2.1　一元二次方程 同步练习 2024—2025学年湘教版数学九年级上册

第2章　一元二次方程 2.1　一元二次方程 基础达标练 课时训练 夯实基础 知识点1　一元二次方程的相关概念 1.(概念应用题)下列方程是一元二次方程的是(D) A.2x2+x-y=0 B.ax2+4x-5=0 C.3x2+2x+7=3(x2-1) D.x2-1=0 2.若关于x的方程(m-3)x2+x-m=0是一元二次方程,则m的取值范围是(A) A.m≠3 B.m=3 C.m≥3 D.m≠0 3.(2023·镇江中考)若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根,则m= 　5　.  4.已知a是方程x2-2 023x+1=0的一个根,求a2-2 024a+的值. 【解析】∵a是方程x2-2 023x+1=0的一个根,∴a2-2 023a+1=0. ∴a2-2 024a=a2-2 023a+1-a-1=-a-1,又∵a2+1=2 023a, ∴原式=-a-1+=-a-1+a=-1. 知识点2　一元二次方程的一般形式 5.(2024·铜仁期末)把一元二次方程3x2=4x-1化为一般式,当二次项为3x2时,一次项和常数项分别为(D) A.4x,-1 B.4x,1 C.-4x,-1 D.-4x,1 6.(教材再开发·P28T1改编)把一元二次方程2x2=3x-5化成一般形式是 　2x2-3x+5=0　　.  7.把方程(3x+2)(x-3)=2x-6化成一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项. 【解析】(3x+2)(x-3)=2x-6,3x2-9x=0, 所以它的二次项系数是3,一次项系数是-9,常数项是0. 知识点3　根据实际问题列一元二次方程 8.(生活情境题)(2023·阜新中考)近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元,5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是(B) A.16(1+x)2=23　　　 B.23(1-x)2=16 C.23-23(1-x)2=16 D.23(1-2x)=16 9.如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.如果设道路宽为x m,根据题意,所列方程为　(20-x)(32-x)=540　.  综合能力练 巩固提升 迁移运用 10.(2024·铜仁碧江区质检)方程(m2-1)x2+mx-5=0是关于x的一元二次方程,则m的值不能是(C) A.0 B. C.±1 D.- 11.若关于x的一元二次方程x2-(4+m)x+3m=0的常数项是-6,则它的一次项是(A) A.-2x B.-2 C.2x D.2 12.把一元二次方程4x2-4x+1=x2+6x+9化成一般形式是　3x2-10x-8=0　.  13.(2024·遵义质检)某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91.设每个支干长出x个小分支,则可得方程为 　x2+x+1=91　.  14.已知a是方程x2-2x-4=0的根,求代数式a(a+1)2-a(a2+a)-3a-2的值. 【解析】a(a+1)2-a(a2+a)-3a-2 =a3+2a2+a-a3-a2-3a-2=a2-2a-2, ∵a是方程x2-2x-4=0的根, ∴a2-2a-4=0,∴a2-2a=4, ∴原式=4-2=2. 15.将一个容积为750 cm3的包装盒剪开、铺平后如图所示.写出关于x的方程.该方程是一元二次方程吗?如果是,把它化为一元二次方程的一般形式. 【解析】由题意可得:长方体的长为15 cm,宽为(30-2x)÷2=15-x(cm), 则根据题意,列出关于x的方程为:15(15-x)·x=750.整理,得x2-15x+50=0. 该方程是一元二次方程. 16.一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0化为一般式后为3x2+2x-1=0,试求a2+b2-c2的值的算术平方根. 【解析】整理a(x+1)2+b(x+1)+c=0, 得ax2+(2a+b)x+(a+b+c)=0, 因为化为一般式后为3x2+2x-1=0, 所以, 解得, ∴a2+b2-c2=9+16=25, ∴a2+b2-c2的值的算术平方根是5. 17.(素养提升题)已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0. (1)m为何值时,此方程是一元一次方程? (2)m为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项. 【解析】(1)根据一元一次方程的定义可知: m2-1=0,m+1≠0, 解得:m=1, 所以当m=1时,此方程是一元一次方程; (2)根据一元二次方程的定义可知:m2-1≠0, 解得:m≠±1. 一元二次方程的二次项系数为m2-1,一次项系数为-(m+1),常数项为m. 易错点　忽略一元二次方程的二次项系数不为零的条件 【案例】若方程(a-1)x|a|+1+2x-8=0是关于x的一元二次方程,则a的值是　-1　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章　一元二次方程 2.1　一元二次方程 基础达标练 课时训练 夯实基础 知识点1　一元二次方程的相关概念 1.(概念应用题)下列方程是一元二次方程的是( ) A.2x2+x-y=0 B.ax2+4x-5=0 C.3x2+2x+7=3(x2-1) D.x2-1=0 2.若关于x的方程(m-3)x2+x-m=0是一元二次方程,则m的取值范围是( ) A.m≠3 B.m=3 C.m≥3 D.m≠0 3.(2023·镇江中考)若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根,则m= 　 　.  4.已知a是方程x2-2 023x+1=0的一个根,求a2-2 024a+的值. 知识点2　一元二次方程的一般形式 5.(2024·铜仁期末)把一元二次方程3x2=4x-1化为一般式,当二次项为3x2时,一次项和常数项分别为( ) A.4x,-1 B.4x,1 C.-4x,-1 D.-4x,1 6.(教材再开发·P28T1改编)把一元二次方程2x2=3x-5化成一般形式是 　 　.  7.把方程(3x+2)(x-3)=2x-6化成一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项. 知识点3　根据实际问题列一元二次方程 8.(生活情境题)(2023·阜新中考)近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元,5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是( ) A.16(1+x)2=23　　　 B.23(1-x)2=16 C.23-23(1-x)2=16 D.23(1-2x)=16 9.如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.如果设道路宽为x m,根据题意,所列方程为 　.  综合能力练 巩固提升 迁移运用 10.(2024·铜仁碧江区质检)方程(m2-1)x2+mx-5=0是关于x的一元二次方程,则m的值不能是( ) A.0 B. C.±1 D.- 11.若关于x的一元二次方程x2-(4+m)x+3m=0的常数项是-6,则它的一次项是( ) A.-2x B.-2 C.2x D.2 12.把一元二次方程4x2-4x+1=x2+6x+9化成一般形式是　 　.  13.(2024·遵义质检)某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91.设每个支干长出x个小分支,则可得方程为 　 　.  14.已知a是方程x2-2x-4=0的根,求代数式a(a+1)2-a(a2+a)-3a-2的值. 15.将一个容积为750 cm3的包装盒剪开、铺平后如图所示.写出关于x的方程.该方程是一元二次方程吗?如果是,把它化为一元二次方程的一般形式. 16.一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0化为一般式后为3x2+2x-1=0,试求a2+b2-c2的值的算术平方根. 17.(素养提升题)已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0. (1)m为何值时,此方程是一元一次方程? (2)m为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项. 易错点　忽略一元二次方程的二次项系数不为零的条件 【案例】若方程(a-1)x|a|+1+2x-8=0是关于x的一元二次方程,则a的值是 .  学科网（北京）股份有限公司 $$