1.2.4 绝对值 同步重难点题型分类专练2024—2025学年人教版数学七年级上册

专题1.2.4 绝对值 【知识考点】 绝对值 【解题必备知识】 1.绝对值的定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，读作“a的绝对值”。 2.绝对值的意义 1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离；离原点越远，绝对值越大，反之越小； 2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。即一个数取绝对值的结果总是正数或．即：。 整理为： 3.绝对值的化简 ① 判断绝对值符号里式子的正负； ② 将绝对值符号改为小括号：若是正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若是负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）； ③ 去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号； ④ 化简。特别注意，当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论。 4.绝对值的非负性 1）任何一个有理数的绝对值都是非负数（正数或），即a取任意有理数，都有 2）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 【重难点题型目录】 【题型1】 绝对值的概念及意义 【题型2】 求一个数的绝对值或由一个数的绝对值求原数 【题型3】 绝对值的化简 【题型4】 绝对值的非负性 【题型5】 解绝对值方程 【题型6】 绝对值的应用 【重难点题型过关练】 【题型1】 绝对值的概念及意义 【1-1】（2024·河南周口·三模）绝对值是的数是（   ） A． B． C． D． 【1-2】（2022-2023七年级上·湖南衡山·期末） 下列说法中正确的是（ ） A．0是最小的数 B．如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等 C．最大的负有理数是 D．任何有理数的绝对值都是正数 【1-3】（2023-2024七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）符号语言“”转化为文字表达，正确的是（   ） A．一个正数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0 【1-4】（2023-2024七年级上·福建莆田·期末）下列说法正确的有（ ） （1）有理数的绝对值一定比0大； （2）有理数的相反数一定比0小； （3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； （4）互为相反数的两个数的绝对值相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【1-5】（2023-2024七年级上·江苏南京·阶段练习）若，一定是（ ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【1-6】（2022-2023七年级上·广西玉林·期中）若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【1-7】（2023-2024七年级上·陕西汉中·阶段练习）若，下列的取值能使这个式子成立的是（ ） A． B．1 C．2 D．取任何数 【1-8】（2022-2023七年级上·湖南宁乡·期末】如图，数轴上表示的绝对值的点是（   ） A． B． C． D． 【1-9】（2023-2024七年级上·四川达州·期末）若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【1-10】（2023-2024七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【1-11】（2024·浙江温州·三模）下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（   ） A． B． C．1 D． 【1-12】（2024-2025七年级上·全国·假期作业）设是绝对值最小的数，是最大的负整数，是最小的正整数，则三数分别为（   ） A． B． C． D． 【1-13】（2023-2024七年级上·宁夏吴忠·期中）任何一个有理数的绝对值在数轴上的位置是（   ） A．原点右边 B．原点两旁 C．原点及其右边 D．整个数轴 【1-14】（2024九年级下·云南·专题练习）计算： _________． 【1-15】（2023-2024七年级上·全国·课后作业） （1）2.4到原点的距离是2.4，所以 ； （2）到原点的距离是3，所以 ； （3）0到原点的距离是0，所以 ． 【1-16】（2023-2024七年级上·湖南怀化·期末）当 时，． 【1-17】（2023-2024七年级下·山东潍坊·阶段练习）绝对值小于2.5的所有整数是 ，绝对值等于它本身的数是 ． 【1-18】（2023-2024七年级下·安徽六安·阶段练习）在数轴上与原点的距离不大于3的点表示的数x的取值范围为 ． 【1-19】（2023-2024七年级上·全国·假期作业）如图： (1)数轴上点A表示的数是___________，点B表示的数是___________； (2)若点C与点O(原点记为点O)的距离记为，有，则___________； (3)若数轴上M，N两点所表示的数分别为x，y，则___________(结果不含绝对值符号)． 【1-20】（2023-2024七年级上·全国·课后作业） （1）绝对值是4的数有几个？各是什么？ （2）绝对值是0的数有几个？各是什么？ （3）是否存在绝对值是的数？为什么？ 【题型2】 求一个数的绝对值或由一个数的绝对值求原数 【2-1】（2022-2023七年级下·河南信阳·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B．2024 C． D． 【2-2】（2022-2023七年级上·湖南新田·期末】的绝对值是(   ) A． B． C． D． 【2-3】（2023·内蒙古通辽·二模）的相反数的绝对值为（ ） A． B． C． D． 【2-4】（2022—2023七年级上·湖南君山·期末】的相反数为(   ) A．2023 B． C． D． 【2-5】（2023-2024七年级上·浙江金华·期中）一个数x的相反数的绝对值为3，则这个数是（ ） A．3 B． C． D． 【2-6】（2022-2023七年级上·湖南沅江·期末】绝对值等于7的数是（   ） A．7 B． C．7或 D． 【2-7】（2023-2024七年级上·四川眉山·阶段练习）一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是（   ） A．正数 B．零 C．负数 D．非正数 【2-8】（2022-2023七年级上·湖南岳阳·期末】若，则是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【2-9】（2023-2024七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 【2-10】（2023-2024九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（   ）    A． B． C． D． 【2-11】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）计算： ；若，则 ． 【2-12】（2024-2025七年级上·全国·假期作业）化简： ； ； ． 【2-13】（2023-2024七年级下·山东潍坊·阶段练习）的相反数为 ， 的绝对值等于 ． 【2-14】（2023-2024九年级下·广东广州·阶段练习）若，则 ． 【2-15】（2023-2024七年级上·湖北襄阳·期中）一个数的绝对值是，那么这个数为 ． 若｜-5｜=｜-a｜则a= 【2-16】（2023-2024七年级上·河北唐山·阶段练习）的绝对值的相反数是 ． 一个数的相反数的绝对值等于这个数的绝对值的相反数，那么这个数是 ． 【2-17】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）在数轴上分别画出表示下列各数的点，并写出它们的绝对值：，0.5，，，0，-5． 【2-18】（2023-2024七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【题型3】 绝对值的化简 【3-1】（2022—2023七年级上·湖南绥宁·期末】若，则的值为（ ） A． B．3 C． D． 【3-2】(2022-2023七年级上·湖南临湘·期末)有理数，5，0，，，中， 负数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【3-3】（2023-2024七年级上·四川广安·期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简：（   ） A． B． C． D． 【3-4】（2022-2023七年级上·湖南安化·期末】如图，已知数轴上A，两点表示的数分别是 ，，则计算 正确的是（   ） A． B． C． D． 【3-5】（2023-2024七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（   ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【3-6】（2023-2024七年级上·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 【3-7】（2023-2024七年级上·重庆沙坪坝·期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：＝ ． 【3-8】（2023-2024七年级上·湖北武汉·期中）对于任意有理数和、都不为，满足，则对于下列关系式：①；②；③；④，其中一定成立的是 ．(只填序号) 【3-9】（2023·宁夏吴忠·模拟预测）已知有理数，在数轴上如图表示，则 ． 【3-10】（2022-2023七年级上·浙江·专题练习）按要求解答： 有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)将a，，b，，0，1，用“＜”号连接； (2)化简： ， ， ， ． 【3-11】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）已知，，并且，求，的值． 【3-12】（2023-2024七年级上·陕西汉中·阶段练习）如果，，且， 求的值． 【3-13】（2023-2024七年级上·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【3-14】（2023-2024七年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面材料：    在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点分别表示数，则两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为 ； (2)当时， ；当时， ． (3)借助（2）的发现，计算：． (4)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，的值总是一个固定的值为： ． ②请你在草稿纸上画出数轴，要使，数轴上表示点的数 ． 【题型4】 绝对值的非负性 【4-1】（2023-2024七年级上·广东韶关·期末）若，则的值是（   ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【4-2】（2023-2024七年级上·山西吕梁·阶段练习）如果有理数、满足那么、的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【4-3】（2023-2024七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【4-4】（2023-2024七年级上·河南安阳·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2023 B．4046 C．20 D．0 【4-5】（2023-2024七年级上·山东临沂·阶段练习）若，则 ． 【4-6】（2023-2024七年级上·四川成都·阶段练习）已知，则的值是 ． 【4-7】（2023-2024七年级上·山东青岛·阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【4-8】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）若与互为相反数，则 ． 【4-9】（2023-2024七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知， 求的值． 【4-10】（2023-2024七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，求的值． 【4-11】（2023-2024七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，且a，b表示的数满足． （1）______，_______； （2）若点A、B分别以3个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，两点同时移动． ①当点A运动到6对应的点时，求A、B两点间的距离； ②经过多长时间A、B两点相距5个单位长度？ 【题型5】 解绝对值方程 【5-1】（2023-2024七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，那么（ ） A．3 B． C．1或 D．3或 【5-2】（2023-2024七年级上·河南周口·期中）方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【5-3】（2023-2024七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（   ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【5-4】（2023-2024七年级·全国·竞赛）方程的解有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【5-5】（2023-2024七年级上·福建泉州·期中）若，则 ． 【5-6】（2023-2024七年级下·福建泉州·阶段练习）关于的方程的解是 ． 【5-7】（2023-2024七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 【5-8】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）如果一个物体某个量的实际值为，测量值为，我们把称为绝对误差，把称为相对误差．例如，某个零件的实际长度为，测量得，那么测量的绝对误差为0.2，相对误差为．若某个零件测量所产生的绝对误差为，相对误差为，求该零件的测量值的值． 【题型6】 绝对值的应用 【6-1】（2023-2024七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【6-2】（2023-2024七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为（   ） A．12 B．9 C．18 D．15 【6-3】（2023-2024七年级上·广东佛山·期中）如图，直径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径．圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，运动结束后运动的路程共有 ．（保留）    【6-4】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是________．（一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于） (2)如果，那么________； (3)若，，且数a，b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是________，最小距离是________． 【6-5】（2023-2024七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)式子的最小值为 ； (4)若，则 ； (5)式子的最小值为 ，此时 ． 【6-6】（2023-2024七年级·全国·专题练习）一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【中考真题提前练】 【7-1】（2022·安徽·中考真题）下列为负数的是（   ） A． B． C．0 D． 【7-2】（2022·湖北荆门·中考真题）如果|x|＝2，那么x＝(   ) A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或 【7-3】（2022•湖南衡阳•中考真题）﹣2的绝对值是（ ） A．2 B．﹣2 C． D． 【7-4】（2022•湖南邵阳•中考真题）﹣2022的绝对值是（ ） A．﹣2022 B．2022 C． D． 【7-5】（2023·江苏扬州·统考中考真题）的绝对值是（   ） A．3 B． C． D． 【7-6】（2022•湖南株洲•中考真题）﹣2的绝对值等于（ ） A．2 B． C． D．﹣2 【7-7】（2023·宁夏·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【7-8】（2023·辽宁·中考真题）2的绝对值是（ ） A． B． C． D．2 【7-9】（2023·湖北·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【7-10】（2023·贵州·中考真题）5的绝对值是（   ） A． B．5 C． D． 【7-11】（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【7-12】（2023·浙江嘉兴·中考真题）___________． 【7-13】（2022·江苏泰州·中考真题）若，则的值为__________. 【7-14】（2022•湖南益阳•中考真题）的绝对值是 ． 【7-15】（2022•湖南常德•中考真题）计算：|﹣6|＝ ． 【7-16】（2024·四川资阳·中考真题）若，则 ． 【7-17】（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2.4 绝对值 【知识考点】 绝对值 【解题必备知识】 1.绝对值的定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，读作“a的绝对值”。 2.绝对值的意义 1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离；离原点越远，绝对值越大，反之越小； 2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。即一个数取绝对值的结果总是正数或．即：。 整理为： 3.绝对值的化简 ① 判断绝对值符号里式子的正负； ② 将绝对值符号改为小括号：若是正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若是负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）； ③ 去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号； ④ 化简。特别注意，当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论。 4.绝对值的非负性 1）任何一个有理数的绝对值都是非负数（正数或），即a取任意有理数，都有 2）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 【重难点题型目录】 【题型1】 绝对值的概念及意义 【题型2】 求一个数的绝对值或由一个数的绝对值求原数 【题型3】 绝对值的化简 【题型4】 绝对值的非负性 【题型5】 解绝对值方程 【题型6】 绝对值的应用 【重难点题型过关练】 【题型1】 绝对值的概念及意义 【1-1】（2024·河南周口·三模）绝对值是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值．理解绝对值的定义是解题的关键． 【解答】根据绝对值的定义可知，和的绝对值都是． 故选择：C 【1-2】（2022-2023七年级上·湖南衡山·期末） 下列说法中正确的是（ ） A．0是最小的数 B．如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等 C．最大的负有理数是 D．任何有理数的绝对值都是正数 【答案】B 【分析】根据有理数的大小比较，相反数的定义，绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【解答】解：A、0不是最小的数，负数比0小，选项错误，不符合题意； B、如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等，选项正确，符合题意； C、最大的负整数是，选项错误，不符合题意； D、任何有理数的绝对值都是非负数，选项错误，不符合题意； 故选B． 【点评】本题考查有理数比较大小，相反数、绝对值的意义．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【1-3】（2023-2024七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）符号语言“”转化为文字表达，正确的是（   ） A．一个正数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0 【答案】B 【分析】根据已知条件依次判断即可. 【解答】∵， ∴a为负数， 表示a的相反数， ∴表示：负数的绝对值等于它的相反数.因此 B选项正确. 故选：B 【点评】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键. 【1-4】（2023-2024七年级上·福建莆田·期末）下列说法正确的有（ ） （1）有理数的绝对值一定比0大； （2）有理数的相反数一定比0小； （3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； （4）互为相反数的两个数的绝对值相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】: 根据0的绝对值为0，互为相反数的绝对值相等，即可解答． 【解答】: (1)有理数的绝对值一定比0大，错误，例如，0的绝对值为0； (2)有理数的相反数一定比0小，错误，例如，0的相反数为0； (3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或和相反数，故错误； (4)互为相反数的两个数的绝对值相等，正确． 正确的有1个. 故选A. 【点评】: 本题考查了绝对值,相反数，解决本题的关键是熟记绝对值的性质,相反数的性质． 【1-5】（2023-2024七年级上·江苏南京·阶段练习）若，一定是（ ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值．根据非正数的绝对值等于他的相反数，可得答案． 【解答】解：非正数的绝对值等于他的相反数，， ∴一定是非正数， 故选：C． 【1-6】（2022-2023七年级上·广西玉林·期中）若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的绝对值等于本身，可得，即可求解． 【解答】解：∵， ∴， 即． 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；理解绝对值的意义是解题的关键． 【1-7】（2023-2024七年级上·陕西汉中·阶段练习）若，下列的取值能使这个式子成立的是（ ） A． B．1 C．2 D．取任何数 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到，即可判断． 【解答】解：∵， ∴， ∴，选项中只有符合， 故选：A． 【点评】此题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． 【1-8】（2022-2023七年级上·湖南宁乡·期末】如图，数轴上表示的绝对值的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的绝对值是，再根据数轴的性质即可得． 【解答】解：的绝对值是， 由图可知，数轴上表示的点是， 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 【1-9】（2023-2024七年级上·四川达州·期末）若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可解答，解题的关键是熟记绝对值的意义． 【解答】∵， ∴， ∴或， 故选：． 【1-10】（2023-2024七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数和化简多重符号等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合化简多重符号法则、绝对值性质进行化简，然后根据相反数的定义逐项分析判断即可． 【解答】解：A、，，故两数不是相反数，不符合题意； B、，，两数互为相反数，符合题意； C、，，故两数不是相反数，不符合题意； D、，，故两数不是相反数，不符合题意． 故选：B． 【1-11】（2024·浙江温州·三模）下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答． 【解答】解：∵， ， ∴的位置距离原点最近， 故选：B． 【1-12】（2024-2025七年级上·全国·假期作业）设是绝对值最小的数，是最大的负整数，是最小的正整数，则三数分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数中的相关概念，掌握绝对值，负整数，正整数的概念是解题的关键． 【解答】解：绝对值最小的数是，即， 最大的负整数为，即， 最小的正整数为，即， 故选：A ． 【1-13】（2023-2024七年级上·宁夏吴忠·期中）任何一个有理数的绝对值在数轴上的位置是（   ） A．原点右边 B．原点两旁 C．原点及其右边 D．整个数轴 【答案】C 【分析】根据数轴的特点及绝对值的定义解答即可． 【解答】解：∵任何非0数的绝对值都大于0， ∴任何非0数的绝对值所表示的数总在原点的右侧， ∵0的绝对值是0， ∴0的绝对值表示的数在原点． 故选：C． 【点评】本题考查的是绝对值及数轴的定义，解答此题的关键是熟知以下知识：（1）数轴上原点右边表示的数都大于0，原点左边表示的数都小于0；（2）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【1-14】（2024九年级下·云南·专题练习）计算： _________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的计算，根据绝对值的定义进行化简即可解答． 【解答】解：根据绝对值的定义可得，； 故答案为：． 【1-15】（2023-2024七年级上·全国·课后作业） （1）2.4到原点的距离是2.4，所以 ； （2）到原点的距离是3，所以 ； （3）0到原点的距离是0，所以 ． 【答案】 2.4 3 0 【分析】根据绝对值的代数意义解答即可．绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 【解答】解：（1）2.4到原点的距离是2.4，所以； 故答案为：2.4 （2）到原点的距离是3，所以； 故答案为：3； （3）0到原点的距离是0，所以． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了绝对值，解决问题的关键是熟练掌握绝对值的代数意义． 【1-16】（2023-2024七年级上·湖南怀化·期末）当 时，． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的取值得出求解即可得出答案． 【解答】 解得 故答案为：． 【1-17】（2023-2024七年级下·山东潍坊·阶段练习）绝对值小于2.5的所有整数是 ，绝对值等于它本身的数是 ． 【答案】 2，1，0，， 0，1 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义求解即可． 【解答】绝对值小于2.5的所有整数是2，1，0，，； 绝对值等于它本身的数是0，1． 故答案为：2，1，0，，；0，1． 【1-18】（2023-2024七年级下·安徽六安·阶段练习）在数轴上与原点的距离不大于3的点表示的数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示点和绝对值的定义，解题的关键是掌握绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．利用绝对值的定义得出，求解即可． 【解答】解：∵数轴上表示数x的点与原点的距离不大于3， ∴， ∴， 故答案为：． 【1-19】（2023-2024七年级上·全国·假期作业）如图： (1)数轴上点A表示的数是___________，点B表示的数是___________； (2)若点C与点O(原点记为点O)的距离记为，有，则___________； (3)若数轴上M，N两点所表示的数分别为x，y，则___________(结果不含绝对值符号)． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴的认识及两点间距离的计算，绝对值的意义； （1）由图可知，数轴上、所表示的数，分别为：，； （2）由图知，点的坐标原点，点的坐标点的坐标； （3）由（2）可得，点的坐标点的坐标； 【解答】（1）解：由图可知，数轴上点表示的数是；点表示的数是； （2）由图可得，点表示的点为，所以，， 又点表示的点为，所以； （3）由图可得，数轴上、两点所表示的数分别为、，则． 【1-20】（2023-2024七年级上·全国·课后作业） （1）绝对值是4的数有几个？各是什么？ （2）绝对值是0的数有几个？各是什么？ （3）是否存在绝对值是的数？为什么？ 【答案】（1）两个，4和；（2）一个，0；（3）不存在，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的定义以及性质解决此题；（2）根据绝对值的定义以及性质解决此题；（3）根据绝对值的非负性解决此题． 【解答】解：（1）绝对值等于4的数有两个，分别是4和． （2）绝对值是0的数有一个，是0． （3）不存在绝对值是的数，理由：任意实数的绝对值大于或等于0，是非负数． 【点评】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义以及性质是解决本题的关键． 【题型2】 求一个数的绝对值或由一个数的绝对值求原数 【2-1】（2022-2023七年级下·河南信阳·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【解答】解：， 故选：B． 【2-2】（2022-2023七年级上·湖南新田·期末】的绝对值是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简，可进一步求解． 【解答】解： 故选：A． 【点评】本题考查求一个数的绝对值．掌握相关法则即可． 【2-3】（2023·内蒙古通辽·二模）的相反数的绝对值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值、相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据绝对值的性质以及相反数的定义进行解题即可． 【解答】解：的相反数是， ， 则的相反数的绝对值为． 故选：B． 【2-4】（2022—2023七年级上·湖南君山·期末】的相反数为(   ) A．2023 B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算绝对值，再求相反数． 【解答】解：， 因此的相反数为， 故选B． 【点评】本题考查绝对值与相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．绝对值相同，符号相反的两个数互为相反数． 【2-5】（2023-2024七年级上·浙江金华·期中）一个数x的相反数的绝对值为3，则这个数是（ ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数，绝对值，根据相反数和绝对值的定义即可求解． 【解答】∵一个数x的相反数的绝对值为3，即， ∴， ∴． 故选：D． 【2-6】（2022-2023七年级上·湖南沅江·期末】绝对值等于7的数是（   ） A．7 B． C．7或 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【解答】解：绝对值等于7的数是7或，故选：C． 【点评】本题考查了有理数的绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个，除非绝对值为0的数才有一个为0． 【2-7】（2023-2024七年级上·四川眉山·阶段练习）一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是（   ） A．正数 B．零 C．负数 D．非正数 【答案】D 【分析】此题主要考查绝对值性质，明确正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数这一知识点，此题在此基础上判断正数、负数的绝对值即可． 【解答】解：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0也是它的相反数， 一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数和0，即非正数， 故选：D． 【2-8】（2022-2023七年级上·湖南岳阳·期末】若，则是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解． 【解答】解：∵， ∴． 故选：C． 【点评】解答此题的关键是熟知绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 【2-9】（2023-2024七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．根据，，得出，，然后分情况进行讨论即可得出答案． 【解答】解：∵，， ∴，， ∴，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为1或3． 故选：C． 【2-10】（2023-2024九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的特点；熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特征是解题的关键． ，，则，，；结合选项即可求解 【解答】解：从图可知，， ∴，，，故、错误； ∴，故正确，错误， 故选． 【2-11】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）计算： ；若，则 ． 【答案】 4.5 【分析】根据绝对值的定义求解即可． 【解答】； ∵， ∴． 故答案为：4.5；． 【点评】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 【2-12】（2024-2025七年级上·全国·假期作业）化简： ； ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则． 【解答】解：，，， 故答案为：，，2． 【2-13】（2023-2024七年级下·山东潍坊·阶段练习）的相反数为 ， 的绝对值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数和绝对值，根据相反数的定义，绝对值的意义，进行求解即可． 【解答】解：，它的相反数为； ，它的绝对值为． 故答案为：，． 【2-14】（2023-2024九年级下·广东广州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质，非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 【解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 【2-15】（2023-2024七年级上·湖北襄阳·期中）一个数的绝对值是，那么这个数为 ． 若｜-5｜=｜-a｜则a= 【答案】 或/或/ 5或-5/-5或5/ 【分析】与原点的距离为的点有两个，从而可得或的绝对值为 把 化为 结合与原点的距离为的点有两个，从而可得的值. 【解答】解：一个数的绝对值是，那么这个数为或 即 或 故答案为：或5或-5 【点评】本题考查的是绝对值的含义，已知一个数的绝对值，求这个数，掌握绝对值的含义是解题的关键. 【2-16】（2023-2024七年级上·河北唐山·阶段练习）的绝对值的相反数是 ． 一个数的相反数的绝对值等于这个数的绝对值的相反数，那么这个数是 ． 【答案】 0 【分析】根据已知及绝对值、相反数的性质，来确定即可． 【解答】解：的绝对值是， 的相反数是； 设这个数为a，则由题意得|-a|=-|a|，即|a|=-|a|， ∴|a|=0 即a=0， 故答案是：，0． 【点评】本题考查了绝对值、相反数的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 【2-17】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）在数轴上分别画出表示下列各数的点，并写出它们的绝对值：，0.5，，，0，-5． 【答案】图见解析，，，，，0，5 【分析】先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上分别画出表示下列各数的点；然后根据绝对值的定义，求出它们的绝对值即可． 【解答】在数轴上表示为    ，，，，，． 【点评】此题考查了在数轴上表示数的方法，以及绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解答本题的关键． 【2-18】（2023-2024七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【解答】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 【题型3】 绝对值的化简 【3-1】（2022—2023七年级上·湖南绥宁·期末】若，则的值为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用绝对值的定义进行解答即可． 【解答】解：， ， ， 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 【3-2】(2022-2023七年级上·湖南临湘·期末)有理数，5，0，，，中， 负数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先化简多重符号和绝对值，再根据负数的定义求解即可． 【解答】解：， ∴有理数，5，0，，，中是负数的有，，共3个， 故选C． 【点评】本题主要考查了负数的定义，化简多重符号和绝对值，熟知相关知识是解题的关键． 【3-3】（2023-2024七年级上·四川广安·期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值和数轴，是基础题，先根据各点在数轴上的位置判断、b的符号，再去绝对值符号，即可得到答案． 【解答】解：根据题意，可知：， ∴，故B正确． 故选：B． 【3-4】（2022-2023七年级上·湖南安化·期末】如图，已知数轴上A，两点表示的数分别是 ，，则计算 正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上两点的位置，判断的正负性，进而即可求解． 【解答】解：∵数轴上A，两点表示的数分别是 ，， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点评】本题考查了数轴，绝对值，掌握求绝对值的意义是解题的关键． 【3-5】（2023-2024七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（   ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值．根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【解答】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 【3-6】（2023-2024七年级上·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值即可求解． 【解答】解： ， ， ， 故答案为：． 【3-7】（2023-2024七年级上·重庆沙坪坝·期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与绝对值的相关知识，解题的关键在于正确去掉绝对值符号． 根据数轴可知：，，，，然后去掉绝对值符号，进行计算即可． 【解答】解：由数轴可知，，，，， ，，， ， 故答案为： 【3-8】（2023-2024七年级上·湖北武汉·期中）对于任意有理数和、都不为，满足，则对于下列关系式：①；②；③；④，其中一定成立的是 ．(只填序号) 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，整式的加减．先根据绝对值的性质，分三种情况进行讨论，①当，时；②当，时；③当，或，，就能得到答案． 【解答】解：分三种情况讨论： ①当，时，则， 由，可得，则，， 故①②④正确； ②当，时，则， 由，可得，则：，, 故②④正确； ③当，或，时，若，则，与已知条件矛盾，故舍去． ∴一定成立的是②④ 故答案为：②④． 【3-9】（2023·宁夏吴忠·模拟预测）已知有理数，在数轴上如图表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查运用数轴上的点表示实数，绝对值．先根据数轴确定出的符号，再去绝对值即可．解题的关键是掌握：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值是零． 【解答】解：由图可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 【3-10】（2022-2023七年级上·浙江·专题练习）按要求解答： 有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)将a，，b，，0，1，用“＜”号连接； (2)化简： ， ， ， ． 【答案】(1) (2)，b，， 【分析】（1）根据数轴的特点：右边的数总比左边的数大，即可解答； （2）根据非负数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，化简绝对值即可． 【解答】（1）由数轴即可直接得出． （2）∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，b，，． 【点评】本题考查根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值．掌握数轴的特点和绝对值的性质是解题关键． 【3-11】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）已知，，并且，求，的值． 【答案】， 【分析】首先根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据确定a、b的对应情况． 【解答】因为，， 所以，． 因为， 所以，． 【点评】本题考查绝对值的性质和比较大小，熟记绝对值的性质是解题的关键． 【3-12】（2023-2024七年级上·陕西汉中·阶段练习）如果，，且， 求的值． 【答案】的值为或 【分析】根据绝对值的性质“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值等于零”，由此即可求解． 【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当时，；当时，； ∴的值为或． 【点评】本题主要考查绝对值的性质，掌握其性质的运用是解题的关键． 【3-13】（2023-2024七年级上·黑龙江绥化·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【解答】解：由数轴可得：，， ，，， ． 【3-14】（2023-2024七年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面材料：    在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点分别表示数，则两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为 ； (2)当时， ；当时， ． (3)借助（2）的发现，计算：． (4)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，的值总是一个固定的值为： ． ②请你在草稿纸上画出数轴，要使，数轴上表示点的数 ． 【答案】(1)3；； (2)； (3) (4)①数轴见解析，5；②或4 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意找出数轴上任意点间的距离的计算公式，然后进行计算即可； （2）根据去绝对值法则计算即可； （3）先去绝对值然后根据有理数的加减运算即可求解； （4）①先化简绝对值然后合并同类项即可； ②分表示x的点在表示的点的左侧，表示x的点在表示3的点的右侧，两种情况讨论即可求解． 【解答】（1）解∶ 数轴上表示 和的两点之间的距离是∶ ， 数轴上表示数 和 -3 的两点之间的距离表示为∶ ， 故答案为∶ 3 ； ； （2）当 时， ， 当 时， ， 故答案为： ； （3）原式 ； （4）①画出数轴如下：    由数轴可知：当表示数x的点在与3之间移动时，， 故答案为：5； ②表示x的点不可能在表示和3的点之间， 当表示x的点在表示的点的左侧时，如图：    此时； 当表示x的点在表示3的点的右侧时，如图：    此时． 故答案为：或4． 【题型4】 绝对值的非负性 【4-1】（2023-2024七年级上·广东韶关·期末）若，则的值是（   ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可． 【解答】解：∵， 又， ∴， ∴； 则． 故选A． 【4-2】（2023-2024七年级上·山西吕梁·阶段练习）如果有理数、满足那么、的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的非负性，解方程，根据非负数的性质列式方程求解即可得到x、y的值是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴， 解得：，， 故选B． 【4-3】（2023-2024七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解的最小值是0是解本题的关键． 【解答】解：∵x为有理数式子存在最大值， ∴当，最大为2023， 故选C． 【4-4】（2023-2024七年级上·河南安阳·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2023 B．4046 C．20 D．0 【答案】A 【分析】根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【解答】解：∵绝对值具有非负性 ∴， ∵有最大值， ∴当时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确． 故选：A. 【点评】本题考查的是绝对值的意义，掌握绝对值具有非负性是解题的关键． 【4-5】（2023-2024七年级上·山东临沂·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值非负性的应用，求解代数式的值，由绝对值的非负性可得，，再代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【4-6】（2023-2024七年级上·四川成都·阶段练习）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性，根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可，解题的关键是正确理解几个非负数的和为时，则这几个非负数都为． 【解答】∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【4-7】（2023-2024七年级上·山东青岛·阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【解答】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【4-8】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）若与互为相反数，则 ． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义可得，再根据绝对值的非负性求得，，即可求解． 【解答】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点评】本题考查相反数的定义、绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性求得a、b的值是解题的关键． 【4-9】（2023-2024七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知， 求的值． 【答案】，，． 【分析】点拨本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于，那么这几个非负数都等于，得到，，，解之即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴，，， ∴，，． 【4-10】（2023-2024七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值的非负性，正确熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 由绝对值的非负性结合与的和为0可求解． 【解答】解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【4-11】（2023-2024七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，且a，b表示的数满足． （1）______，_______； （2）若点A、B分别以3个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，两点同时移动． ①当点A运动到6对应的点时，求A、B两点间的距离； ②经过多长时间A、B两点相距5个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①1，②2秒或7秒 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，即可得出a，b的值； （2）①利用时间等于路程除以速度，可求出点A运动的时间，结合点B的运动速度及出发点，可求出此时点B对应的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出A，B两点间的距离；②当运动时间为t秒时，点A对应的数为，点B对应的数为，根据两点相距5个单位长度，可得出关于t的一元一次方程，即可得出结论． 【解答】（1）解：∵a，b表示的数满足， ∴，， ∴，． 故答案为：，． （2）点A运动到6对应的点所需时间为(秒)， 此时点B运动到的位置为， ∵， ∴A，B两点间的距离为1． 当运动时间为t秒时，点A对应的数为，点对应的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 故经过2秒或7秒，两点相距5个单位长度． 【点评】本题主要考查动点问题，涉及偶次方的非负性、绝对值的非负性，两点之间的距离以及解一元一次方程的应用，解题的关键是能用代数式表示点的位置． 【题型5】 解绝对值方程 【5-1】（2023-2024七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，那么（ ） A．3 B． C．1或 D．3或 【答案】D 【分析】可得，即可求解． 【解答】解：由题意得 ， 解得：，； 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值方程的解法，掌握解法是解题的关键． 【5-2】（2023-2024七年级上·河南周口·期中）方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，得到或，分别解一元一次方程，即可求解， 本题考查了，解绝对值方程，解题的关键是：熟练掌握解绝对值方程． 【解答】解：∵， ∴或， 解得：或， 故选：C． 【5-3】（2023-2024七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（   ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．将代入方程，根据绝对值的定义求解即可． 【解答】解：将代入方程，得， ， 解得或． 故选：C． 【5-4】（2023-2024七年级·全国·竞赛）方程的解有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的性质，依据绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 根据绝对值的性质分类讨论，再解方程即可． 【解答】解：， 或（舍）， ， 故答案为：C. 【5-5】（2023-2024七年级上·福建泉州·期中）若，则 ． 【答案】2010或2036 【分析】本题主要考查绝对值的性质，根据绝对值的意义进行化简即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ∴， ∴或2010． 故答案为：2010或2036． 【5-6】（2023-2024七年级下·福建泉州·阶段练习）关于的方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程．分，和时三种情况讨论，分别列得方程，再解方程可得． 【解答】解：当时， ，解得； 当时, ，此方程无解； 当时, ，解得； 故答案为：或． 【5-7】（2023-2024七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 【答案】探究：、1、或；应用：或；拓展： 【分析】本题考查了绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离．熟练掌握绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离是解题的关键． 探究：根据题意化简绝对值，利用绝对值的意义进行作答即可； 应用：由的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9，表示和两点之间的距离为4，可知表示x的点在左侧，或在1右侧；分当时，当时，解绝对值方程即可； 拓展：由题意知，，整理得，分当时，当时，当时，三种情况解绝对值方程即可． 【解答】探究：解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 的意义是数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离是2， 上述两种方法，都可以求得方程的解是或； 故答案为：、1、或． 应用：解：的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9， ∵表示和两点之间的距离为4， ∴表示x的点在左侧，或在1右侧； 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，或； 拓展：解：， ∴， 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，， 解得，； 故答案为：． 【5-8】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）如果一个物体某个量的实际值为，测量值为，我们把称为绝对误差，把称为相对误差．例如，某个零件的实际长度为，测量得，那么测量的绝对误差为0.2，相对误差为．若某个零件测量所产生的绝对误差为，相对误差为，求该零件的测量值的值． 【答案】或 【分析】根据绝对误差和相对误差的计算公式得到方程，求出a值，再代入计算求出b值即可． 【解答】∵绝对误差为，相对误差为， ∴，，所以， ∴， ∴， 解得或， 所以该零件的测量值的值为或． 【点评】本题考查了绝对值和绝对值方程，正确理解绝对误差，相对误差的意义是解题的关键． 【题型6】 绝对值的应用 【6-1】（2023-2024七年级上·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解的最小值是0是解本题的关键． 【解答】解：∵x为有理数式子存在最大值， ∴当，最大为2023， 故选C． 【6-2】（2023-2024七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为（   ） A．12 B．9 C．18 D．15 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，有理数的减法等知识点，由数轴上表示的几何意义，求出的值，即可得到答案．熟练掌握在数轴上绝对值的几何意义是解决此题的关键． 【解答】∵的最小值为3，且， ∴， ∴， ∴ 故选：D 【6-3】（2023-2024七年级上·广东佛山·期中）如图，直径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径．圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，运动结束后运动的路程共有 ．（保留）    【答案】 【分析】计算出这些数的绝对值的和，再乘以周长，即可求出路程．本题主要考查了化简绝对值、绝对值的应用和圆的周长公式的应用，正确审题并计算出绝对值是解题的关键． 【解答】解： 圆的周长为： ， ， 故答案为： 【6-4】（2023-2024七年级上·全国·课后作业）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是________．（一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于） (2)如果，那么________； (3)若，，且数a，b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是________，最小距离是________． 【答案】(1)3，5 (2)2或 (3)8，2 【分析】（1）根据数轴计算即可； （2）根据绝对值的性质可得即可求解； （3）根据绝对值的性质求得a、b的值，再根据数轴求出A、B两点间的最大距离和最小距离． 【解答】（1）解：数轴上表示4和1的两之间的距离是：， 表示和2两点之间的距离是：， 答案：3，5． （2）解：∵， ∴或， ∴或， 答案：2或． （3）解：∵，， ∴或，或， ∴或，或， 当，时，A、B两点间的最大距离是8； 当，，时，A、B两点间的最小距离是2， ∴A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2． 答案：8，2． 【点评】本题考查数轴中两点间的距离、绝对值的应用，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 【6-5】（2023-2024七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)式子的最小值为 ； (4)若，则 ； (5)式子的最小值为 ，此时 ． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 (5)； 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，即可求解， （2）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，化简后，即可求解， （3）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，化简后，即可求解， （4）根据绝对值的几何意义，分在左侧时，在右侧时，两种情况，分别化简后，即可求解， （5）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，取最小值，当时，取最小值，即可求解， 本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是：根据绝对值的几何意义，确定的范围． 【解答】（1）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离等于， 或， 故答案为：或， （2）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离等于到的距离， 在和之间， ， ， 故答案为：， （3）解：根据绝对值的几何意义，的最小值表示到的距离与到的距离之和最小， 在和之间的线段上， 的最小值是， 故答案为：， （4）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离与到的距离之和等于， 当在左侧时，，，解得：， 当在右侧时，，，解得：， 故答案为：或， （5）解：根据绝对值的几何意义，的最小值表示到的距离与到的距离与到的距离之和最小， 由（3）可知在和之间的线段上时，取最小值， 当时，取最小值， 当时，取最小值， 故答案为：；． 【6-6】（2023-2024七年级·全国·专题练习）一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【答案】小虫一共可以得到108粒芝麻． 【分析】小虫一共得到的芝麻数与爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，因此只需要把每次爬行的距离的路程的绝对值相加得到爬行的总距离，最后求解芝麻数即可． 【解答】小虫爬行的总路程为： |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) 小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到108粒芝麻． 【点评】本题主要考查了绝对值的应用，解题的关键在于理解，小虫一共得到的芝麻数与爬行的方向无关，只与爬行的距离有关． 【中考真题提前练】 【7-1】（2022·安徽·中考真题）下列为负数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据正负数的意义分析即可； 【解答】解：A、=2是正数，故该选项不符合题意； B、是正数，故该选项不符合题意； C、0不是负数，故该选项不符合题意； D、-5＜0是负数，故该选项符合题意． 故选D. 【点评】本题考查正负数的概念和意义，熟练掌握绝对值、算术平方根和正负数的意义是解决本题的关键． 【7-2】（2022·湖北荆门·中考真题）如果|x|＝2，那么x＝(   ) A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义即可求解． 【解答】∵|±2|＝2， ∴x＝±2． 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【7-3】（2022•湖南衡阳•中考真题）﹣2的绝对值是（ ） A．2 B．﹣2 C． D． 【答案】A 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 【解答】解：﹣2的绝对值是2， 即|﹣2|＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 【7-4】（2022•湖南邵阳•中考真题）﹣2022的绝对值是（ ） A．﹣2022 B．2022 C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值的定义判断． 【解答】解：|﹣2022|＝2022． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 【7-5】（2023·江苏扬州·统考中考真题）的绝对值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的概念，可得的绝对值就是数轴上表示的点与原点的距离．进而得到答案． 【解答】解：的绝对值是3， 故选：A． 【点评】本题考查绝对值的定义，正确理解绝对值的定义是解题的关键． 【7-6】（2022•湖南株洲•中考真题）﹣2的绝对值等于（ ） A．2 B． C． D．﹣2 【答案】A 【分析】根据绝对值的含义以及求法，可得：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．据此解答即可． 【解答】解：﹣2的绝对值等于：|﹣2|＝2． 故选：A． 【点评】此题主要考查了绝对值的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 【7-7】（2023·宁夏·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】， 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解答本题的关键． 【7-8】（2023·辽宁·中考真题）2的绝对值是（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义即可求解． 【解答】解：2的绝对值是是2， 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值的计算，掌握正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键． 【7-9】（2023·湖北·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质即可求出答案. 【解答】解：. 故选：D. 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键在于熟练掌握绝对值的性质，负数的绝对值等于这个负数的相反数. 【7-10】（2023·贵州·中考真题）5的绝对值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】正数的绝对值是它本身，由此可解． 【解答】解：5的绝对值是5， 故选B． 【点评】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身． 【7-11】（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【解答】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示． ∴ ∴最接近标准质量的是 故选：C． 【7-12】（2023·浙江嘉兴·中考真题）___________． 【答案】2023 【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解． 【解答】解：的相反数是2023，故， 故答案为：2023． 【点评】本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数． 【7-13】（2022·江苏泰州·中考真题）若，则的值为__________. 【答案】 【分析】将代入，由绝对值的意义即可求解． 【解答】解：由题意可知：当时，， 故答案为：． 【点评】本题考查了绝对值的计算，属于基础题． 【7-14】（2022•湖南益阳•中考真题）的绝对值是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，求出结果即可． 【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数可得，||， 故答案为：． 【点评】本题考查绝对值的意义，理解负数的绝对值等于它的相反数． 【7-15】（2022•湖南常德•中考真题）计算：|﹣6|＝ ． 【答案】6 【分析】根据绝对值的化简，由﹣6＜0，可得|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，即得答案． 【解答】解：﹣6＜0， 则|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6， 故答案为6． 【点评】本题考查绝对值的化简求值，即|a|． 【7-16】（2024·四川资阳·中考真题）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据绝对值和平方的非负性，得出，求出a和b的值，即可解答． 【解答】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 【7-17】（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】(1)过4秒或6秒 (2)3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． 【解答】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 学科网（北京）股份有限公司 $$