第2章 解直角三角形单元测试（A卷基础篇） 2024—2025学年青岛版数学九年级上册

青岛版9上数学第2章解直角三角形单元测试（ A卷基础篇）（含解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，，，则的值为(    ) A. 2 B. 3 C. D. 2.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为(    ) A. B. C. D. 3.在中，，，，那么下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 4.在中，，，，则AC等于(    ) A. 3 B. 4 C. D. 6 5.如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足，则的正切值是(    ) A. B. 7 C. D. 6.如图，在中，，点D在AC上，若，，则BD的长为(    ) A. B. C. D. 4 7.在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 8.如图，边长为2的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕原点O旋转，则旋转后顶点D的坐标为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在处，，垂足为若，，则 A. B. C. D. 10.如图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支撑杆的端点A离地面的高度AE为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到，使点与点C重合，连接，则的值为__________. 12.如图，在中，，，，则AC的长为__________. 13.如图，将矩形ABCD折叠，使得点D落在AB边的三等分点G上，且，点C折叠后的对应点为H，折痕为EF，连接BH，若，，则BH的长为______. 14.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则____. 15.在中，若、满足，则__________. 16.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点E，则__________. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：求斜坡CD的长．结果保留根号 18.本小题6分 如图，在中，，垂足为若，，求的值. 19.本小题8分 某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为和，求桥AB的长度． 20.本小题8分 龙光塔落座于江门市江海区白水带风景名胜区最高点的牛山上，为十一层仿宋琉璃瓦塔，是广东省最高的八角琉璃瓦仿古塔.登上龙光塔顶层，极目远眺，整个江门市区的建筑、河流、山川、田野尽收眼底，呈现出一幅美丽的侨乡画卷.小明某日携带好友到龙光塔游玩，并用无人机拍下多幅漂亮的照片.期间，他还利用无人机的测量功能，不断调整距离和角度，以期找到最佳的拍摄位置.如图为其中一个拍摄情景.已知龙光塔高为AB，当无人机位于空中点P位置时，测得与塔身距离米，俯角，仰角，根据无人机获得的数据，请计算出龙光塔高结果精确到整数位参考数据：，， 21.本小题10分 如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为秒，已知， 求B，C之间的距离；保留根号 如果此地限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．参考数据：， 22.本小题10分 三晋名刹双塔寺，本名“永祚寺”，位于山西省太原市城区东南方向，距市中心4公里左右的郝庄村南之向山脚畔.这里绿树红墙，宝塔梵殿，碑碣栉比，花卉溢香，松柏凝翠，古香古色.数学兴趣小组在周末时间参观了双塔寺，对寺内“舍利塔”的高度做了测量，如图所示，点A为塔底中心点，观测者小明在点D测得塔顶B的仰角为，沿着DA向前走40米到达点C，此时测得塔顶B的仰角为，测量时点A，C，D在同一水平直线上，且与点B在同一竖直平面内，根据该小组所获得的数据，请你求出塔AB高度是多少？结果精确到整数，参考数据，， 23.本小题12分 山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面如图所示已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角， 求的度数； 求结果精确到个位，参考数据：，， 24.本小题12分 如图，王聪学了《解直角三角形》内容后，想借助无人机测量高楼AB的高度，他先在高楼前距离高楼180米米的C处测得高楼的观光台D处的仰角为，然后遥控无人机旋停在点C的正上方的点E处，测得高楼顶部B处的仰角为，D处的俯角为点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，A，C在同一水平线上 填空：______度，______度； 求无人机离地面的高度结果保留根号； 求高楼AB的高度结果保留根号 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：在中，，， ， 设，则， ， 则的值为： 故选： 直接根据题用同一未知数表示出三角形各边长，进而得出答案． 此题主要考查了同角三角函数关系，正确表示出各边长是解题关键． 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 如图，过点A作于利用勾股定理求出AC即可解决问题． 【解答】 解：如图，过点A作于 在中，，， ， ， 故选： 3.【答案】B  【解析】解：中，，，， ， ，，， 故选： 先利用勾股定理计算出，然后根据正弦、余弦和正切的定义对各选项进行判断． 本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角的正弦、余弦和正切的定义是解决问题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：在中，， 则 故选： 首先由正切的定义得到：；接下来再代值进行计算，即可得到题目的结论． 本题是锐角三角函数的知识，熟练掌握正切等于对边比邻边并灵活运用是解决本题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：连接OD， ，O是AB中点， ， 点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上， ， 故选： 连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，把求的正切值转化为求的正切值． 本题考查了解直角三角形，掌握四点共圆的证明及三角函数的应用是解题关键，其中连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上是本题的难点． 6.【答案】C  【解析】解：，，， ， ， ， ， 故选： 在中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在中由三角函数求得 本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形． 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查锐角三角函数的定义． 在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后利用勾股定理求出，最后利用锐角三角函数的定义即可解答． 【解答】 解：在中，，，， ， ， 8.【答案】A  【解析】解：多边形ABCDEF是正六边形， ，， ， 在中，， ， 如图，连接BD，过点C作于点H，则，， 在中，， ， 点， 该图形绕原点O旋转后点D的坐标为 故选： 先利用正多边形的性质可得，，从而可得，再利用解直角三角形可得OA长，进而可得OB长，连接BD，过点C作于点H，则，，再利用解直角三角形可得BH长、BD长，即可得点D的坐标，最后利用旋转的特征即可得到旋转后点D的坐标． 本题主要考查正多边形与解直角三角形，结合已知条件构造合适的辅助线是解题关键． 9.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查的是折叠的性质，锐角三角函数的定义，菱形的性质，勾股定理有关知识，过点E作于点H，由折叠的性质可得，，由菱形的性质可得，，，结合，易得，进而可得，利用勾股定理解得；再证明为等腰直角三角形，可得；然后利用三角形函数，，可得BE，BE，易得，求解即可获得答案． 【解答】 解：过点E作于点H，如下图， 则， ，， ， 由折叠的性质可得，，， 四边形ABCD为菱形， ，，， ，即， ， ，， ， ， ， ，， BE，BE， ， cm. 10.【答案】B  【解析】解：，， ， ， ， 在中，， 故选： 根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据正弦的定义可得答案． 此题考查的是解直角三角形的应用，掌握等腰三角形的性质及正弦的定义是解决此题的关键． 11.【答案】  【解析】如图，过作，垂足为D，则在等腰直角三角形中，是底边上的中线，， 12.【答案】  【解析】如图，过A作于D，则，，，，，在中，由勾股定理得，故答案为 13.【答案】  【解析】解：作交AB的延长线与N，作交AD于M，连接DG交EF于L， 四边形ABCD为矩形， ，，， ， 由折叠的性质，，，EF垂直平分DG， ，，， ， ， 设， 三等分AB， 则，，， ， ， ，， ，即， ， ， ， 即 解得或舍去， ，， ， 设，则， ， 即， 解得， 即，， ， 故答案为： 作交AB的延长线与N，作交AD于M，连接DG交EF于L，，，根据折叠和矩形的性质以及解直角三角形的知识，分别表示FM和ME，借助勾股定理即可求得k的值，在中解直角三角形求得HN和NG，从而求得BN，利用勾股定理即可求得 本题考查解直角三角形，矩形的性质和判断，勾股定理，折叠的性质．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了锐角三角比的定义，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，构造出一个锐角等于的直角三角形是解题的关键． 利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，进而可得，，设等边三角形的边长为a，则，，由勾股定理求出AD的长，再利用余弦的定义即可得出结论． 【解答】 解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示． 在中，，， 同理可得 又， 设等边三角形的边长为a， 则，， ， ， ， 故答案为 15.【答案】  【解析】略 16.【答案】  【解析】略 17.【答案】解：，米，坡度为1：， ， ， 米， 米， 米， ，斜坡CD的坡度为1：4， ， 即， 解得，， 米， 答：斜坡CD的长是米．  【解析】根据题意和锐角三角函数可以求得AE的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到ED的长，最后用勾股定理即可求得CD的长． 本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 18.【答案】在中，，，所以，所以在中，，所以，，所以  【解析】见答案 19.【答案】解：如图示：过点C作，垂足为D， 由题意得，，，米， 在中，米， 在中，， 米， 米 答：桥AB的长度为米．  【解析】过点C作，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为和，可得，，利用特殊角的三角函数求解即可． 本题考查了解直角三角形的应用，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键． 20.【答案】解：如图，由题意得，米，，， 在中，米，， 米， 在中，米，， 米， 米米， 答：龙光塔高AB约为79米．  【解析】根据锐角三角函数的定义以及直角三角形的边角关系求出AQ，BQ即可． 本题考查解直角三角形的应用，理解仰角、俯角的定义以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 21.【答案】解：如图作于则， 在中，， ， 在中，， ， ， 结论：这辆汽车超速． 理由：， 汽车速度， ， 这辆汽车超速．  【解析】如图作于则，求出CD、BD即可解决问题． 求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位； 本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 22.【答案】解：由题意得：，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， 解得：， 米， 塔AB高度约为55米．  【解析】根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 23.【答案】解：如图所示，将BA延长交EF于点M， ， ， ， ， ； 过点A作于点D， ， ，， ， ， 米， 米， 答：CD的长为8米．  【解析】将BA延长交EF于点M，根据三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解； 过点A作于点D，得出，，分别求得CN，AN，DN，进而根据，即可求解． 本题考查了解直角三角形的应用；掌握三角函数概念是关键． 24.【答案】90 75  【解析】解：作，垂足为F， ，， 四边形ACEF是矩形， ，， ，； 由得四边形ACEF是矩形， 米， 在中，米， 在中，米， 米； 在中， ， ， 米． 作，得到四边形ACEF是矩形，据此求解即可； 在和中，分别求得AD和DF的长，据此求解即可； 在中，求得BF的长，据此求解即可． 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$