第13讲 一元二次方程的应用(二类知识点+十四大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第13讲 一元二次方程的应用（十四大题型） 学习目标 1、通过分析具体问题中的数量关系，建立方程并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 3、掌握二次三项式的因式分解. 一、二次三项式的因式分解 方法探究：如果方程有两个实数根: =、=，那么写出代数式得 因为=+=－ ·= 上面等式，从右到左就是把ax+bx+c分解因式.把二次三项式ax+bx+c(a≠0)分解因式时, 1 如果b-4ac≥0,那么先用公式法求出方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个实数根、， 再写出分解式 ②如果b-4ac<0，那么方程ax+bx+c=0(a≠0)没有实数根，ax+bx+c不能分解因式（R内）. 二、列一元二次方程解应用题的一般步骤 审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→检验→作答。 三、一元二次方程应用题的主要类型 1.平均变化率问题 　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 2.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 3.利息问题 (1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 5.形积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 【即学即练1】将分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解一元二次方程的两个实数根，然后再将二次三项式进行因式分解． 【解析】解：令， ， ， ， ， ； 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握利用一元二次方程的应用，将二次三项式在实数范围内因式分解，是解答此题的关键． 【即学即练2】如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（    ）. A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】因二次三项式在实数范围内不能分解因式，所以=0无实数根，据此求解即可. 【解析】∵二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴=0无实数根， ∴∆=9-16a<0， ∴. 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0 【即学即练3】某款新能源车在两年内价格从25万元降至16万元，如果设每年降价的百分率均为x（），则由题意可列方程： ． 【答案】 【分析】由“在两年内价格从25万元降至16万元”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】依题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【即学即练4】已知某厂七月份生产机床a台，八、九月的生产的增产率都是x，则这三个月共生产机床 台．（用含a的代数式表示结果） 【答案】 【分析】根据题意分别表示出八、九月份生产的机床，然后求和即可． 【解析】解：∵七月份生产机床a台，八、九月的生产的增产率都是x， ∴八月份生产的机床为，九月份生产的机床为， ∴这三个月共生产机床台， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查列代数式及增长率问题，理解题意列出代数式是解题关键． 【即学即练5】有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ． 【答案】23 【分析】设十位上的数为x，则个位上的数位，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建立方程求出其解就可以得出结论． 【解析】解：设原两位数的十位数字为x， 根据题意得： ∴， 解得：，（不符合题意舍去） 答：这个两位数为23， 故答案为23． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 题型1：二次三项式的因式分解 【典例1】．下列各式哪个是二次三项式的因式分解（         ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令多项式值为0，求出方程的解即可得到因式分解的结果. 【解析】解：令， 解得：， ∴， 故选B. 【点睛】本题考查了在实数范围内因式分解，令多项式值为0求出方程的解是解题关键. 【典例2】．二次三项式2x2-8x+5在实数范围内因式分解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令二次三项式等于0，求出x的值，即可得到分解因式的结果． 【解析】令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=． 故选D． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式-求根公式法．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式． 【典例3】．如果一元二次方程的两个实数根为、，则二次三项式在实数范围内的分解式是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由因式分解法可知，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1、x2，则a（x-x1）（x-x2）=0，进而分解因式即可． 【解析】解：∵一元二次方程的两个实数根为、， ∴a（x-x1）（x-x2）=0， ∴二次三项式在实数范围内的分解式是：． 故选B． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确利用方程根分解因式是解题关键. 题型2：含参数型二次三项式的因式分解 【典例4】．若方程的两个解是，那么在实数范围内分解因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解法和一元二次方程根的关系即可得出结论． 【解析】解：∵的两个解是， ∴=0 ∴在实数范围内，= 故选D． 【点睛】此题考查的是利用一元二次方程的根进行因式分解，掌握因式分解法和一元二次方程根的关系是解题关键． 【典例5】．在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把y看作已知数，求出=0的根，然后根据一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1、x2，则a（x-x1）（x-x2）=0，进而分解因式即可； 【解析】对于=0， ∆=9y2+8y2=17y2， ∴x= , ∴=. 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为(x－x1)(x－x2)＝0． 题型3：二次三项式能因式分解的条件 【典例6】．下列关于的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（       ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】这道题考查的是因式分解的知识，注意是在什么范围内进行因式分解，我们根据在实数范围内进行因式分解，判断有没有实数根就可以解决这个问题. 【解析】， =0没有实数根，不能因式分解. 所以选B. 【点睛】这道题考查的是因式分解的知识，这个知识点是我们初中数学中非常重要的知识点，在以后的学习中，我们一定要注意这个知识点的掌握与学习，为以后的学习打好基础. 【典例7】．下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有（    ）. ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】别求出对应方程∆的值，看方程是否有实数根即可． 【解析】①∵对于=0， ∆=36-36=0， ∴在实数范围内能用公式法分解因式； ②∵对于=0， ∆=16+16=32>0， ∴在实数范围内能用公式法分解因式； ③∵对于=0，不管把哪个字母看作未知数， ∆=0-4<0， ∴在实数范围内不能用公式法分解因式； ④∵对于=0，不管把哪个字母看作未知数，， ∆=0+8=8>0， ∴在实数范围内能用公式法分解因式； ⑤∵对于=0， ∆=0+28=28>0， ∴在实数范围内能用公式法分解因式； ⑥∵对于=0，不管把哪个字母看作未知数，， ∆=36-144=-108<0， ∴在实数范围内不能用公式法分解因式； 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0 【典例8】．如果二次三项式在实数范围内可以因式分解,求的取值范围. 【答案】p⩾−1且p≠0. 【分析】由二次三项式在实数范围内可以分解因式，得到根的判别式大于等于0，求出p的范围即可． 【解析】∵二次三项式px2+2x−1在实数范围内可以因式分解， ∴px2+2x−1=0有实数解， ∴△=4+4p⩾0，且p≠0， 解得：p⩾−1且p≠0. 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于利用判别式进行解答. 【典例9】．小颖初一时体重是，到初三时体重增加到，则她的体重平均每年增加的百分率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小颖的体重平均每年增加的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【解析】解：设小颖的体重平均每年增加的百分率为，根据题意得 解得（舍去） 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 题型4：增长率问题 【典例10】．随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为，利用等量关系：八月份的产量六月份的产量×（1-产量的月平均减少率，即可得出关于的一元二次方程，解方程取其合适的值即可得出结论． 【解析】解：设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为， 依题意得：， 解得： ，（不符合题意，舍去）， ∴该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【典例11】．某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）²=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182 C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）²=182 【答案】B 【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程． 【解析】解：设二、三月份平均每月的增长率为x，则二月份生产零件个，三月份生产零件个， 则得： ． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 题型5：数字型问题 【典例12】．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（    ） A．62 B．44 C．53 D．35 【答案】C 【分析】设个位数为x，则十位上的数为8-x,根据题意列出一元二次方程即可求解. 【解析】设个位数为x，则十位上的数为8-x, 由题意得[10×（8-x）+x] [10x+8-x]=1855, 解得x=3或5， 故较大的数为53，故选C. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是表示出对调前后的两位数表示. 题型6：握手问题（握手问题2个算一场） 【典例13】．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝66 B．＝66 C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66 【答案】A 【分析】利用参会人员共握手次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型7：握手问题衍生题（红包问题2个算2场，重在理解） 【典例14】．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(    ) A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】B 【解析】试题解析：设这个微信群共有x人， 依题意有x（x-1）=90， 解得：x=-9（舍去）或x=10， ∴这个微信群共有10人． 故选B. 题型8：传染问题 【典例15】．有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过72人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过（    ）人 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】设一个人传播不超过x人，第一轮的得病人数为人，第二轮传播感染人数为，两轮总人数为，建立方程求解即可． 【解析】解：设一个人传播不超过x人，则第一轮的得病人数为人，第二轮传播感染人数为， 根据题意得， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于正确理解题意，建立正确的一元二次方程． 【典例16】．某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（    ） A．8 B． C．7 D．9 【答案】A 【分析】设有支队伍，根据双循环比赛的制度规则，一共要赛场； 【解析】解：设有支队伍 由题意得： 解得：，（舍） 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练根据题意列出相应的一元二次方程是解题关键． 题型9：小路问题 【典例17】．有一个会议室的桌子，其桌面为如图所示的矩形，其中，，现在要在此桌面上铺上台布（矩形），并将四个角（阴影）减掉，然后台布向四周垂下，并且垂下的长度相同，已知所购买的台布的面积是桌面面积的3倍，若四周垂下的长度为，根据题意，列出的方程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所购买的台布的面积是桌面面积的3倍，求出桌面面积即矩形ABCD，的面积和台布面积即矩形EFGH的面积，列出等式，即可得解. 【解析】根据题意，得 桌面面积为： 台布面积为： 又由，可得 故答案为B. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出等式. 【典例18】．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，若设小道的宽度为，则由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【解析】解：设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意得：． 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【典例19】．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则设道路的宽为米，根据题意，列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设道路的宽为米，根据面积公式即可求解． 【解析】解：设道路的宽为米，依题意得， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 题型10：日历（表格）问题 【典例20】．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键． 根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数． 【解析】解：设最小数为x，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 【典例21】．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圈出的9个数可知最大数与最小数的差为16，设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，由“最大数与最小数的积为192”即可列出方程，得到答案． 【解析】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：， 设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为， 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键． 【典例22】．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为(　　) A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225 C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225 【答案】C 【分析】最大数为x，则我们只需要将最小数用x表示出来即可列出方程． 【解析】∵最大数为x， ∴最小数用x表示为：x-16， ∴列方程为：x(x﹣16)=225， 故选：C 【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程． 题型11：围栏问题 【典例23】．一农户，有27m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为90m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知该长方形花园的长为m，然后问题可求解． 【解析】解：由题意可列方程为； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【典例24】．空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（    ） A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有两种围法 C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法 【答案】A 【分析】分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案． 【解析】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为米， ∴ 当时，采用图1围法，则此时 当时， 解得： 此时都不符合题意， 采用图2围法，如图， 此时矩形菜园的宽为x米，即 则 则 所以长为米， 结合可得   ∴ 解得： 经检验不符合题意， 综上：若a＝16，S＝196，则没有围法，故A符合题意； 设矩形菜园的宽为x米，则长为米， ∴ 当时，采用图1围法，则此时 当时， 解得： 经检验符合题意； 采用图2围法，如图， 此时矩形菜园的宽为x米，即 则 则 所以长为米， 结合可得   ∴ 解得： 经检验符合题意， 综上：若a＝20，S＝198，则有两种围法，故B不符合题意； 同理可得：C不符合题意，D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键． 题型12：营销问题 【典例25】．某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这种螃蟹的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克，利用每天的销售利润每千克的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解析】设这种螃蟹的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克， 依题意得：． 故选：D 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型13：其他问题 【典例26】．近年来，网红北京迎来了无数中外游客．除了游故宫、登长城、吃烤鸭以外，稻香村的传统糕点成为了炙手可热的伴手礼．根据消费者的喜好，现推出A、B两种伴手礼礼盒，A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼：B礼盒装有1个福字饼，2个禄字饼，3个寿字饼，A、B两种礼盒每盒成本价分别为盒中福禄寿三种糕点的成本价之和．已知A种礼盒每盒的售价为96元，利润率为20%，每个禄字饼的成本价是寿字饼的成本价的3倍．国庆期间，由于客流量大，一天就卖出A、B两种礼盒共计78盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本的时候把福字饼和禄字饼的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的总成本少500元，则当日卖出礼盒的实际总成本为 元． 【答案】5740 【分析】根据题意可得A礼盒的成本价格，进而可求出1个福字饼和1个禄字饼的成本和为40元，再设一个福字饼成本x元，一个禄字饼成本（40﹣x）元，A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，列出方程得到xn＝20n+250，最后求出每日卖出礼盒的实际总成本即可． 【解析】解：设A礼盒成本价格a元，根据题意，得 96﹣a＝20%a， 解得a＝80， ∵A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼， ∴2个福字饼和2个禄字饼的成本价格为80元， ∴1个福字饼和1个禄字饼的成本价格为40元， 设个福字饼成本价x元，1个禄字饼成本价（40﹣x）元，则1个寿字饼成本价为（40﹣x）元， A种礼盒m袋，B种礼盒n袋， 根据题意，得 m+n＝78 80m+n[x+2（40﹣x）+3×（40﹣x）]+500＝80m+n[（40﹣x+2x+3×（40﹣x）] ∴xn＝20n+250 设A、B两种礼盒实际成本为w元，则有 w＝80m+xn+2n（40﹣x）+n×（40﹣x） ＝80（m+n）﹣500 ＝80×78﹣500 ＝5740． 故答案为：5740． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是求出A礼盒的成本． 【典例27】．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同． （1）求甲品牌的洗衣液的进价 元； （2）在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为 元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？ 【答案】 30 80 【分析】（1）设甲品牌洗衣液的进价为x元，乙品牌洗衣液的进价为元，根据“用元购进的甲种品牌洗衣液与用元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同”列出方程，解方程即可求出结论； （2）设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为a元，则乙种品牌的洗衣液每天可售出瓶，根据“两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到元”列出方程，解之即可求出结论． 【解析】解：（1）设甲品牌洗衣液的进价为x元，乙品牌洗衣液的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， ∴甲品牌洗衣液的进价为元，乙品牌洗衣液的进价为元， （2）设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为a元， 根据题意得：， 化简得， 解得：， 答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到元． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元二次方程． 题型14：几何问题 【典例28】．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；（2）分及两种情况，列出关于的方程． （1）利用的长的长点的运动速度运动时间，可用含的代数式表示出的长； （2）当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论． 【解析】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． 故答案为：； （2），，． 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 故答案为：． 【典例29】．现有长方形纸片，，． (1)阅读思考：如图1，沿着虚线剪掉一个宽为的小长方形，若剩余长方形面积为，直接写出的值； (2)实践探究：如图2，沿着剪掉一个，点，分别在，上，，若剩余图形面积为，求的长； (3)问题解决：如图3，沿着四周均剪掉宽为的边框，剩余图形（即实线所围）面积能否为，若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，值为1 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据所给图形的面积关系正确列出方程． （1）长方形纸片面积减去小长方形面积等于剩余长方形面积，由此列方程即可求解； （2）长方形纸片面积减去的面积等于剩余部分面积，由此列方程即可求解； （3）长方形纸片剪掉一个宽为的边框后，剩余长方形的长为，宽为，根据面积为列方程，判断方程是否有解即可． 【解析】（1）解：剩余长方形的长为，宽为， 剩余长方形面积为， ， ； （2）解：为上一点，为上一点，， 且， ， ，即， 剩余部分图形面积为， 剩余部分图形面积为， ， 或（舍去）， 即； （3）解：存在，的值为1，理由如下： 剩余长方形的长为，宽为， 剩余长方形面积为， ， 或， （由于长方形的宽为，所以不符合题意，舍去）， 即的值为1． 【典例.30】．如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)2.4秒 (2)不能，理由见解析 (3)经过秒或5秒或秒后，的面积为 【分析】（1）设经过x秒，点P和点Q间的距离是，列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． 【解析】（1）解：设经过x秒，点P和点Q间的距离是，依题意有 ， 解得：， 经检验，符合题意． 故经过2.4秒点P和点Q间的距离是； （2）解：设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意有 ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过）秒或5秒或秒后，的面积为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 一、单选题 1．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的的值，根据的符号判断即可． 【解析】解：A、，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即，正确分析的符号是解题的关键． 2．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【解析】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 3．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为（　　） A．11只 B．12只 C．13只 D．14只 【答案】B 【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：x +1 +x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可． 【解析】解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）＝169， 整理，得x2+2x﹣168＝0， 解，得x1＝12，x2＝﹣14（不符合题意舍去）． 答：设每只病鸡传染健康鸡12只． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解． 4．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　） A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0 C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0 【答案】B 【分析】先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程． 【解析】解：由题意可知：挂图的长为，宽为， ， 化简得：x2+65x﹣350＝0， 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键． 5．如果二次三项式能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出的范围即可． 【解析】解：二次三项式能在实数范围内分解因式， ， 解得：， 故选：A． 6．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（    ） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 【答案】B 【分析】球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可． 【解析】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：x（x﹣1）＝4×7． 故选：B． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程． 7．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为50（1+x）亿元，三月份工业产值为50（1+x）2亿元，根据第一季度的产值为175亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为50（1+x）亿元，三月份工业产值为50（1+x）2亿元， 依题意，得：50+50（1+x）+50（1+x）2=175． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A．x（x+1）＝1056 B．x（x﹣1）＝1056×2 C．x（x﹣1）＝1056 D．2x（x+1）＝1056 【答案】C 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． 【解析】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 9．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，根据每件利润=实际售价－成本价，销售量=原销售量+变化量，总利润=每件利润×数量，即可得出答案． 【解析】解：设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元， 则每件盈利元，每天可销售件， 根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清题意找准数量与价格变化关系是解题的关键． 10．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝ ，小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，则（   ） A．m＝2，n＝3 B．m＝ ，n＝2 C．m＝ ，n＝2 D．m＝2，n= 【答案】D 【分析】根据题意将x的方程x2+mx﹣n＝0 化为x（x+m）=n，即长方形的长为x+m，宽为x ，进而依据大正方形的面积为10，小正方形的面积为4用代数式表示出边长即可得出答案. 【解析】解：∵ 大正方形的面积为10，小正方形的面积为4， ∴关于 x的方程x2+mx﹣n＝0 可化为x（x+m）=n， ∴图中长方形的长为x+m，宽为x ， ∴图中小正方形的边长是  ， 大正方形的边长是  ， ∴  ， ∴  ， 故m=2，  ， 故答案为：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 二、填空题 11．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查在实数范围内分解因式，解题的关键是利用求根公式因式分解．时，，根据求根公式的分解方法和特点即可求解． 【解析】解：时，， ， 故答案为：． 12．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，本题令，用含y的代数式表示x，再分解因式即可． 【解析】解：令， ∴， ∴， 解得：，， ∴； 故答案为：． 13．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是 %． 【答案】10 【分析】设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2，由12月份的房价为5670元/m2，从而可得方程，再解方程可得答案． 【解析】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2，由题意，得 ∴7000（1-x）2=5670， ∴（1-x）2=0.81， ∴x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 【点睛】本题是一道一元二次方程的运用题，是有关降低的百分率问题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 14．游行队伍有8行12列，后又增加了69人，要使得队伍增加的行数和列数相同，需要增加 行． 【答案】3 【分析】设游行队伍增加的行数和列数均为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【解析】解：设游行队伍增加的行数和列数均为x， 根据题意得出： 解得：x=3或x＝﹣23（舍） ∴需增加3行，3列 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确解读题意设未知数，并列出正确的一元二次方程． 15．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 【答案】12 【分析】设平均一人传染了x人，一轮传染后有（x+1）人，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解． 【解析】解：设平均一人传染了x人，得： x＋1＋(x＋1)x＝169 解得x＝12或x＝－14（舍去）． 故平均一人传染12人． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，考查了理解题意的能力，题目关键是看到两轮传染． 16．将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为 元． 【答案】60或80 【分析】设商品售价应为x元，由题意可得，进而求解即可． 【解析】解：设商品售价应为x元，由题意可得： ， 解得：， ∴当商品售价为60元或80元时，赚得8000元的利润； 故答案为60或80． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 17．如图，有一块长，宽的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，则这个盒子的容积为 ． 【答案】192 【分析】根据题意，可设截去的四个相同的小正方形边长为，则可表示出该无盖盒子底面的长和宽，从而列出一元二次方程并求解得到的值，进而得出该无盖盒子的高，即可得出其容积． 【解析】解：设截去的四个相同的小正方形边长为， 则无盖盒子的底面长为，宽为， 由题意：， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴小正方形边长为2， 则该无盖盒子的高为2， ∴其容积为：， 故答案为：192． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系并建立方程是解题关键． 18．如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当 s时，的面积为． 【答案】或 【分析】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算． 【解析】解：∵在等腰中，，， ∴，，． ∵于点． ∴设当时间为秒时，的面积为． 当时，，， ，即， 解得：或（舍去）． 当时，，， ，即， 解得：或（舍去）． 综上所述：当或秒时，的面积为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论． 三、解答题 19．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求出x的值，然后进行因式分解； （2）令，求出y的值，然后进行因式分解． 【解析】（1）令，解得：，， 即该式可分解为； （2）令，解得：，， 即该式可分解为． 【点睛】考查二次项系数为1的二次三项式的因式分解，即为． 20．在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，得，解出，，即可分解因式； （2）令，其中y看作常数，解出，，即可分解因式； （3）令，得，解出，，即可分解因式． 【解析】（1）令，则有方程为， 解得：，， ∴= ∴； （2）令， 解得：，， ∴=； （3）令，则有方程为， 解得：，，    ∴= ∴=． 【点睛】本题考查了因式分解，运用分解因式中整体思想，换元灵活变化应用是解题的关键． 21．二次三项式，当a取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)能分解成两个相同的因式； (3)不能因式分解． 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）首先得到，然后令，表示出判别式，根据题意得，即可求出a的取值范围； （2）根据题意可得，求解即可； （3）根据题意可得，求解即可． 【解析】（1）原式是二次三项是，可知二次项系数，得：， 令， 得， 原式可分解因式，则有， 得：且； （2）原式可分解为两个相同的式子，则有，得：； （3）原式不能分解因式，则有，得：． 【点睛】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间的区别和联系． 22．列方程解应用题：口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2021年1月份某厂家口罩产量为80万只，2月份比1月份增加了25%，4月份口罩产量为196万只． (1)该厂家2月份的口罩产量为______万只； (2)该厂家2月份到4月份口罩产量的月平均增长率是多少？ 【答案】(1)100 (2)40% 【分析】（1）用1月份的产量乘以(1+25%)即可求解； （2）设月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【解析】（1）2月份的产量为：80×(1+25%)=100（万只）， 故答案为：100； （2）设月平均增长率为x， 根据题意有：100×(1+x)2=196， 解得：x=40%，（负值舍去）， 故2月份到4月份的平均增长率为40%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 23．2020年1月份以来，新型冠状病毒肺炎在我国蔓延，假如有一人感染新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有64人患病． （1）求每轮传染中平均每个人传染了几个健康的人； （2）如果不及时控制，第三轮传染将又有多少个健康的人患病？ 【答案】（1）每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人；（2）第三轮传染将又有448个健康的人患病． 【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有64人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）利用经过两轮传染后的人数乘以每轮平均传染人数，即可求出结论． 【解析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个健康的人． 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人． （2）（个）． 答：第三轮传染将又有448个健康的人患病． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【解析】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 25．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为米． (1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长是多少米？ (2)能围成面积为平方米的花圃吗？若能，求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)7米 (2)不能，理由见解析 【分析】(1)首先根据题意列出不等式组，可求得x的取值范围，再根据各边长度间的关系可得出米，再利用矩形的面积计算公式及围成花圃的面积为平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之并取其符合题意的值，即可得出结论； (2)首先根据围成花圃的面积为平方米，即可得出关于x的一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式，即可判定能否围成面积为平方米的花圃． 【解析】（1）解：米 米， ， 根据题意得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长是7米； （2）解：不能围成面积为平方米的花圃； 理由如下： 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程没有实数根， 故不能围成面积为平方米的花圃． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，灵活运用一元二次方程根的判别式． 26．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少? （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间? （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间? 【答案】（1）28cm；（2）3s；（3）7s 【分析】（1）将t=4代入公式计算即可； （2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程，求解即可； （3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到，解方程即可得到答案. 【解析】解：（1）当 t=4s 时，cm. 答：甲运动 4s 后的路程是 ． （2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ， 乙走过的路程为 ，则. 解得 或 （不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s． （3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ， 则 解得 或 （不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键. 27．某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． (1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 【答案】(1)1米； (2)①；②． 【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可； （2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可． 【解析】（1）解：设小道进出口的宽度为米， 依题意得． 整理，得． 解得，，． （不合题意，舍去）， ； 答：小道进出口的宽度应为1米； （2）解：①剩余的种植花草区域的面积为： ②由，得： ， 解得：（舍去）． 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根． 28．现有长方形纸片，，． (1)阅读思考：如图1，沿着虚线剪掉一个宽为的小长方形，若剩余长方形面积为，直接写出的值； (2)实践探究：如图2，沿着剪掉一个，点，分别在，上，，若剩余图形面积为，求的长； (3)问题解决：如图3，沿着四周均剪掉宽为的边框，剩余图形（即实线所围）面积能否为，若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，值为1 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据所给图形的面积关系正确列出方程． （1）长方形纸片面积减去小长方形面积等于剩余长方形面积，由此列方程即可求解； （2）长方形纸片面积减去的面积等于剩余部分面积，由此列方程即可求解； （3）长方形纸片剪掉一个宽为的边框后，剩余长方形的长为，宽为，根据面积为列方程，判断方程是否有解即可． 【解析】（1）解：剩余长方形的长为，宽为， 剩余长方形面积为， ， ； （2）解：为上一点，为上一点，， 且， ， ，即， 剩余部分图形面积为， 剩余部分图形面积为， ， 或（舍去）， 即； （3）解：存在，的值为1，理由如下： 剩余长方形的长为，宽为， 剩余长方形面积为， ， 或， （由于长方形的宽为，所以不符合题意，舍去）， 即的值为1． 29．根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出25件，每件盈利40元． 每天可售出40件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量_______（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量_______（用含的代数式表示）． 任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元． 【答案】任务1：；； 任务2：甲店每天的盈利为1225元；乙店每天的盈利为1248元； 任务3：每件衬衫下降10元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：由每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件，即可得出结论； 任务2：由盈利＝每件盈利×销售量，分别列式计算即可； 任务3：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2550元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解析】解：任务1： 每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 甲店每件衬衫降价元，每天销售量为：， 乙店每件衬衫降价元，每天销售量为：， 任务2：当时，甲店每天的销售量为：， 甲店每天的盈利为：（元）； 当时，乙店每天的销售量为：， 乙店每天的盈利为：（元）； 任务3：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2550元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 由于当时，增加的销量为不为整数，故舍去． 所以每件衬衫下降10元时，两家分店一天的盈利和为2550元． 答：每件衬衫下降10元时，两家分店一天的盈利和为2550元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 一元二次方程的应用（十四大题型） 学习目标 1、通过分析具体问题中的数量关系，建立方程并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 3、掌握二次三项式的因式分解. 一、二次三项式的因式分解 方法探究：如果方程有两个实数根: =、=，那么写出代数式得 因为=+=－ ·= 上面等式，从右到左就是把ax+bx+c分解因式.把二次三项式ax+bx+c(a≠0)分解因式时, 1 如果b-4ac≥0,那么先用公式法求出方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个实数根、， 再写出分解式 ②如果b-4ac<0，那么方程ax+bx+c=0(a≠0)没有实数根，ax+bx+c不能分解因式（R内）. 二、列一元二次方程解应用题的一般步骤 审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→检验→作答。 三、一元二次方程应用题的主要类型 1.平均变化率问题 　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 2.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 3.利息问题 (1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 5.形积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 【即学即练1】将分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（    ）. A．或 B． C． D．且 【即学即练3】某款新能源车在两年内价格从25万元降至16万元，如果设每年降价的百分率均为x（），则由题意可列方程： ． 【即学即练4】已知某厂七月份生产机床a台，八、九月的生产的增产率都是x，则这三个月共生产机床 台．（用含a的代数式表示结果） 【即学即练5】有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ． 题型1：二次三项式的因式分解 【典例1】．下列各式哪个是二次三项式的因式分解（         ） A． B． C． D． 【典例2】．二次三项式2x2-8x+5在实数范围内因式分解为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．如果一元二次方程的两个实数根为、，则二次三项式在实数范围内的分解式是（    ）. A． B． C． D． 题型2：含参数型二次三项式的因式分解 【典例4】．若方程的两个解是，那么在实数范围内分解因式是（    ） A． B． C． D． 【典例5】．在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ）. A． B． C． D． 题型3：二次三项式能因式分解的条件 【典例6】．下列关于的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（       ） A．； B．； C．； D．． 【典例7】．下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有（    ）. ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【典例8】．如果二次三项式在实数范围内可以因式分解,求的取值范围. 【典例9】．小颖初一时体重是，到初三时体重增加到，则她的体重平均每年增加的百分率为（    ） A． B． C． D． 题型4：增长率问题 【典例10】．随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（    ） A． B． C． D． 【典例11】．某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）²=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182 C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）²=182 题型5：数字型问题 【典例12】．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（    ） A．62 B．44 C．53 D．35 题型6：握手问题（握手问题2个算一场） 【典例13】．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝66 B．＝66 C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66 题型7：握手问题衍生题（红包问题2个算2场，重在理解） 【典例14】．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(     ) A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 题型8：传染问题 【典例15】．有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过72人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过（    ）人 A．4 B．5 C．6 D．7 【典例16】．某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（    ） A．8 B． C．7 D．9 题型9：小路问题 【典例17】．有一个会议室的桌子，其桌面为如图所示的矩形，其中，，现在要在此桌面上铺上台布（矩形），并将四个角（阴影）减掉，然后台布向四周垂下，并且垂下的长度相同，已知所购买的台布的面积是桌面面积的3倍，若四周垂下的长度为，根据题意，列出的方程是（    ）    A． B． C． D． 【典例18】．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，若设小道的宽度为，则由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【典例19】．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则设道路的宽为米，根据题意，列方程（    ） A． B． C． D． 题型10：日历（表格）问题 【典例20】．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【典例21】．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 【典例22】．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为(　　) A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225 C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225 题型11：围栏问题 【典例23】．一农户，有27m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为90m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【典例24】．空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（    ） A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有两种围法 C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法 题型12：营销问题 【典例25】．某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型13：其他问题 【典例26】．近年来，网红北京迎来了无数中外游客．除了游故宫、登长城、吃烤鸭以外，稻香村的传统糕点成为了炙手可热的伴手礼．根据消费者的喜好，现推出A、B两种伴手礼礼盒，A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼：B礼盒装有1个福字饼，2个禄字饼，3个寿字饼，A、B两种礼盒每盒成本价分别为盒中福禄寿三种糕点的成本价之和．已知A种礼盒每盒的售价为96元，利润率为20%，每个禄字饼的成本价是寿字饼的成本价的3倍．国庆期间，由于客流量大，一天就卖出A、B两种礼盒共计78盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本的时候把福字饼和禄字饼的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的总成本少500元，则当日卖出礼盒的实际总成本为 元． 【典例27】．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同． （1）求甲品牌的洗衣液的进价 元； （2）在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为 元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？ 题型14：几何问题 【典例28】．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【典例29】．现有长方形纸片，，． (1)阅读思考：如图1，沿着虚线剪掉一个宽为的小长方形，若剩余长方形面积为，直接写出的值； (2)实践探究：如图2，沿着剪掉一个，点，分别在，上，，若剩余图形面积为，求的长； (3)问题解决：如图3，沿着四周均剪掉宽为的边框，剩余图形（即实线所围）面积能否为，若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【典例30】．如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 一、单选题 1．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为（　　） A．11只 B．12只 C．13只 D．14只 4．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　） A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0 C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0 5．如果二次三项式能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（    ） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 7．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A．x（x+1）＝1056 B．x（x﹣1）＝1056×2 C．x（x﹣1）＝1056 D．2x（x+1）＝1056 9．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 10．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝ ，小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，则（   ） A．m＝2，n＝3 B．m＝ ，n＝2 C．m＝ ，n＝2 D．m＝2，n= 二、填空题 11．在实数范围内分解因式： ． 12．在实数范围内分解因式： ． 13．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是 %． 14．游行队伍有8行12列，后又增加了69人，要使得队伍增加的行数和列数相同，需要增加 行． 15．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 16．将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为 元． 17．如图，有一块长，宽的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，则这个盒子的容积为 ． 18．如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当 s时，的面积为． 三、解答题 19．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 20．在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 21．二次三项式，当a取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)能分解成两个相同的因式； (3)不能因式分解． 22．列方程解应用题：口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2021年1月份某厂家口罩产量为80万只，2月份比1月份增加了25%，4月份口罩产量为196万只． (1)该厂家2月份的口罩产量为______万只； (2)该厂家2月份到4月份口罩产量的月平均增长率是多少？ 23．2020年1月份以来，新型冠状病毒肺炎在我国蔓延，假如有一人感染新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有64人患病． （1）求每轮传染中平均每个人传染了几个健康的人； （2）如果不及时控制，第三轮传染将又有多少个健康的人患病？ 24．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 25．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为米． (1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长是多少米？ (2)能围成面积为平方米的花圃吗？若能，求出的长，若不能，请说明理由． 26．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少? （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间? （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间? 27．某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． (1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 28．现有长方形纸片，，． (1)阅读思考：如图1，沿着虚线剪掉一个宽为的小长方形，若剩余长方形面积为，直接写出的值； (2)实践探究：如图2，沿着剪掉一个，点，分别在，上，，若剩余图形面积为，求的长； (3)问题解决：如图3，沿着四周均剪掉宽为的边框，剩余图形（即实线所围）面积能否为，若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 29．根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出25件，每件盈利40元． 每天可售出40件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量_______（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量_______（用含的代数式表示）． 任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$