第12讲 函数图象及其应用讲义-2025届高三数学一轮复习

第12讲 函数图象及其应用 一.【基础知识整合】 1．利用描点法作函数图象其基本步骤是： 、 、 ． 首先：①确定函数的 ；②化简函数 ；③讨论函数的性质( 、 、 、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换：函数y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象向 (a>0)或向 (a<0)平移 个单位得到；函数y＝f(x)＋a的图象可由函数y＝f(x)的图象向 (a>0)或向 (a<0)平移 个单位得到． 注意：函数图象平移变换的八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值． (2)对称变换 ①y＝f(x) ． ②y＝f(x) ． ③y＝f(x) ． ④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝ ． (3)翻折变换 ①y＝f(x) y＝|f(x)|； ②y＝f(x) y＝f(|x|)． (4) 伸缩变换： ①函数y＝f(ax) (a>0)的图象可由y＝f(x)的图象沿x轴 ( )或 ( )为原来的 倍得到； ②函数y＝af(x) (a>0)的图象可由函数y＝f(x)的图象沿y轴 ( )或 ( )为原来的 倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解) 2．函数图象的对称常见结论 （1）函数图象自身的轴对称 函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称⇔f（a＋x）＝f（a－x）⇔f（x）＝f（2a－x）⇔f（－x）＝f（2a＋x）. （2）函数图象自身的中心对称 ①f（－x）＝－f（x）⇔函数y＝f（x）的图象关于原点对称； ②函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称⇔f（a＋x）＝－f（a－x）⇔f（x）＝－f（2a－x）⇔f（－x）＝－f（2a＋x）； ③函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称⇔f（a＋x）＝2b－f（a－x）⇔f（x）＝2b－f（2a－x）. （3）两个函数图象之间的对称关系 ①函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）的图象关于直线x＝对称（由a＋x＝b－x得对称轴方程）； ②函数y＝f（x）与y＝f（2a－x）的图象关于直线x＝a对称； ③函数y＝f（x）与y＝2b－f（－x）的图象关于点（0，b）对称. 二.【典例精析】 题型一：作函数图象 例1：作出下列函数的图象： （1） y＝2x＋1－1； （2）y＝｜lg（x－1）｜. （3）y＝x2－2|x|－1; (4)y＝. 【变式训练1】作出下列函数的图象： (1) y＝ (2) y＝2｜x｜ （3）y＝10|lg x| （4）y＝|x－2|(x＋1) 题型二：识图、辨图 例2：（1）函数y＝（3x－3－x）cos x在区间的图象大致为（　　） （2）函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　） A． a＞0，b＞0，c＞0　B．a＜0，b＞0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0　D．a＜0，b＜0，c＜0 【变式训练2】(1)函数y＝（2x－2－x）sin x，则其在区间[－π，π]的图象大致为（ ） （2)如图是函数H（x）图象的一部分，设函数f（x）＝cos x，g（x）＝｜x｜＋1，则H（x）可以表示为（　　） A．.f（x）＋g（x） B．.f（x）－g（x） C．f（x）·g（x） D．. 题型三：函数图象的应用 例3：已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有 个 (2)设函数y＝f（x＋1）是定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减，且图象过点（1，0），则不等式（x－1）f（x）≤0的解集为　 　. 【变式训练3】(1)设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝，则下列结论不正确的是（　　） A．2是函数f（x）的周期 B．函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增 C．函数f（x）的最大值是1，最小值是0 D．当x∈（3，4）时，f（x）＝ (2)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________． 三.【方法规律总结】 1．作函数图象的两种常用方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征直接作出；（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出. 注意：（1）画函数的图象时一定要注意定义域； （2）利用图象变换法时要注意变换顺序. 2．函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置；（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的周期性，判断图象的循环往复； （6）从函数的特殊点，排除不合要求的图象. 3．利用函数的图象研究函数的性质对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：（1）从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性；（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性. 4．利用函数图象研究不等式问题的方法：当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象（图象易得）的上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解. 四.【课后练习作业】 一、单项选择题 1．函数y＝21－x的大致图象为（　　） 2．把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是 (　 　) A．y＝(x－3)2＋3 B．y＝(x－3)2＋1 C．y＝(x－1)2＋3 D．y＝(x－1)2＋1 3．为了得到函数y＝log2的图象，可将函数y＝log2x的图象上所有的点(　　) A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移1个单位 C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位 4．若函数f（x）＝的图象如图所示，则f（－3）＝（　　） A．－　 B．－ C．－1　 D．－2 5．函数f（x）＝x－在[－π，π]上的图象大致为（　　） 6．已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(－∞，－1) C．(－1，0) D．(1，＋∞) 7．已知函数f(x)＝的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，] B． (0，1] C．[1，2] D．[，2] 8．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　) A．(－1，1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1，2]C．(－∞，－2)∪(1，2] D．[－2，－1] 二、多选题 9．关于函数f（x）＝，下列结论正确的是（　　） A．f（x）的图象过原点 B．f（x）是奇函数 C．f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减 D．.f（x）是定义域上的增函数 10．对于函数f（x）＝lg（｜x－2｜＋1），下列说法正确的是（　　） A．f（x＋2）是偶函数 B．f（x＋2）是奇函数 C．f（x）在区间（－∞，2）上单调递减，在区间（2，＋∞）上单调递增 D．f（x）没有最小值 11．某同学在研究函数f（x）＝（x∈R）时，给出了下面几个结论，其中正确的是（　　） A．f（x）的图象关于点（－1，1）对称 B．f（x）是单调函数 C．f（x）的值域为（－1，1） D．函数g（x）＝f（x）－x有且只有一个零点 二、填空题 12．将函数y＝log2（2x＋2）的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝　　. 13．若关于x的方程｜x｜＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是　　. 14．已知m，n分别是方程10x＋x＝10与lg x＋x＝10的根，则m＋n＝________． 四、解答题 15．已知f（x）＝是定义在R上的奇函数. （1）请画出f（x）的大致图象并在图象上标注零点； （2）已知a＞1，若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 16．如图，函数y＝f（x）的图象由曲线段OA和直线段AB构成. （1）写出函数y＝f（x）的一个解析式； （2）提出一个能满足函数y＝f（x）的图象变化规律的实际问题. 17． 已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称． (1) 求f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围． 18．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称； (2)若函数f(x)＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值． 19．已知函数f（x）＝，实数a，b满足a＜b. （1）在平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象； （2）若函数f（x）的定义域是[a，b]，值域是[ma，mb]（m＞0），求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 函数图象及其应用 一.【基础知识整合】 1．利用描点法作函数图象其基本步骤是：列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换：函数y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到；函数y＝f(x)＋a的图象可由函数y＝f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位得到． 注意：函数图象平移变换的八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值． (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)． ②y＝f(x)y＝f(－x)． ③y＝f(x)y＝－f(－x)． ④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)． (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|； ②y＝f(x)y＝f(|x|)． (4)伸缩变换：函数y＝f(ax) (a>0)的图象可由y＝f(x)的图象沿x轴伸长(0<a<1)或缩短(a>1)到原来的倍得到；函数y＝af(x) (a>0)的图象可由函数y＝f(x)的图象沿y轴伸长(a>1)或缩短(0<a<1)为原来的a倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解) 2．函数图象的对称常见结论 （1）函数图象自身的轴对称 函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称⇔f（a＋x）＝f（a－x）⇔f（x）＝f（2a－x）⇔f（－x）＝f（2a＋x）. （2）函数图象自身的中心对称 ①f（－x）＝－f（x）⇔函数y＝f（x）的图象关于原点对称； ②函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称⇔f（a＋x）＝－f（a－x）⇔f（x）＝－f（2a－x）⇔f（－x）＝－f（2a＋x）； ③函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称⇔f（a＋x）＝2b－f（a－x）⇔f（x）＝2b－f（2a－x）. （3）两个函数图象之间的对称关系 ①函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）的图象关于直线x＝对称（由a＋x＝b－x得对称轴方程）； ②函数y＝f（x）与y＝f（2a－x）的图象关于直线x＝a对称； ③函数y＝f（x）与y＝2b－f（－x）的图象关于点（0，b）对称. 二.【典例精析】 题型一：作函数图象 例1：作出下列函数的图象： （1）y＝2x＋1－1； （2）y＝｜lg（x－1）｜. (3)y＝x2－2|x|－1; (4)y＝. 【解】（1）将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1所示.（2）首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝｜lg（x－1）｜的图象，如图2所示（实线部分）.(3)y＝.图象如图3.(4)因y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，如图4. 变式训练1：作出下列函数的图象： (1) y＝ (2)y＝2｜x｜ （3）y＝10|lg x| （4）y＝|x－2|(x＋1) 【解】（1）y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图1所示.（2）y＝2｜x｜的图象是由y＝2x在y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的，如图2所示.(3)当x≥1时，lg x≥0，y＝10|lg x|＝10lg x＝x；当0<x<1时，lg x<0，y＝10|lg x|＝10－lg x＝10lg ＝.∴y＝如图3所示(4)当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝2－当x<2，即x－2<0时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－2＋.∴y＝这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图4)． 题型二：识图、辨图 例2：（1）函数y＝（3x－3－x）cos x在区间的图象大致为（　　） （2）函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　） A． .a＞0，b＞0，c＞0　B．a＜0，b＞0，c＜0 C．.a＜0，b＞0，c＞0　D．a＜0，b＜0，c＜0 【解析】（1）（法一）取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1＞0；取x＝－1，则y＝cos（－1）＝－cos 1＜0.结合选项知选A.（法二）令y＝f（x），则f（－x）＝（3－x－3x）cos（－x）＝－（3x－3－x）cos x＝－f（x），所以函数y＝（3x－3－x）·cos x是奇函数，排除B、D；取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1＞0，排除C.故选A.（2）函数在点P处无意义，由题图可知，点P在y轴右边，所以－c＞0，则c＜0；f（0）＝＞0，则b＞0；由f（x）＝0得ax＋b＝0，则x＝－，根据题图得，－＞0，则a＜0.综上，a＜0，b＞0，c＜0.故选B. 变式训练2：(1)函数y＝（2x－2－x）sin x，则其在区间[－π，π]的图象大致为（ ） （2)如图是函数H（x）图象的一部分，设函数f（x）＝cos x，g（x）＝｜x｜＋1，则H（x）可以表示为（　　） A．.f（x）＋g（x） B．.f（x）－g（x） C．f（x）·g（x） D．. 【解析】（1）记f（x）＝（2x－2－x）sin x，则f（－x）＝（2－x－2x）sin（－x）＝－（2－x－2x）sin x＝（2x－2－x）sin x＝f（x），则函数f（x）＝（2x－2－x）sin x为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、C；又f（π）＝0，排除D，故选A.((2)因为f（0）＝g（0）＝1，H（0）＝1，所以H（x）不可能表示为f（x）＋g（x）或f（x）－g（x），故排除选项A、B；因为f（2π）g（2π）＝2π＋1＞1，所以排除选项C.故选D. 题型三：函数图象的应用 例3：已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有 个 (2)设函数y＝f（x＋1）是定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减，且图象过点（1，0），则不等式（x－1）f（x）≤0的解集为　 　. 【解析】(1)在同一直角坐标系中，分别作出y＝f(x)和y＝|lg x|的图象，如图，结合图象知，共有10个交点．(2)画出f（x）的大致图象如图所示.不等式（x－1）f（x）≤0，可化为或由图可知符合条件的解集为{x｜x≤0或1＜x≤2}. 变式训练3：(1)设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝，则下列结论不正确的是（　　） A．2是函数f（x）的周期 B．函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增 C．函数f（x）的最大值是1，最小值是0 D．当x∈（3，4）时，f（x）＝ (2)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________． 【解析】（1）由已知条件得f（x＋2）＝f（x），则f（x）是以2为周期的周期函数，A正确；画出函数y＝f（x）的部分图象如图所示.由图象知B正确，C不正确；当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f（x）＝f（x－4）＝，因此D正确.故选C. (2)y＝作出图象，如图所示．此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－<1<a，∴1<a<. 三.【方法规律总结】 1．作函数图象的两种常用方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征直接作出；（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出. 注意：（1）画函数的图象时一定要注意定义域； （2）利用图象变换法时要注意变换顺序. 2．函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置；（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的周期性，判断图象的循环往复； （6）从函数的特殊点，排除不合要求的图象. 3．利用函数的图象研究函数的性质对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：（1）从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性；（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性. 4．利用函数图象研究不等式问题的方法：当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象（图象易得）的上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解. 四.【课后练习作业】 一、单项选择题 1．函数y＝21－x的大致图象为（　　） 【答案】A【解析】y＝21－x＝（）x－1，故函数为减函数，可排除C、D，又当x＝0时，y＝2，排除B，故选A. 2．把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是 (　 　) A．y＝(x－3)2＋3 B．y＝(x－3)2＋1 C．y＝(x－1)2＋3 D．y＝(x－1)2＋1 【答案】C【解析】函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，将其中的x换为x＋1，得到函数y＝(x－1)2＋2的图象；再向上平移1个单位，变成y＝(x－1)2＋3的图象． 3．为了得到函数y＝log2的图象，可将函数y＝log2x的图象上所有的点(　　) A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移1个单位 C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位 【答案】A【解析】.y＝log2＝log2(x－1)＝log2(x－1)，由y＝log2x的图象纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得y＝log2x的图象，再向右平移1个单位，可得y＝log2(x－1)的图象，也即y＝log2的图象． 4．若函数f（x）＝的图象如图所示，则f（－3）＝（　　） A．－　 B．－ C．－1　 D．－2 【答案】C【解析】∵f（－1）＝0，∴ln（－1＋a）＝0，∴－1＋a＝1，∴a＝2，又y＝ax＋b过点（－1，3），∴2×（－1）＋b＝3，∴b＝5，∴f（－3）＝－3a＋b＝－6＋5＝－1. 5．函数f（x）＝x－在[－π，π]上的图象大致为（　　） 【答案】B【解析】函数f（x）＝x－的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝－x－＝－x－≠f（x），且f（－x）≠－f（x），所以函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项C、D；当x＝π时，f（x）＝f（π）＝π，排除选项A，故选B. 6．已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(－∞，－1) C．(－1，0) D．(1，＋∞) 【答案】D【解析】方程f(x)＝k化为方程e|x|＝k－|x|，令y＝e|x|，y＝k－|x|，如图，y＝k－|x|表示斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y＝e|x|恰好有一个公共点时，有k＝1，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)． 7．已知函数f(x)＝的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，] B． (0，1] C．[1，2] D．[，2] 【答案】A【解析】先作出函数f(x)＝log2(1－x)＋1，－1≤x<0的图象，再研究f(x)＝x3－3x＋2，0≤x≤a的图象．令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1(x＝－1舍去)，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴当x＝1时，f(x)在0≤x≤a有最小值f(1)＝0，又f()＝2.∴1≤a≤.故选A. 8．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　) A．(－1，1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1，2]C．(－∞，－2)∪(1，2] D．[－2，－1] 【答案】B【解析】∵a⊗b＝∴函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)＝结合图象可知，当c∈(－2，－1]∪(1，2]时，函数f(x)与y＝c的图象有两个公共点，∴实数c的取值范围是(－2，－1]∪(1，2]． 二、多选题 9．关于函数f（x）＝，下列结论正确的是（　　） A．f（x）的图象过原点 B．f（x）是奇函数 C．f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减 D．.f（x）是定义域上的增函数 【答案】AC【解析】f（x）＝＝＝1＋，将y＝的图象向右平移1个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，即可得到f（x）＝的图象，如图所示.由图可得A、C正确，故选A、C. 10．对于函数f（x）＝lg（｜x－2｜＋1），下列说法正确的是（　　） A．f（x＋2）是偶函数 B．f（x＋2）是奇函数 C．f（x）在区间（－∞，2）上单调递减，在区间（2，＋∞）上单调递增 D．f（x）没有最小值 【答案】AC【解析】f（x＋2）＝lg（｜x｜＋1）为偶函数，A正确，B错误；作出f（x）的图象如图所示，可知f（x）在（－∞，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，C正确；由图象可知函数存在最小值0，D错误. 11．某同学在研究函数f（x）＝（x∈R）时，给出了下面几个结论，其中正确的是（　　） A．f（x）的图象关于点（－1，1）对称 B．f（x）是单调函数 C．f（x）的值域为（－1，1） D．函数g（x）＝f（x）－x有且只有一个零点 【答案】BCD【解析】作出y＝f（x）的图象，如图所示，对于A，f（x）的图象关于点（0，0）对称，不关于点（－1，1）对称，故A错误；对于B，f（x）是R上的增函数，故B正确；对于C，由图知，f（x）的值域为（－1，1），故C正确；对于D，令g（x）＝f（x）－x＝0，得x＝0，解得x＝0，所以函数g（x）＝f（x）－x有且只有一个零点，故D正确. 三、填空题 12．将函数y＝log2（2x＋2）的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝　　. 【解析】将函数y＝log2（2x＋2）的图象向下平移1个单位长度，可得函数y＝log2（2x＋2）－1的图象，再向右平移1个单位长度，可得函数y＝log2[2（x－1）＋2]－1＝log2（2x）－1的图象，所以g（x）＝log2（2x）－1＝log2x. 13．若关于x的方程｜x｜＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是　（0，＋∞）　. 【解析】由题意得a＝｜x｜＋x，令y＝｜x｜＋x＝其图象如图所示，故要使a＝｜x｜＋x只有一个解，则a＞0. 14．已知m，n分别是方程10x＋x＝10与lg x＋x＝10的根，则m＋n＝________． 【解析】在同一坐标系中作出y＝lg x，y＝10x，y＝10－x的图象，设其交点为A，B，如图所示．设直线y＝x与直线y＝10－x的交点为M，联立方程解得M(5，5)．∵函数y＝lg x和y＝10x的图象关于直线y＝x对称．∴m＋n＝xA＋xB＝2xM＝10. 四、解答题 15．已知f（x）＝是定义在R上的奇函数. （1）请画出f（x）的大致图象并在图象上标注零点； （2）已知a＞1，若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 【解】（1）根据题意，列表如下， x －2 －1 0 1 2 f（x） 0 －1 0 1 0 f（x）的大致图象如图所示，其中有－2，0，2三个零点. （2）由（1）的函数图象可知，要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，则－1＜a－2≤1，即1＜a≤3，故a的取值范围为（1，3]. 16．如图，函数y＝f（x）的图象由曲线段OA和直线段AB构成. （1）写出函数y＝f（x）的一个解析式； （2）提出一个能满足函数y＝f（x）的图象变化规律的实际问题. 【解】（1）当0≤x≤2时，曲线段OA类似指数函数y＝2x，由O（0，0），A（2，3）可得f（x）＝2x－1， 当2＜x≤5时，设直线段AB的解析式为y＝ax＋b，将A（2，3），B（5，0）代入直线段AB的解析式， 得解得 此时y＝－x＋5，所以f（x）＝ （2）答案不唯一，合理即可. 离上课还有5分钟时，小明用了2分钟急速跑（先慢后快）到距离教室3百米的操场找小华来上课，然后两个人用了3分钟时间匀速跑到教室. 17．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围． 【解】(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋ (x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是[3，＋∞)． 18．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称； (2)若函数f(x)＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值． 【解】(1)证明：设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，则y0＝f(x0)．又P点关于x＝m的对称点为P′，则P′的坐标为(2m－x0，y0)．由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图象上．∴y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称．(2)对定义域内的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．又∵a≠0，∴2a－1＝0，得a＝. 19．已知函数f（x）＝，实数a，b满足a＜b. （1）在平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象； （2）若函数f（x）的定义域是[a，b]，值域是[ma，mb]（m＞0），求实数m的取值范围. 【解】（1）因为函数f（x）＝，先作出函数y＝1－的图象，然后再利用图象变换作出函数f（x）＝的图象如图所示. （2）由题意得[a，b]在f（x）的增区间内且a＞0，b＞0，又f（x）＝在[1，＋∞）上单调递增， 故即 所以a，b是方程1－＝mx的两个根，即x－1＝mx2（x＞1），所以mx2－x＋1＝0在区间[1，＋∞）上有两个不相等的实数根， 设g（x）＝mx2－x＋1，则 解得0＜m＜， 学科网（北京）股份有限公司 $$