2025届高三数学一轮复习课件：分段函数

　分段函数 一、复习目标（1分钟） 二、考点解读（3分钟） 会求分段函数的函数值以及含参问题 重点：分段函数求值 难点： 含参分段函数求值 分段函数常作为考查函数知识的载体，因其考查函数知识较全面而成为高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程与不等式，涉及函数的零点、图象及性质等，难度中低档. 知识梳理(5分钟) 1.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示， 这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______，其值域等于各段函数的值域的 ______，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 对应关系 并集 并集 返回至目录 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 考题讲练（10分钟） 考向1 分段函数求值问题 B -2 9 知识梳理(3分钟) 第一章　集合与常用逻辑用语 高考一轮总复习　数学(文科) 考题讲练（12分钟） 考向2 分段函数与方程、不等式问题 A 第一章　集合与常用逻辑用语 高考一轮总复习　数学(文科) D 第一章　集合与常用逻辑用语 高考一轮总复习　数学(文科) 第一章　集合与常用逻辑用语 高考一轮总复习　数学(文科) 五、课堂小结(1分钟) 第一章　集合与常用逻辑用语 高考一轮总复习　数学(文科) 当堂训练（11分钟） 函数的概念和定义域 1、分段函数 2、分段函数求值问题 3、分段函数与方程、不等式问题 (1)设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，x>10，,f（x＋5），x≤10，))则f(5)的值为(　　) A．16 B．18 C．21 D．24 (2)(2024·福建三明高三模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤0，,log3x，x>0，))则f(f(－2))＝______． 解析　f(f(－2))＝f(3－2)＝log33－2＝－2. (3)已知函数f(x)＝f(1,2))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤0，,x，x>0，)) 若f(m)＝3，则m＝________． 解析　由题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1＝3，,m≤0))或f(1,2))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,m>0，)) 解得m＝9. 求参数或自变量的值(范围)的解题思路 (1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可． (2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解． (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析　∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2.当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3；当a＞0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解．综上，a＝－3.故选A. （2）设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(－∞，0) 解析　∵f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，)) ∴函数f(x)的图象如图所示．结合图象知，要使f(x＋1)<f(2x)，则需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1<0，,2x<0，,2x<x＋1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x<0，))∴x<0.故选D. (3)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2，x≤1，,x＋\f(1,x)－1，x>1，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x) ≤3，则b－a的最大值是________． eq \f(37,28) 3＋eq \r(3) 解析　由已知得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋2＝eq \f(7,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)))＝eq \f(7,4)＋eq \f(4,7)－1＝eq \f(37,28)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝eq \f(37,28).当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋eq \f(1,x)－1≤3，所以1<x≤2＋eq \r(3).所以1≤f(x)≤3等价于－1≤x≤2＋eq \r(3)，所以[a，b]⊆[－1，2＋eq \r(3)]，所以b－a的最大值为3＋eq \r(3). 1.“分段函数——分段看”，遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围，并根据自变量的范围选择合适的解析式代入，若自变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论．解题思路如下： (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 1.已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,ax＋b，x≤0))(0<a<1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝(　　) A．－2 B．2 C．3 D．－3 2．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1，,x2，－1<x<2，))则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的值域为(－∞，4) B．f(1)＝3 C．若f(x)＝3，则x的值是eq \r(3) D．f(x)<1的解集为(－1，1) 3.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－1，x<0，,－log2（x＋1），x≥0，))若f(a)＝1，则f(a＋1)＝(　　) A．－1 B．－eq \f(1,2) C．0 D．1 4．（选做题）若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3，x≤0，,（x－2）2，0<x≤a))的定义域和值域的交集为空集，则正数a的取值范围是(　　) A．(0，1] B．(0，1) C．(1，4) D．(2，4) 1.解析　由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，① f(－1)＝a－1＋b＝3，② 联立①②，结合0<a<1，得a＝eq \f(1,2)，b＝1，所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1，x≤0，))则f(－3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.故选B. 2、解析　当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故A正确；f(1)＝1≠3，故B错误；当x≤－1时，由x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1<x<2时，由x2＝3，解得x＝eq \r(3)或x＝－eq \r(3)(舍去)，故C正确；当x≤－1时，由x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，由x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误．故选AC. 3、解析　当a<0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(a)－1＝1，解得a＝－1；当a≥0时，－log2(a＋1)＝1，解得a＝－eq \f(1,2)(舍去)，故f(a＋1)＝f(0)＝－log21＝0.故选C. $$