为，底面周长为，在圆柱的底面下处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是 ．    【题型四 圆锥上的最短路径问题】 例题：（2024九年级上·江苏·专题练习）已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 【变式训练】 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度． 【题型五 正方体上的最短路径问题】 例题：（2024·江苏南京·二模）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离的平方是（　　） A．3 B．5 C．2 D．4 【题型六 长方体上的最短路径问题】 例题：（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 【题型七 台阶上的最短路径问题】 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为，，．和是这个台阶上两个相对的点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为（　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．（22-23八年级下·天津和平·期中）如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从点出发，经过个面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则的长为(    ) A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·开学考试）如图，是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从角走到角，至少走（　　） A．8米 B．9米 C．1米 D．1米 3．（23-24八年级上·贵州黔东南·开学考试）如图所示，一圆柱高，底面周长为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 5．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，正方体的棱长为，A是正方体的一个顶点，从点A爬到点B的最短路径是（　　） A．9 B． C． D．12 二、填空题 6．（22-23八年级下·湖北黄冈·期中）如图，一只蚂蚁沿边长为10厘米的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为 厘米． 7．（23-24八年级下·重庆长寿·期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的容器内点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 ． 8．（22-23八年级下·广西桂林·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 10．（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为 （杯壁厚度不计）． 三、解答题 11．（22-23八年级上·宁夏银川·期中）编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 12．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理，这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：    (1)请你用文字叙述一下勾股定理； (2)选择下边图1或图2中任一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯外离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁且与蜂蜜C相对的点A处，点A离杯口．则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？    13．（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖． (1)求点到点的距离； (2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？ 14．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 15．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），蚂蚁怎样走路线最短？最短路线长是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解题技巧专题：勾股定理应用中的最短路径问题 目录 【题型一 平面图形上的“捷径”问题】 1 【题型二 平面图形上的饮水问题】 2 【题型三 圆柱上的最短路径问题】 4 【题型四 圆锥上的最短路径问题】 6 【题型五 正方体上的最短路径问题】 8 【题型六 长方体上的最短路径问题】 9 【题型七 台阶上的最短路径问题】 12 【题型一 平面图形上的“捷径”问题】 例题：（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了 ，却踩伤了花草．    【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得，“路”的长度为：， 少走了：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图(1)，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图(2)，经过测量，，计算仅仅少走了 步．(假设米为步) 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求出路长，即三角形的斜边长，再求两直角边的和与斜边的差即可求解．正确应用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意知：，，， ∴， ∴少走的距离是：， ∵米为步， ∴米为步， ∴仅仅少走了步． 故答案为：． 【题型二 平面图形上的饮水问题】 例题：（20-21八年级上·陕西西安·期中）如图，牧童在处放牛，牧童家在处，、处距河岸的距离、的长分别为500m和700m，且，两点的距离为500m，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（    ） A．1000m B．1200m C．1300m D．1700m 【答案】C 【分析】本题可以把两线段的和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题解决．转化的方法是作A关于CD的对称点，求解对称点与B之间的距离即可． 【详解】解：解：作A关于CD的对称点E，连接BE，并作BF⊥AC于点F． 则EF=BD+AC=500+700=1200m，BF=CD=500m． 在Rt△BEF中，根据勾股定理得：BE==1300（m）． 故选：C． 【点睛】此题考查了轴对称--最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸的距离的长分别为和，且C，D点的距离为，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为 ． 【答案】3.4 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路径问题，作A点关于河岸的对称点，过作交延长线于，设饮水点为P，连接，则当三点共线时，最小，即最小，最小值为，由平行线间间距相等可得，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：作A点关于河岸的对称点，过作交延长线于，设饮水点为P，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为， 由平行线间间距相等可得， ∴， ∴， ∴牧童最少要走的距离为 故答案为：． 【题型三 圆柱上的最短路径问题】 例题：（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的半径等于，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查蚂蚁在圆柱上爬行的最短路径问题，涉及勾股定理，根据题意，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握蚂蚁在圆柱上爬行的最短路径问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：沿着圆柱上经过点和点的母线剪开，展开后，如图所示： 由题意可知，，， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是线段的长度， 在中，， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，有一圆柱体，它的高为，底面周长为，在圆柱的底面下处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是 ．    【答案】25 【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱体展开则，，利用勾股定理即可得出． 【详解】解：将圆柱体展开则，， 由勾股定理得：．    故答案为：25 【题型四 圆锥上的最短路径问题】 例题：（2024九年级上·江苏·专题练习）已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 【答案】 【详解】本题考查了圆锥的计算，需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算． 【解答】解：圆锥的底面周长是，则， ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是120度． ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵C是中点， ∴， ∴度． ∵在圆锥侧面展开图中， ∴在圆锥侧面展开图中． 最短距离是． 【变式训练】 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度． 【答案】 【分析】本题主要考查圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题． 【详解】解：将圆锥侧面沿剪开展平，连接，则就是所求绳子长． 由得， 作，则，， ∴， ∴，， ∴． 【题型五 正方体上的最短路径问题】 例题：（2024·江苏南京·二模）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，勾股定理，先将正方体展开，再根据勾股定理求出答案． 【详解】如图，， 所以最短路径是． 故选：A． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离的平方是（　　） A．3 B．5 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查正方体的展开和勾股定理的运用．熟练掌握正方体的展开图和勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 将含A与B的两面展开，得到一个长方形，连接A. B得三角形，运用勾股定理计算即得． 【详解】如图，最短距离是表面展开图中的， ∴． 故选：B． 【题型六 长方体上的最短路径问题】 例题：（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图是一块长、宽、高分别是和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．本题考查平面展开路径问题、勾股定理，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线． 【详解】解：就是蚂蚁爬的最短路线．    但有三种情况： 当：，． ． 当，． ． 当， ． ∵ ∴第三种情况最短． 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ， ， 它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 【题型七 台阶上的最短路径问题】 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得：． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为，，．和是这个台阶上两个相对的点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先画出台阶的平面展开图，可知是长方形，长为，宽为，根据两点之间，线段最短，可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是线段的长，利用勾股定理求出的长即可求解，找出蚂蚁沿台阶面爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， ∵两点之间，线段最短 ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是线段的长， ∴， ∴， 故选：． 一、单选题 1．（22-23八年级下·天津和平·期中）如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从点出发，经过个面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理．将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·开学考试）如图，是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从角走到角，至少走（　　） A．8米 B．9米 C．1米 D．1米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据两点之间线段最短及勾股定理解答即可． 【详解】解：因为两点之间线段最短，所以为从到C的最短距离， 根据题意得：米， 根据勾股定理，得，米． 故选：C． 3．（23-24八年级上·贵州黔东南·开学考试）如图所示，一圆柱高，底面周长为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：底面周长为，半圆弧长为， 展开得： 又因为，， 根据勾股定理得：， 故选：B． 4．（23-24八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故选：A． 5．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，正方体的棱长为，A是正方体的一个顶点，从点A爬到点B的最短路径是（　　） A．9 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理，二次根式的化简，解题的关键是将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可． 【详解】如图， ， 故选:C. 二、填空题 6．（22-23八年级下·湖北黄冈·期中）如图，一只蚂蚁沿边长为10厘米的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为 厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理与最短路径问题；把正方体展开，使A、B两点在同一平面内，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，把正方体展开，使A、B两点在同一平面内， 则厘米，厘米， 由勾股定理得：(厘米)； 故答案为：． 7．（23-24八年级下·重庆长寿·期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的容器内点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：圆柱体玻璃容器展开图如下，，作于F， ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 故答案为：5． 8．（22-23八年级下·广西桂林·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理的应用求最短路径问题，先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为20， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x ， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）． 故答案为：25． 9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故答案：． 10．（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为 （杯壁厚度不计）． 【答案】20 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，轴对称的性质和勾股定理，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，根据勾股定理求出最后结果即可． 【详解】解：如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程， ， ，， 根据勾股定理有： ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为， 故答案为：20． 三、解答题 11．（22-23八年级上·宁夏银川·期中）编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 【答案】每一根这样的竹条的长度最少是 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键．将圆柱侧面展开，再根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示， 圆柱底面周长为，高为， ， 即每一根这样的竹条的长度最少是． 12．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理，这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：    (1)请你用文字叙述一下勾股定理； (2)选择下边图1或图2中任一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯外离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁且与蜂蜜C相对的点A处，点A离杯口．则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？    【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用．解答该题时，利用“数形结合”的数学思想是解答关键． （1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）利用等面积建立等式进行解答； （3）把圆柱形玻璃杯表面展开，转化为平面图形，根据勾股定理分别求出即可． 【详解】（1）解：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （2）解：若选图1，如图，    则由图形可知：， 整理得：； 选择图2，则由图形可知：， 整理得：． （3）解：如图，延点A所在直线将圆柱剪开，过点C作，垂足为P，    由题意得：， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为． 13．（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖． (1)求点到点的距离； (2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？ 【答案】(1)点到点的距离为 (2) 【分析】考查平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意分类讨论，画出示意图． （1）过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接，根据勾股定理求解即可； （2）分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连接，如图1 ；把右侧展开到正面上，连接，如图2 ；把向上的面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接， 由长方体的性质得到：， ， ， 点到点的距离为； （2）解：如图1，把左侧面展开到水平面上，连接， 由题意可得：， ， 在中，根据勾股定理得：， 如图2，把右侧展开到正面上，连接， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得： 则需要爬行的最短距离是； 如图3，把向上的面展开到正面上，连接， 由题意可得：， 在中，根据勾股定理得：； 同理，把向上的面展开到后面时，； ∵， ∴则需要爬行的最短距离是． 14．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】（1）  （2）  （3） 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 【点睛】 15．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），蚂蚁怎样走路线最短？最短路线长是多少？ 【答案】线路（1）最短，为5 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键． 分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案． 【详解】解：有三种展开方式， 如图（1），，所以． 如图（2），． 如图（3）， 因为， 所以，路线（1）最短，最短路线是5． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$