第11讲 一元二次方程的求根公式(一类知识点+八大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第11讲 一元二次方程的求根公式（八大题型） 学习目标 1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练. 2、会用公式法解简单系数的一元二次方程. 3、通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想． 一、情境导入，初步认识 1.用配方法解方程： （1）x2+3x+2=0；（2）2x2-3x+5=0. 2.由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？ 二、思考探究，获取新知 1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0） 分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去. 解：移项，得：ax2+bx=-c 因为a≠0，所以方程两边同除以a得： x2+x= 配方，得：x2+x+（）2=+（）2 即（x+）2= ∵a≠0,∴4a2>0 当b2-4ac≥0时，≥0 ∴x+=± 即x= ∴x1=， x2=. 当b2-4ac＜0时，方程无解. 【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子 x=（b2-4ac≥0） 就可求出方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错.（2）式子b2-4ac≥0是公式的一部分. 2.确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号. 3.你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？ 【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解. 【即学即练1】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【即学即练2】用公式法解方程时，正确代入求根公式的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（    ） A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法 D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法 【即学即练5】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【即学即练6】关于的方程（、、为常数，）的解是，，则方程的解是（    ）. A．， B．， C．， D．， 题型1：公式法解一元二次方程及其逆用 【典例1】．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【典例2】．用求根公式解方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例3】．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（    ） A． B． C． D． 【典例4】．若方程是一元二次方程，则方程的根是（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【典例5】．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ） A． B． C． D． 【典例6】．用公式法解方程，其中求得的值是（    ）. A．16 B． C．32 D．64 【典例7】．方程中，的值为 ，根是 ． 【典例8】．解下列方程： (1) (2) (3) 【典例9】．解方程： (1)； (2)． 【典例10】．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 【典例11】．关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（    ） A．a=-1 B．c=1 C．ac=-1 D． 题型2：选择适当的方法解一元二次方程 【典例12】．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【典例13】．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（      ）； A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法、配方法 C．配方法、因式分解法、配方法、公式法 D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法 【典例14】．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上． ①；②；③；④；⑤． (1)直接开平方法： ； (2)配方法： ； (3)公式法： ； (4)因式分解法： ． 题型3：解一元二次方程（综合） 【典例15】．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 【典例16】．解下列方程 (1) (2) (3)（用配方法解） (4) 【典例17】．解方程 ①                                ② ③                              ④ ⑤                               ⑥ ⑦                               ⑧． 题型4：比较一元二次方程根的大小 【典例18】．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根中较大的根是(    ) A．1+ B． C． D． 【典例19】．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 【典例20】．设x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，则（　　） A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣ 题型5：分析解答过程是否有误 【典例21】．小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： ∵，，（第一步）， ∴（第二步）， ∴（第三步）， ∴，（第四步）． 小明解答过程开始出错的步骤是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【典例22】．下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第 步开始出错． 题型6：公式法解一元二次方程的代数应用 【典例23】．若是关于的一元二次方程的一个根，下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例24】．已知，求代数式 ． 【典例25】．已知关于方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是（　　） A． B． C． D． 题型7：公式法解一元二次方程的几何应用 【典例26】．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为 ． 【典例27】．如图，中，，于点D，，于点B，且，作于点F，若，则的长为（    ） A．2 B．6 C．7 D．8 题型8：新定义题 【典例28】．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如． 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且， 则 的值为 ． 【典例29】．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是 ． 一、单选题 1．用求根公式解一元二次方程时，，的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．用公式法解方程，得（　　） A． B． C． D． 3．用公式法解方程时，正确代入求根公式的是（    ） A． B． C． D． 4．利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 5．解方程：（1）；（2）；（3），较适合的方法依次为（    ） A．直接开平方法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法 C．直接开平方法、因式分解法、配方法 D．直接开平方法、公式法、因式分解法 6．一元二次方程，其中较大的一个根为，下列最接近的范围是（　　） A． B． C． D． 7．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于( ) A．3 B．2 C．1 D． 8．如果实数分别满足，，则的值不可能是（    ） A．1 B． C． D． 9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 10．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（    ） A．－1 B．－1或 C． D．1或 二、填空题 11．方程的解是 ． 12．将方程化成一般形式为 ， ，用求根公式求得 ， ． 13．的根为= ，= . 14．设，若，则 ． 15．已知x=(b2－4c>0)，则x2＋bx＋c的值为 . 16．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x= ． 17．已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ． 18．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若时，则方程是倍根方程． 三、解答题 19．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 20．选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 21．课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下： 解：原方程可化为，第一步 配方，得，第二步 即，第三步 直接开平方，得，第四步 所以，．第五步 (1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你正确求解该方程． 22．若关于的一元二次方程的根都是整数，求的值． 23．若m，n为正实数，，t是关于x的方程的一正实根． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)用含k的代数式表示． 24．有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 25．我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积． (2)一个三角形的三边长分别为，，，，，且，求，的值． 26．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，． 当时，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 一元二次方程的求根公式（八大题型） 学习目标 1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练. 2、会用公式法解简单系数的一元二次方程. 3、通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想． 一、情境导入，初步认识 1.用配方法解方程： （1）x2+3x+2=0；（2）2x2-3x+5=0. 2.由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？ 二、思考探究，获取新知 1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0） 分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去. 解：移项，得：ax2+bx=-c 因为a≠0，所以方程两边同除以a得： x2+x= 配方，得：x2+x+（）2=+（）2 即（x+）2= ∵a≠0,∴4a2>0 当b2-4ac≥0时，≥0 ∴x+=± 即x= ∴x1=， x2=. 当b2-4ac＜0时，方程无解. 【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子 x=（b2-4ac≥0） 就可求出方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错.（2）式子b2-4ac≥0是公式的一部分. 2.确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号. 3.你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？ 【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解. 【即学即练1】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 (4) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【解析】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵ ∴， ∴， ∴原方程无解． （4）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【即学即练2】用公式法解方程时，正确代入求根公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式解一元二次方程，根据，，代入数据计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【即学即练3】以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可求解． 【解析】解：A． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； B． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C． ， ∴，故该选项正确，符合题意； D． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【即学即练4】解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（    ） A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法 D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法 【答案】D 【分析】根据各方程的特点逐一判别即可． 【解析】解：①适合直接开平方法； ②适合公式法； ③适合因式分解法； ④适合因式分解法； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【即学即练5】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)； (3)； (4) 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）用公式法解方程即可； （2）变形后利用因式分解法解方程； （3）配方解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【解析】（1） ∵， ∴， ∴， ∴ （2） ∴ ∴， ∴或， ∴； （3） ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （4） ∵， ∴， ∴， ∴ 【即学即练6】关于的方程（、、为常数，）的解是，，则方程的解是（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先用直接开平方法解出，然后再解出，对比两个解的关系，即可得到答案. 【解析】解：， 解得：， ∵，， ∴，， ∵， 解得：， ∴，， 故选择：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握正确解出一元二次方程的解 题型1：公式法解一元二次方程及其逆用 【典例1】．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值 【解析】解：化为一般形式为： ，， 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【典例2】．用求根公式解方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把化成一般式，直接运用公式法解题即可． 【解析】解：， 则一般式是， 则，，， 那么， 把，，都代入中， 得， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握公式法是解题的关键． 【典例3】．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可． 【解析】解：A. 的两根为，故选项A不符合题意； B. 的两根为，故选项B不符合题意； C. 的两根为，故选项C不符合题意； D. 的两根为，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键． 【典例4】．若方程是一元二次方程，则方程的根是（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于的式子，解出的值，代入原方程，求解一元二次方程即可． 【解析】解：方程是一元二次方程， , 解得：， 即， ， ， 方程有两个不相等的实数根 ； 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的概念与解法，熟练掌握一元二次方程的概念与用公式法、因式分解法或配方法求解一元二次方程是解题的关键． 【典例5】．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个． 【解析】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式． 【典例6】．用公式法解方程，其中求得的值是（    ）. A．16 B． C．32 D．64 【答案】D 【分析】先将方程化为一般形式，然后计算即可. 【解析】解：方程整理得：， ∴，，， ∴， 故选D. 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【典例7】．方程中，的值为 ，根是 ． 【答案】 12 【分析】确定a、b、c的值后，直接计算△的值即可． 【解析】解：变形为： ， ∵a=2，b=2，c=-1， ∴△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=4+8=12>0， ∴x==， ∴ 故答案为：12，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，掌握一元二次方程求根公式及掌握ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式的公式△=b2-4ac是解题的关键． 【典例8】．解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)方程无解 【分析】先将方程化为一般式，再用公式法直接求解． 【解析】（1）解：，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：，， ∵Δ=>0， ∴ ∴，； （3）解：， ∵ ∴方程无解． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用直接开方法、公式法、配方法、因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 【典例9】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用解一元二次方程中的公式法计算即可； （2）利用解一元二次方程中的公式法计算即可． 【解析】（1）解：由公式法可知： ∴ 即：， （2）解：移项得： 由公式法可知： ∴ 即： 【点睛】本题考查了解一元二次方程的相关知识点，重点要掌握配方法，公式法，因式分解法等． 【典例10】．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 【答案】x1=，x2=． 【分析】把方程整理成一般式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解． 【解析】解：原方程整理得：6x2-x-4=0， ∵a=6，b=-1，c=-4， ， ∴， ∴x1=，x2=． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 【典例11】．关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（    ） A．a=-1 B．c=1 C．ac=-1 D． 【答案】C 【分析】根据求根公式对照求解即可． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程的求根公式是，， 又∵关于x的一元二次方程的两根分别为，， ∴= ∴ac=-1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键． 题型2：选择适当的方法解一元二次方程 【典例12】．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【答案】D 【解析】①2x2=18，所以利用直接开平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法. ④ 2(5x－1)2-2(5x－1)=0,利用因式分解法. 所以选D. 【典例13】．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（      ）； A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法、配方法 C．配方法、因式分解法、配方法、公式法 D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法 【答案】D 【分析】对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解; 对于方程③二次项系数为1可考虑配方法; 对于方程④利用公式法求解比较简便. 【解析】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便； 方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便； 方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便； 方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便. 故选D. 【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法. 【典例14】．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上． ①；②；③；④；⑤． (1)直接开平方法： ； (2)配方法： ； (3)公式法： ； (4)因式分解法： ． 【答案】 ① ④⑤ ③ ② 【分析】根据方程的特征逐一判断即可. 【解析】解: ① x-1= x=1. 故①用直接开平方法解更简单. ②原方程可变形为:； ∴此方程用因式分解法解更简单. ③ -5x+6=3 -5x+3=0 ∴此方程用公式法求解更好. ④ ∴此方程用配方法解更好. ⑤． =100 ∴此方程用配方法解更好. 故答案为:  (1). ①    (2). ④⑤    (3). ③    (4). ② 【点睛】本题考查了选择适当的解法求解一元二次方程. 题型3：解一元二次方程（综合） 【典例15】．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 方程利用配方法求解即可； 方程利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可； 方程整理后，利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可． 【解析】（1）解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 解得：，； （3）解：方程整理得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，； （4）解：方程整理得：， ，，， ， ， 解得：，； （5）解：方程分解得：， 所以或， 解得：，． 【典例16】．解下列方程 (1) (2) (3)（用配方法解） (4) 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （3）先移项，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （4）整理成一般式，再利用公式法求解即可． 【解析】（1）， 或， 解得，； （2）， ， ， 或， 解得，； （3）， ， ， ，即， ， 解得，； （4）整理成一般式，得：， ，，， ， 则， ，． 【典例17】．解方程 ①                                ② ③                              ④ ⑤                               ⑥ ⑦                               ⑧． 【答案】①，；②, ；③，；④，；⑤；⑥，；⑦，；⑧， 【分析】考查一元二次方程的解法，要根据方程形式的不同灵活运用不同的方法来解方程：①直接开平方法；②、③、④用因式分解法；⑤⑥⑦⑧去括号，移项化为一般形式，进而求解． 常用的方法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法，根据题目选择合适的方法是解题的关键． 【解析】解：①， ∴， ∴，； ②， ∴， ∴或， ∴, ； ③，即， ∴，； ④，即 ∴，   ∴，； ⑤， ， ， ，   ∴； ⑥， ， ， ∴，； ⑦， ， ∴，； ⑧ ， ∴，． 题型4：比较一元二次方程根的大小 【典例18】．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根中较大的根是(    ) A．1+ B． C． D． 【答案】B 【分析】利用公式法解方程求得方程的解，比较即可解答. 【解析】解：, a=1，b=-1，c=-1， △=1+4=5＞0， x=， ∵， ∴较大的实数根为. 故选B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法——公式法，正确利用公式法解方程是解本题的关键． 【典例19】．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 【答案】A 【解析】因为,且 a＜0,所以≥,故选A. 【典例20】．设x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，则（　　） A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣ 【答案】B 【分析】先求出方程的解，再求出方程的最小值，即可求出答案． 【解析】2x2-4x=， 8x2-16x-5=0， x=， ∵x1为一元二次方程2x2-4x=较小的根， ∴x1=， ∵5＜＜6， ∴-1＜x1＜0． 故选B． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小． 题型5：分析解答过程是否有误 【典例21】．小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： ∵，，（第一步）， ∴（第二步）， ∴（第三步）， ∴，（第四步）． 小明解答过程开始出错的步骤是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【分析】根据公式法，可得第三步为，即可解答． 【解析】解：根据公式法可得， 故第三步为， 所以第三步开始出错， 故选：C． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的解的公式是解题的关键． 【典例22】．下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第 步开始出错． 【答案】一 【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答． 【解析】解：原方程化为：， ∴． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键． 题型6：公式法解一元二次方程的代数应用 【典例23】．若是关于的一元二次方程的一个根，下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程、实数大小估算等知识，利用公式法解关于的方程是解题关键．将代入方程并整理，获得关于的方程，然后估计的大小即可． 【解析】解：将代入方程， 可得， 整理可得， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即． 故选：B． 【典例24】．已知，求代数式 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，求代数式的值；由已知消去字母a，得到关于b的一元二次方程，解之求得b的值，即可求得a的值，从而求得结果． 【解析】解：由得：，代入中，整理得， 解得：， 对应地：； 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为或； 故答案为：或． 【典例25】．已知关于方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，利用二次根式有意义的条件可得出，然后分或两种情况解方程，可得出所有符合条件的整数的值，最后求和即可． 【解析】解：∵， ∴，即， 当时，原方程为， 解得：， 当时，， ∵ ∴， ∴，， ∵方程的根都是整数，且为整数， ∴或或或， ∴或或或， 又∵， ∴可取或或， 综上所述，满足条件的整数为：或或或， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的有意义的条件，一元二次方程的解法，整除性．运用了分类讨论的解题方法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 题型7：公式法解一元二次方程的几何应用 【典例26】．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为 ． 【答案】-5或或 【分析】根据等腰三角形的定义，分a=2和a=3，分别代入方程，解之可得k值． 【解析】解：∵2，3，a分别是等腰三角形三边的长， 当a=2时，即x=2，代入， 得：， 解得：k=-5，或k=1（舍）， 当a=3时，即x=3，代入， 得：， 解得：k=，或k=， 故答案为：-5或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，解题的关键是要注意根据等腰三角形的定义进行分类讨论． 【典例27】．如图，中，，于点D，，于点B，且，作于点F，若，则的长为（    ） A．2 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰直角三角形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，先借助面积求出，，再证明即可求出结论． 【解析】解：中，，于点D，，， ，即， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， 故选：B． 题型8：新定义题 【典例28】．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如． 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且， 则 的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据降次法，求出，再解一元二次方程，求出的值，即可得出结果． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ； ∵，且， 解得：， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，解一元二次方程．理解并掌握降次法，是解题的关键． 【典例29】．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的知识，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义．根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可． 【解析】解：设、是方程的两根， 解得，， ∵原方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为9． 故答案为：9． 一、单选题 1．用求根公式解一元二次方程时，，的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案． 【解析】解：， ， 则，，， 故选：C 2．用公式法解方程，得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟记一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【解析】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．用公式法解方程时，正确代入求根公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式解一元二次方程，根据，，代入数据计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【解析】解：， ∴， ， ， ∵一元二次方程式的两解为、，且， ∴的值为． 故选：A． 5．解方程：（1）；（2）；（3），较适合的方法依次为（    ） A．直接开平方法、公式法、配方法 B．因式分解法、公式法、公式法 C．直接开平方法、因式分解法、配方法 D．直接开平方法、公式法、因式分解法 【答案】A 【分析】先观察看式子的特点，再看它是几项式，然后看符合哪个特点从而选择合适的方法：①用直接开平方法，②用公式法，③用配方法． 【解析】解：（1）较适合的方法是直接开平方法； （2）较适合的方法是公式法； （3）较适合的方法是配方法， 故选：A 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特征灵活选用适当的方法解答是解题的关键． 6．一元二次方程，其中较大的一个根为，下列最接近的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用求根公式解方程得到，，然后利用无理数的估算进行判断． 【解析】解：， ∴， 解得：，， 而， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 7．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于( ) A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】试题分析：2x2－6x＋3＝0， 这里a＝2，b＝－6，c＝3， ∵△＝36－24＝12， ∴x＝＝， 即p＝； 2x2－2x－1＝0， 这里a＝2，b＝－2，c＝－1， ∵△＝4＋8＝12， ∴x＝＝， 即q＝； 则p＋q＝＋＝2． 故选B． 点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a，b，c，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解． 8．如果实数分别满足，，则的值不可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，求出，，然后计算求解即可． 【解析】解：∵，， ∴，， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， ∴的值不可能是， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，准确识图，熟练掌握正方形的性质，并根据正方形的面积公式构造方程是解决问题的关键．设正方形B的边长为a，其中，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为，依题意得图②中大正方形的边长为，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可． 【解析】解：设正方形B的边长为a，其中， ∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1， ∴阴影部分为正方形，且边长为1， ∴图①中大正方形的边长为， 即正方形A的边长为， 又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示： ∴图②中大正方形的边长为：， ∵图②中阴影部分的面积为7， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴图②中大正方形的边长为： ∴图②中大正方形的面积为15． 故选：B． 10．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（    ） A．－1 B．－1或 C． D．1或 【答案】B 【分析】根据题意，进行分类讨论即可． 【解析】解：若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴得，不成立，舍去， ∴x的值为－1或， 故选：B． 【点睛】本题考查新定义以及一元二次方程，理解材料中的定义，准确进行分类讨论，并准确求解一元二次方程是解题关键． 二、填空题 11．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，利用公式法进行求解即可． 【解析】解：， ， ， ， ，． 12．将方程化成一般形式为 ， ，用求根公式求得 ， ． 【答案】 121 1 【分析】方程整理后，化为一般形式，求出根的判别式的值，即可求出方程的根． 【解析】化简方程，得， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于利用根的判别式进行求解. 13．的根为= ，= . 【答案】 【分析】用求根公式法求解即可. 【解析】， ∵a=2,b=-,c=-5, ∴∆=2+40=42, ∴x=, ∴=，=. 故答案为，. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法---公式法，先求出∆的值，然后根据求解即可. 14．设，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元二次方程，求代数式的值，先利用公式法解一元二次方程结合得出，求出，，计算即可得出答案． 【解析】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 15．已知x=(b2－4c>0)，则x2＋bx＋c的值为 . 【答案】0 【分析】把x的值代入代数式，再进行计算即可． 【解析】∵ ∴ 故答案为0. 【点睛】考查解一元二次方程-公式法，把的值代入是解题的关键. 16．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x= ． 【答案】﹣3± 【分析】根据题意列出方程x2+6x+3＝5，即x2+6x﹣2＝0，公式法求解可得． 【解析】根据题意，得：x2+6x+3＝5，即x2+6x﹣2＝0． ∵a＝1，b＝6，c＝﹣2，∴△＝36﹣4×1×（﹣2）＝44＞0，则x． 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17．已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，一元二次方程的求解，分别用a表示出至，然后将至代入得到关于a的方程，解出a的值即可． 【解析】解：， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 18．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若时，则方程是倍根方程． 【答案】③④/④③ 【分析】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程； ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断； ③当p，q满足，则，求出两个根，进而判断是否为倍根方程； ④用求根公式求出两个根，将变为：，代入进一步化简，得出关系式，利用“倍根方程”定义即可判定． 【解析】解：①解方程得： ，， ， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， 故②错误； ③∵， 方程变为：， 即， ∴， ∴或 ，， ， 关于x的方程是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为： ，， ， ， ，， ， 若时，则方程是倍根方程， 故④正确， 故答案为：③④． 三、解答题 19．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)原方程没有实数根 (3)， 【分析】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． （1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （3）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案． 【解析】（1）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴原方程没有实数根； （3）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴． ∴， ∴， ． 20．选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】（1）先移项，再用直接开平方法求解即可； （2）先化系数为1，再直接开平方求解即可； （3）两边直接开平方，即可求解； （4）两边直接开平方，即可求解； （5）用配方法，两边同时加上1，即可求解； （6）先将方程化为一般式，再用公式法求解即可； （7）根据平方差公式，用因式分解法求解即可； （8）用十字相乘法将方程左边因式分解，即可求解； （9）用公式法求解即可； （10）先将方程化为一般式，再用配方法求解即可； （11）先将方程化为一般式，再用十字相乘法将方程左边因式分解，即可求解； （12）根据平方差公式，用因式分解法求解即可． 【解析】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， 或， 解得：； （5）解：， ， ， ， ； （6）解：， ， ， ， ∴， 解得：； （7）解：， ， ， 或， 解得：； （8）解：， ， 或， 解得：； （9）解：， ， ， ∴， 解得： （10）解：， ， ， ； （11）解：， ， ， ， 或， 解得：； （12）解：， ， ， ， 或， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法，公式法，因式分解法． 21．课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下： 解：原方程可化为，第一步 配方，得，第二步 即，第三步 直接开平方，得，第四步 所以，．第五步 (1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你正确求解该方程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）利用配方法或公式法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【解析】（1）第二步配方时应方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即， ∴这位同学的解题过程从第二步开始出现错误； （2）配方法： 解得，． 公式法： ，，， ， ， 解得，． 22．若关于的一元二次方程的根都是整数，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数与有理根．先解出原方程可得，再由原方程的根都是整数，可设（为正整数），从而得到或，即可求解． 【解析】解： 解得：， 原方程的根都是整数， 是完全平方数， 设（为正整数）， ∴， ∵， 或， 解得：或． 经检验，或都满足条件． 即a的值为或． 23．若m，n为正实数，，t是关于x的方程的一正实根． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)用含k的代数式表示． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程： （1）根据t是关于x的方程的一正实根得到，配方即可得出结论； （2）根据，得到，即可得到，两边同时除以，将方程转化为，解方程即可； （3）同法（2）进行计算即可． 【解析】（1）证明：∵t是关于x的方程的一正实根， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍掉）； ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或（不合题意，舍掉）． 故：． 24．有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 【解析】解：当时，原方程可化为：， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解是， 25．我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积． (2)一个三角形的三边长分别为，，，，，且，求，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的应用，解一元二次方程； （1）根据题目的指示，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可； （2）根据得以得到，再根据面积可以得到，代入计算即可． 【解析】（1）解：在中，，，， ∴， ∴的面积为， （2）解：∵， ∴，即①， 又∵ ∴， 即， ∴②． ∴联立①②解得：(∵，不合题意的舍去) 26．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，． 当时，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)方程的两根分别是和，理由见详解 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想， （1）设，用m代替方程中的，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程即可 （2）根据已知方程的解，得出或，求出x的值即可． 【解析】（1）解：令， 则， ， 或， 解得或， 当时，，即， 解得，， 当时，，即， 解得， 综上，原方程的解为，， （2）一元二次方程的两根分别为，， 方程中或， 解得：或， 即方程的两根分别是和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $$