3.1平面向量的基本定理课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.3.1 平面向量基本定理 学习目标 1.掌握共面向量的判断方法； 2.理解空间向量基本定理，会用空间三个不共面的向量表示其他向量，解决立体几何中的简单问题； 3.通过空间向量基本定理的推导过程，体会由低维到高维，由简单到复杂的思维方法，培养类比的思想方法和空间想象能力． 学习重点 掌握空间向量基本定理 学习难点 空间向量基本定理的证明 新课导入 思考：你还记得平面向量基本定理的内容吗？ 那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？ 新课学习 我们也可以进一步将图形补成一个长方体，将z倍的向量c平移至以O为起点，则三个分向量分别对应从同一个顶点O出发的长方体的三条棱，向量p对应这个长方体从顶点O出发的一条体对角线． 你能验证这种表示方法的唯一性吗？ 空间向量基本定理 空间的基有多少个，需要满足什么条件？ 无数个，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基． 说明： 如果向量中存在零向量，则不能作为基；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基． 平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？ 例题来了 解： 课堂巩固 A B B B B 2 -1 总结一下 空间向量基本定理 谢 谢 观 看 文艺小清新PPT模板 Please click here to modify the text for example The text here you 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，存在唯一的一对实数 ， ，使 ． 若 ， 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 设 ， ， 是空间三个不共面的向量， 是空间任意一个向量，是否可以用向量 ， ， 来表示向量 ？ 由于向量具有可平移性，我们令表示向量 ， ， 的有向线段都以空间任一点O作为起点．如图，过点O作 ， ， ，因为向量 ， ， 不共面，所以O，A，B，C四点不共面 作 ． 当点 不在直线OC上时，过点 作与OC平行的直线交平面AOB于点Q，则 ，故存在实数，使得 ． 在平面AOB内，由平面向量基本定理可知：存在唯一的有序实数对 ，使得 ． 从而，存在唯一的三元有序实数组 ，使得 ． 当点P在直线OC上时，则 ，故存在唯一的实数 ，使得 ．从而也存在唯一的三元有序实数组 ，使得 ． 假设还有另一个三元有序实数组 也满足 ，则 ． 不妨设 ，则 ． 也就是说，向量 可以被向量 ， 线性表示，不难得出，此时，向量 应该与向量 ， 共面，这与 ， ， 是空间三个不共面的向量矛盾．因此， ， ， ． 因此，空间向量基本定理中三元有序实数组具有唯一性． 如果向量 ， ， 是空间三个不共面的向量， 是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组 ，使得 ． 由上述定理可知，如果向量 ， ， 是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是 ，这个集合可以看成是由向量 ， ， 生成的，这时 叫作空间的一组基，其中 ， ， 都叫作基向量． 平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，存在唯一的一对实数 ， ，使 ． 空间向量基本定理：如果向量 ， ， 是空间三个不共面的向量， 是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组 ，使得 ． （1） ， 当且仅当 ． （1） ， 当且仅当 ． （2）任意两个不共线的向量都可以作为平面的一组基，基不唯一． （2）任意三个不共面的向量都可以作为平面的一组基，基不唯一． （3）任意一个向量与有序实数对 一一对应． （3）任意一个向量与有序实数对 一一对应． （4）平面向量基本定理的模型是：平行四边形． （4）空间向量基本定理的模型是平行六面体． 若O，A，B三点不共线，已知 ，其中 ， ，则A，B，P三点共线． 类似地，设空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足向量关系 ，其中 ， ，则P，A，B，C四点是否共面？ 由 ，可得 ， ． 即， ．从而可得P，A，B，C四点共面． ∵点M是 的对角线的交点， ∴ ． 又 ， ， ， 所以 ． 1.已知空间四点O，A，B，P满足 ，其中 ，则下列说法正确的是( ) A.点P一定在直线AB上 B.点P一定不在直线AB上 C.点P不一定在直线AB上 D.以上都不对 解析：由 得 ，结合题意知 ，即 ，即 ，据此可知，A，P，B三点共线，点P一定在直线AB上. 2.已知矩形 ，P为平面 外一点，且 平面 ，M，N分别为 ， 上的点， ，则 ( ) A. B. C.1 D. 解析：因为 ， ， 所以 ， 故 ， ， ，故 . 3.如图，在三棱柱 中，P，Q分别是CF，AB的中点， ，则 ( ) A.1 B.-1 C.0.5 D.-2 解析：如图，连接CQ. 因为P，Q分别是CF，AB的中点， 所以 ， ， ， 则 . 4.如图，在平行六面体 中，E为 的中点，若 则( ) A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 解析：由空间向量的线性运算法则， 可得： ， 因为 ，所以 ， ， . 5.已知 为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是( ) A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 解析：对于A项，因为 ，则 ， ， 共面，不能作为基底，故A不符合题干. 对于C项，因为 ，则 ， ， 共面，不能作为基底，故C不符合题干. 对于D项， ，则 ， ， 共面，不能作为基底，故D不符合题干. 对于选项B，假设 ， ， 共面，则存在 ， ，使 ，所以 无解，所以 ， ， 不共面，可以作为空间的一组基底． 6.已知向量 ， ， 可作为空间的一组基底 ，若 ，且 在基底 下满足 ，则 __. 解析：因为 ，且 ， 所以 ，解得 7.已知四棱锥 的底面ABCD是平行四边形，若 ，则 ______________. 解析：因为四棱锥 的底面ABCD是平行四边形， 所以 ， 又 ，由空间向量基本定理可得， ， ， 故 . $$