精品解析：山东省济南市莱芜区胜利中学2023-2024学年上学期九年级数学期末模拟试题9

2023-2024学年上学期九年级数学期末模拟试题九 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，随的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某书店拿取高处书籍的登高梯靠书架放置，顶端恰好放在书架第七层的顶端已知米，，则书架第七层顶端离地面的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 如图，扇形AOB的圆心角为142°，点C是弧AB上一点，则∠ACB的度数是( ) A. 38° B. 120° C. 109° D. 119° 5. 下列函数图象不可能由函数的图象通过平移、轴对称变换得到的函数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图像上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图像交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（　　） A. ﹣4 B. ﹣6 C. ﹣8 D. ﹣12 8. 如图，已知由扇形围成的圆锥的底面周长为，若，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c＝0；③若关于 x 的方程ax2+bx+c＝1 有两个根，则这两个根的和为﹣4；④若关于 x 的方程 a（x+5）（x﹣1）=﹣1 有两个根 x1和 x2，且 x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1．其中正确的结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 在中，，，，则的余切值为 __________________． 12. 抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是________． 13. 不透明的纸箱里装有正三边形，正四边形，正五边形，正六边形图案四张卡片，这些卡片除了图案不同外其他都相同，从中任意抽取一张，不放回再从中再抽取一张，则两次抽到的卡片的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是______． 14. 如图，直线y＝ax经过点A（4，2），点B在双曲线y＝（x＞0）的图象上，连结OB、AB，若∠ABO＝90°，BA＝BO，则k的值为_____． 15. 若正六边形的半径等于4，则它的边心距等于__________． 16. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CO＝2，则阴影部分的面积为_____． 三．解答题（共10小题，满分86分） 17. 计算：． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）观察图象直接写出不等式的解集． 19. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 20. 如图，在中，弦相交于点，连结，已知． （1）求证：； （2）连结，若，的半径为2，求的长． 21. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到A小区的概率是多少； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率． 22. 海中有两个小岛，，小岛在小岛的北偏东方向上，一艘轮船位于海中的处，已知处在小岛的南偏西方向且在小岛南偏东方向上，处距离小岛海里． （1）求的距离（结果保留整数）； （2）在以小岛为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．若轮船从处沿着射线航行，是否会有触礁危险？请通过计算加以说明，如果有危险，轮船自处开始沿北偏西多少度的方向直线航行，恰能安全通过这一海域？（参考数据：，，） 23. 某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）设每天的销售利润为元，每件商品涨价元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 24. 如图，在的边上取一点，以为圆心为半径的与边相切于点，且，连接交于点，连接并延长，交于点． （1）求证：是切线； （2）若，，求半径． 25. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年上学期九年级数学期末模拟试题九 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的棱用虚线表示． 【详解】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有两条纵向的虚线． D选项符合题意． 故选：D． 2. 下列函数中，随的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题． 【详解】解：A．在中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意； B．在中，y随x的增大与增大，不合题意； C．在中，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意； D．在，x>2时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键． 3. 如图，某书店拿取高处书籍的登高梯靠书架放置，顶端恰好放在书架第七层的顶端已知米，，则书架第七层顶端离地面的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】在中利用的余弦求解即可． 【详解】解：在中，，米，， ∵， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 4. 如图，扇形AOB的圆心角为142°，点C是弧AB上一点，则∠ACB的度数是( ) A. 38° B. 120° C. 109° D. 119° 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=142°，∴∠ADB=∠AOB=×142°=71°． ∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB=180°﹣71°=109°．故选C． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键． 5. 下列函数图象不可能由函数的图象通过平移、轴对称变换得到的函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，B，C，根据平移和轴对称性质判断，再根据无论经过平移、轴对称，抛物线的开口大小都没有变化，即抛物线的二次项系数的绝对值不会改变，据此进行判断D． 【详解】解：A．可由原函数向左平移1个单位、向上平移1个单位得出，不符合题意； B．可由原函数向下平移3个单位得出，不符合题意； C．可将原函数沿x轴翻折得出，不符合题意； D．函数的图象无法通过函数的图象平移变换、轴对称变换得到，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数与平移、轴对称、旋转的性质是解答此题的关键． 6. 如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论． 【详解】解：如图，过点C作 CT⊥AB 于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK， 由题意可得AB垂直平分线段OK， ∴AO=AK，OH=HK=3， ∵OA=OK， ∴OA=OK=AK， ∴∠OAK=∠AOK=60°， ∴AH=OA×sin60°=6×=3， ∵OH⊥AB， ∴AH=BH， ∴AB=2AH=6， ∵OC+OH⩾CT， ∴CT⩽6+3=9， ∴CT的最大值为9， ∴△ABC的面积的最大值为=27， 故选：C. 【点睛】本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT的最大值，属于中考常考题型． 7. 如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图像上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图像交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（　　） A. ﹣4 B. ﹣6 C. ﹣8 D. ﹣12 【答案】D 【解析】 【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=|m|=-m，S△BOC=|n|=-n，利用AB=2BC得到S△ABO=2S△OBC=3，所以-n=，解得n=-3，再利用-m=3+得m=-9，然后计算m+n的值． 【详解】解:∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图像交于点B， 而m＜0，n＜0， ∴S△AOC＝|m|＝﹣m，S△BOC＝|n|＝﹣n， ∵AB＝2BC， ∴S△ABO＝2S△OBC＝3， 即﹣n＝，解得n＝﹣3 ∵﹣m＝3+，解得m＝﹣9， ∴m+n＝﹣9﹣3＝﹣12． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 8. 如图，已知由扇形围成的圆锥的底面周长为，若，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由弧长公式求出母线长，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：设母线长，得：， ∴， ∴扇形的面积， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算以及扇形面积的计算，熟练掌握运算公式是解答本题的关键． 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，得；但二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，则，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，而图中对称轴是y轴,故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 10. 二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c＝0；③若关于 x 的方程ax2+bx+c＝1 有两个根，则这两个根的和为﹣4；④若关于 x 的方程 a（x+5）（x﹣1）=﹣1 有两个根 x1和 x2，且 x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1．其中正确的结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】求解的数量关系；将代入①式中求解判断正误；②将代入，合并同类项判断正负即可；③中方程的根关于对称轴对称，求解判断正误；④中求出二次函数与轴的交点坐标，然后观察方程的解的取值即可判断正误． 【详解】解：由顶点坐标知 解得 ∵ ∴当时，，故①正确，符合题意； ，故②错误，不符合题意； 方程的根为的图象与直线的交点的横坐标，即关于直线对称，故有，即，故③正确，符合题意； ，与轴的交点坐标为，方程的根为二次函数图象与直线的交点的横坐标，故可知，故④正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与二次方程等知识．解题的关键与难点在于从图象中提取信息，并且熟练掌握二次函数与二次方程的关系． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 在中，，，，则的余切值为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，直接根据锐角三角函数的定义解答即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴的余切值． 故答案为：． 12. 抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次函数对称轴公式得出b的值，将代入二次函数解析式得出的值，再根据二次函数的性质得出在中，y的取值范围，最后根据一元二次方程有实数根得出与的图像在中有交点即得． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线x＝1 ∴，解得： ∵抛物线经过点 ∴，解得： ∴抛物线的解析式是 ∵ ∴当时， ∵当时， 当时， ∴在抛物线中，当时， ∴令，要使与有交点，则 ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根 ∴与的图像在中有交点 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，解题关键是根据一元二次方程的根是对应函数图像交点的横坐标将根转化为图像的交点． 13. 不透明的纸箱里装有正三边形，正四边形，正五边形，正六边形图案四张卡片，这些卡片除了图案不同外其他都相同，从中任意抽取一张，不放回再从中再抽取一张，则两次抽到的卡片的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】用分别代表正三边形，正四边形，正五边形，正六边形图案四张卡片，然后用列表法列出所有情况，求解即可． 【详解】解：用分别代表正三边形，正四边形，正五边形，正六边形图案四张卡片，列表如下： 总共有种结果，其中两次抽到的卡片的图案既是轴对称图形又是中心对称图形结果有种， 则概率为， 故答案为： 【点睛】此题考查了列表法求解概率，解题的关键是掌握列表法求解概率． 14. 如图，直线y＝ax经过点A（4，2），点B在双曲线y＝（x＞0）的图象上，连结OB、AB，若∠ABO＝90°，BA＝BO，则k的值为_____． 【答案】3． 【解析】 【分析】作BC⊥x轴于C，AD⊥BC于D，易证得△BOC≌△ABD，得出OC=BD，BC=AD，设B的坐标为（m，n），则OC=m，BC=n，根据线段相等的关系得到 ，解得 ，求得B的坐标，然后代入y=（x＞0）即可求得k的值． 【详解】解：作BC⊥x轴于C，AD⊥BC于D，则∠COB+∠OBC=90°， ∵∠ABO=90°， ∴∠OBC+∠ABD=90°， ∴∠COB=∠ABD， 在△BOC和△ABD中 ∴△BOC≌△ABD（AAS）， ∴OC=BD，BC=AD， 设B的坐标为（m，n），则OC=m，BC=n， ∵点A（4，2）， ∴ ，解得， ∴B的坐标为（1，3）， ∵点B在双曲线y=（x＞0）的图象上， ∴k=1×3=3， 故答案为3． 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，得出相等线段列出关于m、n的方程组是解题的关键． 15. 若正六边形的半径等于4，则它的边心距等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接、，过点O作于点G，根据正六边形的性质可得，再根据解直角三角形求值即可． 【详解】解：如图，连接、，过点O作于点G， 在中，，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CO＝2，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理可得CE=DE，∠CEO=∠DEB=90°，然后根据∠CDB=30°，得出∠COB=60°，继而证得△OCE≌△BDE，把阴影部分的面积转化为扇形的面积计算即可． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°． ∵∠CDB＝30°， ∴∠COB＝60°，∠OCE＝∠CDB， 在△OCE和△BDE中， ， ∴△OCE≌△BDE（ASA）， ∴S阴影＝S扇形OCB＝π， 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是理解性质和定理，注意掌握扇形的面积公式． 三．解答题（共10小题，满分86分） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】先由绝对值运算、特殊角的三角函数值运算、负整数指数幂运算及零整数指数幂运算分别求解，再结合实数混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数混合运算，涉及绝对值运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算、零整数指数幂运算、二次根式运算及实数混合运算法则等，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）观察图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到，即可求解； （2）把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式，再求出直线与x轴交点C的坐标，然后利用进行计算； （3）观察函数图象得到当或时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 【小问1详解】 解：把的坐标代入，得： ，解得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线交x轴于点C， 把的代入，得： ，解得：， ∴． 把代入，得 ，解得：， ∴一次函数的解析式为． 在中，令，则， 即直线与x轴交于点． ∴． 【小问3详解】 解：由图象得，当或时，反比例函数图象位于一次函数的图象的上方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 19. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 【答案】（1） （2）飞船从处到处的平均速度约为 【解析】 【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论； （2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 【小问2详解】 在中，，，， ， 在中，，， ， ， ， 飞船从处到处的平均速度． 【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． 20. 如图，在中，弦相交于点，连结，已知． （1）求证：； （2）连结，若，的半径为2，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． （1）先证明，再证明，最后根据圆周角定理即可得证； （2）根据圆周角定理求出，然后根据弧长公式计算即可得解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴的长． 21. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到A小区的概率是多少； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率． 【答案】（1）甲组抽到A小区的概率是；（2）甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为． 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）甲组抽到A小区的概率是， 故答案为． （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1， ∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为． 【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图. 22. 海中有两个小岛，，小岛在小岛的北偏东方向上，一艘轮船位于海中的处，已知处在小岛的南偏西方向且在小岛南偏东方向上，处距离小岛海里． （1）求的距离（结果保留整数）； （2）在以小岛为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．若轮船从处沿着射线航行，是否会有触礁危险？请通过计算加以说明，如果有危险，轮船自处开始沿北偏西多少度的方向直线航行，恰能安全通过这一海域？（参考数据：，，） 【答案】（1）104海里； （2）有危险，轮船自处开始沿北偏西度的方向直线航行，恰能安全通过这一海域． 【解析】 【分析】（1）如图，过点作于点，根据题意可知，，，，海里，则，进而求得，，，再利用等腰直角三角形和含度角的直角三角形性质求解即可． （2）过点作于点，由等腰直角三角形的性质得海里，由可判断轮船会有触礁危险，设轮船自处开始沿北偏西度的方向直线航行，恰能安全通过这一海域，根据和特殊角的三角函数值知，以此即可求出． 本题主要考查方向角、等腰直角三角形和含度直角三角形的性质、解直角三角形、特殊角的三角函数值．在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 由题意知，，，，海里， 由两直线平行，内错角相等可得， ， ， ， 为等腰直角三角形，海里， 在中，， 海里，海里． 【小问2详解】 解：由（1）可知，海里，， 如图，过点作于点， 则海里， ， 轮船从处沿着射线航行，会有触礁危险， 设轮船自处开始沿北偏西度的方向直线航行，恰能安全通过这一海域， 如图， 由两直线平行，内错角相等可得， ， 则此时海里， ， ，即， ， 轮船自处开始沿北偏西度的方向直线航行，恰能安全通过这一海域． 23. 某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）设每天的销售利润为元，每件商品涨价元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）该商品每件的售价为30元，进价为每件24元；（2）当售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元． 【解析】 【分析】（1）设该商品每件的售价为x元，进价为每件y元，由题意得二元一次方程组，求解即可； （2）根据利润=每件的利润×销售量，列出二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得到答案． 【详解】（1）设该商品每件的售价为元，进价为每件元， 由题意得：，解得， ∴该商品每件的售价为30元，进价为每件24元； （2）由题意得： ， ∴当时，有最大值，最大值为2645，此时售价为（元）． ∴当售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图，在的边上取一点，以为圆心为半径的与边相切于点，且，连接交于点，连接并延长，交于点． （1）求证：是切线； （2）若，，求半径． 【答案】（1） 证明：连， 在和中， ， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连，证明得出，由切线的性质得出，推出，即可得证； （2）设，则，由勾股定理求出，推出，设，则，解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数得表达式为：， （2）或 （3）存在，， 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，解直角三角形的应用等； （1）用待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）求出直线的表达式，即可求解； 【小问1详解】 把代入， 解得：， 一次函数的表达式为； 把代入，， 把代入得：， 反比例函数得表达式为：， 由得：， 解得：，， ； 【小问2详解】 从图象看，当时，即一次函数值大于等于反比例函数值， x的取值范围为或； 【小问3详解】 过点作交轴于点，如下图， 设直线的解析式为 由直线的表达式知，，则， ， 设，将代入：， ． ，解得：，， ，时，构成直角三角形． 26. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（-，0）． 【解析】 【分析】（1）设二次函数的交点式为y=a，将C点代入交点式，求出a，即可得出解析式； （2）设出N点坐标（n，-n2-n+2），利用未知数表示出△NAC的面积的表示方法，再利用二次函数求最值的方法，求出面积的最大值； （3）利用等腰三角形的特点，分类进行分析，即可求出结果． 【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0）， 设二次函数的解析式为：y=a， 把C（0，2）代入得：2=a， a=-1， ∴y==-x2-x+2， ∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2； （2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2）， 设直线AC的解析式为：y=kx+b， 把A（-2，0）、C（0，2）代入得：， 解得： ， ∴直线AC的解析式为：y=x+2， ∴D（n，n+2）， ∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n， ∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1， ∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2）， （3）存在，分三种情况： ①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）； ②如图2，由勾股定理得：BC=， 以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=， 此时，M2（1-，0），M3（1+，0）； ③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4， 设OM4=x，则CM4=BM4=x+1， 由勾股定理得：22+x2=（1+x）2， 解得：x=， ∵M4在x轴的负半轴上， ∴M4（，0）， 综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（，0）； 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，包括求解析式，面积问题，等腰三角形求值问题，掌握相关知识点并进行熟练运用是解综合题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $