第三单元角的度量（讲义）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

角的度量 板块一：考点精讲 1．直线、线段和射线的认识 【知识点归纳】 1．概念： 直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 注意： （1）线和射线无长度，线段有长度． （2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点． 2．直线、射线、线段区别： 直线没有端点，两边可无限延长； 射线有一端有端点，另一端可无限延长； 线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 2．角的概念和表示 【知识点归纳】 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段． 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角的表示方法： （1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A 3．角的分类（锐角直角钝角） 【知识点归纳】 根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。 （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180° （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360° （3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。 4．角的度量 【知识点归纳】 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量． 弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R． 3．度量方法： 量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． 量角器的0刻度线和角的一条边对齐． 做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． 看刻度要分清内外圈． 5．画指定度数的角 【知识点归纳】 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量 板块二：高频考点 一、选择题 1．把一个平角分成不相等的四个角，较小的那个角是（    ）角。 A．锐 B．直 C．钝 2．一副三角尺不可以拼出（　　）的角。 A．70° B．105° C．15° 3．9时10分，时针与分针组成一个（    ）。 A．锐角 B．钝角 C．直角 4．角的两边（    ）角越大。 A．越长 B．叉开越开 C．越粗 5．12时30分时，时针和分针组成的角是（　　） A．锐角 B．钝角 C．直角 6．图中有（    ）条线段。 A．4 B．8 C．10 7．如图所示，说法正确的是（    ）。    A．∠1＝∠3 B． C．∠2＝90° 8．老师带来了一根10厘米长的彩带，这根彩带是（    ）。 A．射线 B．直线 C．线段 二、填空题 9．如图，已知，∠2＝( )，( )。 10．先判断下面的角各是什么角，再用量角器量出每个角的度数． ( )角　　　　　　　　　     ( )角　　　　　　　　   ( )角 ( )度　　　　　　　　　     ( )度　　　　　　　　   ( )度 11．9点整时针与分针形成的角是( )角，再过半小时，时针与分针形成的角是( )角。 12．两个锐角的度数的和是135°，那么其中较大的角一定小于( )°，较小的角一定大于( )°。 13．钟面上9时整，这时的钟面上的时针和分针所成的角是( )度。 14．下面的角中，直角有（ ），锐角有（ ），钝角有（ ）。 15．5时整，时针与分针成( )角，是( )度；6时整，时针与分针成( )角；9时整，时针与分针成( )度。 三、判断题 16．小明画了一条长10厘米的射线。( ) 17．用一副三角板就能拼成140度的角。( ) 18．任意两个平角能拼成一个周角。( ) 19．过一点只能画一条直线。( ) 20．小明画了一条3厘米长的直线。( ) 21．在9°与10°之间还有其他的角。( ) 22．明明说：“我画了一条长60 cm的直线。”( ) 四、解答题 23．下面是一张长方形纸折起来以后的图形，其中∠1＝60°，你知道∠2是多少度吗？ 24．已知∠1=55°，求∠2、∠3、∠4的度数． 25．下列图形中，有多少个小于180的角？ 26．如下图所示，将一张正方形纸沿AB折叠，如果∠2＝40°，那么∠1是多少度？ 27．下面有5个点，在每两个点之间画一条线段，可以画几条？ 28．延长一个角的两条边这个角会变得更大吗？为什么？请用画图或文字的方法说明理由。 29．通过放大10倍的放大镜来看一个60°的角，这个角是多少度？ 30．小明想将下图衣帽钩固定在墙上，至少需要几个钉子？请用学过的知识进行解释。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】平角是180度的角，如果较小的角是钝角或者直角是不可能的，因为四个角的和才180度，直角是90度，钝角是大于90度小于180度的角，故较小的角是锐角。 【详解】把一个平角分成不相等的四个角，较小的那个角是（锐）角。 故选：A 【点睛】解答此题时，要知道平角是180度的角，直角是90度的角，钝角是大于90度小于180度的角，熟练掌握并灵活应用。 2．A 【分析】在一副三角尺中有30°、45°、60°和90°的角，用两副三角尺上各一个角进行加减组成新角，据此解答。 【详解】A．70°的角不可以用一副三角尺拼出。 B．45°＋60°＝105°，一副三角尺可以拼出105°的角。 C．45°－30°＝15°，一副三角尺可以拼出15°的角。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了学生对用一副三角尺可拼成特殊角的掌握情况。 3．B 【分析】钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°。当时针指向9，分针指向2时，时针和分针之间的夹角为5×30°＝150°。而9时10分时，分针指向2，时针在9和10之间，时针和分针的夹角小于150°。 【详解】5×30°＝150°，则9时10分，时针与分针之间的夹角小于150°，组成一个钝角。 故答案为：B。 【点睛】解决本题的关键是明确钟面上每相邻两个数字之间的夹角为30°。 4．B 【分析】角的大小与变得长短和粗细没有关系，跟叉开程度有关，叉开的越大，角就越大，反之，则越小。 【详解】角的两边叉开越开角越大。 故选：B。 【点睛】此题考查角的大小和什么有关系。 5．B 【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可。 【详解】因为时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°， 所以钟表上12点30分时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5°×30=15°，分针在数字6上． 因为钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， 所以12点30分时分针与时针的夹角6×30°－15°＝165°。 时针和分针组成的角是钝角． 故答案为：B 6．C 【分析】在图中加上A、B、C、D、E四个字母。采用有序组合的方法，可以从A点依次向B、C、D、E四个点一条一条地画，得到4条线段，然后再从B点依次向C、D、E三个点一条一条地画，得到3条线段，按照同样的方法，最后从D点画到E点，得到1条线段，共有（4＋3＋2＋1）条线段； 【详解】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（条） 图中有10条线段。 故答案为：C 7．A 【分析】小于90°的角叫锐角，等于90°的角叫直角，大于90°小于180°的角叫钝角，等于180°的角叫平角，等于360°的角叫周角。∠1和∠3是锐角，∠2和∠4是钝角。∠1和∠4拼成平角，∠3和∠4也拼成平角，所以∠1＝∠3。 【详解】A．∠1＝180°－∠4，∠3＝180°－∠4，∠1＝∠3； B．∠2＋∠4＞180° C．∠2＞90° 说法正确的是∠1＝∠3。 故答案为：A 【点睛】熟记锐角、直角、钝角、平角的特征是解题关键。 8．C 【分析】射线只有一个端点，不可以测量出长度；直线没有端点，是无限长的，不可以测量出长度；一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作线段，线段有两个端点，可以测量出长度；依此选择。 【详解】老师带来了一根10厘米长的彩带，这根彩带是线段。 故答案为：C 9． 130°/130度 50°/50度 【分析】1平角＝180°，根据题意可知：∠1＋∠2＝180°，因此∠2＝180°－∠1； ∠3＋∠2＝180°，因此∠3＝∠1；依此计算。 【详解】∠2＝180°－50°＝130°； ∠3＝∠1＝50°。 【点睛】此题考查的是角的分类与换算，熟练掌握平角的特点是解答此题的关键。 10． 锐 直 钝 45 90 135 11． 直 钝 【分析】9时整，钟面上时针指向9，分针指向12，分钟和时针成直角角，再过半小时，钟面上时针指向9与10之间，分针指向6，它们之间的格子有3个大格多，钟面上一大格是30°，时针和分针之间有几个大格，就是有几个30°，1大格的一半是30°÷2＝15°，求出此时分针和时针形成角的度数，进而判断角的种类。 【详解】9点整时，钟面上时针指向9，是一个直角。 3×30＋15 ＝90＋15 ＝105 105°是钝角。 所以9点整时针与分针形成的角是直角，再过半小时，时针与分针形成的角是钝角。 【点睛】此题考查的是对钟面时间的认识，以及角的分类与计算，应熟练掌握。 12． 90 45 【分析】锐角的度数一定小于90°，所以较大的角一定小于90°，由于两个锐角的度数和是135°，算出135°减90°的结果，较小的角一定大于这个结果，据此解答即可。 【详解】135°－90°＝45° 两个锐角的度数的和是135°，那么其中较大的角一定小于90°，较小的角一定大于45°。 【点睛】本题考查了角的分类，关键是要确定锐角的范围。 13．90 【分析】9点整，时针指向9，分针指向12，钟表上有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，据此解答。 【详解】3×30°＝90° 【点睛】本题主要考查学生对钟表的认识及时针与分针的角度计算。 14． ②④ ①⑤ ③⑥ 【分析】小于90°的角是锐角，90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角；据此解答即可。 【详解】直角有②④，锐角有①⑤，钝角有③⑥。 【点睛】熟练掌握锐角、直角和钝角的定义是解决本题的关键。 15． 钝 150 平 90 【分析】钟面上，6时整时，时针与分针成平角，夹角是180°，有6个大格，因此每个大格是：180°÷6＝30°，钟面上5时整，时针和分针之间有5个大格，因此用30°乘5即可，大于90°小于180°的角是钝角；钟面上9时整，时针和分针之间有3个大格，因此用30°乘3即可；依此计算并填空。 【详解】180°÷6＝30° 30°×5＝150°，180°＞150°＞90° 30°×3＝90° 即5时整，时针与分针成钝角，是150度；6时整，时针与分针成平角；9时整，时针与分针成90度。 【点睛】此题考查的是角的分类与计算，熟练掌握对钟面时间的认识是解答此题的关键。 16．× 【分析】根据射线的定义可得：射线只有1个端点，无法测量长度，据此判断即可。 【详解】射线的长度不能度量，原题说法错误。 故答案为：× 17．× 【分析】一副三角板中的角有30°、45°、60°、90°，140度的角无法用这些角拼成，据此解答。 【详解】140度的角无法用一副三角板中的30°、45°、60°、90°的角拼成， 所以原题说法错误。 故答案为：× 18．√ 【分析】平角是180°的角，周角是360°的角，2个平角等于1个周角，据此判断。 【详解】2×180°＝360° 即2平角＝1周角，任意两个平角能拼成一个周角。题干说法正确。 故答案为：√ 19．× 【详解】如图所示： 过一点能画出无数条直线。 所以过一点只能画出一条直线说法错误。 故答案为：× 20．× 【分析】根据直线和线段的含义：直线无端点，无限长，不度量；线段有2个端点，有限长，可以度量；进而解答即可。 【详解】根据分析可知：直线不可度量长度，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】熟悉线段、直线、射线的定义是解答此类题的关键。 21．√ 【分析】度是用来度量角的单位，在实际应用中，有时需要更准确的量度，可以用小数表示度，还可以把度分为分和秒，相邻的度、分、秒之间是60进制，1度为60分（60′）；1分为60秒（60″）。 【详解】在9°与10°之间还有其他的角的说法正确； 故答案为：√。 【点睛】本题考查角度的认识，关键掌握度量角的单位有度，还有分、秒。 22．× 【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而解答即可。 【详解】明明说：“我画了一条长60cm的直线”，所以判断错误。 故答案为：× 【点睛】熟悉直线、射线和线段的含义是解答此题的关键。 23．60度 【分析】 如图所示，一张长方形纸折起来，∠2＝∠3。∠1、∠2和∠3组成一个平角，则∠2＝（180°－∠1）÷2。 【详解】∠2＝（180°－60°）÷2＝120°÷2＝60° 【点睛】图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变。 24．∠2=35°，∠3=55°，∠4=125° 【详解】试题分析：观察图形可知：∠1和∠2组成一个直角，用90度减去∠1的度数就是∠2的度数； ∠2和∠3和直角组成一个平角，用180度减去90°再减去∠2的度数就是∠3的度数； ∠3和∠4组成一个平角，用180度减去∠3的度数就是∠4的度数；据此解答即可． 解：∠2=90°﹣∠1 =90°﹣55° =35°； ∠3=180°﹣90°﹣∠2 =90°﹣35° =55°； ∠4=180°﹣∠3 =180°﹣55° =125°； 答：∠2=35°，∠3=55°，∠4=125°． 【点评】本题关键是熟悉直角等于90°，平角等于180°的知识点． 25．（1）10个；（2）15个 【分析】第（1）问，可以先数单独的角，再数两两组合的角，再数三个组合起来的角，依此类推；第（2）问，分别数出每一个点处的角的数量，相加得到总数。 【详解】（1）这个图中含有四个基本角①、②、③、④，如下图所示，下面我们对角进行分类： 只含一个基本角的角有4个，即①、②、③、④； 含两个基本角的角有3个，即①②、②③、③④； 含三个基本角的角有2个，即①②③、②③④； 含四个基本角的角有1个，即①②③④； 综上，上述图形中一共有角（个）。 （2）我们把这个图形中的角分成6个区域来数，如下图所示的6个区域： ①、②两图各有角（个）； ③、④两图中各有角2个； ⑤中有角4个；⑥中有角1个； 综上，上述图中有角（个）； 答：图（1）有10个角，图（2）有15个角。 【点睛】本题考查的是几何计数问题，其中图（1）中数角的方法与数线段的方法类似。 26．10° 【分析】由题意和题图可知：将正方形纸沿着线段AB折叠，则折叠线AB左侧（∠2）与右侧（∠3）的角度数相等。观察图形可知，∠1、∠2、∠3合起来组成直角。据此解答。 【详解】由分析可得： ∠2＝∠3 ∠1＋∠3＋∠2＝90° 则∠1＝90°－∠2－∠3 ＝90°－40°－40° ＝50°－40° ＝10° 答：∠1是10°。 27．10条  ； 28．图见详解；角的大小与边的长短没有关系。 【分析】举例说明，例如：一个40°的角，延长角的两边后，角两边的张口大小不变，所以角的大小不变；据此画图如下。 【详解】如图： 答：延长一个角的两条边这个角的大小不变，理由：角的大小与边的长短没有关系。 【点睛】角的大小由角两边的张口大小决定，与角两边的长短无关。 29．这个角是60度 【详解】试题分析：从角的大小与哪些因素有关，从而得出角度是多少． 解：由题意知，角的度数与叉开的大小有关，与其它因素无关，所以用放大镜观察还是60度， 答：这个角是60度． 点评：此题考查了角的大小与什么有关． 30．2个；两点确定一条直线 【分析】经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线，即两点确定一条直线，据此解答。 【详解】根据分析可知，想将衣帽钩固定在墙上，至少需要2个钉子，因为两点确定一条直线。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$