第1章 《勾股定理八》回顾反思测试 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

《勾股定理》 回顾反思测试 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．在△ABC中，若BC＝3，AC＝4，AB＝5，则（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．△ABC是锐角三角形 D．∠C＝90° 2．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　） A．121 B．120 C．90 D．不能确定 3．若Rt△ABC中一条直角边和斜边的长分别为8和10，则另一条直角边的长是（　　） A．3 B．6 C．7 D．9 4．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（　　） A．121 B．144 C．169 D．196 5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（　　） A．14m B．15m C．16m D．17m 6．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC、BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（　　） A．20 B．18 C．16 D．1 7．如图，在离水面点A高度为8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m，此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（　　）（假设绳子是直的） A．7米 B．8米 C．9米 D．6米 8．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 9．△ABC的三边长为a，b，c，满足（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2＝0，则△ABC有一内角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 10．勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC（∠ACB＝90°）的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S1，左下不重叠部分的面积记作S2，若S1＝3，则S2的值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是 　 　． 12．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　 　． 13．如图，受台风影响，马路边一棵大树在离地面6m处断裂，大树顶端落在离底部8m处，则大树折断之前高为 　 　m． 14．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD，△ACE，△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.2，S2＝4.3，S3＝5.5，则S4＝　 　． 15．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4．D为△ABC所在平面内的一个动点，且满足∠BDC＝90°，E为线段AD的中点，连接CE，则线段CE长的最大值为　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝5，BC＝12，求AD的长． 17．如图，四边形ABCD中，BD⊥AC．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2． 18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b． （1）已知c＝9，b＝6，求a的值； （2）已知a：b＝3：4，且c＝15，求a，b的值． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3cm，AB＝5cm． （1）求△ABC的面积； （2）求线段CD的长． 20．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，边CD的垂直平分线分别交CD，AB于点E，F．若AD＝4，AB＝7，BC＝6，求BF的长． 21．已知线段a，b，c，且线段a，b满足． （1）求a，b的值； （2）若a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，求c的值． 22．如图，以Rt△ABC两条直角边为边向外作正方形，以斜边为直径向外作半圆，已知两个正方形面积和为20cm2． （1）求AB的长； （2）求半圆面积（结果保留π）． 23．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲！如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c． （1）请利用“赵爽弦图”证明：a2+b2＝c2； （2）若大正方形的面积为20，小正方形面积为4，求其中一个直角三角形的面积． 24．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒． （1）求BE的长； （2）若△BPE为直角三角形，求t的值． 25．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理c2＝a2+b2． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度； （3）如图1，若一个直角三角形的面积为54，c＝15，求中间小正方形的边长． 答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．DCBCD． 6-10．ACABB． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．13． 12．36． 13．16． 14．3.6． 15．1， 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：在Rt△ABC中，AB13， ∵∠A＝∠A，∠CDA＝∠BCA， ∴△CDA∽△BCA， ∴， ∴， ∴AD． 17．解：∵BD⊥AC， ∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠DEC＝90°， ∴在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2， 在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2， 在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2， 在Rt△CED中，CD2＝CE2+DE2， ∴AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2． 18．解：（1）在 Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴， 故a的值是 ； （2）设a＝3x，b＝4x， 由勾股定理得（3x）2+（4x）2＝152． 整理得 x2＝9， 解得 x＝3， 故a＝9，b＝12． 19．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3cm，AB＝5cm， AC4（cm）， ∴S△ABCAC×BC4×3＝6（cm2）， ∴△ABC的面积为6cm2； （2）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D， ∴S△ABCAC×BCAB×CD＝6cm2， ∴5×CD＝6， 解得：CD＝2.4（cm）， ∴线段CD的长为2.4cm． 20．解：连接DF，CF， ∵EF垂直平分CD， ∴DF＝CF． 设BF＝x， 在Rt△ADF和Rt△BCF中，AD2+AF2＝DF2＝CF2＝BC2+BF2， ∴42+（7﹣x）2＝62+x2， 解得， ∴． 21．解：（1）∵， ∴a0，b0， ∴a4，b2， ∴a的值为4，b的值为2； （2）分两种情况： 当a，b为直角三角形的两条直角边时， ∴c2， 当a为直角三角形的斜边时， ∴c6， 综上所述：c的值为2或6． 22．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， ∵AB＞0， ∴AB＝2cm． （2）半圆的面积为cm2． 23．解：（1）直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c， ∵小正方形的面积+四个直角三角形的面积＝大正方形的面积， ∴， ∴a2﹣2ab+b2+2ab＝c2， ∴a2+b2＝c2； （2）由题意可得：， 即， ∴， 故一个直角三角形的面积为4． 24．解：（1）∵CD＝10，DE＝7， ∴CE＝10﹣7＝3， 在Rt△CBE中，BE5； （2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7， 则t＝7÷1＝7（秒）， 当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2， 解得，t， ∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形． 25．解：（1）∵大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ∵；；； ∴，即c2＝a2+b2； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴由勾股定理可得， ∵CD是AB边上的高， ∴由等面积法可得， ∵AC＝4，BC＝3，AB＝5， ∴； （3）由已知可得：， 即， ∵（b﹣a）2＝b2+a2﹣2ab， ∴小正方形的边长为。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$