专题02 勾股定理的逆定理（6大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题02 勾股定理的逆定理 目录 【题型一 判定三边能否构成直角三角形】 1 【题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 1 【题型三 在网格中判定直角三角形】 2 【题型四 利用勾股定理的逆定理求解】 3 【题型五 勾股定理逆定理的实际应用】 4 【题型六 勾股定理逆定理的拓展问题】 5 【题型一 判定三边能否构成直角三角形】 例题：以下列三个数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（  ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．9，16，25 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．8，12，13 2．（21-22八年级上·山东枣庄·阶段练习）以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（    ） A．4，8，7 B．5，12，14 C．2，2，4 D．7，24，25 【题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 例题：（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 2．（2021·浙江绍兴·一模）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有 个． 【题型三 在网格中判定直角三角形】 例题：（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，正方形小方格边长为1，则网格中的是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 2．（22-23八年级下·山东济宁·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．5 【题型四 利用勾股定理的逆定理求解】 例题：（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 2．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【题型五 勾股定理逆定理的实际应用】 例题：（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（    ） A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西 方向上. 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行． 【题型六 勾股定理逆定理的拓展问题】 例题：（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 一、单选题 1．（22-23八年级下·广西柳州·期中）下列各组线段，能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）在中，所对的边分别为，下列选项中能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁抚顺·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西来宾·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（    ） A．64 B．81 C．169 D．225 二、填空题 6．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是 ． 7．（23-24七年级上·山东济南·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件：①与互余；②；③，其中可以判定是直角三角形的有 个． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 ． 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知中，，，，是的中点，连接，则的值为 ． 10．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形的面积为34，直角三角形较短的直角边长为3，则中间小正方形的面积为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·山东济南·期中）（1）计算：_______________________________； （2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式： 图2：________________________________； 图3：________________________________； （3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系； 做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即． （4）如图5，在中，，是边上高，，求的长度． 12．（2024年浙江省初中学业水平考试模拟试卷数学试题）如图，在6×6的方格纸中，点A，B均在格点上，试按要求画出相应的格点图形（每小题只需画一个）．    (1)在图1中作一条线段，使它与互相垂直平分． (2)在图2中作一个，使它是轴对称图形，且符合． 13．（23-24八年级下·广东肇庆·期中）如图，在四边形中，，求四边形的面积． 14．（23-24八年级下·云南普洱·期末）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是一个单位长度），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)在图中描出，连接、、，试判断的形状； (2)求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理的逆定理 目录 【题型一 判定三边能否构成直角三角形】 1 【题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 2 【题型三 在网格中判定直角三角形】 5 【题型四 利用勾股定理的逆定理求解】 7 【题型五 勾股定理逆定理的实际应用】 9 【题型六 勾股定理逆定理的拓展问题】 12 【题型一 判定三边能否构成直角三角形】 例题：以下列三个数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（  ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．9，16，25 【答案】C 【分析】由勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：故错误； 故错误； 故正确； 故错误； 故选： 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．8，12，13 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理计算，即可判断答案． 【详解】A、因为，所以这三条线段不能构成直角三角形，所以A选项错误，不符合题意； B、因为，所以这三条线段不能构成直角三角形，所以B选项错误，不符合题意； C、因为，所以这三条线段能构成直角三角形，所以C选项正确，符合题意； D、因为，所以这三条线段不能构成直角三角形，所以D选项错误，不符合题意． 故选C． 2．（21-22八年级上·山东枣庄·阶段练习）以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（    ） A．4，8，7 B．5，12，14 C．2，2，4 D．7，24，25 【答案】D 【分析】由勾股定理的逆定理，逐个验算每个选项即可得到答案． 【详解】解：A．，故不为直角三角形； B．，故不为直角三角形； C．，故不能构成三角形，不能构成直角三角形； D．，故能构成直角三角形； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 【题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 例题：（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解． 【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 2．（2021·浙江绍兴·一模）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有 个． 【答案】8 【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或； 【详解】（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图： （2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图； 符合要求的C点有8个； 故答案是8． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键． 【题型三 在网格中判定直角三角形】 例题：（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理． 在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，证明出是等腰直角三角形，继而可得出的度数． 【详解】解：如图，连接． 根据勾股定理可以得到：，， ，即， ∴， 是等腰直角三角形． ． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，正方形小方格边长为1，则网格中的是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则三角形是直角三角形． 根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，即可得出答案． 【详解】正方形小方格边长为1， ，， ， 网格中的是直角三角形 故选A． 2．（22-23八年级下·山东济宁·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，根据勾股定理求出各边长度，根据勾股定理的逆定理判断出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】解：∵，，， ，， ∴， 是边上的中线， ， 故选：B． 【题型四 利用勾股定理的逆定理求解】 例题：（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积． 【详解】解： ，， ，， ，， ， 为直角三角形，， ， 阴影部分的面积为． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，根据题意，可得，可得是直角三角形，结合图形用正方形的面积减去直角三角形的面积即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形， ∴，且正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选： C． 2．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 【题型五 勾股定理逆定理的实际应用】 例题：（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（    ） A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理应用，作出图形是解题的关键．根据题意画出图形，利用勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：如图，， ， ， 故小数同学向东走5米后所走的方向是向南或向北， 故选D． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西 方向上. 【答案】/52度 【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得． 先根据勾股定理的逆定理得，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可． 【详解】解：如图，过点C作 海里，海里，海里， ， ， ，， ， ， ∵， ， 岛在岛的北偏西方向上． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行． 【答案】南偏西 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故答案为：南偏西． 【题型六 勾股定理逆定理的拓展问题】 例题：（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 一、单选题 1．（22-23八年级下·广西柳州·期中）下列各组线段，能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用．根据勾股定理逆定理分别计算并判断． 【详解】解：A、∵，∴，，不能组成直角三角形； B、∵，∴，，不能组成直角三角形； C、∵，∴，，不能组成直角三角形； D、，∴，，能组成直角三角形； 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）在中，所对的边分别为，下列选项中能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据求出最大角，勾股定理逆定理，等腰三角形依次判断四个选项即可． 【详解】A、∵， ∴最大角 ∴不是直角三角形， 故选项不符合题意． B、∵， ∴ ∴不是直角三角形， 故选项不符合题意． C、∵， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 故选项符合题意． D、∵， ∴是等腰三角形，不一定是直角三角形， 故选项不符合题意． 故选C． 3．（2024·辽宁抚顺·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：即． 故选：C 4．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，连接，由勾股定理以及勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， 由勾股定理得：，， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 故选：B． 5．（23-24八年级下·广西来宾·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（    ） A．64 B．81 C．169 D．225 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和正方形的面积，能正确表示大正方形和小正方形的面积及运用数形结合思想是解题的关键．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，根据小正方形的面积为可解得，则大正方形的面积为，即可求解． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，如下图， 则，， 又∵小正方形的面积为， ∴可解得或（舍去）， ∴， ∴大正方形的面积． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是 ． 【答案】// 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用，首先根据勾股定理逆定理证明出，然后利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴ ∵地位于，两地的中点处 ∴． 故答案为：． 7．（23-24七年级上·山东济南·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件：①与互余；②；③，其中可以判定是直角三角形的有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据题意给出的条件依次进行证明即可． 【详解】解：①与互余， ， ， ， 是直角三角形，故①正确； ②， ，即， 是直角三角形，故②正确； ③， ， 是直角三角形，故③正确； 综上所述，可以判定是直角三角形的有①②③， 故答案为：3． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解．连接，知四边形的面积是和的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到是一个直角三角形．则四边形面积可求． 【详解】解：连接， 则， ，即， 为直角三角形， 四边形的面积， 故答案为：36． 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知中，，，，是的中点，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质，关键是证明是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而根据直角三角形的性质得出的长． 【详解】解：在中，，，， ， ， 是直角三角形， 是的中点， ． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形的面积为34，直角三角形较短的直角边长为3，则中间小正方形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股弦图、正方形的性质等知识点理解勾股定理的内容成为解题的关键． 根据大正方形的面积可得，再运用勾股定理可得，进而得到，最后求小正方形的面积即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为34， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴中间小正方形的面积为． 故答案为4． 三、解答题 11．（23-24七年级下·山东济南·期中）（1）计算：_______________________________； （2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式： 图2：________________________________； 图3：________________________________； （3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系； 做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即． （4）如图5，在中，，是边上高，，求的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）见解析；（4） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，勾股定理的证明以及应用． （1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （2）根据图形的两种面积计算方法即可得出答案； （3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和得出，然后化简即可求证； （4）先利用勾股定理求出，再根据等面积法即可求得． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）图二：； 图三：； 故答案为：，； （3）证明：在图4中， 大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即， 化简得：． （4）在中， ， ∴由勾股定理，得：， ， ， ， ． 12．（2024年浙江省初中学业水平考试模拟试卷数学试题）如图，在6×6的方格纸中，点A，B均在格点上，试按要求画出相应的格点图形（每小题只需画一个）．    (1)在图1中作一条线段，使它与互相垂直平分． (2)在图2中作一个，使它是轴对称图形，且符合． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接，则，故四边形是菱形，因此与互相垂直平分，故即为所求； （2）由勾股定理得，，，故，，所以为等腰直角三角形，故为轴对称图形，则，故即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，    连接，    则， ∴四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， 故即为所求； （2）解：如图，即为所求，    ∵，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形，故为轴对称图形， ∴， 故即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 13．（23-24八年级下·广东肇庆·期中）如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴是直角三角形，且， ∴． 14．（23-24八年级下·云南普洱·期末）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是一个单位长度），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)在图中描出，连接、、，试判断的形状； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析，直角三角形，证明见解析 (2) 【分析】（1）先描点，再画，再利用勾股定理的逆定理作答即可； （2）先求解，再利用直角三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 【点睛】本题考查的是坐标系内描点，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，三角形的面积的计算，掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$