6.2 探索三角形相似的条件（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

6.2 探索三角形相似的条件 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 知识点 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【典例1】如图，在中，，，，求证：．    【答案】证明见详解； 【分析】本题考查三角形相似的判定，根据得到，从而得到，结合，得到，即可得到证明； 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1-1】判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．    【答案】．理由见解析 【分析】根据，进行判断作答即可． 【详解】解：．理由如下： 由题意知，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【典例2】如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【变式2-1】如图，分别是的边上的点，，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】首先求出的长，再求出，根据即可证明． 【详解】解：， ， ，， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式2-2】如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， 为公共角， ． 【变式2-3】如图，，且，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，先求出，， 再证明即可． 【详解】证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， 【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【典例3】如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，，得到，然后由，得到，然后根据相似三角形的判定可得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键，已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 【变式3-3】如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 【典例4】如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】如图，点P在的边AC上，要使，还少一个条件，补充一个条件并说明理由． 【答案】补充一个条件（答案不唯一）理由见解析 【分析】由两个角分别对应相等的两个三角形相似，可补充，再证明即可． 【详解】解：补充，理由如下： ∵ ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角分别对应相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 【变式4-2】在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【答案】①，证明见解析或②，证明见解析． 【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似． 【详解】解：选择条件①的证明为： ∵， ∴， 又∵， ∴； 选择条件②的证明为： ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键． 【变式4-3】如图，在△ABC和△ACD 中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使，并加以证明． 【答案】添加条件：AB//CD，证明见解析（答案不唯一） 【分析】要证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角相等，即，此时，可添加一组角相等即可． 【详解】添加条件：． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理及正确找到对应角是解题的关键，此题是开放题，答案不唯一． 一、单选题 1．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键．根据对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，判定解答即可． 【详解】解：A．两个菱形，满足对应边成比例，但对应角不一定相等，不符合题意； B．两个矩形，满足对应角相等，但对应边不一定成比例，不符合题意； C．两个等腰梯形，对应角不应定相等，对应边不一定成比例，不符合题意；     D．两个等腰直角三角形，满足对应角相等，对应边成比例，符合题意； 故选：D． 2．如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时，又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时，又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 3．如图，直线，，．若，则的长为（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，据此即可作答，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据题意得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴ 解得， 故选：C． 4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，，，，可得，，即可证得；再根据题意得，，可得，可知新矩形与原矩形不相似，即可求解． 【详解】解：甲：根据题意得，，，， ∴，， ∴， ∴甲说法正确； 乙：根据题意得，，，则，， ∴，， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴乙说法不正确； 故选：A．    5．如图，在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握比例线段的对应关系是解题的关键；根据在中，，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，，即可求得的长． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ， 故选：D． 6．如图．，若，，，则DF的长是（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理作答即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ， ，，， ， ， ， 故选：B． 7．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【详解】解：过点D作，交于H， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，且，则的长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先得出，求出长，再利用平行四边形的判定和性质可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是平行四边形， ∴, 故选D． 二、填空题 9．如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再进行变形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形性质和判定，平行线分线段成比例，平行公理，作于点，证明，利用平行线分线段成比例，得到，再根据等边三角形性质“三线合一”得到，即可解题． 【详解】解：作于点， 于E， ， ， 点D为边的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 11．如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，过点作交于点．利用平行线等分线段定理，证明即可． 【详解】解：如图，过点作交于点． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12．如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边对等角，得到，三角形的外角得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴． 在中，， 又，， ∴． ∴． 13．如图所示，在中，，以直角边为直径作，交斜边于点，连接． (1)若，求的值； (2)过点作的切线，交于点，求证：是的中点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）在中，由，可知，在中，，因而，于是，，即有，从而即可得解． （2）证，得，又，从而，进而证明，根据平行线分线段成比例定理即可得证． 【详解】（1）解：∵在中， ， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴在中，， ∴， ∴，， ∴． （2）证明：连结接，， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴为的切线， ∵为的切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是的中点． 【点睛】本题主要考查了切线的判定及性质，平行线的判定，平行线分线段成比例，全等三角形的判定及性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握平行线分线段成比例，全等三角形的判定及性质以及直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 14．中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作的中点G，连接，证明，即可得出，进而可证明，即可得出． 【详解】证明：作的中点G，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，相交于点E，在一条直线上．． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例； （1）由，利用平行线分线段成比例，可得出，由，再利用平行线分线段成比例，即可求出的值； （2）由，利用平行线分线段成比例，可得出，结合，，即可求出的长． 【详解】（1）∵， ， 又∵， ； （2）∵， ， 又，， ． 16．如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及矩形的性质，综合性强，难度不大． （1）根据矩形的性质，可得出，从而得出，利用两角对应相等的三角形相似得出结论； （2）由，得，得出，由等面积法得出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 即， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 探索三角形相似的条件 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 知识点 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【典例1】如图，在中，，，，求证：．    【变式1-1】判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．    【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【典例2】如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【变式2-1】如图，分别是的边上的点，，，，求证：．    【变式2-2】如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【变式2-3】如图，，且，，求证：．    【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【典例3】如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【变式3-1】如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：． 【变式3-2】如图，已知，求证：． 【变式3-3】如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 【典例4】如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【变式4-1】如图，点P在的边AC上，要使，还少一个条件，补充一个条件并说明理由． 【变式4-2】在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【变式4-3】如图，在△ABC和△ACD 中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使，并加以证明． 一、单选题 1．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个等腰直角三角形 2．如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，直线，，．若，则的长为（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 5．如图，在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 6．如图．，若，，，则DF的长是（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 7．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 8．如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，且，则的长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 9．如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．    10．如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ． 11．如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 三、解答题 12．如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 13．如图所示，在中，，以直角边为直径作，交斜边于点，连接． (1)若，求的值； (2)过点作的切线，交于点，求证：是的中点． 14．中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 15．如图，相交于点E，在一条直线上．． (1)求的值； (2)求的长． 16．如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$