第五章二次函数小结与思考（1）导学案2024-2025学年苏科版数学九年级下册

九年级数学导学案 课题：第五章小结与思考（1） 主备人： 审核人：__________ 姓名： 班 级： 学 号：____________ 【学习目标】 1．掌握二次函数的概念，掌握二次函数的图像与性质． 2. 掌握二次函数图像的平移规律． 3 .理解一元二次方程、不等式与二次函数之间的内在联系，能通过观察二次函数的图像，求出其对应方程、对应不等式的解（解集）. 【知识点复习】 1．一般地，形如 的函数叫做二次函数． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像是 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是____________. y=a（x-h）2＋k的图像的对称轴是直线________，顶点坐标是__________. 3．抛物线的开口方向由a确定，当a＞0时，开口 ；当a＜0时，开口 ；|a|的值越大，开口越 ． 4．抛物线与y轴的交点坐标为 ．当c＞0时，与y轴的____半轴有交点；当c＜0时，与y轴的 半轴有交点；当c＝0时，抛物线过 ． 5．当a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ； 当a＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧．y随x的增大而 ． 6．当m＞0时，二次函数y＝ax2的图像向 平移 个单位得到二次函数y＝a（x＋m)2的图像； 当k＞0时，二次函数y＝ax2的图像向 平移 个单位得到二次函数y＝ax2＋k的图像． 平移的口诀：左 右 ；上 下 ． 7. 用待定系数法求二次函数的解析式: 8. 二次函数与一元二次方程的关系： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数. （1） 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个公共点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根 △=b2-4ac＞0. （2） 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根 △=b2-4ac=0. （3） 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根 △=b2-4ac＜0. 【例题分析】 题型一、二次函数的概念 例1．下列函数中，二次函数是（　　） A．y＝﹣4x+5 B．y＝x（2x﹣3） C．y＝ax2+bx+c D． 变式训练： 1．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2 2．函数y＝（m+2）x|m|+1是关于x的二次函数，则m＝　 　． 题型二、二次函数的图像与性质 例2．若二次函数y＝﹣x2+3的图像经过点（﹣3，y1）、（﹣4，y2），则y1、y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定 变式训练： 1．已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图像有最高点，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1 2．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3.已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在函数y＝（x﹣1）2的图像上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 4．二次函数y＝（x﹣1）2+1的图像顶点坐标是（　　） A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（﹣1，﹣1） 5．将抛物线y＝2x2向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的抛物线为（　　） A．y＝2（x+2）2+1 B．y＝2（x﹣2）2+1 C．y＝2（x+2）2﹣1 D．y＝2（x﹣2）2﹣1 6．将二次函数y＝x2+2x+3通过配方可化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2﹣2 题型三、确定二次函数的解析式 例3．已知抛物线经过点（0，3），且顶点坐标为（1，﹣4），求抛物线的解析式． 变式训练： 1．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图像经过点（﹣3，0），（2，﹣5）． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图像上？ 2. 已知二次函数的图像与x轴交于（1,0） 、（-1,0）且过点（0,-2）.求此二次函数的表达式. 题型四、二次函数图像与系数的关系 例4. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且过点（3，0），下列结论： ①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练： 1. 如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像，与x轴交点为（3，0），（﹣1，0）， 则下列结论：①a＞0 ； ②2a+b＝0 ；③a+b+c＞0 ；④当﹣1＜x＜3时，y＞0； 正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型五、二次函数与一元二次方程 例5. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示， 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3 变式训练： 1. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　） A．x1＝﹣3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x＝﹣3 D．x1＝﹣3，x2＝1 2．直线y1＝x+1与抛物线y2＝﹣x2+3的图像如图，当y1＞y2时，x的取值范围为（　　） A．x＜﹣2 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．x＜﹣2或x＞1 3．如图，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx+c的两个交点A、B的横坐标分别为﹣1，4，则关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为　 　． 第1题 第2题 第3题 【课堂检测】 1．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5） 2. 已知抛物线y=ax2+bx-1（a≠0）经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A．-3 B．-1 C．2 D．3 3．抛物线y＝x2+4x+7的对称轴是（　　） A．直线x＝4 B．直线x＝﹣4 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2 4．将抛物线y＝x2图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图像解析式为（　　） A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2 5．若点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝a（x+1）2+2（a＜0）上，则下列结论正确的是（　　） A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是　 　． x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 7．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，请直接写出y的取值范围． 【课后作业】 1．函数y＝（m﹣2）x2+5x是关于x的二次函数，其图像开口向下，则m的取值范围是　 　 　． 2．已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于　 　． 3．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当0≤x≤4时，y的取值范围是　 　． 4．如果抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是　 　． 5．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3的一个根为x1＝2，且抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是 直线x＝2，则抛物线的顶点坐标为　 　． 6．已知函数y1＝x2与y2＝﹣x+3的图像大致如图，若y1≤y2，则自变量x的取值范围是　 　． 7．☆已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③当x＜0时，y＜0：④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 8☆☆．已知函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数．且a≠0）的图像如图所示，则关于x的方程 ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等实数根 D．无实数根 第6题 第7题 第8题 9．☆☆已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+3（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点； （2）把该函数的图像沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$