14.1 整式乘法及应用 培优训练2024-2025学年人教版八年级数学上册

14.1 整式乘法及应用 一、课标导航 课标内容 课标要求 目标层次 幂的运算 了解正整数指数幂的意义和基本性质 ★ 能用幂的性质解决简单问题 ★★ 整式的乘法 理解整式乘法的运算法则，会进行简单的整式乘法运算 ★ 会进行简单的整式乘法与加减法的混合运算 ★★ 能选用适当的方法进行相应的代数式变形 ★★★ 平方差公式、完全平方公式 理解平方差公式、完全平方公式，了解其几何背景 ★ 能用平方差公式、完全平方公式进行简单运算 ★★ 能根据需要，运用公式进行相应的代数式变形 二、核心纲要 1.幂的运算性质 (1)同底数幂的乘法 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加.即 ,n都是正整数). 注：①此性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，如：( ②此性质可以逆用，即 ③当幂的指数为1时，可省略不写，但是不能认为没有，如： (2)幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘.即： (m,n都是正整数). 注：此性质可以逆用，即：( (3)积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.即： (n是正整数). 注：①此性质可推广到多个因数的积的乘方，即：( ②此性质可以逆用： 2.整式乘法法则 (1)单项式与单项式相乘系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.如 注：①此法则适合多个单项式相乘； ②用法则解题时，可分三步计算： 第一步：将系数相乘；第二步：将相同字母相乘；第三步：将单独的单项式写在积中. (2)单项式与多项式相乘 单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加， 即:m(a+b+c)= ma+ mb+ mc,其中m为单项式,( 为多项式. (3)多项式与多项式相乘 将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，即：(m+n)(a+b)= ma+ mb+ na+ nb. 注：①不要漏乘；②注意符号. 3.乘法公式 ①平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差， 即 ②完全平方公式：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，即( ²(首平方，尾平方，2倍首尾放中央)； ③三项完全平方公式： ④二次三项式：( ⑥立方和公式： ⑦立方差公式： 本节重点讲解：三个性质，三个法则，七个公式. 三、全能突破 基础演练 1.下列各式中，计算正确的是( ). 2.(1)计算( (2)m 为整数,则( 与 的结果是( ). A.相等 B.互为相反数 C.不相等 D.以上说法都不对 3.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如，根据图14-1-1(a)，我们可以得到两数和的平方公式： 你根据图 14-1-1(b)能得到的数学公式是( ) 4.计算 5.计算: 6.(1)已知 求 n的值. (2)已知 求 的值. 能力提升 7.若 则x--y等于( ). A. -5 B. -3 C. -1 D.1 8.一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm²，则这个正方形的边长为( ). A.6cm B.5cm C.8cm D.7cm 9.若M，N分别是关于x的二次多项式与三次多项式，则MN( ). A.一定是五次多项式 B.一定是六次多项式 C.一定是二次或三次多项式 D.无法确定次数 10.两个连续奇数的平方差是( ). A.6的倍数 B.8的倍数 C.12的倍数 D.16的倍数 11.已知 那么代数式 的值是( ). A.4 B.3 C.2 D.1 12.(1)若((x-3)(x+4)=x²+px+q,，那么 p、q的值分别是 . (2)若 则 (3)如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为 . 13.(1)已知x--y=4, xy=12,)则 的值为 (2)已知实数a、b满足( 则 (3)已知(2022-x)(2023-x)=2013,求( 14.(1)已知 ,则(a-3)(a+2)的值是 . (2)若 那么y-x= . 15.已知(a-1 -b⁴, (1)猜想,当n为正整数时,(a-b)( )=a"-b"; (2)判断 的个位数字. 16.计算: 17.(1)若 求 的值. (2)已知 求( 的值. 18.多项式 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式是什么? 19.若 试比较a、b、c、d的大小. 20.(1)先化简,再求值:(3x+2)(3x-2)-5x(x--1)-(2x--1)²,其中 (2)先化简，再求值. 其中 21.如图14-1-2所示,某市有一块长为(3a+b)米,宽为( 米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米? 并求出当 时的绿化面积. 22.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图14-1-3所示)，此图揭示了(a+b)"(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律. 例如： 它只有一项，系数为1； 它有两项，系数分别为1，1，系数和为 2； ，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4 它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题： 展开式共有 项，系数分别为 ； (2)(a+b)"展开式共有 项,系数和为 . 展开结果为 . (4)利用上面的规律计算： 23.若 则 m的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.5 24.下列运算正确的是( ). 25.新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”，“字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些旧知识的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识. (1)多项式乘以多项式的法则，是第几类知识? (2)在多项式乘以多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些? (写出三条即可) (3)请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则是如何获得的?(用(a+b)(c+d)来说明) 巅峰突破 26.已知x是无理数,(x+1)(x+3)是有理数,则①x² 是有理数;②(x--1)(x--3)是无理数; 是有理数；( 是无理数，这4 个结论中正确的有( ). A.0个 B.1个 C.2 个 D.3 27.计算(( 1的值，并求出其个位数字. 28.设( 求:(1) abc的值. 的值. 基础演练 1. C; 2.(1)C;(2)A; 3. B 4.①a⁴;②b¹²;③8a³b³;④-6x⁵y³;⑤a¹⁸ 5.(1)-a¹⁴;(2)5a¹²b⁸ 6.(1)n=2;(2 能力提升 7. B; 8. D; 9. A; 10. B 11. B12.(1)p=1,q=-12;(2)4;(3)-3 13.(1)40;(2)7;(3)4027 14.(1)-11 1 16个位数字是1，2¹⁶的个位数字是6，所以原式的个位数字是5. 16.(1)0; ;(7)24690;(8)8 17.(1)原式 ( , 解得:x=3,∴原式=-9 18.±6x,-1,-9x² ₄x ∴a=(2⁵)111,b=(3⁴)111,c=(4³)111,d=(5²)111, ∴a=32¹¹¹,b=81¹¹¹,c=64¹¹¹,d=25¹¹¹. ∵81>64>32>25, ∴81111>64111>32111>25111,∴b>c>a>d. 20.(1)原式=9x-5,其值为-8. (2)原式 当 时,原式=2.5 (平方米) 当a=3,b=2时,绿化面积为63平方米. 22.(1)5;1,4,6,4,1;(2)n+1;2";(3)a⁵+5a⁴b+10a³b² (4)原式=2⁵+5×2⁴×(-1)+10×2³×(-1)²+10× 中考链接 23. A;24. D 25.(1)因为不是初始性的，所以是第二类知识. (2)单项式乘以单项式，单项式乘以多项式(分配律).字母表示数，数可以表示线段的长或图形的面积，等等. (3)用数来说明:(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d= ac+ bc+ ad+ db. 用形来说明，如下图所示，边长为a+b和c+d的矩形，分割前后的面积相等. 即(a+b)(c+d)= ac+ bc+ ad+ db.d| ad bd ac bc a bC| 巅峰突破 26. B; 27.原式=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)…(2³²+1)+1 —— =…… =(2³²-1)(2³²+1)+1 =264 其个位数字为6. 解得： ab+ bc+ ac=11. 学科网（北京）股份有限公司 $$