专题01 勾股定理（8大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题01 勾股定理 目录 【题型一 已知直角三角形的两边，求第三边长】 1 【题型二 已直角三角形三边为边长的图形的面积】 2 【题型三 利用等面积法求斜边上的高问题】 3 【题型四 勾股定理与折叠问题】 3 【题型五 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 4 【题型六 勾股数问题】 4 【题型七 利用勾股定理证明线段平方关系】 5 【题型八 勾股定理的证明方法】 6 【题型一 已知直角三角形的两边，求第三边长】 例题：（23-24八年级下·湖南永州·期中）中，斜边，则的值是（        ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一个零件的形状如图所示，已知，，，，则长为（    ）． A．5 B．13 C． D．15 2．（22-23八年级上·江西吉安·期末）已知直角三角形的直角边长分别为6，7，第三边为x，其中则 ． 【题型二 已直角三角形三边为边长的图形的面积】 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（   ） A． B． C． D．无法计算 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西北海·期末）如图是一棵美丽的勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A，B的面积分别为41，25，则正方形C的面积是（    ） A．4 B．5 C．16 D．66 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，以为一边的正方形面积为9，则以为一边的正方形面积为 ． 【题型三 利用等面积法求斜边上的高问题】 例题：（23-24八年级下·广西桂林·开学考试）在中，，若，，则斜边上的高（    ） A．4 B． C．5 D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，直角三角形的两直角边分别是3和4，则斜边上的高的长是（    ） A．1.8 B．2 C． D． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在中，，则高 ． 【题型四 勾股定理与折叠问题】 例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【变式训练】 1．（22-23七年级上·山东东营·期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ． 【题型五 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 例题：（21-22八年级上·贵州六盘水·阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【变式训练】 1．（21-22八年级上·全国·课后作业）在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是 ． 【题型六 勾股数问题】 例题：（23-24八年级下·广东惠州·期中）下列各组数据不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练】 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    【题型七 利用勾股定理证明线段平方关系】 例题：（22-23八年级下·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·广东云浮·期中）在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【题型八 勾股定理的证明方法】 例题：（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式训练】 1．（22-23八年级下·北京海淀·开学考试）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，观察下图，你能写出的等式是 ．    2．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 2．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，，，是边上的中线，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（   ）    A．4 B．6 C．16 D．18 4．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）在中，，，，则斜边上的高是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，一张长方形纸片剪去一个角后剩下一个梯形，则这个梯形的周长为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 二、填空题 6．（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 7．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）已知直角三角形的斜边比一直角边长，另一直角边长为，则该三角形的斜边长为 cm． 8．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知的斜边，分别以直角边、为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，则的值为 ． 9．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，，，，求： (1)的长； (2)的长． 12．（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 13．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在中，，，，求的长及的面积．    14．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是不是从村庄到河边的最近的路，请通过计算加以说明； (2)求新路比原路少多少千米． 15．（23-24八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．    (1)求的长度； (2)求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理 目录 【题型一 已知直角三角形的两边，求第三边长】 1 【题型二 已直角三角形三边为边长的图形的面积】 3 【题型三 利用等面积法求斜边上的高问题】 4 【题型四 勾股定理与折叠问题】 6 【题型五 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 8 【题型六 勾股数问题】 10 【题型七 利用勾股定理证明线段平方关系】 12 【题型八 勾股定理的证明方法】 14 【题型一 已知直角三角形的两边，求第三边长】 例题：（23-24八年级下·湖南永州·期中）中，斜边，则的值是（        ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中， ， 又 故选∶B． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一个零件的形状如图所示，已知，，，，则长为（    ）． A．5 B．13 C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理应用的条件及勾股定理的内容是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选B． 2．（22-23八年级上·江西吉安·期末）已知直角三角形的直角边长分别为6，7，第三边为x，其中则 ． 【答案】85 【分析】运用勾股定理即可求解． 【详解】解：可知x为斜边长，由勾股定理：； 所以． 故答案为：85． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 【题型二 已直角三角形三边为边长的图形的面积】 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得到，即可得到答案. 【详解】解：在中，，若， ∴， ∴正方形和正方形的面积差为：， 故选：B 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西北海·期末）如图是一棵美丽的勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A，B的面积分别为41，25，则正方形C的面积是（    ） A．4 B．5 C．16 D．66 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积，即可得解；正确掌握相关知识点是解题关键． 【详解】解：根据勾股定理，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积， 即：， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，以为一边的正方形面积为9，则以为一边的正方形面积为 ． 【答案】16 【分析】此题主要考查了正方形的面积，勾股定理，根据以为一边的正方形面积为9得，在中由勾股定理得可得出，由此可得以为一边的正方形面积．熟练掌握正方形的面积公式和勾股定理是解决问题的关键 【详解】解： 以为一边的正方形面积为9， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 以为一边的正方形面积为16． 故答案为：16． 【题型三 利用等面积法求斜边上的高问题】 例题：（23-24八年级下·广西桂林·开学考试）在中，，若，，则斜边上的高（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角形等积转换；由勾股定理得，由三角形面积得，即可求解；掌握勾股定理，能巧用三角形等积转换是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， 解得：； 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，直角三角形的两直角边分别是3和4，则斜边上的高的长是（    ） A．1.8 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查勾股定理，根据勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积公式求出即可，熟练掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 【详解】由题意知，， 则， 因为\ 所以 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在中，，则高 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理得，再根据三角形的面积即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型四 勾股定理与折叠问题】 例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·山东东营·期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 2．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，从而可得，设，从而可得，然后在中利用勾股定理即可得． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为， 故答案为：． 【题型五 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 例题：（21-22八年级上·贵州六盘水·阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可． 【详解】解：如图示， ∴在中， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键． 【变式训练】 1．（21-22八年级上·全国·课后作业）在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案． 【详解】解：∵在中，且， ∴AB为的斜边， ∴根据勾股定理得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是 ． 【答案】2 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【题型六 勾股数问题】 例题：（23-24八年级下·广东惠州·期中）下列各组数据不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理逆定理，根据“一组正整数，且满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，这样的一组数叫做勾股数”，进行判断即可，理解勾股数的定义及熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查勾股定理的利用，正确理解图中几个正方形与直角三角形的关系是解题的关键.根据直角三角形勾股定理解答得到E的面积是A、B、C、D四个面积的和，由此得到答案. 【详解】解：如图， 由图知：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积， 正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积， 正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积， ∴正方形E的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积， 故选：B. 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律． 根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值． 【详解】解：如图所示，为等腰直角三角形，    则． ， 即， 同理可得：， ， 故答案为：． 【题型七 利用勾股定理证明线段平方关系】 例题：（22-23八年级下·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 【详解】解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·广东云浮·期中）在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：，，的对边分别是，，，， 为斜边， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【题型八 勾股定理的证明方法】 例题：（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③或， ∴， 故③符合题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； 故选：D 【变式训练】 1．（22-23八年级下·北京海淀·开学考试）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，观察下图，你能写出的等式是 ．    【答案】 【分析】用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大正方形的边长为，因此面积可以表示为， 大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为， 因此， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积． 2．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键． （）先证明，得出，然后利用面积法证明即可； （）利用面积法计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴梯形的面积， 梯形的面积， ∴， 化简可得：； ； （2）解：如图所示： 大正方形的面积； 大正方形的面积， ∴． 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 2．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，，，是边上的中线，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，则，再根据三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：， ， 是边上的中线， ， 的面积， 故选：A． 3．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（   ）    A．4 B．6 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．如图，证明，得到，根据勾股定理得到，即可．解题的关键是证明． 【详解】解：如图，由题意，得：，    ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴b的面积为16； 故选：C． 4．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）在中，，，，则斜边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 先根据勾股定理求得斜边的长，然后根据三角形的面积即可求得斜边上的高． 【详解】解：根据勾股定理，斜边， ， 又斜边上的高， 斜边上的高， 故选：． 5．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，一张长方形纸片剪去一个角后剩下一个梯形，则这个梯形的周长为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理求出的长，进一步求出梯形的周长即可． 【详解】解：由图和题意，得：， ∴， ∴， ∴这个梯形的周长为； 故选B． 二、填空题 6．（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足的三个正整数称为勾股数；根据题意得为偶数，设其股是，则玄为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵m为正整数， ∴为偶数， 设其股是a，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得：， 故答案为：． 7．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）已知直角三角形的斜边比一直角边长，另一直角边长为，则该三角形的斜边长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，设一条直角边的长为，则斜边为，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】设一条直角边的长为，则斜边为 该直角三角形的斜边为． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知的斜边，分别以直角边、为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的平方即为的值，熟练掌握勾股定理，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：25． 9．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 由图形可得，阴影部分的面积为两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 则阴影部分的面积 ， 故答案为：12． 10．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，明确翻折前后对应边相等是解题关键． 求解即可．设，由翻折易得，利用直角三角形，利用勾股定理列方程可求得长，即可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， 设，则， ∵， ∴在中， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，解得，即：， ∴， ∴的面积为． 故答案为6． 三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，，，，求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形． （1）在中，利用勾股定理即可求解； （2）在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在中， ； （2）解：在中，， 所以． 12．（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 13．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在中，，，，求的长及的面积．    【答案】； 【分析】本题考查了勾股定理，求三角形的面积，掌握勾股定理，求三角形的面积是解本题的关键． 根据勾股定理解得，再利用即可解得面积． 【详解】解：在中， ，，， ． 14．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是不是从村庄到河边的最近的路，请通过计算加以说明； (2)求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)是最近的路；说明见解析； (2)新路比原路少千米． 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理，判断是否垂直于即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出的值，再求与的差即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是为从村庄到河边的最近路； （2）设，则 ，， 在中，根据勾股定理有， ，即， 解得：， ∴， ∴， ∴新路比原路少千米． 15．（23-24八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．    (1)求的长度； (2)求的面积． 【答案】(1)3 (2)15 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由勾股定理得，设，由折叠的性质得，从而可得，，再由勾股定理得，代入数值并求解即可； （2）由三角形面积公式得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 设，由折叠可得，，，， ∴，，， 在中，可有， 即，解得， ∴， 故的长度为3； （2）解：结合（1），可知，，， ∴， 故的面积为15． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$