第12讲 对数与对数函数（考点串讲课件）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版） 第12讲 对数与对数函数 目 录 易混易错练 3 常用结论 2 知识梳理 1 考点分类练 4 最新模拟练 5 【知识梳理】 1.对数的概念 (1)在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作　　　　　,其中a称为对数的　　　　,N称为对数的　　　　.  (2)当a>0且a≠1时,b=logaN的充要条件是　　　　,由此可知,只有 　　　　时,logaN才有意义,这通常简称为　　 　　　　　　.  (3)loga1=　　;logaa=　　;=　　　(a>0且a≠1).  b=logaN 底数 真数 ab=N N>0 负数和零没有对数 0 1 N 2.常用对数和自然对数 (1)以10为底的对数称为　　　　　　　　,通常把log10N简写为lg N.  (2)以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为　　　　　　　　,自然对数logeN通常简写为　　　　.  3.对数的性质与运算法则 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=　　　　　　　　　;  ②loga =　　　　　　　. 常用对数 自然对数 　ln N logaM+logaN logaM-logaN 4.换底公式 5.对数函数的图像与性质 函数 y=logax(a>0,且a≠1) a>1 0<a<1 图像     性质 定义域 　　　　　　  值域 R 过定点 　　　　  函数值变化 规律 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 单调性 在(0,+∞)上是　　　　　  在(0,+∞)上是　　　　　  (0,+∞) (1,0)　　 增函数 减函数 6.反函数 (1)一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数,记作y=f-1(x). (2)函数y=f(x)与它的反函数定义域和值域互换,图像关于直线　　　　对称.  (3)指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数　　　　　　(a>0且a≠1)互为反函数.  y=x y=logax 【常用结论】 1.换底公式的推论 2.对数函数的图像与底数大小的比较 如图,直线y=1与四个函数图像交点的横坐标即为相应的底数. 结合图像知0<c<d<1<a<b.由此我们可以得到下面的规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大. 【易混易错练】 易错点　忽略底数与真数的范围而致错 解析 B 解析 x=5 【考点分类练】 命题点1　对数的运算 对数运算的一般思路 (1)转化：①利用 ab ＝ N ⇔ b ＝log aN ( a ＞0且 a ≠1)对题目条件进行转化；②利用换底公式化为同底数的对数运算. (3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算性质化简 (4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算. (2)利用恒等式：log a 1＝0，log aa ＝1，log aaN ＝ N ， ＝ M . 例1 (1)[2022天津高考]化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　B　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 [解析]　(2log43＋log83)(log32＋log92)＝(2lo 3＋ 3)×(log32＋ 2)＝(log23 ＋ log23)(log32＋ log32)＝ ×log23× ×log32＝2，故选B. B (2)[2022浙江高考]已知2 a ＝5，log83＝ b ，则4 a －3 b ＝(　C　) A. 25 B. 5 C. D. [解析]　由2 a ＝5得 a ＝log25.又 b ＝log83＝ ＝ log23，所以 a －3 b ＝log25－log23＝log2 ＝ ＝2log4 ＝log4 ，所以4 a －3 b ＝ ＝ ，故选C. C 命题点2　对数函数的图象及应用 与对数函数有关的图象问题的求解策略 1. 对于图象的识别，一般通过观察图象的变化趋势、利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2. 对于对数型函数的图象，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到. 例2 (1)[浙江高考]在同一直角坐标系中，函数 y ＝ ， y ＝log a ( x ＋ )( a ＞0，且 a ≠1)的图象可能是(　D　) A　 　　　　 　B C　　　 　　　　D D [解析]　若0＜ a ＜1，则函数 y ＝ 是增函数， y ＝log a ( x ＋ )是减函数且其图象过点( ，0)，结合选项可知，选项D可能成立；若 a ＞1，则 y ＝ 是减函数，而 y ＝loga ( x ＋ )是增函数且其图象过点( ，0)，结合选项可知，没有符合的图象.故选D (2)已知当0＜ x ≤ 时，有 ＜log ax ，则实数 a 的取值范围为 　( ，1)　. [解析]　若 ＜log ax 在 x ∈(0， ]时成立，则0＜ a ＜1，且 y ＝ 的图象在 y ＝log ax 图象的下方，作出 y ＝ ， y ＝log ax 的图象如图所示.由图象知 ＜log a ，所以 解得 ＜ a ＜1.故实数 a 的取值范围是( ，1). ( ，1) 命题点3　对数函数的性质及应用 比较对数值大小的常用方法 1. 底数相同时，比较真数的大小；真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的形式，再比较大小，也可以借助对数函数的图象比较大小. 2. 当底数和真数都不相同时，常借助0，1或题干中出现的有理数等中间量比较大小，也可以通过作差或者作商比较大小. 3. (1)log a f ( x )＝ b ⇔ f ( x )＝ ab ( a ＞0，且 a ≠1). (2)log af ( x )＝log ag ( x )⇔ f ( x )＝ g ( x )( f ( x )＞0， g ( x )＞0). 4. 解简单对数不等式，先统一底数，化为形如log a f ( x )＞log ag ( x )的不等式，再借助 y ＝log ax 的单调性求解 5.对数型复合函数的单调性问题的求解策略 (1)对于 y ＝log a f ( x )型的复合函数的单调性，有以下结论：函数 y ＝log a f ( x )的单调性与函数 u ＝ f ( x )( f ( x )＞0)的单调性在 a ＞1时相同，在0＜ a ＜1时相反. (2)研究 y ＝ f (log ax )型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令 t ＝log ax ，则只需研究 t ＝log ax 及 y ＝ f ( t )的单调性即可. 注意　 研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错. 角度1　比较大小 例3 (1)[2021新高考卷Ⅱ]若 a ＝log52， b ＝log83， c ＝ ，则(　C　) A. c＜b＜a B. b＜a＜c C. a＜c＜b D. a＜b＜c [解析]　 a ＝log52＝log5 ＜log5 ＝ ＝ c ， b ＝log83＝log8 ＞log8 ＝ ＝ c ，所以 a ＜ c ＜ b .故选C. C 角度2　解对数方程或不等式 例4 (1)[2024湘豫名校联考]已知函数 f ( x )＝log2｜ x ｜＋ x 2，则不等式 f (ln x )＋ f (－ln x )＜2的解集为(　D　) A. (，1) B. (，e) D [解析]　由题可知函数 f ( x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴ln x ≠0. ∵ f (－ x )＝log2｜－ x ｜＋(－ x )2＝log2｜ x ｜＋ x 2＝ f ( x )， ∴ f ( x )是偶函数，∴由 f (ln x )＋ f (－ln x )＜2可得2 f (ln x )＜2，即 f (ln x )＜1. 当 x ＞0时， f ( x )＝log2 x ＋ x 2.∵ y ＝log2 x 和 y ＝ x 2在(0，＋∞)上都是单调递增的， ∴ f ( x )在(0，＋∞)上单调递增，又 f (1)＝1，∴｜ln x ｜＜1且ln x ≠0，∴ ＜ x ＜e且 x ≠1， 所以原不等式的解集为( ，1)∪(1，e).故选D. C. (1，e) D. (，1)∪(1，e) (2)[2024江苏省淮安市五校联考]已知 x ＝ － ， y ＝ ＋ ，则 的值为(　B　) A. B. B [解析]　令log6 x ＝ m ，log4 y ＝ n ，则 x ＝6 m ， y ＝4 n . 由 x ＝ － ， y ＝ ＋ 可得6 m ＝4 m －9 m ，4 n ＝9 n ＋6 n ， 进而可得( ) m ＝1－( )2 m ，故( ) m ＋( )2 m ＝1，同理得( )2 n ＋( ) n ＝1， 所以( ) m 与( ) n 均为方程 t 2＋ t －1＝0的实数根，由 t 2＋ t －1＝0，解得 t ＝ 或 t ＝ ， 因为( ) m ＞0，( ) n ＞0，所以( ) m ＝( ) n ＝ .由于函数 y ＝( ) x 为增函数， 所以 m ＝ n ， ＝ ＝( ) m ＝ ，故选B. C. ＋1 D. －1 角度3　对数函数性质的应用 例5 (1)[全国卷Ⅱ]设函数 f ( x )＝ln｜2 x ＋1｜－ln｜2 x －1｜，则 f ( x )(　D　) A. 是偶函数，且在(，＋∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(－，)单调递减 C. 是偶函数，且在(－∞，－)单调递增 D. 是奇函数，且在(－∞，－)单调递减 D [解析]　由得函数 f ( x )的定义域为(－∞，－ )∪(－ ， )∪( ，＋∞)，其关于原点对称，因为 f (－ x )＝ln｜2(－ x )＋1｜－ln｜2(－ x )－1｜＝ln｜2 x －1｜－ln｜2 x ＋1｜＝－ f ( x )，所以函数 f ( x )为奇函数，排除A，C. 当 x ∈(－ ， )时， f ( x )＝ln(2 x ＋1)－ln(1－2 x )，易知函数 f ( x )单调递增，排除B.当 x ∈(－∞，－ )时， f ( x ) ＝ln(－2 x －1)－ln(1－2 x )＝ln ＝ln(1＋ )，易知函数 f ( x )单调递减，故选D. (2)[全国卷Ⅰ]若2 a ＋log2 a ＝4 b ＋2log4 b ，则(　B　) A. a＞2b B. a＜2b C. a＞b2 D. a＜b2 [解析]　令 f ( x )＝2 x ＋log2 x ，因为 y ＝2 x 在(0，＋∞)上单调递增， y ＝log2 x 在(0， ＋∞)上单调递增，所以 f ( x )＝2 x ＋log2 x 在(0，＋∞)上单调递增.又2 a ＋log2 a ＝4 b ＋2log4 b ＝22 b ＋log2 b ＜22 b ＋log2(2 b )，所以 f ( a )＜ f (2 b )，所以 a ＜2 b .故选B. B 【最新模拟练】 1. [2023宁夏六盘山高级中学模拟]若 f ( x )满足对定义域内任意的 x 1， x 2，都有 f ( x 1)＋ f ( x 2)＝ f ( x 1· x 2)，则称 f ( x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是(　D　) A. f(x)＝2x B. f(x)＝()x C. f(x)＝x2 D. f(x)＝log3x [解析]　因为log3 x 1＋log3 x 2＝log3 x 1 x 2，满足 f ( x 1)＋ f ( x 2)＝ f ( x 1· x 2)，所以 f ( x )＝ log3 x 是“好函数”，故选D. D 2.[2024天津市蓟州区第一中学模拟]已知函数 f ( x )在R上是增函数，若 a ＝ f (log2 )， b ＝ f (log24.1)， c ＝ f (20.5)，则 a ， b ， c 的大小关系为(　A　) A. a＜c＜b B. b＜a＜c C. c＜b＜a D. c＜a＜b [解析]　log2 ＝－log25＜－log24＝－2，log24.1＞log24＝2，20.5＝ ∈(1，2)，故 log2 ＜20.5＜log24.1.由于 f ( x )在R上是增函数，故 f (log2 )＜ f (20.5)＜ f (log24.1)，所 以 a ＜ c ＜ b .故选A A 3.[2024四川成都模拟]已知 a ＝log0.70.3， b ＝log0.30.7， c ＝0.5，则 a ， b ， c 的大小 关系为(　D　) A. a＜c＜b B. c＜b＜a C. a＜b＜c D. b＜c＜a [解析]　依题意， a ＝log0.70.3＞log0.70.72＝2， b ＝log0.30.7＝ ＜ ，而 c ＝ 0.5，所以 b ＜ c ＜ a .故选D. D 4.[2024河北石家庄市第十五中学模拟]已知函数 f ( x )＝lg( x 2－ ax ＋12)在[－1，3]上 单调递减，则实数 a 的取值范围是(　B　) A. [6，＋∞) B. [6，7) C. (－∞，－2] D. (－13，－2] [解析]　由题意得，函数 y ＝ x 2－ ax ＋12在[－1，3]上单调递减，且在[－1，3]上 x 2 － ax ＋12＞0恒成立，所以解得6≤ a ＜7，故 a 的取值范围是 [6，7).故选B. B 5.[2024陕西咸阳模拟]已知 a ＝2－0.01， b ＝log510， c ＝log612，则 a ， b ， c 的大小 关系为(　A　) A. b＞c＞a B. b＞a＞c C. c＞b＞a D. c＞a＞b [解析]　 a ＝2－0.01∈(2－1，20)＝( ，1)， b ＝1＋log52＞1， c ＝1＋log62＞1，且 log52＞log62，故 b ＞ c ＞ a .故选A. A 6.[2023山东模拟]已知函数 f ( x )是定义在R上的偶函数，当 x ≤0时， f ( x )单调递 减，则不等式 f (lo (2 x －5))＞ f (log38)的解集为(　C　) A. {x｜＜x＜} B. {x｜x＞} C. {x｜＜x＜或x＞} D. {x｜x＜或＜x＜} C [解析]　因为函数 f ( x )是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可 将 f (lo (2 x －5))＞ f (log38)化为｜lo (2 x －5)｜＞｜log38｜，即log3(2 x －5)＞ log38或log3(2 x －5)＜－log38＝log3 ，即2 x －5＞8或0＜2 x －5＜ ，解得 x ＞ 或 ＜ x ＜ .故选C. 7.[2023天津市汇文中学模拟]计算：( ＋10lg3＋lo －log54·log25＝ ⁠. [解析]　( ＋10lg 3＋ －log54·log25＝[( )3 ＋3＋ － · ＝( )－2＋3＋ 3－2＝ ＋3－ －2＝3. 3 logbN=(a,b均大于零且不等于1). (1)logab·logba=1,即logab=; (2)logab·logbc·logcd=logad; (3)lobn=logab. 使对数loga (－2a＋1)有意义需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,a≠1，,－2a＋1>0，))解得0<a<eq \f(1,2). 1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) C．(0，1)∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 2．方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为__________． 原方程可化为 log2(x＋1)＝log4(x＋4)＋1， 即log2(x＋1)＝log4[4(x＋4)]． 所以log4(x＋1)2＝log4(4x＋16)， 即(x＋1)2＝4x＋16， 解得x＝－3或x＝5. 又x＋1>0且x＋4>0，所以x>－1. 所以x＝－3不满足题意，应舍去． 故方程的解为x＝5. $$