专题13.1 全等三角形【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题13.1 全等三角形【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 全等图形的概念】 1 【题型2 辨别全等图形】 3 【题型3 分成全等图形】 5 【题型4 全等三角形的概念】 8 【题型5 由全等三角形的性质求线段长度】 11 【题型6 由全等三角形的性质求角度】 12 【题型7 由全等三角形的性质求周长】 15 【题型8 由全等三角形的性质求面积】 17 【题型9 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系】 20 【题型10 由全等三角形的性质探究线段之间的位置关系】 23 知识点1：全等图形 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2） 两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 【题型1 全等图形的概念】 【例1】（23-24八年级·河南郑州·期末）下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，全等形的性质，由全等图形的性质和平移，折叠，旋转的性质依次判断可求解． 【详解】解：A、能够完全重合的两个图形称为全等形，故A选项不符合题意； B、全等形的形状和大小都相同，故B选项不符合题意； C、所有正方形不一定是全等形，故D选项符合题意； D、平移、翻折、旋转前后的图形全等，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（23-24八年级·江苏无锡·期末）将一几何图形放在平面镜前，则该图形与镜子里的图形全等，因为它们的 相同． 【答案】大小和形状 【分析】根据已知条件，结合全等图形的定义即是能够完全重合的两个图形进行分析作答． 【详解】解：∵平面镜不改变图形的大小与形状， ∴答案为大小和形状， 故答案为：大小和形状． 【点睛】本题考查的是全等图形的识别，属于较容易的基础题．做题时，认真读题，理解题意，根据全等图形的定义答题． 【变式1-2】（23-24八年级·全国·单元测试）从同一张底片上冲出来的两张五寸照片 全等图形，从同一张底片上冲出来的一张一寸照片和一张两寸照片 全等图形（填“是”或“不是”）． 【答案】 是 不是 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，图形重合的是全等形，不重合的不是全等形，进行判断． 【详解】解：由全等形的概念可知：从同一张底片上冲出来的两张五寸照片是全等图形， 由同一张底片冲洗出来的一寸照片和二寸照片，大小不一样，所以不是全等图形． 故答案为是，不是． 【点睛】本题考查了全等形的概念，判定是不是全等形主要看图形是不是能够重合． 【变式1-3】（23-24八年级·江苏·周测）下列关于全等图形的说法：①两个正方形一定是全等图形；②所有半径相等的圆都是全等图形；③所有的长方形都是全等图形；④如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同．其中，正确的是（    ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．②④ 【答案】D 【分析】要根据全等形的概念进行判定，与之相符合的是正确的． 【详解】解：①两个正方形的边长不一定相等，故不一定是全等图形，说法错误； ②所有半径相等的圆都是全等图形，说法正确； ③所有的长方形的边长不一定相等，故不一定都是全等图形，说法错误； ④如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同，说法正确． 综上所述正确说法是②④，故选：D． 【点睛】本题考查了全等形的概念和特点，做题时要根据定义进行判断． 【题型2 辨别全等图形】 【例2】（23-24八年级·辽宁阜新·期中）下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形称为全等图形进行逐项判断即可． 【详解】解：A中两个图形不是全等图形，故不符合题意； B中两个图形不是全等图形，故不符合题意； C中两个图形是全等图形，故符合题意； D中两个图形不是全等图形，故不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】（23-24八年级·全国·专题练习）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是 ． 【答案】（4）（5）（6）． 【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 【详解】解：（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小不等． 故答案是：（4）（5）（6）． 【点睛】本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义． 【变式2-2】（23-24八年级·全国·课后作业）下图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有 对． 【答案】2 【详解】本题考查了全等三角形的判定 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 根据给出的七巧板拼成的一艘帆船，可知图形中有5个等腰直角三角形，1个平行四边形，1个正方形．通过观察可知两个最大的等腰直角三角形和两个最小的等腰直角三角形分别全等，因此全等的三角形共有2对． 【变式2-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的定义，直接根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合， 故A选项不符合题意； ∵图形②和图形⑦不能够完全重合， 故B选项不符合题意； ∵图形③和图形④能够完全重合， 故C选项符合题意； ∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【题型3 分成全等图形】 【例3】（23-24八年级·河南郑州·期末）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：    【答案】见解析 【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 【详解】解：如图所示：    【变式3-1】（23-24八年级·江苏·假期作业）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    【答案】见解析 【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一） 【详解】    【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【变式3-2】（23-24八年级·全国·课后作业）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 【答案】见解析 【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可． 【详解】依题意，如图 【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键． 【变式3-3】（23-24八年级·北京·期中）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 【答案】见解析 【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同． 【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键． 知识点2：全等三角形的概念与表示方法 （1）全等三角形的概念： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． （3）全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 【题型4 全等三角形的概念】 【例4】（23-24八年级·福建福州·开学考试）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 【变式4-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【答案】；相等的边为，，；相等的角为，， 【分析】根据图形可得出对应点并可确定对应关系，然后用全等符号表示这两个三角形全等，然后根据全等的性质即可得出相等的边和角． 【详解】解：∵如图，与全等， ∴点与点，点与点，点与点是对应顶点， ∴； 相等的边为，，； 相等的角为，，． 【点睛】本题考查全等三角形表示及性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式4-2】（23-24八年级·全国·竞赛）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反， ∴属于镜面合同三角形的有①③． 故答案为：①③ 【变式4-3】（23-24八年级·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 【答案】66 【分析】本题考查全等三角形的判定，规律型：图形的变化类．由特殊情况，总结出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：第1个图形中上有2个点，全等三角形有（对； 第2个图形中上有3个点，全等三角形有（对； 第3个图形中上有4个点，全等三角形有（对， ∴第n个图形中上有个点，全等三角形有（对， ∴第11个图形中上有12个点，全等三角形有（对． 故答案为：66． 知识点3：全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等， 对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【总结】寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法： （1）图形特征法： 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角． （2）位置关系法： ①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边． ②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角． （3）字母顺序法： 【题型5 由全等三角形的性质求线段长度】 【例5】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，在根据线段和差即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，得到，，即可求出． 【详解】 解：两个三角形全等， ，， ． 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知，，若的面积是，则中边上的高是 . 【答案】8 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应高相等是解题的关键．根据三角形的面积公式求出中边上的高，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：设中边上的高是 ， 由题意得，， 解得，， ， 中边上的高中边上的高， 故答案为：8 【变式5-3】（23-24八年级·四川绵阳·期末）如图，已知和是对应角，和是对应边，，则的长度为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等成为解题的关键． 由全等三角形的性质可得，然后再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选B． 【题型6 由全等三角形的性质求角度】 【例6】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，若，，，则的度数为（   ）     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和，三角形的外角定理，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等，三角形的内角和是180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 先根据三角形的外角定理得出，再根据全等三角形的性质得出，最后根据三角形的内角和定理和对顶角相等，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-1】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．根据题意和图形，可知是边的对角，由第一个三角形可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：图中的两个三角形全等， ， 故选：B 【变式6-2】（23-24八年级·山东威海·期末）如图，，，若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解： ， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】（23-24八年级·上海松江·期末）如图，，点A、C的对应点分别是点D、E，点D在边上，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和等腰三角形的性质．先由得出，，由等边对等角可知，进而三角形内角和等于即可求出． 【详解】解： ， ，， ， ， 故答案为：． 【题型7 由全等三角形的性质求周长】 【例7】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，△ABC≌△CDA，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABCD的周长是（　　） A．14 B．11 C．16 D．12 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，进而求出四边形ABCD的周长． 【详解】∵△ABC≌△CDA， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵AB＝3，BC＝4， ∴四边形ABCD的周长AB+BC+CD+DA＝3+3+4+4＝14， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，此题难度不大． 【变式7-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）已知△ABC≌△DEF，若AB=5，BC=6，AC=8，则△DEF的周长是 . 【答案】19       【详解】试题解析：∵AB=5，BC=6，AC=8 ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+6+8=19 ∵△ABC≌△DEF ∴△DEF的周长等于△ABC的周长 ∴△DEF的周长是19. 故答案为19. 【变式7-2】（23-24八年级·黑龙江绥化·期末）如图，，的周长为10，且，则的周长为（    ）    A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】由全等三角形的性质得出的周长为10，进而得出的周长的周长即可． 【详解】解：∵，的周长为10， ∴的周长为10，， ∴的周长 的周长 ． 故选：C． 【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得出的周长为10． 【变式7-3】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，，点D在边上，与交于点P，已知，． （1）的度数为 ； （2）与的周长和为 ． 【答案】 /66度 【分析】（1）根据求得，再结合全等三角形的性质求解即可； （2）根据可得，进而即可求解； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴与的周长和 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【题型8 由全等三角形的性质求面积】 【例8】（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10. （1）求△ABC的周长； （2）求△ACE的面积. 【答案】（1）24；（2）50 【分析】（1）根据三角形全等得到AC=CE，即可得出答案； （2）根据三角形全等得到∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE，进而求出∠ACB+∠DCE=90°，即可得出答案. 【详解】解：（1））∵△ABC≌△CDE ∴AC=CE ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=24 （2）∵△ABC≌△CDE ∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE 又∠B=90° ∴∠ACB+∠BAC=90° ∴∠ACB+∠DCE=90° ∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90° ∴△ACE的面积= 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质以及三角形的周长和面积公式，需要熟记三角形的周长和面积公式. 【变式8-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，若，且，则阴影部分的面积 ．    【答案】16 【分析】根据“全等三角形的对应边相等”推知，然后结合三角形的面积公式作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的面积，熟记知识点是关键． 【变式8-2】（23-24八年级·江苏镇江·期中）在研究平面图形的面积时，我们经常用到割补法．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．下面举例说明：在《九章算术》中，三角形被称为圭田．圭田术曰：“半广以乘正纵”，也就是说三角形的面积等于底的一半乘高．刘徽注为：“半广者，以盈补虚，为直田也”，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中阴影部分的面积为2，那么图中原三角形的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键． 根据“出入相补”原理判断，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由“出入相补”原理可知：，， ，， ∵， ∴， 故答案为：8． 【变式8-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，将沿方向平移得到，其中，，，求阴影部分的面积．    【答案】44 【分析】由推出，再计算即可． 【详解】解：由平移的性质可得：，， ∴，， ∵， ． ∴． ∵，， ∴， ∴ ， ∴阴影部分的面积为44． 【点睛】本题考查的是平移的性质，全等三角形的性质，熟练的利用平移的性质解题是关键． 【题型9 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系】 【例9】（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，已知，点B，D，E，C在同一条直线上．    (1)与有何关系？请说明理由． (2)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，结合，，从而可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，结合，，从而可得结论； 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵，， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，角的和差运算，线段的和差运算，熟记全等三角形的性质是解本题的关键． 【变式9-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，△ABD≌△ACE，写出对应边和对应角，并证明∠1＝∠2． 【答案】见解析，证明见解析 【分析】根据全等三角形的性质写出对角与对应边，根据，根据等角的补角相等即可求解． 【详解】解：∵△ABD≌△ACE， ， ； 证明：∵， ， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等角的补角相等，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式9-2】（23-24八年级·陕西安康·阶段练习）如图，，，三点在同一直线上，且≌线段，，有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】根据全等三角形的性质得出，， 即可求解． 【详解】解：． 理由：≌， ，． ，，三点在同一直线上， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键． 【变式9-3】（23-24八年级·浙江·期末）如图，，点和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质得到AB=DB，∠ABC=∠DBE，从而得到∠ABD=α，求出∠BAD，根据平行线的性质得到∠CAD=90°，从而得到关于α和β的关系，化简即可． 【详解】解：∵△ACB≌△DEB， ∴AB=DB，∠ABC=∠DBE， ∴∠ABD=∠CBE=α， 在△ABD中， ∠BAD=（180°-α）， ∵AD∥BC， ∴∠CAD=180°-∠C=90°， ∴β+（180°-α）=90°， ∴α=2β， 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和，平行线的性质，解题的关键是根据全等三角形得到相等的线段和角． 【题型10 由全等三角形的性质探究线段之间的位置关系】 【例10】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，为线段上一点，，，判断与的关系，并证明． 【答案】，证明见解析． 【分析】根据全等三角形的性质可求得，结合，可求得，进而可求得的度数，由此可得出结论． 【详解】，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形，牢记全等三角形的性质是解题的关键． 【变式10-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，直线与交于点，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，根据全等三角形对应角相等得到 ，从而利用平行线的判定定理可判断． 【详解】解：．理由如下： ， ，（全等三角形的对应角相等．） ．（内错角相等，两直线平行．） 【变式10-2】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，在正方形中，E是边上的一点，F是延长线上的一点．已知，试探究线段与之间的关系，并说明理由． 【答案】，且，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形的性质得到，，再由得到，则由三角形内角和定理得到，即． 【详解】解：，且，理由如下： 如图所示，延长交于点． ， ，． 在中，， ． ， 即， ∴，且． 【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知△，、、在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质；根据全等三角形的性质可得根据平行线的性质可得，则，进而根据平角的定义，即可得出，即可得证． 【详解】解：．证明如下： ， ． ， ， ． ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.1 全等三角形【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 全等图形的概念】 1 【题型2 辨别全等图形】 2 【题型3 分成全等图形】 2 【题型4 全等三角形的概念】 4 【题型5 由全等三角形的性质求线段长度】 6 【题型6 由全等三角形的性质求角度】 6 【题型7 由全等三角形的性质求周长】 7 【题型8 由全等三角形的性质求面积】 8 【题型9 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系】 9 【题型10 由全等三角形的性质探究线段之间的位置关系】 10 知识点1：全等图形 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2） 两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 【题型1 全等图形的概念】 【例1】（23-24八年级·河南郑州·期末）下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 【变式1-1】（23-24八年级·江苏无锡·期末）将一几何图形放在平面镜前，则该图形与镜子里的图形全等，因为它们的 相同． 【变式1-2】（23-24八年级·全国·单元测试）从同一张底片上冲出来的两张五寸照片 全等图形，从同一张底片上冲出来的一张一寸照片和一张两寸照片 全等图形（填“是”或“不是”）． 【变式1-3】（23-24八年级·江苏·周测）下列关于全等图形的说法：①两个正方形一定是全等图形；②所有半径相等的圆都是全等图形；③所有的长方形都是全等图形；④如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同．其中，正确的是（    ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．②④ 【题型2 辨别全等图形】 【例2】（23-24八年级·辽宁阜新·期中）下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级·全国·专题练习）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是 ． 【变式2-2】（23-24八年级·全国·课后作业）下图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有 对． 【变式2-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【题型3 分成全等图形】 【例3】（23-24八年级·河南郑州·期末）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：    【变式3-1】（23-24八年级·江苏·假期作业）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    【变式3-2】（23-24八年级·全国·课后作业）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 【变式3-3】（23-24八年级·北京·期中）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 知识点2：全等三角形的概念与表示方法 （1）全等三角形的概念： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． （3）全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 【题型4 全等三角形的概念】 【例4】（23-24八年级·福建福州·开学考试）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【变式4-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【变式4-2】（23-24八年级·全国·竞赛）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ． 【变式4-3】（23-24八年级·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 知识点3：全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等， 对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【总结】寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法： （1）图形特征法： 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角． （2）位置关系法： ①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边． ②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角． （3）字母顺序法： 【题型5 由全等三角形的性质求线段长度】 【例5】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ． 【变式5-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知，，若的面积是，则中边上的高是 . 【变式5-3】（23-24八年级·四川绵阳·期末）如图，已知和是对应角，和是对应边，，则的长度为（    ）. A． B． C． D． 【题型6 由全等三角形的性质求角度】 【例6】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，若，，，则的度数为（   ）     A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24八年级·山东威海·期末）如图，，，若，则 °． 【变式6-3】（23-24八年级·上海松江·期末）如图，，点A、C的对应点分别是点D、E，点D在边上，如果，那么 ． 【题型7 由全等三角形的性质求周长】 【例7】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，△ABC≌△CDA，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABCD的周长是（　　） A．14 B．11 C．16 D．12 【变式7-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）已知△ABC≌△DEF，若AB=5，BC=6，AC=8，则△DEF的周长是 . 【变式7-2】（23-24八年级·黑龙江绥化·期末）如图，，的周长为10，且，则的周长为（    ）    A．10 B．12 C．14 D．16 【变式7-3】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，，点D在边上，与交于点P，已知，． （1）的度数为 ； （2）与的周长和为 ． 【题型8 由全等三角形的性质求面积】 【例8】（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10. （1）求△ABC的周长； （2）求△ACE的面积. 【变式8-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，若，且，则阴影部分的面积 ．    【变式8-2】（23-24八年级·江苏镇江·期中）在研究平面图形的面积时，我们经常用到割补法．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．下面举例说明：在《九章算术》中，三角形被称为圭田．圭田术曰：“半广以乘正纵”，也就是说三角形的面积等于底的一半乘高．刘徽注为：“半广者，以盈补虚，为直田也”，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中阴影部分的面积为2，那么图中原三角形的面积是 ． 【变式8-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，将沿方向平移得到，其中，，，求阴影部分的面积．    【题型9 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系】 【例9】（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，已知，点B，D，E，C在同一条直线上．    (1)与有何关系？请说明理由． (2)与相等吗？请说明理由． 【变式9-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，△ABD≌△ACE，写出对应边和对应角，并证明∠1＝∠2． 【变式9-2】（23-24八年级·陕西安康·阶段练习）如图，，，三点在同一直线上，且≌线段，，有怎样的数量关系？请说明理由． 【变式9-3】（23-24八年级·浙江·期末）如图，，点和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【题型10 由全等三角形的性质探究线段之间的位置关系】 【例10】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，为线段上一点，，，判断与的关系，并证明． 【变式10-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，直线与交于点，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式10-2】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，在正方形中，E是边上的一点，F是延长线上的一点．已知，试探究线段与之间的关系，并说明理由． 【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知△，、、在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$