第1讲 空间向量及其运算同步复习讲义 -2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2024-2025学年高一数学上学期同步复习讲义 第1讲 空间向量及其运算 教学目标 1．理解空间向量的概念及线性运算，掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：了解空间向量夹角的概念及表示方法； 难点：掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用。 教学内容 空间向量及其运算 知识点一：空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 【注意】 （1）空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示； （2）向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或； （3）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； （4）向量具有平移不变性. （5）在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样. （6）几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 【例】下列说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．若，则与的长度相等，方向相同或相反 D．若与是相反向量，则 【练】给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②若空间向量满足，，则； ③零向量没有方向； ④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． 其中假命题的个数是（　　）． A．1 B．2 C．3 D．4 知识点二：空间向量的运算 （1）定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）. ， ， （2）运算律 ①加法交换律：； ②加法结合律：； ③数乘分配律：； 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. 【注意】平行六面体法则：在平行六面体中，. 【例】已知空间四边形中，，，，则等于（　　）． A． B． C． D． 知识点三：共线向量 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作. （2）共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使. （3）三点共线：三点共线； （4）与共线的单位向量为. 【例】如图，在平行六面体中，分别是的中点，判断以下向量是否共线向量，若是，则判断是同向向量还是反向向量：①与； ②与；③与；④与. 【练】已知向量且，则一定共线的三点为（　　）． A． B． C． D． 知识点四：共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明：空间任意的两向量都是共面的. （2）共面向量定理 如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使. （3）四点共面 方法1：若要证明四点共面，只需要证明共面，即. 方法2：若要证明四点共面，只需要证明（其中） 证明：若， 则 ， ，， 即共面，即四点共面. 【例】在下列条件中，使与，，一定共面的是（　　） A． B． C． D． 【练1】下列说法中正确的是（　　） A．平面内的任意两个向量都共线 B．空间的任意三个向量都不共面 C．空间的任意两个向量都共面 D．空间的任意三个向量都共面 【练2】为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数　　． 知识点五：空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点作 则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作：. 知识点六：空间向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 特别地，零向量与任何向量的数量积为. 【例】如图，正方体的棱长为，求，. 知识点七：空间向量数量积的性质 （1） （2） （3） （4） 知识点八：空间向量数量积运算律 （1） （2）（交换律） （3） （分配律） （4） 不满足乘法结合律： 【例】如图，正方体的棱长为，设，求： （1） ； （2） 知识点九：向量的投影 1．如图（1），在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影（如图（2））． 2．如图（3），向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 考点一：空间向量的有关概念及线性运算 【例1】已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（　　） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点二：空间向量的线性运算 【例2】在正方体中，底面的对角线交于点，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（    ）．    A． B． C． D． 【变式2-2】已知四面体，是的中点，连接，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】直三棱柱中，若，，，则（     ）.    A． B． C． D． 考点三：空间向量共线问题 【例3-1】在长方体中，为的中点，在上，且，为的中点.求证：，，三点共线. 【例3-2】设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______． 【变式3-1】设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线． 考点四：空间向量共面问题 【例4-1】下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】已知平行四边形，从平面外一点引向量，，，. 求证：四点共面； 【例4-3】已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由． 【变式4-1】若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【变式4-3】已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式4-4】已知三个向量不共面，且．试问向量是否共面． 考点五：数量积的运算 【例5】在棱长为1的正方体中，___________. 【变式5-1】已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则=_________. 【变式5-2】已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】正四面体的棱长为2，点D是的重心，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 考点六：数量积的应用（求夹角、长度） 【例6-1】 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，求的长． 【例6-2】已知，且与垂直，则与的夹角为（       ） A．60° B．30° C．135° D．45° 【变式6-1】如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记. （1）试用表示； （2）求模. 【变式6-2】如图所示，平行六面体中，，，，，，求的长． 【变式6-3】已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【变式6-4】已知，是两个空间单位向量，它们的夹角为，设向量，．求： （1）； （2）向量与的夹角. 考点七：空间向量的投影（向量） 【例7-1】已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【例7-2】在中，，，，则在方向上的投影为 ． 【变式7-1】在等腰中，若，，则向量在向量方向上的投影为（       ） A． B． C．1 D． 【变式7-2】已知，在上的投影为1，则在上的投影为（       ） A．-1 B．2 C．3 D． 【变式7-3】若，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为（       ） A． B．48 C． D． 【变式7-4】等腰梯形中，，则向量在向量上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 【题组一：空间向量及其线性运算】 一、单选题 1．如图，在空间四边形中，（       ） A． B． C． D． 2．已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（       ） A． B． C． D． 3．如图，平行六面体中，与交于点，设，，，则等于（       ） A． B． C． D． 4．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（       ） A． B． C． D． 5．已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与不能构成空间基底的向量是（       ） A． B． C． D．或 6．已知平面ABCD外任意一点O满足，．则取值是（       ） A． B． C． D． 7．平行六面体中，若则（       ） A． B． C． D． 8．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（       ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（       ） A．； B．； C．； D． 10．下列命题中是假命题的为（       ） A．若向量，则与，共面 B．若与，共面，则 C．若，则，，，四点共面 D．若，，，四点共面，则 三、填空题 11．如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______． 12．在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为___________. 四、解答题 13．如图，在四面体中，点、分别为、的中点，问：与、是否共面？ 14．如图所示，在平行六面体中，为的中点. （1）化简：； （2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值. 【题组二：空间向量的数量积运算】 一、单选题 1．如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．如图所示，在平行六面体中，，，则（       ） A．2 B． C． D．1 3．已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，则（       ）． A．15 B．3 C． D．5 4．如图所示，在平行六面体中，各棱长均为2，，，则向量的长度为（       ） A． B． C． D． 5．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（       ） A． B． C． D． 6．已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（       ） A． B． C． D． 7．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则（       ） A． B．3 C． D．2 8．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（       ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是　　 A． B． C．一定不与垂直 D． 10．在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（       ） A． B． C．若，则 D．若直线与交于点O，则 三、填空题 11．如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，且，则__. 12．平行六面体，，，，则______ 四、解答题 13．如图所示，在平行六面体中，，，，. （1）求； （2）求线段的长. 14．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，． （1）设，，，用向量表示， （2）求出的长度； 一、本节课我们学习的向量你了解到了哪些？ 二、本节课我需要努力的地方是： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期同步复习讲义 第1讲 空间向量及其运算 教学目标 1．理解空间向量的概念及线性运算，掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：了解空间向量夹角的概念及表示方法； 难点：掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用。 教学内容 空间向量及其运算 知识点一：空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 【注意】 （1）空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示； （2）向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或； （3）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； （4）向量具有平移不变性. （5）在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样. （6）几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 【例】下列说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．若，则与的长度相等，方向相同或相反 D．若与是相反向量，则 解析对于，单位向量的模相等，但是方向不一定一样，故错；对于，零向量与其反向量相等；对于，只能说明两向量的模相等，方向可以是多样的，故错；对于，相反向量的模是相等的，故是正确的.故选. 【练】给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②若空间向量满足，，则； ③零向量没有方向； ④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． 其中假命题的个数是（　　）． A．1 B．2 C．3 D．4 解析 对于①，向量方向不相同，则，故①错；对于②，空间向量也具有传递性，故②正确；对于③，零向量的方向是任意的，故③错；对于④，相等向量的起点与终点不一定相同，，故④错.故选. 知识点二：空间向量的运算 （1）定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）. ， ， （2）运算律 ①加法交换律：； ②加法结合律：； ③数乘分配律：； 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. 【注意】平行六面体法则：在平行六面体中，. 【例】已知空间四边形中，，，，则等于（　　）． A． B． C． D． 解析 ，故选. 知识点三：共线向量 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作. （2）共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使. （3）三点共线：三点共线； （4）与共线的单位向量为. 【例】如图，在平行六面体中，分别是的中点，判断以下向量是否共线向量，若是，则判断是同向向量还是反向向量：①与； ②与；③与；④与. 解析 ，与是同向向量；②与是异面直线，与不是共线向量；③且，则，则与是反向向量； ④，与是反向向量. 【练】已知向量且，则一定共线的三点为（　　）． A． B． C． D． 解析：因为，所以与共线，即三点共线． 知识点四：共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明：空间任意的两向量都是共面的. （2）共面向量定理 如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使. （3）四点共面 方法1：若要证明四点共面，只需要证明共面，即. 方法2：若要证明四点共面，只需要证明（其中） 证明：若， 则 ， ，， 即共面，即四点共面. 【例】在下列条件中，使与，，一定共面的是（　　） A． B． C． D． 解：在中，由，得，则为共面向量，即四点共面； 对于，由，得，不能得出四点共面； 对于，由，得，所以四点不共面； 对于，由，得，其系数和不为，所以四点不共面． 故选：． 【练1】下列说法中正确的是（　　） A．平面内的任意两个向量都共线 B．空间的任意三个向量都不共面 C．空间的任意两个向量都共面 D．空间的任意三个向量都共面 答案 【练2】为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数　　． 解：由题意得，，且四点共面，，. 知识点五：空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点作 则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作：. 知识点六：空间向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 特别地，零向量与任何向量的数量积为. 【例】如图，正方体的棱长为，求，. 解 是正三角形，， ； . 知识点七：空间向量数量积的性质 （1） （2） （3） （4） 知识点八：空间向量数量积运算律 （1） （2）（交换律） （3） （分配律） （4） 不满足乘法结合律： 【例】如图，正方体的棱长为，设，求： （1） ； （2） 解 ； （2）方法1 ； 方法2 . 知识点九：向量的投影 1．如图（1），在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影（如图（2））． 2．如图（3），向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 考点一：空间向量的有关概念及线性运算 【例1】已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（　　） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】 对于①，，，， 与是一对相反向量，①正确； 对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， , 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 【变式1-1】给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】对于①，，故①为真命题； 对于②，若与中有一个为零向量时，其方向不确定，故②为假命题； 对于③，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，所以③为假命题； 对于④，共线向量所在直线可以重合，也可以平行，不能得到点A，B，C，D必在同一条直线上，故④为假命题； 对于⑤，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故⑤为假命题．故假命题的个数为4.故选：C 【变式1-2】给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 故选：D. 考点二：空间向量的线性运算 【例2】在正方体中，底面的对角线交于点，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 如下图所示： . 故选：A. 【变式2-1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为， 所以， 故选：A. 【变式2-2】已知四面体，是的中点，连接，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】四面体，是的中点，如图所示， 因为是的中点， 所以 所以. 故选：A. 【变式2-3】直三棱柱中，若，，，则（     ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量的加减法运算法则得： . 故选：A 考点三：空间向量共线问题 【例3-1】在长方体中，为的中点，在上，且，为的中点.求证：，，三点共线. 【答案】证明过程见解析. 由图作出如图所示长方体 由题可得，， ， 所以，所以，E，N三点共线. 【例3-2】设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______． 【答案】 ，， ， 三点共线，存在实数，使得，即， ，解得：． 故答案为：. 【变式3-1】设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由，， 得， 因为A，C，D三点共线，所以， 则存在唯一实数，使得， 则，解得. 故选：C. 【变式3-2】A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线． 【答案】C、E、F三点共线 解：设，，， ， ， ， ， 因为， 所以， 又因为、有公共点C， 所以C、E、F三点共线． 考点四：空间向量共面问题 【例4-1】下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，若，则点共面． 对于A，，由于，故A错误； 对于B，，由于，故B错误； 对于C,，由于，故C错误； 对于D，，由于，得共面，故D正确. 故选：D. 【例4-2】已知平行四边形，从平面外一点引向量，，，. 求证：四点共面； 【答案】（1）证明见解析 ∵四边形是平行四边形，∴， ∵， ∴、、、四点共面； 【例4-3】已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由． 【答案】向量共面，理由见解析. 设，则，故，解得：，故，由空间向量共面定理得：向量共面. 【变式4-1】若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】平面， ，，，四点共面， 又， ，解得． 故选：D． 或者根据平面，，，，四点共面，则存在实数，使得， 即， 又，所以解得 故选：D 【变式4-2】已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为， 所以由 得， 即， 因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面， 所以，故. 故选：A. 【变式4-3】已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为，点在确定的平面内， 所以，即，所以， 所以当时，的有最小值2． 故选：D 【变式4-4】已知三个向量不共面，且．试问向量是否共面． 答案 共面　 解析 假设三个向量共面，则设出实数，使得， 则， 所以，解得， 所以存在值使得，成立， 所以向量共面． 考点五：数量积的运算 【例5】在棱长为1的正方体中，___________. 【答案】1 如图，在正方体中， ， 故答案为：1 【变式5-1】已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则=_________. 【答案】1 如图，正方体中，与平行且相等，则是平行四边形，，且，，即， 平面，平面，则， ． 故答案为：1． 【变式5-2】已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点，则（ ） A． B． C． D． 答案 解析 四面体，所有棱长均为，四面体为正四面体， 分别为棱的中点， ． 故选：． 【变式5-3】正四面体的棱长为2，点D是的重心，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点D是的重心, 正四面体的棱长为2， . 故选：D. 【变式5-4】设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，由 ，， 故, 所以 ． 故选:A． 考点六：数量积的应用（求夹角、长度） 【例6-1】 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，求的长． 解析 ， 即的长为. 【例6-2】已知，且与垂直，则与的夹角为（       ） A．60° B．30° C．135° D．45° 【答案】D 因为与垂直，所以即， 所以，而， 故， 故选：D. 【变式6-1】如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记. （1）试用表示； （2）求模. 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）， . （2）因为AB，AD，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1. 所以， .. 【变式6-2】如图所示，平行六面体中，，，，，，求的长． 【解析】设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，则. 又，，，，. . 故答案为： 【变式6-3】已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】D ∵与垂直，∴， ∴ ， ∴．∵，∴． 故选：D 【变式6-4】已知，是两个空间单位向量，它们的夹角为，设向量，．求： （1）； （2）向量与的夹角. 【解析】（1）因为，是两个空间单位向量，它们的夹角为， 所以， 所以； （2）因为， 所以，， 又因为 所以， 因为，所以，即向量与的夹角为. 考点七：空间向量的投影（向量） 【例7-1】已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 在上的投影向量是： . 故选：A 【例7-2】在中，，，，则在方向上的投影为 ． 【答案】 在中，，，， 由正弦定理得：， 又根据题意：向量与的夹角为，向量与的夹角为， 则在方向上的投影为． 故答案为：． 【变式7-1】在等腰中，若，，则向量在向量方向上的投影为（       ） A． B． C．1 D． 【答案】A 易得，则向量在向量方向上的投影为. 故选：A. 【变式7-2】已知，在上的投影为1，则在上的投影为（       ） A．-1 B．2 C．3 D． 【答案】C 在上的投影为，即， 在上的投影为， 故选：C 【变式7-3】若，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为（       ） A． B．48 C． D． 【答案】C 解：，，与的夹角为， 则向量在上的投影向量为：． 故选：C． 【变式7-4】等腰梯形中，，则向量在向量上的投影向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 由，可知，且，过点作，垂足为，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 【题组一：空间向量及其线性运算】 一、单选题 1．如图，在空间四边形中，（       ） A． B． C． D． 【答案】A 根据向量的加法、减法法则得. 故选：A. 2．已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B . 故选：B 3．如图，平行六面体中，与交于点，设，，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 由已知可得 ， 故选：. 4．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 由题意，，分别是，的中点，所以 故选：C 5．已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与不能构成空间基底的向量是（       ） A． B． C． D．或 【答案】C ， 与、不能构成空间基底； 故选：C． 6．已知平面ABCD外任意一点O满足，．则取值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 由向量共面定理可知：，解得：. 故选：A 7．平行六面体中，若则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 因为，又因为且等式右边的三个向量不共面， 故可得，解得， 故可得. 故选：B. 8．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 由题意， ，， ∵，，共面， ∴在在实数唯一实数对，使得， ， ∴，解得． 故选：B． 二、多选题 9．在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（       ） A．； B．； C．； D． 【答案】AB 如图正方体中： 选项A: ，正确； 选项B：，正确； 选项C：，错误； 选项D：，错误. 故选：AB 10．下列命题中是假命题的为（       ） A．若向量，则与，共面 B．若与，共面，则 C．若，则，，，四点共面 D．若，，，四点共面，则 【答案】BD 对于选项A：由平面向量基本定理得与，共面，A是真命题； 对于选项B：若，共线，不一定能用，表示出来，B是假命题； 对于选项C：若，则三个向量在同一个平面内，，，，四点共面，C是真命题； 对于选项D：若，，共线，点P不在此直线上，则不成立，D是假命题； 故答案为：BD 三、填空题 11．如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______． 【答案】 解：因为四棱锥中，四边形为菱形， 所以，所以，所以． 所以，，，故． 故答案为： 12．在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为___________. 【答案】 由题意可知， ， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题 13．如图，在四面体中，点、分别为、的中点，问：与、是否共面？ 【答案】共面，理由见解析. ，且、分别为、的中点， 所以，. 因此，与、共面. 14．如图所示，在平行六面体中，为的中点. （1）化简：； （2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值. 【答案】（1）；（2）、、. （1） （2） ， 、、. 【题组二：空间向量的数量积运算】 一、单选题 1．如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C ∵，∴ ，∴，， 故选：C. 2．如图所示，在平行六面体中，，，则（       ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 由题意，，两边平方可得 ； 所以. 故选：A. 3．已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，则（       ）． A．15 B．3 C． D．5 【答案】B 向量，，是两两垂直的单位向量，且，， . 故选：B 4．如图所示，在平行六面体中，各棱长均为2，，，则向量的长度为（       ） A． B． C． D． 【答案】A ， 故选：A 5．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 依题意，分别是的中点， 所以， 三角形是等边三角形，且边长为. 所以. 故选：B 6．已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 因为E，F分别是BC，AD的中点， 所以，， 又因为正四面体ABCD的棱长都为1， 所以， 故 ． 故选：C． 7．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则（       ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 设，由题意得：，， . 故选：B. 8．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 由已知， 因为，， 所以， ， ． 故选：D． 二、多选题 9．设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是　　 A． B． C．一定不与垂直 D． 【答案】BD 是表示与向量共线的向量，而是表示与向量共线的向量，错误， ，是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得，正确， 可能成立，错误， 向量的运算满足平方差公式，，正确， 故选：． 10．在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，则下列选项正确的是（       ） A． B． C．若，则 D．若直线与交于点O，则 【答案】AB 对A，由题意，，A正确； 对B，，B正确； 对C，， 则，C错误； 对D，由题意可知，， 则 ，D错误. 故选：AB. 三、填空题 11．如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，且，则__. 【答案】 平行六面体中，， .. 故答案为：． 12．平行六面体，，，，则______ 【答案】 由题设，可得如下示意图， ∴， ∴，则. 故答案为： 四、解答题 13．如图所示，在平行六面体中，，，，. （1）求； （2）求线段的长. 【答案】（1）（2） （1）解：由题意可得，， ， 所以； （2）解：所以线段的长为. 14．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，． （1）设，，，用向量表示， （2）求出的长度； 【答案】（1）；（2）． （1）. （2）因为，同理可得， 所以 . 一、本节课我们学习的向量你了解到了哪些？ 二、本节课我需要努力的地方是： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$