专题10 复数（讲义+练习）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题10 复数（讲义） Ⅰ.复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的 概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d 实部与实部、虚部与虚部对应相等 共轭 复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 实数的共轭复数是它本身 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数 的模 设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝ Ⅱ．复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. Ⅲ．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 运算名称 符号表示 语言叙述 加减法 z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i 把实部、虚部分别相加减 乘法 z1· z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i 按照多项式乘法进行，并把i2换成－1 除法 ＝＝＝＋i(c＋di≠0) 把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算 (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)复数乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. (4)复数加、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是＋所对应的复数． ②复数减法的几何意义：复数z1－z2是－即所对应的复数． Ⅳ.模的运算性质：①|z|2＝||2＝z·；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③＝. Ⅴ.实系数的一元二次方程： 设一元二次方程为（、、且）。 因为，所以原方程可以变形为。 配方得，，即 。 （1）若，即，此时方程有两个不相等的实数根 ； （2）若，即，此时方程有两个相等的实数根； （3）若，即，方程没有实数根。 因为的平方根是，此时方程有两个不相等的虚数根 。 因此，实系数一元二次方程在复数集中恒（仅）有两解。 特别地，当时，实系数一元二次方程（、、且）在复数集中有一对互相共轭的虚数根 。 注：虚根成对定理 若虚数是实系数一元（）次方程 （） 的根，那么也是这个方程的根。 Ⅵ.复数的三角表示式 记向量的模，由上图可以得到（由三角函数定义得）， 所以 其中，，. 这样，我们就用刻画向量大小的模和刻画向量方向的角表示了复数. （1）.复数的三角形式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 注：代数形式是唯一的.三角形式不唯一.例如. （2）.辐角与辐角主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值. 我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值. 通常记作，即. （3）.复数代数形式和三角形式的转化 复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化. （4）.复数相等的三角形式 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. Ⅶ.方法归纳 题型一　复数的概念 例1（1）复数的模为（    ） A． B．2 C． D．3 答案 C 分析 根据复数的运算，结合复数的模长计算公式，可得答案. 解析 ，． 故选:C （2）已知复数，若是实数，则实数（    ） A．3 B． C．6 D． 答案 C 分析 根据条件，利用复数的运算及复数的定义，即可求出结果. 解析 因为，则， ∴，得到， 故选：C． 方法归纳：　解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 题型二　复数的四则运算 例2（1）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 答案 B 分析 设复数，由题设条件求得，最后代入所求式即得. 解析 设，则， 由，可得 则. 故选：B （2）已知复数，则（    ） A． B． C．1 D．2 答案 B 分析 根据复数代数形式的除法运算化简，即可求出，从而求出其模. 解析 因为，所以， 所以． 故选：B． 方法归纳：　(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 题型三　复数的几何意义 例3　(1)己知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 A 分析 利用复数乘方的运算法则，由复数的除法运算可得结果. 解析 易知，, 所以， 其对应点的坐标为，位于第一象限. 故选：A (2)(2020·全国Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________. 答案　2 解析　方法一　设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R， 因为z1＋z2＝＋i， 所以2z1＝(＋a)＋(1＋b)i， 2z2＝(－a)＋(1－b)i. 因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4， 所以＝4，① ＝4，② ①2＋②2，得a2＋b2＝12. 所以|z1－z2|＝＝2. 方法二　设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，， 则z1＋z2对应向量＋. 由题意知||＝||＝|＋|＝2， 如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则z1－z2对应向量， 且||＝||＝||＝2， 可得||＝2||sin 60°＝2. 故|z1－z2|＝||＝2. 方法归纳：　由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 在如图的复平面中，r＝，cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝(a≠0)． 任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角． 我们把r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式． 对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式． 复数乘、除运算的三角表示： 已知复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)， z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则 z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 例4（1）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 答案 D 分析 合理化简原复数，表示为三角形式即可. 解析 由题意得，故D正确. 故选：D （2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 答案 D 分析 由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解． 解析 因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：. （3）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 答案 D 分析 根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解. 解析 设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式. ( 第 1 页 共 10 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 复数（练习） 一、填空题 1．已知复数，则 . 2．已知复数，且为纯虚数，其中是虚数单位，则 3．复数, 则 . 4．设为虚数单位，若复数，则 . 5．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则 ． 6．若复数（是虚数单位），则 . 7．已知复数（i为虚数单位），则满足的复数为 ． 8．已知复数是关于的方程的一个根，则 . 9．已知，为的共轭复数，若，则 ． 10．已知，方程的一个根为（为虚数单位），则 11．已知复数满足，则的最小值为 . 12．已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 . 13．若复数满足，则的取值范围是 ． 14．若（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则 ． 15．关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 . 16．在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 . 二、单选题 17．已知为实数，则（    ） A． B．2 C．1 D． 18．已知，复数，则“”是“复数z在复平面内所对应的点位于第一象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．若复数z满足，则z的一个可能值是（    ） A． B． C． D． 20．已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 21．已知在复平面内复数，对应的向量分别为，．若，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 22．已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 三、解答题 23．设，复数． (1)当满足什么条件时，复数是纯虚数？ (2)当满足什么条件时，复数在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限？ 24．已知复数满足（是虚数单位）. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 25．已知关于的方程有实数根. (1)求实数的值； (2)若复数满足，求当为何值时，有最小值，并求出的最小值. 26．在高中课本中，我们研究导数是在实数上研究的．实际上，求导（微分）是一个局部性质．那么我们能不能在某些范围内推广导数这一种局部性质．我们在高中课本中讲到：若在附近连续，且若存在，则为点处的导数．我们能不能将概念推广到复数域上呢？显然，我们是可以做到的．此时考虑函数，若在附近连续（实际上可以考虑一个非常非常小的圆），且若存在，则为点处的导数． (1)按此定义，验证导数的除法公式在复函数求导下仍然成立． (2)更一般地，若在某个区域上均可导，我们称为上解析的函数．考虑复函数，其中为一个模长小于的复数，为一个模长为的复数．证明： ①该复函数将上的点映为上的点，且将上的点映为上的点． ②为上的解析函数． (3)已知：（ⅰ）若函数为上的解析函数，且值域在中，满足，则有：． （ⅱ）若函数，分别为，上的解析函数，则为上的解析函数． 此时若为上的解析函数，且值域在中，满足，证明：． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 复数（练习） 一、填空题 1．已知复数，则 . 【答案】 【分析】先化简求出复数，从而可求出其共轭复数. 【解析】因为， 所以. 故答案为： 2．已知复数，且为纯虚数，其中是虚数单位，则 【答案】 【分析】根据为纯虚数列方程来求得. 【解析】依题意，为纯虚数， 所以，解得. 故答案为： 3．复数, 则 . 【答案】 【分析】由共轭复数及复数的模运算求解． 【解析】依题意，得，则， 故答案为： 4．设为虚数单位，若复数，则 . 【答案】 【分析】根据复数的除法运算和虚部的概念即可. 【解析】，则. 故答案为：. 5．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则 ． 【答案】/ 【分析】由复数在复平面内对应的点的坐标写出复数，再写出，代入计算可得. 【解析】由题意可知，则， 所以． 故答案为：. 6．若复数（是虚数单位），则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义，结合复数乘法、减法求解即得. 【解析】复数，则， 所以. 故答案为： 7．已知复数（i为虚数单位），则满足的复数为 ． 【答案】 【分析】根据已知结合共轭复数得出，代入化简，即可得出答案. 【解析】，则， 则，为， 即， 故答案为： 8．已知复数是关于的方程的一个根，则 . 【答案】 【分析】利用求根公式求复数z，然后可得. 【解析】由求根公式可得或， 所以 故答案为： 9．已知，为的共轭复数，若，则 ． 【答案】/ 【分析】设，根据复数相等列方程组求解即可. 【解析】设，则，由题意得，即， 所以，解得，则， 所以． 故答案为： 10．已知，方程的一个根为（为虚数单位），则 【答案】6 【分析】根据题意可知：方程的另一个根为，利用韦达定理运算求解. 【解析】因为方程的一个根为， 可知方程的另一个根为， 所以. 故答案为：6. 11．已知复数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，由条件得，所求式消元后化成，结合点的轨迹图形特征，求得的范围，结合函数单调性即得的最小值. 【解析】设，由两边平方整理得：， 即而， 作出复数对应的点的轨迹的图形如图. 易得，因在定义域内为增函数， 故， 即当且仅当时，取最小值. 故答案为:. 12．已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】由题意可得，求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，然后利用列方程可求出的值. 【解析】因为关于的一元二次方程有两个虚根， 所以，即，得或， 所以中， 因为， 整理得，解得或（舍），故， 所以实数的值为3. 故答案为：3 13．若复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，由复数的几何意义得，，进而利用的范围可得的取值范围. 【解析】设，，则，，则 . 故答案为：． 14．若（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】由题意可将代入方程，结合复数的乘方以及复数的相等，即可求得，即得答案. 【解析】由题意是关于的实系数方程的一个根， 则，即， 即得， 故， 故答案为： 15．关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】解出方程，可得其对应的点，对于方程，讨论其，进一步分析计算即可. 【解析】因为的解为 ， 设所对应的两点分别为， 则，， 设的解所对应的两点分别为，， 记为,,， 当，即时，因为关于轴对称， 且，，关于轴对称，显然四点共圆； 当，即或时， 此时,,，且， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上：, 故答案为：. 16．在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，由，分析得关于原点对称，所以确定，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题. 【解析】解：因为复数对应的点为 且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上 又，所以为圆的直径，即关于原点对称 所以 因为 所以 又，， 则 所以 即的最大值为，所以的最大值为. 故答案为：. 二、单选题 17．已知为实数，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】利用为实数求出，再根据复数的模的公式求解． 【解析】由题意可得， 由为实数，得， 即，则， 故． 故选：D． 18．已知，复数，则“”是“复数z在复平面内所对应的点位于第一象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用复数的乘法法则计算，并根据所在象限得到不等式，求出，得到结论. 【解析】由，若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限， 则可得， 故“”是“复数z在复平面内所对应的点位于第一象限”的充要条件． 故选：C． 19．若复数z满足，则z的一个可能值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合复数的模长公式及共轭复数的概念即可求解. 【解析】设，则， 由，得，即，整理得， 显然选项ACD不满足要求，B符合要求. 故选：B 20．已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，然后由已知条件列方程组可求出，,从而可求出 【解析】设，则由，得， 由，得，即， 所以，化简整理得，得， 所以，得， 所以， 故选：D 21．已知在复平面内复数，对应的向量分别为，．若，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先表示出，，即可求出，再求出及，最后根据投影向量的定义计算可得. 【解析】因为，， 所以，， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 22．已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设从而可得即对应平面内距离为的点，从而利用数学结合求解即可. 【解析】设 ,, 即 化为 故对应平面内距离为的点，如下图中,   , 与对应点的距离为或 构成了点共个点， 故的最大值为 故选： 【点睛】方法点睛：(1)本题是复数的综合应用，考查的主要是复数的模的几何意义的应用． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，利用复数的模的几何意义进行求解． 三、解答题 23．设，复数． (1)当满足什么条件时，复数是纯虚数？ (2)当满足什么条件时，复数在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将复数的实部与虚部整理出来，根据纯虚数的定义进行求解即可； （2）利用复数的几何意义，根据第二象限内点的坐标正负性进行求解即可. 【解析】（1）由题意得，， 当是纯虚数时，，解得， 即时，是纯虚数． （2）当在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限时，，解得， 即时，在复平面内对应的点在第二象限． 24．已知复数满足（是虚数单位）. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法计算法则和模的运算公式求解即可； （2）根据复数乘法计算法则和在复平面对应点的特征求解即可. 【解析】（1）由， 得，所以 （2）因为， 所以 ， 因为该复数在复平面内对应的点在第三象限， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 25．已知关于的方程有实数根. (1)求实数的值； (2)若复数满足，求当为何值时，有最小值，并求出的最小值. 【答案】(1) (2)当时，有最小值为 【分析】（1）根据复数相等的条件列式可求出结果； （2）设，代入可得复数对应的点的轨迹是圆，根据复数的模的几何意义可求出结果. 【解析】（1）因为是方程的实数根， 所以，即， 所以，解得， （2）设，由，得， 得，整理得， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示，    当复数对应的点在的延长线上时，取最小值， 因为，圆的半径，所以的最小值为. 此时复数对应的点与关于原点对称，则. 26．在高中课本中，我们研究导数是在实数上研究的．实际上，求导（微分）是一个局部性质．那么我们能不能在某些范围内推广导数这一种局部性质．我们在高中课本中讲到：若在附近连续，且若存在，则为点处的导数．我们能不能将概念推广到复数域上呢？显然，我们是可以做到的．此时考虑函数，若在附近连续（实际上可以考虑一个非常非常小的圆），且若存在，则为点处的导数． (1)按此定义，验证导数的除法公式在复函数求导下仍然成立． (2)更一般地，若在某个区域上均可导，我们称为上解析的函数．考虑复函数，其中为一个模长小于的复数，为一个模长为的复数．证明： ①该复函数将上的点映为上的点，且将上的点映为上的点． ②为上的解析函数． (3)已知：（ⅰ）若函数为上的解析函数，且值域在中，满足，则有：． （ⅱ）若函数，分别为，上的解析函数，则为上的解析函数． 此时若为上的解析函数，且值域在中，满足，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接使用导数的定义证明； （2）根据给出的函数表达式，利用复数的运算性质证明； （3）利用（2）的结论构造复合函数，然后用给定的结论证明命题. 【解析】（1） . （2）①由于， 且. 故. 当即时，有，从而； 当即时，有，从而. ②直接由（1）可得，故是上的解析函数. （3）取，则，由（ⅱ）的结论，知是的解析函数. 则取，就有是的解析函数，且. 从而，据（ⅰ）的结论，知. 而，故. 直接计算可得，，故. 所以，故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于恰当利用给出的已知结论，以证明新结论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$