专题突破：一元二次方程的解法（7大题型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

专题突破：一元二次方程的解法 解一元二次方程的方法的思路 解一元二次方程的基本思想是“降次”，即通过适当的方法把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程分别求解；由于方程的结构特征不同，依据方程的结构特征选择适当的方法求解尤为重要。 解一元二次方程有四种方法，若方程能表示成的形式，则首选直接开平方法；若方程变形后一边为0，另一边易分解成两个一次因式的乘积，则适合用因式分解法；配方法和公式法是解一元二次方程的常规方法，若二次项系数为1，一次项系数为偶数，则用配方法求解更简便。 题型一 直接开平方法 【例1】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）方程的根是（　　） A． B． C． ， D．， 【变式1-2】（2024九年级上·全国·专题练习）解方程：． 【变式1-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 题型二 配方法 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式2-1】（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【变式2-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）用配方法解一元二次方程：，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-5】（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程：． 【变式2-6】（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 公式法 【例3】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程，得（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列万程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式3-4】（23-24九年级上·全国·单元测试）利用公式法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 题型四 因式分解法 【例4】（2024九年级上·全国·专题练习）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（　　） A． B．13 C．11或8 D．11和13 【变式4-1】（23-24九年级上·湖南湘西·期末）三角形两边长分别是3，7，第三边是方程的根，则三角形的周长为 ． 【变式4-2】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为 ． 【变式4-3】（23-24九年级上·北京·期末）用因式分解法解下列方程： (1) (2)． 【变式4-4】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）解方程：． 【变式4-5】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式4-6】（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【变式4-7】（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P (1)依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． (2)记的两种变形为和，求的值． 题型五 换元法 【例5】（山西太原·期末）阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 【变式5-1】（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【变式5-2】（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 【变式5-3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或3 B．1或3 C．或 D．1或 【变式5-4】（2024九年级上·江苏·专题练习）若实数x满足，则 ． 【变式5-5】（23-24八年级下·山东威海·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体．设，则原方程可化为，解得，．即，，所以原方程的解为，．请类比这种方法解方程：，则 ． 【变式5-6】（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 【变式5-7】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 【变式5-8】（23-24八年级下·云南昆明·期末）阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法． 任务： (1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（　　） A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想    D．公理化思想 (2)仿照上面的方法，解方程； 【变式5-9】（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y，满足，求的值； (2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 题型六 含绝对值的一元二次方程的解法 【例6】（2024九年级上·全国·专题练习）阅读下面的例题与解答过程： 解方程：． 解：当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）． ∴原方程的解是． 在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论思想． 请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程： (1)； (2)． 【变式6-1】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程，则满足该方程的所有根之和为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式6-2】（吉林长春·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． （1）解方程：． （2）已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则的值为______； ③若方程有两个解，则的取值范围是______． 【变式6-3】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 题型七 与一元二次方程根有关的求值问题 【例7】（23-24九年级上·全国·单元测试）若a是方程的一个根，求代数式的值． 【变式7-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【变式7-2】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知是方程的根，则代数式的值为 . 【变式7-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）设、是方程的两根，则 ． 【变式7-4】（九年级上·内蒙古兴安盟·期中）已知是方程一个实数根，则代数式的值是 ． 【变式7-5】（九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 【变式7-6】（2024·四川内江·二模）已知a是方程的一个根，则 ． 【变式7-7】（24-25九年级上·全国·单元测试）若是方程的一个根，则的值为 ． 【变式7-8】（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知：是方程的一个根，求代数式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：一元二次方程的解法 解一元二次方程的方法的思路 解一元二次方程的基本思想是“降次”，即通过适当的方法把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程分别求解；由于方程的结构特征不同，依据方程的结构特征选择适当的方法求解尤为重要。 解一元二次方程有四种方法，若方程能表示成的形式，则首选直接开平方法；若方程变形后一边为0，另一边易分解成两个一次因式的乘积，则适合用因式分解法；配方法和公式法是解一元二次方程的常规方法，若二次项系数为1，一次项系数为偶数，则用配方法求解更简便。 题型一 直接开平方法 【例1】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，运用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ∴， ∴， 故选：C 【变式1-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）方程的根是（　　） A． B． C． ， D．， 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解本题的关键． 用直接开平方求解即可． 【详解】解：两边直接开平方，得， 所以或， 所以，， 故选：C． 【变式1-2】（2024九年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解；解题的关键是熟练掌握平方根的定义， 【详解】解： 或， 解得或． 【变式1-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开方的方法进行求解即可； （2）利用直接开方的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）， ， 两边直接开平方，得， 解得，． 题型二 配方法 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）解：原方程可化为． 配方，得，即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，； （2）解：原方程可化为． 配方，得， 即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，． 【变式2-1】（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式2-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到方程的右边，再将方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方，进一步整理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）用配方法解一元二次方程：，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法，利用完全平方公式进行配方即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 即， 故选：B． 【变式2-4】（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ， ∴． 【变式2-5】（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查配方法解方程，先将方程左侧展开，然后利用配方法进行求解即可． 【详解】解： ∴． 【变式2-6】（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， ． (2)无实数根 (3) (4)，． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）先将原方程化为，再利用配方法解方程即可； （4）先将原方程，化为，再利用配方法解方程即可． 此题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： 配方，得， 即． ∴， ∴，． （2）解： 移项，得． 配方，得， 即， 所以原方程无实数根． （3）解： 原方程可化为． 配方，得， 即． ∴． （4）解： 原方程可化为． 配方，得， 即， 由此可得， ∴，． 题型三 公式法 【例3】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程，得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟记一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； B． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C． ， ∴，故该选项正确，符合题意； D． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【详解】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列万程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)方程无解 (3)， (4)， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式，，先确定 的值，判断方程是否有根，最后求得根即可． （1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）运用公式法解一元二次方程即可； （3）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； （4）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解： ， ， ∴， 解得，； （2） ， ， 方程无解； （3） ， ， ∴， 解得，； （4） ， ， ∴， 解得，． 【变式3-4】（23-24九年级上·全国·单元测试）利用公式法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)原方程无实数根 (4) (5) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （5）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无实数根； （4）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （5）解： ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四 因式分解法 【例4】（2024九年级上·全国·专题练习）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（　　） A． B．13 C．11或8 D．11和13 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长． 【详解】解：， ， ∴或， ∴． 因为三角形两边的长分别为3和6， 所以第三边的长必须大于3， 故周长． 故选：B． 【变式4-1】（23-24九年级上·湖南湘西·期末）三角形两边长分别是3，7，第三边是方程的根，则三角形的周长为 ． 【答案】19 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系． 利用因式分解法解方程，得到，，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴不符合题意，舍去； ∴三角形的周长为：； 故答案为：19． 【变式4-2】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，等腰三角形的定义，先解方程得出，，再根据三角形的三边关系得出等腰三角形的腰为4，底边长为2，最后求出三角形的周长即可． 【详解】解： 因式分解得：， 或， 所以，， 因为，所以等腰三角形的腰长为2时，不能构成三角形， 所以等腰三角形的腰为4，底边长为2， 所以三角形的周长为． 故答案为：10． 【变式4-3】（23-24九年级上·北京·期末）用因式分解法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再根据解一元一次方程的方法即可求解； （2）移项得，再提取公因式，最后根据解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴或， ∴，； （2）解： ， ∴或， ∴，． 【变式4-4】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．利用因式分解法解方程； 【详解】解：∵ ∴， ∴或， ∴，. 【变式4-5】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 【变式4-6】（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 【变式4-7】（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P (1)依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． (2)记的两种变形为和，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）由表格中的数据观察即可得到答案； （2）利用表中的数据可得到为一次项系数的相反数，由此即可得到答案； （3）由方程变形可得，，从而，整理即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7； ②，，，， 为一次项系数的相反数， ， 故答案为：； （2）解：由可得， 由可得， ∴，， ∴， ∴． 题型五 换元法 【例5】（山西太原·期末）阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，把视为一个整体，设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得即的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， ∵， 则． 【变式5-1】（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可． 【详解】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 【变式5-2】（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得； 当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去； 当时，，即，，故的值为6； ∴． 故选：A． 【变式5-3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或3 B．1或3 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，先根据已知方程和方程的解，从而得到方程中的相当于第1个方程中的x，从而得到和，解方程即可． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程中，， ，， ，， 故选：C． 【变式5-4】（2024九年级上·江苏·专题练习）若实数x满足，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．设，则原方程换元为，即，可得，即可求解． 【详解】设，则原方程换元为，即， ∴， 解得：， 即或（无实数根，舍去）， ∴． 故答案为：6． 【变式5-5】（23-24八年级下·山东威海·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体．设，则原方程可化为，解得，．即，，所以原方程的解为，．请类比这种方法解方程：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．先设，则方程即可变形为，解方程即可求得y，然后根据取舍根即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 解得，． ∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-6】（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题主要是考查利用换元法解一元二次方程的方法，仿照例题给出的方法进行解题，熟练掌握解方程的方法是本题解题的基础．利用例题中给很出的方法，利用换元的方法进行解题，设，则原方程化为：，解方程得：，，将解带入，求解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可以化为， ∵，，， ∴， ∴． 解得，． 当时，， ∴，； 当时，， ∴，． ∴原方程的解为，，，． 【变式5-7】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 【答案】(1)C (2)， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．此题难度较大，不容易掌握． （1）利用换元法解方程； （2）设，原方程化为，求出y，把y的值代入，求出x即可． 【详解】（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设，原方程化为， ∴ 解得， 当时，得， 解得，； 当时，得， ，方程无解， 综上所述，原方程的解为，． 【变式5-8】（23-24八年级下·云南昆明·期末）阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法． 任务： (1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（　　） A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想    D．公理化思想 (2)仿照上面的方法，解方程； 【答案】(1)B (2)，，， 【分析】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元． （1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想； （2）设，则原方程化为，求出y，再求出x即可． 【详解】（1）解：上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想 故答案为：B； （2）解：原方程变形为 设，那么，于是原方程可变为， 解得，． 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程有四个根，，，． 【变式5-9】（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y，满足，求的值； (2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （1）利用换元法解方程即可解决问题； （2）利用换元法解方程可得． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为， 解得， ， ， ； （2）解：设， 则原方程可变为， 即， 解得，， ， ， ， 即斜边的长度为． 题型六 含绝对值的一元二次方程的解法 【例6】（2024九年级上·全国·专题练习）阅读下面的例题与解答过程： 解方程：． 解：当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）． ∴原方程的解是． 在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论思想． 请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． （1）当时，，当时，，然后求解即可． （2）当时，，当时，，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； ∴原方程的解为； （2）解：当时，，即，解得， 当时，，即，解得， ∴原方程组的解为，． 【变式6-1】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程，则满足该方程的所有根之和为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去． 因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去． 解：当时，即，原方程化为：， ∵， ∴，（舍去）， ∴， 当，即时，原方程化为：， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴． 则． 故选：A． 【变式6-2】（吉林长春·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． （1）解方程：． （2）已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则的值为______； ③若方程有两个解，则的取值范围是______． 【答案】（1）或；（2）①m＜1；②m=1；③m＞1. 【分析】（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得． （2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答． 【详解】解：（1）当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． ∴原方程的解是或． (2) ∵|x﹣2|≥0， ∴当，即时，方程无解； 当，即时，方程只有一个解； 当，即时，方程有两个解 故答案为：①；②；③． 【变式6-3】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：当时，原方程可化为：， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解是， 题型七 与一元二次方程根有关的求值问题 【例7】（23-24九年级上·全国·单元测试）若a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将a代入方程再将方程变换得到，，代入所求代数式即可求解； 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，， ∴ ． 【变式7-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义得到，再根据，代入求解即可求． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 即， ， 将代入得：原式， 故答案为：0． 【变式7-2】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知是方程的根，则代数式的值为 . 【答案】4046 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：是方程的根， ， ， ， 故答案为：4046． 【变式7-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）设、是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入式子求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，， ∴ 故答案为：． 【变式7-4】（九年级上·内蒙古兴安盟·期中）已知是方程一个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解的概念、代数式的变形、整体代入的数学思想方法等知识点，掌握整体代入思想是解题的关键. 由m是方程的一个实数根可得与的值，然后整体代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ∴，显然，两边同时除以m得：， ∴，， ∴. 故答案为：. 【变式7-5】（九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义．理解一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．将代入即可求解． 【详解】解：已知是一元二次方程的一个解 ，即， 故答案为：． 【变式7-6】（2024·四川内江·二模）已知a是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、分式的化简求值，由题意得，把代入得，，即，，，再把式子代入求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， 把代入得，， ∴，，即，， ∴， 故答案为：． 【变式7-7】（24-25九年级上·全国·单元测试）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值等知识点，掌握一元二次方程解的定义以及分式方程的求解方法是解题的关键 根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得解答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式7-8】（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知：是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】，． 【分析】根据解的定义得，然后根据完全平方公式，平方差公式，合并同类项运算化简，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， 原式， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$