专题03 勾股定理的应用（8大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题03 勾股定理的应用 目录 【题型一 解决梯子滑落问题】 1 【题型二 解决旗杆高度问题】 2 【题型三 解决小鸟飞行距离问题】 3 【题型四 解决大树折断问题】 4 【题型五 解决水杯中的筷子问题】 5 【题型六 解决航海问题】 5 【题型七 解决河宽问题】 7 【题型八 解决台阶铺地毯问题】 7 【题型一 解决梯子滑落问题】 例题：（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（    ）      A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，梯子靠在墙上，梯子的顶端到墙根的距离为，梯子的底端到墙根的距离为，一不小心梯子顶端下滑了4米到，底端滑动到，那么的长是 m． 2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【题型二 解决旗杆高度问题】 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，要从电线杆离地面15米处向地面拉一条17米长的电缆，则地面固定点A到电线杆底部B的距离为（　　） A．8米 B．15米 C．17米 D．25米 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点处，经过测量此时绳子底端到旗杆底部的距离是5米，则旗杆的高度为 米    2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 【题型三 解决小鸟飞行距离问题】 例题：（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高为米，另一棵高为米，两树相距米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行 米． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【题型四 解决大树折断问题】 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末（上端），（绳索从木柱上端垂下后）委地（堆在地面）三尺．引索却（退）行，去本（木柱底端）八尺而索尽．问索长几何？”设绳索长为x尺，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，大风把一棵树刮断，量得，，则树刮断前的高度为 ． 2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）台风过后，某校的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C的远处．已知旗杆长，求旗杆的断裂处距离底部的高度． 【题型五 解决水杯中的筷子问题】 例题：（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【变式训练】 1．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）一支长为厘米的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米和厘米的细长的长方形水槽中，那么水槽至少要放进 厘米深的水才能完全淹没筷子． 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根长的牙刷放置于底面直径是，高为的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求的范围． 【题型六 解决航海问题】 例题：（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）如图，甲货船以的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口时两船相距（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·宁夏银川·期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 海里时． 2．（23-24八年级下·河北张家口·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 【题型七 解决河宽问题】 例题：（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ）． A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 2．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 【题型八 解决台阶铺地毯问题】 例题：（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．    2．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南保山·阶段练习）如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·广西柳州·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（     ） A．10米 B．8米 C．6米 D．4米 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，小明用的木棒加固小树，已知，，则木棒底端距树根之间的距离为（　　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，一棵树在离地面米处断裂，树的顶部落在离底部米处，树折断之前有（    ）米 A． B． C． D．4 5．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）一轮船以16海里/时的速度从港口A出发沿着北偏东的方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿着南偏东的方向航行，离开港口2小时后两船相距 海里． 7．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：有一根竹子原来高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，则可列方程： ． 8．（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，风雨过后一棵大树被折断，折断处离地面的高度为，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，一只蜗牛从树顶端的处出发，以的速度沿树干向上爬行，则它爬到折断处所需的时间为 ． 9．（22-23八年级上·全国·单元测试）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方处，过了秒，飞机距离这个女孩头顶，则飞机每秒飞行了 ． 10．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处，则木杆折断之前的高度为 米． 三、解答题 11．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 12．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）印度数学家什迦逻曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”请用学过的数学知识回答这个问题． 14．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部 B的距离（结果保留小数点后一位）． 15．（21-22七年级下·山东济南·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理的应用 目录 【题型一 解决梯子滑落问题】 1 【题型二 解决旗杆高度问题】 3 【题型三 解决小鸟飞行距离问题】 6 【题型四 解决大树折断问题】 8 【题型五 解决水杯中的筷子问题】 10 【题型六 解决航海问题】 12 【题型七 解决河宽问题】 15 【题型八 解决台阶铺地毯问题】 17 【题型一 解决梯子滑落问题】 例题：（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（    ）      A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．在中，利用勾股定理计算出长，再在中利用勾股定理计算出长，然后可得的长． 【详解】解：在中， （米）， 在中，， （米）， ∴（米）， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，梯子靠在墙上，梯子的顶端到墙根的距离为，梯子的底端到墙根的距离为，一不小心梯子顶端下滑了4米到，底端滑动到，那么的长是 m． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题时注意勾股定理应用的环境是在直角三角形中．由题意可知，，先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知，进而得出答案． 【详解】解：在直角三角形中，因为，， 由勾股定理得：， 由题意可知， 又， 根据勾股定理得：， 故． 故答案为：8． 2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8米 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【详解】（1）解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； （2）梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【题型二 解决旗杆高度问题】 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，要从电线杆离地面15米处向地面拉一条17米长的电缆，则地面固定点A到电线杆底部B的距离为（　　） A．8米 B．15米 C．17米 D．25米 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．根据电线杆与地面垂直得，由题意得、，利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：由题意得，、，， 故地面电缆固定点到电杆底部的距离为：． 答：地面电缆固定点到电线杆底部的距离为． 故选：A. 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点处，经过测量此时绳子底端到旗杆底部的距离是5米，则旗杆的高度为 米    【答案】12 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则米，米，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米，米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为12米， 故答案为：12． 2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，再加上即可； （2）勾股定理求出此时的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得，． ∴在中，， ∴． 答：此时风筝的铅直高度为． （2）解：∵风筝沿方向下降，     ∴． 在中，∵， ， ∴． 答：他应该收线． 【题型三 解决小鸟飞行距离问题】 例题：（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据两点之间，线段最短，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图， 设大树高为，小树高为， 过C点作于点E，则． 连接， 在中，由勾股定理得：； 即：小鸟至少飞行； 故选B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高为米，另一棵高为米，两树相距米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行 米． 【答案】26 【分析】本题考查了勾股定理与实际问题，根据题意构建模型，过点B作，交于点A，由题意可得，，，根据题意可证明四边形是矩形，，，可得，在中，，根据勾股定理得，即可得，掌握两点之间线段最短，矩形的判定，勾股定理，根据题意构建出模型是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点B作，交于点A， 由题意可得，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，根据勾股定理得， ， 即一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【答案】小鸟飞行的最短路程为10米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接． ∵米，米，米， ∴米，米，米， 在中，(米)， 故小鸟飞行的最短路程为10米． 【题型四 解决大树折断问题】 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末（上端），（绳索从木柱上端垂下后）委地（堆在地面）三尺．引索却（退）行，去本（木柱底端）八尺而索尽．问索长几何？”设绳索长为x尺，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程及勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．设绳索长为尺，则立木长为尺，在△中，根据勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设绳索长为尺，则立木长为尺， 由勾股定理得，， 故选：A 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，大风把一棵树刮断，量得，，则树刮断前的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 该大树折断后，折断部分与地面、原来的树干恰好构成一个直角三角形，利用勾股定理可求出折断部分的长，进而可得树刮断前的高度． 【详解】解：由题意可知，为直角三角形， ， 树刮断前的高度， 故答案为：． 2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）台风过后，某校的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C的远处．已知旗杆长，求旗杆的断裂处距离底部的高度． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键.设BC=x米，由题意得米，米，在中，利用勾股定理建立方程即可求解. 【详解】解：设米，由题意得米，米， 在中， ，即 解得 即旗杆的断裂处距离底部的高度为． 【题型五 解决水杯中的筷子问题】 例题：（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）一支长为厘米的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米和厘米的细长的长方形水槽中，那么水槽至少要放进 厘米深的水才能完全淹没筷子． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题目信息画出示意图并熟练运用勾股定理是解题的关键． 根据题中所给出的条件构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，；为筷子，即， 为水的深度， 由勾股定理得， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根长的牙刷放置于底面直径是，高为的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求的范围． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．根据当牙刷垂直于底面放置时，最大，当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时最小，即可得出答案． 【详解】解：当牙刷垂直于底面放置时，最大，此时 当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时最小，如图， 在中，根据勾股定理得 的范围是：． 【题型六 解决航海问题】 例题：（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）如图，甲货船以的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口时两船相距（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，由勾股定理得，即可求解；能根据方位角等表示出位置，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：对图形进行点标注． 根据题意知3小时后，其中甲货船航行到B点，乙货船含蓄到C点，连结． ， ， ， ， ， ， ∴3小时后两船相距． 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·宁夏银川·期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 海里时． 【答案】40 【分析】根据已知判定为直角，根据路程公式求得的长．再根据勾股定理求得的长，从而根据公式求得其速度． 本题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，关键是根据勾股定理解答． 【详解】解：如图， 甲的速度是海里时，时间是小时， 海里． ，， ． 海里， 海里． 乙船也用小时， 乙船的速度是40海里时， 故答案为：40． 2．（23-24八年级下·河北张家口·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）在中，根据，即可求解； （2）①根据垂线段最短，即可求解；②在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 即入口B到大摆锤C的距离为； （2）解：①由“垂线段最短”得：当时，最短， 即旋转木马E到过山车D的距离最近时，； 故答案为： ②在中，， ∴， 即过山车D到旋转木马E的距离为． 【题型七 解决河宽问题】 例题：（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ）． A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 【答案】480 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， 即该河处的宽度是； 故答案为：480． 2．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设米，则米，根据勾股定理得出，求出即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：设米，则米， 在中，，， 即， 解得：， 即米， 答．该河的宽度为75米． 【题型八 解决台阶铺地毯问题】 例题：（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解∶如图， 由题意，得，，， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．    【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理的应用：先分析，得地毯的长度等于两个直角边之和，故根据勾股定理求出另一直角边为，即可作答． 【详解】解：根据勾股定理，另一直角边（米）， ∴（米）， 则需要7米的地毯 故答案为：7 2．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南保山·阶段练习）如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意解题关键．根据题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，利用勾股定理求出杯子的斜边长度，即可求出h的取值范围． 【详解】解：由题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，即， h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度， 由勾股定理得，杯子的斜边长度，即， h的取值范围是， 故选：C． 2．（22-23八年级下·广西柳州·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（     ） A．10米 B．8米 C．6米 D．4米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过C点作于点E，则四边形是矩形．，长度可求，在中，可根据勾股定理求出长． 【详解】解：如图，连接，设大树高为米，小树高为米， 过C点作于点E，则四边形是矩形． 米，米， （米）． 在中，根据勾股定理得： （米）， 故选：A． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，小明用的木棒加固小树，已知，，则木棒底端距树根之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用．在中，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：，， ． 在中，，，， 则由勾股定理知：． 故选：A． 4．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，一棵树在离地面米处断裂，树的顶部落在离底部米处，树折断之前有（    ）米 A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解题的关键． 由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】如图， 由题意可知，米，米，， 由勾股定理得： （米） （米） 即树折断之前有米． 故选：C． 5．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 故选：D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）一轮船以16海里/时的速度从港口A出发沿着北偏东的方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿着南偏东的方向航行，离开港口2小时后两船相距 海里． 【答案】40 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，根据题意得出两船航行方向垂直是解题关键． 由北偏东的方向航行，与南偏东的方向航行成直角，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由北偏东的方向航行，与南偏东的方向航行成直角， ∴由题意得两船相距海里． 故答案为：40． 7．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：有一根竹子原来高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，则可列方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设折断处距离地面x尺，根据勾股定理，列出方程，即可． 【详解】解：设折断处距离地面x尺，根据题意，得： ． 故答案为： 8．（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，风雨过后一棵大树被折断，折断处离地面的高度为，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，一只蜗牛从树顶端的处出发，以的速度沿树干向上爬行，则它爬到折断处所需的时间为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键． 由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：在中，，， ， ， 即爬到折断处所需的时间为， 故答案为： 9．（22-23八年级上·全国·单元测试）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方处，过了秒，飞机距离这个女孩头顶，则飞机每秒飞行了 ． 【答案】 【分析】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：设B点为女孩头顶，A为正上方时飞机的位置，C为秒后飞机的位置，如图所示，，， 则 ∴米， ∴米/秒 故答案为：． 10．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处，则木杆折断之前的高度为 米． 【答案】 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．此题考查了勾股定理应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处， ∴折断的部分长为（米）， ∴折断前高度为（米）． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 12．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 【答案】千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，过点B作于E，先根据题意求出，，再求出千米，千米，接着证明是等腰直角三角形，得到千米，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E，    由题意得，， ∴，， 在中，千米， ∴千米， ∴千米， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴千米， ∴千米． 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）印度数学家什迦逻曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”请用学过的数学知识回答这个问题． 【答案】湖水深尺． 【分析】此题考查了勾股定理的应用．设水深x尺，则荷花茎的长度为尺，根据勾股定理得到方程，解方程即可． 【详解】解：设水深x尺，则荷花茎的长度为尺， 根据勾股定理得： 解得：． 答：湖水深尺． 14．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部 B的距离（结果保留小数点后一位）． 【答案】4.9米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．根据电线杆与地面垂直，利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：由题意得：电线杆与地面垂直， 故地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离为：（米）． 答：地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离约为4.9米． 15．（21-22七年级下·山东济南·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为米； (2)他应该往回收线8米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ， （米， （米， 他应该往回收线8米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$