12.3角平分线的性质及应用 培优训练2024-2025学年人教版八年级数学上册

12.3角平分线的性质及应用 一、课标导航 课标内容 课标要求 目标层次 角平分线的性质 掌握角平分线的性质,理解三角形的三条角平分线的性质 掌握角平分线的判定及角平分线的画法 熟练运用角的平分线的性质解决问题 二、核心纲要 1.角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 如下左图所示:∵OC平分. 注:考查点到线的距离相等时,可以考虑角平分线的性质. 2.角平分线的判定定理 到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 如下中图所示:∵CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,∴OC平分 注:用来证明一条线是一个角的平分线. 3.角平分线的画法 如下右图所示,已知: 求作: 的平分线. 作法:(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA 于点M,交OB 于点 N. (2)分别以M、N为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧在∠ 的内部交于点C. (3)作射线OC.∴射线OC 即为所求. 4.三角形的角平分线 三角形的三个内角的角平分线交于一点,且到三边的距离相等. 5.与角平分线有关的辅助线模型 (1)在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.(点垂线,垂两边,线等全等都出现) 如下左图所示,过点C作CD⊥OA,CE⊥OB,则CD=CE, OCD≌ OCE. (2)在角两边截取相等的线段,构造全等三角形.(角分线,分两边,对称全等要记全) 如下中图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE,连接CD、CE,则. (3)角平分线+垂线,全等必出现. 如下右图所示:延长 DC交OB 于点E,则 本节重点讲解:两个定理,两个作法(角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线). 三、全能突破 基础演练 1.如图12-3-1所示,OA 是∠BAC的平分线,OM⊥AC 于点M,ON⊥AB 于点 N,若 ON=8cm,则OM长为( ). A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm 2.如图12-3-2 所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A、B.下列结论中不一定成立的是( ). A. PA=PB B. PO平分∠APB C. OA=OB D. AB垂直平分OP 3.如图12-3-3所示,AD是 ABC的角平分线,且AB:AC=3: 2,则 ABD与 ACD 的面积之比为( ). A.3:2 B.9:4 C.2:3 D.4:9 4.如图12-3-4 所示,在Rt ABC中,∠C=90 ,BD是∠ABC 的平分线,交 AC于点D,若CD=n,AB=m,则 ABD的面积是 . 5.如图12-3-5 所示,BD 是∠ABC的平分线,AB=CB,点 P 在BD 的延长线上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是点 M、N,求证:PM=PN. 6.已知,如图12-3-6 所示,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,DF⊥BC,BD 平分∠ABC. (1)求证:∠BAD+∠BCD=180 . (2)若DF=3,BF=6,求四边形ABCD的面积. 7.如图12-3-7 所示,D、E、F分别是 ABC的三边上的点,( 和 DBF的面积相等,求证:AD 平分∠BAC. 能力提升 8.如图12-3-8所示,∠AOB和一条定长线段a,在∠AOB内找一点P,使点P到OA、OB 的距离都等于a,作法如下:(1)作OB的垂线NH,使NH=a,点H为垂足;(2)过点N作NM∥OB;(3)作∠AOB的平分线OP,与 NM交于点P;(4)点 P 即为所求.其中(3)的依据是( ). A.平行线之间的距离处处相等 B.到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D.到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 9.如图 12-3-9 所示,在 ABC 中,P、Q分别是 BC、AC 上的点,作 PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R、S.若AQ=PQ,PR=PS,QD⊥AP,下列结论:①AS=AR;②AP平分∠BAC;③ BRP≌ CSP;④PQ∥AR.其中正确的是( ). A.①③ B.②③ C.①②④ D.①②③④ 10.如图12-3-10所示,直线 l₁,l₂,l₃ 表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )处. A.1 B.2 C.3 D.4 11.如图12-3-11所示,在 ABC中,AC=BC,∠ACB=90 ,AD平分∠BAC,BE⊥AD交AC 的延长线于F,E为垂足.则结论:①AD=BF;②CF=CD;③AC+CD=AB;④BE=CF;⑤BF=2BE,其中正确结论的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 12.如图12-3-12所示,已知AB∥CD,∠CAB、∠ACD 的平分线交于点O,OE⊥AC,且OE=2,则两平行线AB、CD 间的距离等于 . 13.(1)如图12-3-13 所示, ABC 的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,三条角平分线将 ABC 分为三个三角形,则S ABO : S BCO : S CAO等于 . (2)如图12-3-14所示,已知 ABC的周长是18cm,OB、OC 分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC 于点D,若 ABC的面积为 45cm ,则OD= . 14.如图12-3-15 所示,∠B=∠C=90 ,M是BC 的中点,AM平分∠DAB,求证:DM平分∠ADC. 15.如图12-3-16 所示,在河中有座水文观测台O,它到河岸以及河上大桥AB的距离相等,一水文数据记录员站在台上,发现桥上有辆漂亮的彩车,从桥头 A 走到桥头B,问记录员的视线转过多大角度? 16.如图12-3-17 所示,在 ABC 中,PB、PC分别是 ABC的外角的平分线,求证:∠1=∠2. 17.已知:如图12-3-18所示,在 ABC和 DCE中,BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE,B、C、E三点在一条直线上,A、B、C、D、E、F、G、O为“公交停靠点”,甲公共汽车从 A 站出发,按照A、F、G、E、C、F的顺序达到F站,乙公共汽车从 B站出发,按照B、O、F、D、G、C、F的顺序达到F 站, (1)如果甲、乙两公共汽车分别从A、B站出发,在各站耽误的时间相同,两车的速度也相同,试问那一辆公共汽车先到达指定站点? 为什么? (2)求证:①∠AFB=∠DCE;②CF平分∠BFE. 18.如图12-3-19所示,在 ABC中,BD是∠ABC的平分线,AD⊥BD,垂足为点D, (1)求证:∠2=∠1+∠C; (2)若ED∥BC,∠ABD=28 ,求∠ADE的度数. 19.如图12-3-20所示,在 ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD 上任意一点.求证:AB-AC>PB-PC. 20.如图12-3-21所示,在 ABC中,AD是∠BAC的外角平分线,P是AD上异于点 A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由. 21.如图12-3-22所示,OP 平分∠MON,PA⊥ON 于点A,点 Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则 PQ的最小值为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 22.八(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图12-3-23所示). 设计了如下方案: ( )∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点 P 介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即 PM=PN,过角尺顶点 P 的射线OP 就是∠AOB的平分线. ( )∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P 介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点 P 的射线OP 就是∠AOB的平分线. (1)方案( )、方案( )是否可行? 若可行,请证明;若不可行,请说明理由. (2)在方案( )PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使 PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行? 请说明理由. 巅峰突破 23.如图12-3-24 所示,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,∠CAB=60 ,∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点,则∠AEB=( ). A.50 B.45 C.40 D.35 24. 如图12-3-25 所示,在 ABC中,AC=BC,∠ACB=90 ,D是AC上一点,且AE垂直BD 的延长线于E, 求证:BD是∠ABC的平分线. 1. D; 2. D; 3. A; 4 ₂m 5.∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠1=∠2. 证明 ABD≌ CBD.∴∠BDA=∠BDC.∴∠3=∠4. ∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN. 6.(1)过点 D 作DE⊥AB,垂足为 E. ∵BD平分∠ABC,DF⊥BC, ∴DE=DF. 证明Rt ADE≌Rt CDF.∴∠BCD=∠EAD. ∵∠BAD+∠EAD=180 , ∴∠BAD+∠BCD=180 . (2)由(1)可知,Rt ADE≌Rt CDF,DE=DF.易证:Rt BDE≌Rt BDF. 2S BDF. ∵DF=3,BF=6, 7.过点 D分别作 DG⊥AB,DH⊥AC,垂足为G、H. ∵ DCE 和 DBF的面积相等, ∵CE=BF,∴DG=DH. ∴点 D在∠BAC的平分线上. ∴AD平分∠BAC. 能力提升 8. C;9. C;10. D;11. D;12.4;13.(1)2:3:4;(2)5cm 14.过点 M作ME⊥AD于点E, ∵∠B=∠C=90 ,∴MB⊥AB,MC⊥CD. ∵AM平分∠DAB,ME⊥AD,MB⊥AB, ∴EM=BM. ∵M是BC 的中点,∴CM=BM.∴CM=EM. ∵MC⊥CD,ME⊥AD,∴DM平分∠ADC. 15.如下图所示,连接OA、OB,过点O作OG⊥AB, OF⊥BD,OE⊥AC, 由题意得:OE=OG=OF. ∴AO平分∠CAG,BO平分∠ABD. ∵AC//DB.∴∠CAB+∠DBA=180 . ∵∠AOB+∠OBA+∠OAB=180 , ∴记录员的视线转过的角度为90 . 16.过点 P 作 PE⊥AB于点 E,PG⊥AC 于点G,PF⊥BC于点 F. ∵点 P 在∠EBC的平分线上,PE⊥AB,PF⊥BC, ∴PE=PF.同理可证:PF=PG.∴PG=PE, 又∵PE⊥AB,PG⊥AC, ∴PA是∠BAC的平分线.∴∠1=∠2. 17.(1)甲、乙两公共汽车同时到达指定站点. ∵∠ACB=∠DCE,∴∠BCD=∠ACE. 证明 BCD≌ ACE.∴AE=BD. ∵甲走的路程为:AF+FG+GE+EC+CF=AE+EC+CF,乙走的路程为: BO+OF+FD+DG+GC+CF=BD+DC+CF, ∴AE+EC+CF=BD+DC+CF. ∴两辆公共汽车同时到达指定站. (2)①∵ BCD≌ ACE,∴∠CBD=∠CAE. ∵∠CAE+∠AOF+∠AFO=∠CBD+∠BCO+∠BOC=180 ,∠BOC=∠AOD, ∴∠AFO=∠ACB. ∵∠ACB=∠DCE,∴∠AFB=∠DCE. ②如下图所示,过点 C作CM⊥BD,CH⊥AE, ∵ BCD≌ ACE,∴S BCD=S ACE. ∵AE=BD,∴CM=CH. ∵CM⊥BD,CH⊥AE,∴CF平分∠BFE. 18.(1)证明:延长 AD 交BC 于点F, ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠FBD. ∵AD⊥BD,∴∠ADB=∠FDB=90 . 证明 ABD≌ FBD.∴∠2=∠DFB. 又∵∠DFB=∠1+∠C.∴∠2=∠1+∠C. (2)由(1)可知: ABD≌ FBD, ∴∠2=∠AFB. ∵∠ABD=28 ,∠ADB=90 , ∴∠AFB=62 .∴∠AFC=118 . ∵ED∥BC,∴∠ADE=∠AFC=118 . 19.如下图所示,在AB上截取AN=AC,连接PN,证明 APN≌ APC.∴PN=PC. ∵在 BPN中,BN>PB-PN.. ∵AB-AN=BN,∴AB-AC>PB-PC. 20. PB+PC>AB+AC. 证明:如下图所示,延长 BA 至点 E,使 AE=AC,连接PE, ∵AD是∠BAC的外角平分线, ∴∠EAP=∠CAP. 证明 EAP≌ CAP.∴EP=CP. 在 PBE中,PB+PE>BE. ∵BE=AB+AE,AE=AC,∴PB+PC>AB+AC. 中考链接 21. B 22.(1)方案( )不可行.缺少证明三角形全等的条件. 方案( )可行,证明略. (2)当∠AOB是直角时,此方案可行. ∵四边形内角和为 360 ,又若 PM⊥OA,PN⊥OB,∠OMP=∠ONP=90 ,∠MPN=90 , ∴∠AOB=90 . ∵PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN, ∴OP为∠AOB的平分线. 当∠AOB不为直角时,此方案不可行. 巅峰突破 23. B 【提示】如下图所示,过点 E作ED⊥BC,EH⊥AB,EF⊥AC, ∵BE、CE是角平分线, ∴ED=EH,ED=EF.∴EH=EF. ∵EH⊥AB,EF⊥AC, ∴AE 是∠BAF的角平分线. ∵∠CAB=60 ,∴∠CBA=30 ,∠BAE=60 . ∴∠ABE=75 .∴∠AEB=45 . 24.如下图所示,延长AE和BC 相交于点F, ∵∠ACB=90 ,∴∠CBD+∠CDB=90 . ∵BE⊥AE,∴∠AEB=90 . ∴∠EAD+∠ADE=90 . ∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC. ∵∠ADE=∠BDC,∴∠EAD=∠CBD. 先证:Rt ACF≌Rt BCD.∴AF=BD. 再证:Rt BEA≌Rt BEF.∴∠ABE=∠FBE. 即 BD是∠ABC的平分线. 学科网(北京)股份有限公司 $$