精品解析：山东省菏泽市定陶区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级数学期末试题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间120分钟． 2．请将答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置是（ ） A. 北偏东，3km B. 北偏东，3km C. 东偏北 D. 东偏北，3km 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向角的定义解答即可． 【详解】图书馆在小青家北偏东方向的3km处，或者图书馆在小青家东偏北方向的3km处， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，主要是方向角的定义，熟练掌握概念是本题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，积的乘方运算法则，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A．与不同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B．，故本选项不合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不合题意． 故选：C． 3. 下面四个图形中，表示线段是中边上的高的图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点A作，垂足为D，其中线段是的高，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：线段是中边上的高的图是选项D． 故选：D． 4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义；运用因式分解的定义进行辨别、求解． 【详解】解：A.∵不是表示整式的乘积， ∴选项A不符合题意； B.， ∴选项B不符合题意； C.不是整式乘积的形式， ∴选项C不符合题意； D.，是因式分解，选项D符合题意， 故选：D． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝65°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为BD，则∠A′DC＝（　　） A. 40° B. 30° C. 25° D. 20° 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到∠BA′D＝∠A＝65°，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，∠BA′D＝∠A＝65°， ∵∠ABC＝90°，∠A＝65°， ∴∠C＝25°， ∴∠A′DC＝∠BA′D﹣∠C＝40°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查折叠问题及三角形外角的性质，根据折叠得出∠BA′D＝∠A＝65°是解题的关键. 6. 已知，，则（ ）． A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式的变形计算，首先根据完全平方公式将变形，然后代入计算即可．正确掌握完全平方公式及灵活变形求值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：C． 7. 下列说法中：①两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等； ②同角或等角的余角相等； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ④过圆内一点作出的最长弦只有一条； ⑤所有边的长度都相等的多边形叫做正多边形． 其中正确的个数是（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，同角或等角的余角相等，点到直线的距离，正多边形的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①不符合题意； 同角或等角的余角相等，故②符合题意； 从直线外一点到这条直线垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故③不符合题意； 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦，故④不符合题意； 所有边的长度都相等，所有角都相等的多边形叫做正多边形，故⑤不符合题意； 即：正确的有②，共1个， 故选：A． 8. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，添加合适的辅助线是解题的关键． 过点作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ，， 又，， ，， ． 故选：B． 9. 如图，在中，是 边上的中线，CE是AB边上的高，若，，则的长度为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据中线的性质求出的面积，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∴； 故选：A． 10. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等． 有如下四个结论，其中正确的是（ ）． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当代数式的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了找规律、完全平方公式，根据题中举例说明，明确杨辉三角的与的展开式的系数间的对应关系，据此逐项分析． 由具体举例推广到一般情况下杨辉三角与展开式的系数之间的对应规律，是解题的关键． 【详解】解：∵在杨辉三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数； 第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等 ∴在杨辉三角形中第行的个数，对应展开式中各项的系数， ①∵展开式中各项的系数，为杨辉三角形中第6行的6个数， ∴，故①正确； ②∵各项系数对应杨辉三角中的第4行的4个数， ∴， 当，时，代数式，故②错误； ③∵各项系数对应杨辉三角中的第5行的5个数， ∴， 当代数式时，，不一定是，，故③错误； ④∵当，时，展开式各项之和便是系数之和， ∴的展开式中的各项系数之和为，故④正确； 即正确的有①④． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分．只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示该数据为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．掌握科学记数法的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 三个内角的度数之比是，那么是_____三角形． 【答案】等腰直角 【解析】 【分析】根据比例设三角形的三个内角的度数分别为k、k、2k，然后根据三角形的内角和等于180°列出方程求出k，再求出三个内角的度数，即可得解． 【详解】解：∵三个内角的度数之比是， 设△ABC的三个内角的度数分别为k、k、2k， ∴k+k+2k=180°， 解得k=45°， ∴2k=2×45°=90°， 即三个内角的度数分别为45°，45°和90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，利用设k法求解更简便． 13. 若，则代数式的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】先逆用同底数幂的除法，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14. 如图，一幅图案在顶点A处由边长相等的1个正方形和2个正n边形镶嵌而成，则n的值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了平面镶嵌和正多边形内角和定理，根据平面镶嵌的原则可得正n边形的一个内角的度数为，据此根据多边形内角和计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，正n边形的一个内角的度数为， ∴， 解得， 故答案为：8． 15. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据原方程组得：，得出,根据，得出，求出k的值即可． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，得出． 16. 在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点和点就是等距点．已知点A的坐标是，点B的坐标是，若点A与点B是“等距点”，则点B的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得点的坐标． 【详解】解：由题意可得，点的坐标是，到轴的距离较大，这个距离为， ∵点的坐标是， 点与点是“等距点”， ∴当时， ， 得， 此时点的坐标为； 当时， ， ，此时不符合题意； 当时， ， 得， 此时点的坐标为 由上可得， 点的坐标为或． 三、解答题（本题满分72分，把解答过程写在答题卡的相应区域内．） 17. （1）计算：． （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a＝﹣6，b＝ 【答案】-8 【解析】 【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2＝4ab， 当a＝﹣6，b＝时，原式＝﹣8． 【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. 如图，在中，，，，且平分，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质以及角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键． 根据三角形的外角性质求得的度数，根据角的平分线的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质即可求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． 20. 证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：，求证：． （1）证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（____________）， 所以（等量代换）． （2）请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 【答案】（1）∠A；两直线平行，内错角相等；∠B；两直线平行，同位角相等；平角的定义 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，以及平角的定义进行解答； （2）如图，过点作，利用两直线平行，内错角相等和平角的定义进行证明． 【小问1详解】 ∠A （两直线平行，内错角相等）， ∠B （两直线平行，同位角相等）． （ 平角的定义 ）， 小问2详解】 如图，过点作． 则：，（两直线平行，内错角相等） ∵（ 平角的定义 ）， ∴ 【点睛】本题考查三角形内角和180°的证明思路，将三角形的三个角转化为一个平角，从而证明三角形的内角和为180°． 21. 实验室需要一批无盖的长方体模型，一张大纸板可以做成长方体的侧面30个，或长方体的底面25个，一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现有26张大纸板，则用多少张做侧面，多少张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余？ 【答案】用20张做侧面，6张做底面 【解析】 【分析】设用张做侧面，张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余，根据一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现有26张大纸板，列出方程组，求出，的值即可． 【详解】解：设用张做侧面，张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余，根据题意得： ， 解得：． 答：用20张做侧面，6张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 22. 如图，平面直角坐标系中，点，，． （1）点C到y轴的距离为______； （2）求的面积； （3）若点P的坐标为， ①直接写出线段的长为______；（用含m的式子表示） ②当时，求点P的坐标． 【答案】（1）1 （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标，结合图形，理解题意是解决问题的关键． （1）根据点的坐标即可求解； （2）利用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解； （3）①根据，两点坐标即可求解； ②根据，，，列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵点坐标为， ∴点到轴的距离为1， 故答案为：1； 【小问2详解】 的面积为； 【小问3详解】 ①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵，，， ∴，即， ∴或， ∴点的坐标为或． 23. 若关于x，y的两个方程组与有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）若m，n是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值. （1）联立两方程组中不含，方程组成方程组，求出方程组的解即可； （2）把与的值代入含, 的方程求出, 的值，即可求出周长. 【小问1详解】 解：联立得: 解得： ； 【小问2详解】 把 代入得： 解得： 若为腰，为底，则三角形三边长为，周长为， 若为底，为腰，则三角形三边长为，，, 由于,故不能构成三角形， 综上，等腰三角形的周长为. 24. 【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学期末试题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间120分钟． 2．请将答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置是（ ） A. 北偏东，3km B. 北偏东，3km C. 东偏北 D. 东偏北，3km 2. 下列运算正确是（ ）． A. B. C. D. 3. 下面四个图形中，表示线段是中边上高的图形为（ ） A. B. C. D. 4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是(　　) A. B. C D. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝65°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为BD，则∠A′DC＝（　　） A. 40° B. 30° C. 25° D. 20° 6. 已知，，则（ ）． A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 7. 下列说法中：①两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等； ②同角或等角的余角相等； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ④过圆内一点作出的最长弦只有一条； ⑤所有边长度都相等的多边形叫做正多边形． 其中正确的个数是（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，是 边上的中线，CE是AB边上的高，若，，则的长度为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等． 有如下四个结论，其中正确的是（ ）． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当代数式的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 二、填空题（每小题3分，共18分．只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示该数据为_______． 12. 三个内角的度数之比是，那么是_____三角形． 13. 若，则代数式的值为 __． 14. 如图，一幅图案在顶点A处由边长相等的1个正方形和2个正n边形镶嵌而成，则n的值为__________． 15. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为___________． 16. 在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点和点就是等距点．已知点A的坐标是，点B的坐标是，若点A与点B是“等距点”，则点B的坐标为______． 三、解答题（本题满分72分，把解答过程写在答题卡的相应区域内．） 17. （1）计算：． （2）因式分解：． 18. 先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a＝﹣6，b＝ 19. 如图，在中，，，，且平分，求的度数． 20. 证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：，求证：． （1）证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（____________）， 所以（等量代换）． （2）请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 21. 实验室需要一批无盖的长方体模型，一张大纸板可以做成长方体的侧面30个，或长方体的底面25个，一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现有26张大纸板，则用多少张做侧面，多少张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余？ 22. 如图，平面直角坐标系中，点，，． （1）点C到y轴的距离为______； （2）求的面积； （3）若点P的坐标为， ①直接写出线段的长为______；（用含m的式子表示） ②当时，求点P的坐标． 23. 若关于x，y两个方程组与有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）若m，n是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 24. 【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$