专题07 圆（七大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（辽宁专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（辽宁通用） 专题07 圆 考点01 圆心角和圆周角 1．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 3．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（　　） A．24° B．26° C．48° D．66° 4．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．4 5．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，，，是上的三点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 考点02 扇形面积 6．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（        ）    A． B． C． D． 7．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 ． 考点03 圆内接四边形 9．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（    ）      A． B． C． D． 10．（2022·辽宁·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为 ． 考点04 弧长公式 11．（2023·辽宁大连·中考真题）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 12．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（    ）    A．6π B．2π C．π D．π 13．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，边长为4的正方形ABCD内接于，则的长是 （结果保留） 14．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，正方形的边长是，将对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则的长是 （结果保留）． 15．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是 ． 考点05 弦的长度 16．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（    ） A． B．4 C．6 D． 考点06 隐形圆问题 17．（2022·辽宁抚顺·中考真题）如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 考点07 圆综合大题 题型一 弧长公式 18．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求的长． 19．（2023·辽宁·中考真题）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 20．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型二 阴影面积 21．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．    (1)求证：是的切线． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 题型三 求线段长 22．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 23．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，内接于，为的直径，延长到点G，使得，连接，过点C作，交于点F，交点于点D，过点D作．交的延长线于点E．    (1)求证：与相切． (2)若，，求的长． 24．（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E．    (1)求的度数； (2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长． 25．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，则的长为______ ． 26．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 27．（2022·辽宁·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF． (1)求证：BF与⊙O相切； (2)若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长． 28．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B． (1)求证：AF是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长． 29．（2022·辽宁抚顺·中考真题）如图，在中，，的顶点O，D在斜边上，顶点E，F分别在边上，以点O为圆心，长为半径的恰好经过点D和点E． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 30．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，． (1)求证：是圆的切线； (2)连接，，，的长为______． 31．（2023·辽宁·中考真题）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．    (1)求证：EF与相切； (2)若，求的长． 32．（2022·辽宁大连·中考真题）是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E． (1)如图1，求证； (2)如图2，连接，若的半径为2，，求的长． 33．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是正方形，点A，点B在上，边的延长线交于点E，对角线的延长线交于点F，连接并延长至点G，使． (1)求证：与相切； (2)若的半径为1，求的长． 题型四 求半径长 34．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．    (1)求证：为的切线． (2)若，，求的半径． 35．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 36．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，在中，，以为直径作与交于点E．过点A作的切线交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 37．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，为的直径，点C在上，与相切于点A，与延长线交于点B，过点B作，交的延长线于点D．    (1)求证：； (2)点F为上一点，连接，，与交于点G．若，，，求的半径及的长． 38．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．    (1)请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径． 39．（2022·辽宁·中考真题）如图，在中，为的直径，点E在上，D为的中点，连接并延长交于点C．连接，在的延长线上取一点F，连接，使． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（辽宁通用） 专题07 圆 考点01 圆心角和圆周角 1．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理求出，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 2．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，圆周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位线定理，即可求出的长． 【详解】解：连接，    ∵的半径为2．， ∴， ∴， ∵D，G分别为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理．熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键． 3．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（　　） A．24° B．26° C．48° D．66° 【答案】C 【分析】直接利用圆周角求解． 【详解】解：∵点A是的中点， ∴， ∴∠AOB=2∠ADC=2×24°=48°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 4．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【分析】连接，根据可得为的直径，又根据得到，故在直角三角形中，利用特殊角的三角函数即可求出． 【详解】解：连接， ， ， 为的直径， ， ， 在中, ， ．. 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，解三角形，解题的关键是掌握公式、定理。 5．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，，，是上的三点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理，即可求得的度数，又由，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数． 【详解】解：连接， ， ， ， ． 故选：B 【点睛】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用． 考点02 扇形面积 6．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（        ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用圆周角定理求出的度数，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又的半径为3， ∴扇形（阴影部分）的面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键． 7．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解直角三角形求出，推出，再利用扇形的面积公式求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查扇形的面积，三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是求出的度数． 8．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 ． 【答案】24﹣64π 【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝4，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的长，分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解． 【详解】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转， ∴DE＝DC＝4， ∵cos∠ADE， ∴∠ADE＝60°， ∴∠EDC＝30°， ∴S扇形EDC4π， ∵AE6， ∴BE＝AB﹣AE＝46， ∴S四边形DCBE24﹣6， ∴阴影部分的面积＝24﹣64π， 故答案为：24﹣64π． 【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 考点03 圆内接四边形 9．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论． 【详解】解：四边形内接于，， ， ， 的长． 故选：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 10．（2022·辽宁·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为 ． 【答案】40°/40度 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°， ∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补． 考点04 弧长公式 11．（2023·辽宁大连·中考真题）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），由此计算即可． 【详解】解：该扇形的弧长， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的弧长计算公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），正确记忆弧长公式是解答此题的关键． 12．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（    ）    A．6π B．2π C．π D．π 【答案】D 【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：∵直径AB=6， ∴半径OB=3， ∵圆周角∠A=30°， ∴圆心角∠BOC=2∠A=60°， ∴的长是=π， 故选：D． 【点睛】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的弧的长度是． 13．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，边长为4的正方形ABCD内接于，则的长是 （结果保留） 【答案】 【分析】连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可． 【详解】解：连接OA、OB． ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AO＝BO， ∴， ∴∠AOB＝×360°＝90°， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO2＋BO2＝2AO2＝42＝16， 解得：AO＝2， ∴的长＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键． 14．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，正方形的边长是，将对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则的长是 （结果保留）． 【答案】/ 【分析】先根据正方形的性质求解再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵正方形ABCD， ∴ ∴的长 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，弧长的计算，熟记弧长公式是解本题的关键． 15．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是 ． 【答案】 【分析】连接OE，OD，根据等腰三角形的性质，求得∠DOE=50°，半径为1，代入弧长公式计算即可． 【详解】连接OE，OD， ∵，OB=OD，OA=OE， ∴∠B=∠ODB =65°，∠A=∠OEA =50°， ∴∠BOD =50°，∠AOE =80°， ∴∠DOE=50°，半径为1， 的长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 考点05 弦的长度 16．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得． 【详解】解：根据作图知CE垂直平分AC， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵线段AB是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 故选A． 【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点． 考点06 隐形圆问题 17．（2022·辽宁抚顺·中考真题）如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 【答案】 【分析】根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点（谁动谁定）；②动点轨迹；③最值模型（比如将军饮马模型）；④定线段；⑤求线段长（勾股定理、相似或三角函数），结合题意求解即可得到结论． 【详解】解：①分析所求线段端点：是定点、是动点；②动点的轨迹：正方形的边长为10，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则，因此动点轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，如图所示： ③最值模型为点圆模型；④最小值对应的线段为；⑤求线段长，连接，如图所示： 在中，，正方形的边长为10，点G是边的中点，则，根据勾股定理可得， 当三点共线时，最小为， 接下来，求的长：连接，如图所示 根据翻折可知，设，则根据等面积法可知，即整理得，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值下求线段长，涉及到动点最值问题的求解方法步骤，熟练掌握动点最值问题的相关模型是解决问题的关键． 考点07 圆综合大题 题型一 弧长公式 18．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，则，故，由，得到，而，则，由，得，因此，故，则是的切线； （2）连接，可得，则，故，由，得，那么长为． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正确添加辅助线是解决本题的关键． 19．（2023·辽宁·中考真题）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由是的直径可得，进而可得，再根据圆周角定理可得，进而可证，，即可证明与相切； （2）连接，，先证是等边三角形，推出，再根据圆周角定理证明，进而可得，再根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，   是的直径， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：如图，连接，，   ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ，是的直径， ， ． 即的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键． 20．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论； （2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案． 【详解】（1）证明：连接OD．    ∵AC＝CD， ∴∠A＝∠ADC． ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠BDO． ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°． ∴∠ADC+∠BDO＝90°． ∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°． 又∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵AC＝CD，∠A＝60°， ∴△ACD是等边三角形． ∴∠ACD＝60°． ∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°． 在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCOtan30°＝2． ∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B＝30°． ∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°． ∴的长． 【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键． 题型二 阴影面积 21．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．    (1)求证：是的切线． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据，得出．根据平分，得出，则．根据得出，进而得出，即可求证； （3）连接，过点O作于点F，通过证明为等边三角形，得出，．求出．最后根据即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线． （2）解：连接，过点O作于点F， ∵， ∴． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． ∵，，， ∴． ∴．    【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式． 题型三 求线段长 22．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，得出，进而得出，易得，根据，得出，则，即可求证是的切线； （2）易得，则，根据，求出，，则，根据勾股定理求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴，则， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：，， ∴， ∴， ∴根据勾股定理可得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤． 23．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，内接于，为的直径，延长到点G，使得，连接，过点C作，交于点F，交点于点D，过点D作．交的延长线于点E．    (1)求证：与相切． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，结合圆周角定理，根据，可得，再根据平行的性质，即有，进而可得，问题随之得证； （2）过C点作于点K，先证明四边形是平行四边形，即有，求出，即有，利用三角形函数有，同理，即可得，，进而有，再证明，可得，即可得，在中，有，问题随之得解． 【详解】（1）连接，如图，    ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴半径， ∴与相切； （2）过C点作于点K，如图，    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在，， 同理， ∵在中，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键． 24．（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E．    (1)求的度数； (2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论； （2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可． 【详解】（1） 解： 为的直径， ， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 解：连接， 设， 则，，，    为的直径， ， 在中，， 由（1）得，， ， ，， ， ， 解得或（不合题意舍去）， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． 25．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，则的长为______ ． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的判定定理解答即可得出结论； (2)利用直角三角形的边角关系定理得到设, 则, 利用x的代数式表示出线段，再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论. 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 为的直径， 是的切线； （2）解：，， ， 设，则， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， 解得：不合题意，舍去或． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键. 26．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理证明，再根据“三线合一”证明平分，即有，进而可得，根据，可得，问题得证； （2）先证明，，即有，在中结合勾股定理，可求出，即同理在中，可得，进而有， ，即，证明，即有，即，问题即可得解． 【详解】（1）连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵在中，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半径， ∴为的切线； （2）∵在中，， ∴， 在（1）中，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，解得：（负值舍去）， 即同理在中，可得， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（经检验，符合题意）， 即． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定以及三角函数，是解答本题的关键． 27．（2022·辽宁·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF． (1)求证：BF与⊙O相切； (2)若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OB，根据AC是⊙O的直径，可得∠ABD＝90°，再由点F为DE的中点，可得BF＝EF，从而得到∠FBE＝∠AEP，PD⊥AC，OA=OC，可得∠OBA+∠FBE＝90°，即可求证； （2）在Rt△AEP中，求出AE=5，可得到PE=3，再证得△APE∽△DPC，可得DP＝16，从而得到DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13，即可求解． 【详解】（1）证明：连接OB， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°， ∵点F为DE的中点， ∴BF＝EF＝AD， ∴∠FEB＝∠FBE， ∵∠AEP＝∠FEB， ∴∠FBE＝∠AEP， ∵PD⊥AC， ∴∠EPA＝90°， ∴∠A+∠AEP＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA， ∴∠OBA+∠FBE＝90°， ∴∠OBF＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴BF与⊙O相切； （2）解：在Rt△AEP中，cosA＝ ，AP＝4， ∴AE＝＝＝5， ∴PE＝＝＝3， ∵AP＝OP＝4， ∴OA＝OC＝2AP＝8， ∴PC＝OP+OC＝12， ∵∠A+∠AEP＝90°，∠A+∠C＝90°， ∴∠AEP＝∠C， ∵∠APE＝∠DPC＝90°， ∴△APE∽△DPC， ∴＝， ∴＝， ∴DP＝16， ∴DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13， ∴BF＝DE＝， ∴BF的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定，解直角三角形，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 28．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B． (1)求证：AF是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得∠ADC=90°，则∠ACD+∠DAC=90°，从而说明，即可证明结论； （2）作于点H，利用△ADH～△ACD，，求出AH的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出AD=DE，利用等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵AC是直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF， ∴∠DAF=∠ACD， ∴∠DAF+∠DAC=90°， ∴， ∵AC是直径， ∴AF是⊙O的切线； （2）解：作于点H， ∵⊙O的半径为5， ∴AC=10， ∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD， ∴△ADH～△ACD， ∴， ∴， ∵AD＝6， ∴， ∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°， ∴AD=ED， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键． 29．（2022·辽宁抚顺·中考真题）如图，在中，，的顶点O，D在斜边上，顶点E，F分别在边上，以点O为圆心，长为半径的恰好经过点D和点E． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证明四边形AOEF是平行四边形，得到，即可证明∠OEB=∠ACB=90°，由此即可证明结论； （2）过点F作于点H，先解直角△CEF求出EF的长，再证明四边形AOEF是菱形，得到OA，AF的长，再解直角△AHF，求出AH，FH，进而求出OH，即可利用勾股定理求出OF． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴；， ∵， ∴；， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：过点F作于点H， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴是菱形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 30．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，． (1)求证：是圆的切线； (2)连接，，，的长为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和，可得出，再根据是圆的直径，由切线的判定可得证； （2）延长交的延长线于点，由是圆的直径，可说明是直角三角形，从而得到，再证明，得到，代入数据即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴是圆的切线． （2）解：延长交的延长线于点， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴，   ∵四边形内接于圆， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识．通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 31．（2023·辽宁·中考真题）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．    (1)求证：EF与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴EF与相切； （2）解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 32．（2022·辽宁大连·中考真题）是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E． (1)如图1，求证； (2)如图2，连接，若的半径为2，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，，即可得出； （2）证明，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出AC，AD． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵ 是的切线， ∴， 在和中，，， ∴； （2）解：如图，连接AC． ∵ 的半径为2， ∴，， ∵ 在和中， ，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∵ ，经过的圆心， ∴， ∴． ∵是的直径，C是上一点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明求出OD的长度是解题的关键． 33．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是正方形，点A，点B在上，边的延长线交于点E，对角线的延长线交于点F，连接并延长至点G，使． (1)求证：与相切； (2)若的半径为1，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)连接BE，根据四边形ABCD是正方形，得到∠BAE=90°，从而得到BE是圆O的直径，结合∠BAF+∠EAF=90°，∠EAF=∠EBF，，证明∠FBG+∠EBF=90°即可． （2）连接OA，OF，证明∠FED=45°，从而证明∠AOF=90°，实施勾股定理计算即可． 【详解】（1）连接BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAE=90°， ∴BE是圆O的直径， ∵∠BAF+∠EAF=90°，∠EAF=∠EBF，， ∴∠FBG+∠EBF=90°， ∴∠OBG=90°， 故BG是圆O的切线． （2）如图，连接OA，OF， ∵四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径， ∴∠EFD=90°，∠FDE=45°， ∴∠FED=45°， ∴∠AOF=90°， ∵OA=OF=1， ∴， ∴AF=，AF=-（舍去）． 【点睛】本题考查了圆的切线判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理是解题的关键． 题型四 求半径长 34．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．    (1)求证：为的切线． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）连接，根据同角的补角相等，得到，等角的余角相等，得到，等边对等角，得到，推出，得到，即可得证； （2）连接，推出，利用锐角三角函数求出的长，设的半径为，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 又为的半径， ∴为的切线； （2）连接，则：，    ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 设的半径为，则：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 35．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)过程见解析 (2)3 【分析】（1）连接OE，先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE，进而得出，再由，根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案； （2）先说明，再设的半径为r，并表示，，，然后根据对应边成比例得出，根据比例式求出半径即可． 【详解】（1）证明：连接OE． ∵，， ∴∠ABC=∠BOE， ∴， ∴∠OED=∠BCD． ∵， ∴∠FEC=∠ACE， ∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE， 即∠FEO=∠ACB． ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠FEO=90°， ∴． ∵EO是的半径， ∴EF是的切线． （2）∵， ∴． ∵BF=2，． 设的半径为r， ∴，，． ∵， ∴， 解得， ∴的半径是3． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键． 36．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，在中，，以为直径作与交于点E．过点A作的切线交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用为的直径及AD为的切线，得，进而得到∠DAC=∠ABE，再利用三角形的外角定理结合等量代换即可求证结论． （2）设半径为a，则AB=AC=2a，则CE=2a-3，由（1）得∠DAB=∠BEC=90°，∠D=∠EBC，则，进而得，根据等式解出a即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠ABE+∠BAC=90°， 又∵AD为的切线， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAC+∠BAC=90°， ∴∠DAC=∠ABE， 又∵， ∴∠ACB=∠ABC， ∵∠ACB为△ADC的一个外角， ∴∠ACB=∠D+∠DAC， ∴∠D+∠DAC=∠ABC=∠ABE+∠EBC， ∴∠D=∠EBC． （2）设半径为a，则AB=AC=2a，则CE=2a-3， 由（1）得，∠DAB=∠BEC=90°，∠D=∠EBC， ， ，即， 得， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆的切线性质、直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质、三角形相似的判定及性质，熟练掌握圆的切线性质及直径所对圆周角为直角巧妙运用等量代换证明，根据相似三角形的判定及性质解决问题是解题的关键． 37．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，为的直径，点C在上，与相切于点A，与延长线交于点B，过点B作，交的延长线于点D．    (1)求证：； (2)点F为上一点，连接，，与交于点G．若，，，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为； 【分析】（1）根据与相切于点A 得到，再根据得到，再根据得到即可根据角的关系解答； （2）连接，过点D作，交延长线于点M，在等多个直角三角形中运用三角函数的定义求出半径，再根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，    ∵为的直径，与相切于点A， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）连接，过点D作，交延长线于点M，如图，    在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴设，， 在中，， ∵，， ∴，解得， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆、三角形的线段、角度关系并运用数学结合思想． 38．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．    (1)请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径． 【答案】(1)CD是⊙O的切线，理由见解析 (2)⊙O的半径为 【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可； （2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：结论：CD是⊙O的切线． 理由：连接OC． ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵BC平分∠ABD， ∴∠OBC＝∠CBE， ∴∠OCB＝∠CBE， ∴OC//BD， ∵CD⊥BD， ∴CD⊥OC， ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J． ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∵OC⊥DC，CD⊥DB， ∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°， ∴四边形CDEJ是矩形， ∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE， ∴OC⊥AE， ∴AJ＝EJ， ∵sin∠ECD＝＝，CE＝5， ∴DE＝3，CD＝4， ∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3， 在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42， ∴r＝， ∴⊙O的半径为．    【点睛】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 39．（2022·辽宁·中考真题）如图，在中，为的直径，点E在上，D为的中点，连接并延长交于点C．连接，在的延长线上取一点F，连接，使． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)3； 【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，由等弧对等角可得∠BAD=∠CAD=∠BAC，再进行等量代换可得∠ABF=90°便可证明； （2）连接AD、BE，由圆周角定理可得∠AEB=90°，∠BOD=2∠BAD，于是∠BOD=∠BAC，由△OBF∽△AEB可得OB∶AE=OF∶AB，再代入求值即可； 【详解】（1）证明：如图，连接AD， AB是圆的直径，则∠ADB=90°， D为的中点，则∠BAD=∠CAD=∠BAC， ∵， ∴∠CBF=∠BAD， ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠ABF=∠ABD+∠CBF=90°， ∴AB⊥BF， ∴BF是⊙O的切线； （2）解：如图，连接AD、BE， AB是圆的直径，则∠AEB=90°， ∵∠BOD=2∠BAD，∠BAC=2∠BAD， ∴∠BOD=∠BAC， 又∵∠ABF=∠AEB=90°， ∴△OBF∽△AEB， ∴OB∶AE=OF∶AB， ∴OB∶4=∶2OB，OB2=9， OB＞0，则OB=3， ∴的半径为3； 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$