27.1.3 圆周角 课件2023—2024学年华东师大版数学九年级下册

27.1.3 圆周角 什么是弦？ 连接圆上任意两点的线段叫做弦. 什么是弧？什么是等弧？ 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. O A B 复习回顾 O A B C 你知道∠ACB是什么角吗？ 圆周角 怎样来判定圆周角？ 圆周角、弦、弧三者间又有什么关系呢？ 探究1：圆周角的概念 观察∠ACB、 ∠ADB、 ∠AEB，这样的角有什么特点？ C A O B D E 讨论：点C，D，E在什么位置？ ∠ACB、 ∠ADB、 ∠AEB的顶点都在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角. 新课探究 （1） （2） （3） （4） 找一找下面哪些是圆周角？ 圆周角的顶点在圆上，它的两边与圆相交. 圆周角与其他角的区别 探究2：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90° 线段AB是⊙O的直径 ，点C是⊙O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB 就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎样的角？ A B C O ？ A B C O ？ 我们可以看到，OA = OB = OC ， 所以△AOC、△BOC 都是等腰三角形， 因而 ∠OAC = ∠OCA , ∠OBC = ∠OCB 又因为 ∠OAC + ∠OBC + ∠ACB = 180° 所以   A B C O ？ 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B外），∠ACB总等于90°，即： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）. 对于一般的弧所对的圆周角,又有什么规律呢? 探究3：圆周角定理 D B C O A ∠ADB ∠ACB = C′ 量一量： 变动点C在圆周上的位置，你发现其中有什么规律吗? 可以发现圆周角的度数没有变化 D B C O A ∠ACB ∠AOB 量一量： =   我们发现圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半. 怎样证明这些结论呢？ 在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？ 共有三种情况：（1）圆心在圆周角的一边上; （2）圆心在圆周角的内部; （3）圆心在圆周角的外部. C A O B C A O B D 1 2 C A O B 1 2 （1） （2） （3） 分别就这三种情况证明这一猜想. 已知：在⊙O的一条弦 , 所对的圆周角是∠ACB， 所对的圆心角是∠AOB. 求证：∠ACB = ∠AOB. C A O B C A O B D 1 2 C A O B 1 2 （1） （2） （3） C A O B 证明 （1）圆心在∠ACB的边CB上. ∵ OA = OC， ∴ ∠OAC = ∠ACB ， ∵ ∠AOB 是△OAC的外角， ∴ ∠AOB = ∠ACB +∠OAC = 2∠ACB ， ∴ ∠ACB = ∠AOB .   C A O B D 1 2 （3）圆心在∠ACB的外部. 作直径CD. ∴ ∠1 = ∠AOD ， ∴ ∠ACB = ∠1－∠2= （∠AOD －∠BOD） C A O B 1 2 D ∠2 = ∠BOD ， = ∠AOB . 由此我们可以得到： 圆周角定理 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等. 探究4：外接圆、内接多边形 由圆周角定理，可以得到以下推论: 推论1：90°的圆周角所对的弦是直径. 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形. 推论2：圆内接四边形的对角互补. 如右图 ∠BAD + ∠BCD = 180° ∠ABC + ∠ADC = 180° A B C D 60° x B A C E F D 20° x 30° （1） （2） 解 （1）∵同弧对的圆周角相等， ∴∠ x = 60°. 解 （2）连接BF， ∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠ABF = ∠D = 20°， ∠FBC = ∠E = 30°， ∴∠ x = ∠ABF + ∠FBC= 50°. B A C E F D 20° x 30° （2） 1．试找出图中所有相等的圆周角. 【教材第44页练习】 ∠1 =∠4 ∠2 =∠7 ∠3 =∠6 ∠5 =∠8 随堂演练 2.在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x +100 )°和(5x－30)°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的大小. 由题意 (2x+100)°= 2( 5x－30) ° x = 20 ∴(2x+100) °= 140° ， ( 5x－30) °=70°. 故这条弧所对的圆心角为140°，圆周角为70°. 【教材第44页练习】 3. 证明：∵OA ⊥ OB，∴∠AOB = 90°， ∴∠C = ∠D = 45°， ∵AC ⊥ BD， ∴∠DEC = 90°， ∴∠DAE = 45°， ∴∠C = ∠DAE. ∴AD∥BC 顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角. 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）. A B C O ∟ 课堂小结 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等. 推论1：90°的圆周角所对的弦是直径. 推论2：圆内接四边形的对角互补. A B C D $$