专题04 勾股定理解答压轴动点问题专项训练（共30道）-2024-2025学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题04 勾股定理解答压轴动点问题专项训练（共30道） 1．如图1，在中，，，，点为的中点，连接    (1)求的长； (2)如图2，点为线段延长线上的一个动点，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，连接． ①当时，求的长； ②在动点运动的过程中，的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）延长至点，使得，证明勾股定理求得，即可求解； （2）①过点作于点，勾股定理求得，，设，则，在中，，建立方程，解方程，即可求解． ②以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，过点分别作轴的垂线段，垂足分别为，则，证明，设点的坐标为， 则，，则，，，勾股定理表示出，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，延长至点，使得，    ∵点为的中点，则， 又∵， ∴ ∴， ∴ 在中， ∴， （2）解：①如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， 在中，， ∵，设，则， 在中， ∴ 解得： 即； ② 如图所示，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    过点分别作轴的垂线段，垂足分别为，则 ∵等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴， 设点的坐标为， 由（2）可得，，则，， ∴， ∵，则， ∵，则 ∴ 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．阅读材料：如图1，如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． (1)若直角三角形两直角边长分别为3和4，则斜边长为 ； (2)如图2，中，，设AC长为x，BC长为y，，中，，． ①请用含有x，y的代数式表示的面积 ； ②四边形CADB的面积是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)①；②四边形CADB的面积为定值，为16 【分析】（1）直接根据勾股定理，即可求解； （2）①根据勾股定理可得，，可得，再由，即可求解；②根据，即可求解． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得：斜边长为； 故答案为：5 （2）解：①∵ ， ∴， ∵∠D=90°， ∴， ∵AD=BD， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ②四边形CADB的面积为为定值，理由如下： =16 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，明确题意，理解勾股定理是解题的关键． 3．如图1，在等边中，线段为边上的高线．动点在线段（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连结． (1)判断与是否相等，请说明理由； (2)如图2，若两点在直线上且满足，试求的长． (3)在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值，若是，请画出图形并求出的长；若不是，请简单说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的长是定值，为16，图见解析，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）过点C作于点，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理求出，即可求解； （3）当点D在线段的延长线（或反向延长线）上时，同（1）得，由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的性质和勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 和都是等边三角形． ， ，即， ， ， （2）解：如图2，过点作于点， ， 是等边三角形，是高线， ， ∵， ∴对应边上的高相等， ， ， ， ； （3）解：的长为定值16，理由如下： 当点在线段的延长线上时，如图3所示： 同（1）得：， 对应边上的高线对应相等， ， ， ， ，即的长是定值； 当点在线段的反向延长线上时，如图4所示： 同（1）得：， 对应边上的高线对应相等． ． ， ，即的长是定值； 综上所述，的长是定值16． 4．已知：DA⊥AB，CB⊥AB，AB＝25，AD＝15，BC＝10，如图1，点P是线段AB上的一个动点，连接PD、PC． （1）当PD＝PC时，求AP的长； （2）线段AB上是否存在点P，使PD+PC的值最小，若存在，在线段AB上标出点P，并求PD+PC的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点M在线段AB上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点N在线段AD上从点A以x个单位每秒的速度向点D运动（当一个点运动结束时另一个点也停止运动），点M、N运动的时间为t秒，是否存在实数x，使△AMN与△BMC全等？若存在，求出x、t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）AP＝10；（2）存在，点P见解析，PD+PC的最小值为25；（3）存在，x＝1.6，t＝6.25或x＝2，t＝7.5． 【分析】（1）根据勾股定理分别表示出PD、PC，根据题意列出方程，解方程得到答案； （2）如图3，延长DA至D′，使AD′＝DA，连接PD′，先证明，得到，则要使最小，即最小，故当P、C、三点共线时，最小，如图所示，连接交AB于点P，此时PD+PC的值最小，过点D′作D′E⊥CB交CB的延长线于E，利用勾股定理求解即可． （3）分△AMN≌△BMC、△AMN≌△BCM两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：（1）∵AB＝25， ∴PB＝25﹣AP， 在Rt△DAP中，PD2＝AD2+AP2＝225+AP2， 在Rt△CBP中，PC2＝CB2+BP2＝100+（25﹣AP）2， ∵PD＝PC， ∴225+AP2＝100+（25﹣AP）2， 解得：AP＝10， ∴当PD＝PC时，AP＝10； （2）如图3，延长DA至D′，使AD′＝DA，连接PD′， ∵ AP=AP， ∴， ∴， ∴要使最小，即最小， ∴当P、C、三点共线时，最小， 如图所示，连接交AB于点P，此时PD+PC的值最小， 过点D′作D′E⊥CB交CB的延长线于E， 则BE＝AD′＝AD＝15，D′E＝AB＝25， ∴CE＝BC+BE＝25， ∴CD′＝＝25， ∴PD+PC的最小值为25； （3）当△AMN≌△BMC时，AM＝MB＝AB＝12.5，AN＝BC＝10， ∴t＝12.5÷2＝6.25， ∴x＝10÷6.25＝1.6， 当△AMN≌△BCM时，AM＝BC＝10，AN＝BM， ∴BM＝AB﹣AM＝15， ∴t＝15÷2＝7.5， ∴x＝15÷7.5＝2， 综上所述：△AMN与△BMC全等时，x＝1.6，t＝6.25或x＝2，t＝7.5． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定条件，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 5．如图，在中，，，，动点从点出发，以秒的速度沿移动至点，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)在点的运动过程中，是否存在某个时刻，使得点到边的距离与点到点的距离相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8cm (2)存在， 【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度即可； （2）根据角平分线的性质运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）由勾股定理，得 ； （2）存在，其理由如下： 如图，当点恰好运动到平分线上时，点到直线的距离与点到点的距离相等． 由已知可得：，． 过点作，垂足为点，则． 在与中， ∵，，． ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得：． 即当时，点到边的距离与点到点的距离相等． 【点睛】本题考查了勾股定理以及角平分线的性质，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用． 6．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C匀速运动，设线段DP扫过四边形ABCD所形成的阴影面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0≤t≤9），请解答以下问题： （1）边DC的长为 　 　cm； （2）当点P在BC上运动时，求出阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）（3≤t≤9）；（3）存在，；（4）5或． 【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据勾股定理求解即可； （2）当点P在BC上运动时，画出相应图形，利用梯形的面积公式计算即可； （3）假设存在，先计算梯形ABCD的面积以及ABD的面积，由此可判断使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，则点P在线段BC上，再结合（2）的关系式计算即可； （4）假设存在，分两种情况讨论，当点P在AB上时，当点P在BC上时，结合图形逐个计算即可． 【详解】解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E， 由题意可得：四边形ABED为长方形， ∴AD＝BE＝2cm，AB＝DE＝3cm，∠DEC＝90°， 又∵BC＝6cm， ∴CE＝BC－BE＝4cm， 在中，cm， 故答案为：5； （2）如图，当点P在BC上运动时，3≤t≤9， ∴ ， ∴阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式为（3≤t≤9）； （3）假设存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分， 由题意可得： ， 当t＝3时，点P与点B重合， 此时， ∴＜， ∴点P在线段BC上， ∵线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分， ∴， 即：， 解得：， ∴存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，此时； （4）假设存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形， 当点P在线段AB上时，则0≤t＜3，AP＝t，BP＝3－t， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴，， 由图可知，若DPC是直角三角形，则∠PDC＝90°， ∴， ∴， 解得：（符合题意）， 当点P在线段BC上时，则3≤t≤9，BP＝t－3，CP＝9－t， ∴PE＝BE－BP＝2－(t－3)＝5－t， ∵∠DEC＝∠DEB＝90°， ∴， 由图可知，若DPC是直角三角形，则∠DPC＝90°， 此时点P与点E重合， ∴t＝AB+BE＝3+2＝5， 综上所述，存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形，此时t的值为5或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及梯形与三角形的面积公式，能够根据题意画出相应图形，对（3）进行分类讨论是解决本题的关键． 7．如图1，在长方形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为 （1）当P点在线段BC上且不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且∠PAM=45°，试求：AB的长 （2）若AB=4 ①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值 ②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由 【答案】（1）AB的长为3；（2）①；②t的值为或或4. 【分析】（1）如图所示，延长与CD交于M，连接AM，用角角边证明，可推出AB=BC=3. （2）①在Rt△中，找出边长利用勾股定理建立方程求解； ②分三种情况讨论：，，，分别作出相应的图形，在中，分别找出边长，利用勾股定理建立方程求解. 【详解】（1）如图所示，延长与CD交于M，连接AM， 由折叠的性质可知，， ∵，， ∴ 在和中， ∴≌（AAS） ∴ 又∵ABCD为矩形，∴AD=BC=3， ∴AB=3 （2）①在Rt△ABC中， ∵点P点的运动时间为t，速度为1，∴BP=t， ，，, 在Rt△中，由勾股定理有，即，解得. ②当，如下图所示， ∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=3，CD=AB=4， 有折叠性质有，在Rt△中， ， ∴ 在Rt△中，， ，即，解得 当∠=90°时，如下图所示， 由折叠可得， 在Rt△中， 在Rt△中，，， ，即，解得 当=90°时，如下图所示，根据折叠易得四边形为正方形，∴PB=AB=4 综上，满足题意的t的值为或或4. 【点睛】本题考查折叠问题里勾股定理的应用，关键是根据折叠的性质找出边长，利用勾股定理建立方程. 8．如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=6cm，DC=8cm，BC=12cm．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）． （1）求线段AB的长． （2）当t为何值时，MN∥CD？ （3）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式． （4）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）AB=10．（2）t=秒．（3）S=（t﹣）2+（0≤t≤6秒）．（4）存在t=，使MN⊥BD． 【详解】试题分析：（1）作AE⊥BC于E，根据直角梯形的性质和勾股定理求出AB的长； （2）根据MN∥CD，则NM⊥BC，运用∠B的余弦求出时间t； （3）根据△DMN的面积S=梯形ABCD的面积﹣△CDM的面积﹣△BMN的面积﹣△ADN的面积，代入数据整理即可； （4）假设存在，经过推理求出时间t． 试题解析：（1）作AE⊥BC于E， 根据题意得，AE=DC=8，EC=AD=6，BE=BC﹣EC=6， 在Rt△ABE中，由勾股定理，AB=10． （2）若MN∥CD，则NM⊥BC， =cosB=， 即 解得：t=秒． （3）△DMN的面积S=梯形ABCD的面积﹣△CDM的面积﹣△BMN的面积﹣△ADN的面积 =×（6+12）×8﹣×2t×8﹣×（12﹣2t）×t﹣×6×（8﹣t） =（t﹣）2+， 又M从C点运动到B点的时间为6秒，N点从B点运动到A点所需的时间为10秒 依题意，两者取小值6秒， 所以，S=（t﹣）2+（0≤t≤6秒）． （4）假设存在，则有MN⊥BD， 显然有∠BMN=∠BDC，tan∠BMN=tan∠BDC=， 如图②，过点N作NF⊥BC于F， 依题意可求得NF=t，MF=12﹣2t﹣t 所以，， 解得：t=＜6秒，符合题意． 所以存在t=，使MN⊥BD． 考点： 四边形综合题． 9．如图，在中，，点D在线段上，且，动点P从的延长线上距A点的E点出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了t秒． (1)求的长． (2)直接写出用含有t的代数式表示 ． (3)在运动过程中，是否存在某个时刻，使与全等？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当运动时间为1秒或9秒时与全等 【分析】（1）根据勾股定理求得的长，然后再由可求解； （2））直接用速度乘以时间即可得到答案； （3）先根据题意确定只存在这一种情况，根据全等三角形的性质得到，再分点P在点A左边和右边两种情况，讨论求出时间t即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴； （2）解：∵动点P从的延长线上距A点的E点出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了t秒， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴当与全等时只存在这一种情况， ∴， 当点P在点A左侧时，， ∴， 解得； 当点P在点A左侧时，， ∴， 解得； 综上所述，当运动时间为1秒或9秒时与全等． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，列代数式，灵活运用所学知识是解题的关键． 10．如图，在中，，点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：≌； (2)若时，求的长； (3)点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，9 【分析】（1）结合题目条件，根据即可证明≌； （2）根据第一问的三角形全等，得到，进而证明, 在中，根据勾股定理可求出的长， 在中,进而求出的长度； （3）先证,当值最小时，取最小值，此时,可求出的长，从而求解． 【详解】（1）证明：由题意，可知，，． ∴． 即． 在和中， ∴≌()； （2）解：∵在 中，， ∴，， ∴． ∵≌(）， ∴，， ∴． ∴， ∴在中，； （3）解：存在，理由： 由（2）可知，， ∴当最小时，有的值最小，此时 ． ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 即的最小值为9． 【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．如图，在中，，， ，是从点 出发的动点，沿的轨迹以2的速度向点 运动，设点 的运动时间为    (1)当时，求的面积． (2)是否存在点 ，使得是以 为腰的等腰三角形 若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (3)若点 在的角平分线上不与点 重合，求的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质； （1）根据题意得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）勾股定理求得，然后根据等腰三角形的定义分、两种情况讨论，即可求解； （3）过点作于点，根据角平分线的性质得出，依题意，进而根据等面积法求解即可． 【详解】（1） 解：依题意，时，， 则， ∴的面积； （2）解：存在，或，理由如下， ∵在中，，， ， ∴， 当 时，    当 时，则 ∴点运动的路程为， ∴ （3）解：如图所示，过点作于点，      ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴ 解得：． 12．如图，在中，，，，点在线段上，且，动点从距点的点出发，以每秒的速度沿射线的方向运动，时间为秒．    (1)求的长． (2)用含有的代数式表示的长． (3)在运动过程中，是否存在某个时刻，使与全等？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，当时， (3)或 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理，列代数式，全等三角形的判定是解题的关键 （1）由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）由题意知，当重合时，，则当时，，当时，； （3）由，，可知当时，，即或，分别计算求解即可， 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ∴， ∴的长为 5． （2）解：∵，， ∴， ∴当重合时，， ∴当时，， 当时，． （3）解：存在某个时刻，使与全等，理由如下： ∵，， ∴当时，， ∴或， 解得，或， ∴满足条件的的值为或． 13．已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒， (1)当秒时，求的面积； (2)当时，______； (3)若将周长分为两部分，求出t的值． 【答案】(1)9； (2)； (3)或． 【分析】此题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程，解题中运用分类思想，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． （1）根据题意可得，从而得到，再由三角形的面积公式，即可求解； （2）设，则，在中，由勾股定理可求出x的值，可得到点Q在上，即可求解； （3）分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在上， ∴， 故答案为：； （3）解： ，， 当时，时， ，解得∶（舍去）， 当时， ，解得∶（舍去）， 当时， 当时， ，解得：， 当时， ，解得：， 综上所述：或． 14．如图，是边长为2的等边三角形，点C为下方的一动点，．    (1)若，求的长； (2)求点C到的最大距离； (3)当线段的长度最大时，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)点到的距离最大为 (3) 【分析】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟知等边三角形的性质. （1）根据含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出， 故可得到的长； （2）取的中点，连接，根据直角三角形的性质得到再得到当时， 点到的距离最大为； （3）由（2）可知， 当时线段的长度最大，再求出此时的长，故可求解. 【详解】（1）∵是等边三角形， 又 ， ， ， ， ， ∴的长为； （2）取的中点， 连接，    ， 又点为下方的一动点， ∴当时，点到的距离最大为； （3）连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ， 根据三角形三边关系， 即共线时， 最大， ∴的最大长度为， 此时， 四边形的面积为) ， ∴四边形的面积为：． 15．在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 16．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1) (2)不变，，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． 【详解】（1）解：， ∵中，， ∴， 将沿折叠，得，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵ ， ∴，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在 中，，即． 17．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动．若、两点同时出发，其中一点运动到终点另一点也停止运动，设运动时间为，连结、． (1)当时，四边形的面积等于________． (2)当为何值时，线段长为？ (3)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)37 (2) (3)或 【分析】 本题主要考查三角形面积公式的应用，勾股定理： （1）根据求解即可； （2）求出，根据勾股定理求解即可； （3）根据点E在点F左侧和右侧两种情况，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴ 当时， ∴ ， 故答案为：37； （2）解：∵运动时间为，且， ∴， ∴ 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（不合题意，舍去） 所以，； （3）解：当点E在点F在左侧时，如图， 此时，， ∵， ∴，即， 解得，； 当点E在点F在右侧时，如图， 此时，， ∵， ∴，即， 解得，； 综上，当或时，的面积为． 18．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动 (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 【答案】(1)5秒 (2)秒 【分析】本题主要考查了矩形中的动点问题，勾股定理， 对于（1），根据面积相等列出方程，求出解即可； 对于（2），作，再根据勾股定理列出方程，求出解. 【详解】（1）当运动时间为t秒时，，，依题意，得 ， 解得：． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为； （2）过点Q作于点M，如图所示． ∵，， ∴， 即， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 19．已知：如图，在中，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)当为直角三角形时，t的值为或． 【分析】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． （1）利用勾股定理求解即可得； （2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：在中，，， ∴由勾股定理得； （2）解：由题意知． ①当时，如图，点P与点C重合，则， ∴； ②当时，如图2，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为2或． 20．已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒． (1)当时，__________； (2)若的面积是面积的，求t的值； (3)若将周长分为两部分，求t的值． 【答案】(1) (2)0.5或3.5 (3)2或 【分析】（1）当时，可求出，，再利用三角形面积公式求解即可； （2）根据勾股定理可求出．再分类讨论：当时，此时点Q在上和当时，此时点Q在上，分别求解即可； （3）分类讨论：当时，此时点Q在上，和当时，此时点Q在上，再用含t的代数式分别表示，，，，，最后结合将周长分为两部分，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴． 点P到达B点的时间为：秒，点Q到达C点的时间为秒， ∴点Q到达A点的时间为秒． 分类讨论：当时，此时点Q在上， ∴， ∴． ∵，且， ∴， 解得：； 当时，此时点Q在上，如图，过点Q作，． ∵， 即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 综上可知若的面积是面积的，t的值为0.5或3.5； （3）解：分类讨论：当时，此时点Q在上， ∴，， ∴，， ∴，． ∵将周长分为两部分， ∴或， ∴或， 解得：或（舍）； 当时，此时点Q在上， ∴，， ∴，， ∴，． ∵将周长分为两部分， ∴或， ∴或 解得：（舍）或． 综上可知，若将周长分为两部分，t的值为2或． 【点睛】此题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程．解题的关键是运用分类讨论思想和数形结合思想． 21．如图，在中，，，． (1)如图1，求的长； (2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； (3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定； （1）过作的垂线，垂足是，在中，设，根据勾股定理得出，进而得出，在中，勾股定理，即可求解； （2）先证明，进而证明，得出，同理，则，在，，根据勾股定理得出，，即可得出结论； （3）过作于点，作于点，作，与交于点，则，①当点在线段上时，证明，根据，建立方程，解方程，即可求解．②当点在的延长线上时，同理，即可求解． 【详解】（1）解：过作的垂线，垂足是，在中， ∵， ∴， ∴， ∴，设， 在中， ，， ∵， ∴， ∴， 在中． （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 在中，， 在中，， ∴ （3）解：过作于点，作于点，作，与交于点，则， ①当点在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； ②当点在的延长线上时，如图，则， ∵， ∴， ∴， 综上，当点到直线的距离等于时，或． 22．如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； 【详解】（1）解：结论：，理由如下： 如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， 在中， ∵ ∴； （2）如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴，即： 在中， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形下的全等模型，等腰直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理构造辅助线是解决本题的关键． 23．如图，中，，，，动点从点开始，运动，速度为每秒，设运动时间为秒．    (1)________． (2)当点在线段上运动时，用含的代数式表示________． (3)动点与点同时出发，从点出发，向点运动，速度为每秒，当点在边上运动时，用含的代数式表示的面积． (4)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)8； (2)； (3) (4)，，； 【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可得到答案； （2）根据路程及线段和列式求解即可得到答案； （3）计算出点在边上运动的时间，得到点Q所处的位置，结合面积公式求解即可得到答案； （4）分与两类讨论，根据线段相等列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：8； （2）解：由题意可得， ， 故答案为：； （3）解：由题意可得， 点在边上运动时， ， 点Q在运动如图所示，   ， ，， ∴； （4）解：当，在边上运动时， ， 解得：，    当，在边上运动时， 作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意舍去），    当时， 在边上运动， ， ∴， 解得：， 综上所述：，，； 【点睛】本题考查勾股定理，图形动点列代数式问题，动点特殊三角形问题，解题的关键时注意分类讨论． 24．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．    (1)若点P运动到B的中点时，t的值是_______； (2)4秒内，若，求的长； (3)当为直角三角形时，求t的值． 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再求出，最后根据时间=路程÷速度，即可求解； （2）连接，根据，，得出，根据勾股定理可得，列出方程，求出t的值，即可得出； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，即可解答． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴根据勾股定理可得：， 当点P运动到B的中点时，， ∴， 故答案为：2． （2）解：当点P到达点C时，， ∴4秒内，点P在线段上， 连接， ∵，， ∴， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴；    （3）解：①当时，点P和点C重合， ， ②当时，点P在线段延长线上， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∴，解得：，    综上：或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． 25．如图，长方形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，设点P运动的时间为t（秒）． (1)　　　　．（用含t的代数式表示） (2)连接、，当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． (3)作射线．另有一动点Q从点C出发以每秒m个单位的速度沿射线运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动，点P与点Q同时开始运动．若以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，请直接写出m与对应t的值． 【答案】(1) (2)当是以为腰的等腰三角形时，或 (3)以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，则，或，或， 【分析】（1）根据点P运动时间，的长表示出的长即可； （2）分两种情况讨论，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分三种情况讨论：当以点P、Q、C为顶点的三角形与全等，，时，或，时，当以点P、Q、A为顶点的三角形与全等时，此时只能以Q为直角顶点，即，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动， ∴； 故答案为：． （2）解：∵长方形中，，， 当，如图所示： 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当时，如图所示： 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：； 综上分析可知，当是以为腰的等腰三角形时，或； （3）解：当以点P、Q、C为顶点的三角形与全等时，由，则由“”可知，，或，； 当，时，如图所示： 则，，， ∴，， 解得：，； 当，时，如图所示： 则，，， ∴，， 解得：，； 当以点P、Q、A为顶点的三角形与全等时，此时只能以Q为直角顶点，即，如图所示： 则，， 解得：，； 综上分析可知，以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，则，或，或，． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的综合应用，列代数式，一元一次方程的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，注意分类讨论． 26．如图，在等腰中，，，点F是直线AB上一个动点，作等腰，且，连接．    (1)找出图中全等三角形______． (2)如图求证：； (3)若，则______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2 【分析】（1）可证，从而得证； （2）由全等得，，得，根据勾股定理得证结论； （3）中，勾股定理求得，得，于是． 【详解】（1）解：如图，, ∴． ∴． 又， ∴． 故全等三角形为． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：中，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质；由全等三角形推证线段相等、角相等是解题的关键． 27．如图，在中，E是中点，F是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图①，若，且点D恰好落在线段上，求证：点F为线段的中点； (2)如图②，若为等边三角形，且边长为4，当点D落在线段上时，求的长度； (3)如图③，若为直角三角形，．连接，若与面积相等，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)48 【分析】（1）连接，由折叠可得，即为直角三角形，然后推出，解题即可； （2）连接，由折叠可得，由三线合一得，即推出，运用勾股定理可得、长，解题即可； （3）延长交于点，过A、B分别作延长线的垂线，垂足分别为N、M，可得，由折叠可得，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：连接 ∵E为中点，折叠得 ∴ ∴为直角三角形，且         ∴                     ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴F是中点 （2）解：连接 ∵△为等边三角形，E为中点 ∴ ∴ 又∵折叠得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵等边边长为4 ∴由勾股定理可得 ， ∴ （3）解：延长交于点，过A、B分别作延长线的垂线，垂足分别为N、M ∴ ∴ ∴ 与面积相等 ∴ ∴ ∴ ∵E是中点 ∴与E重合 即E、D、C三点共线              ∵折叠得 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴                 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，图形的变换——折叠，综合性较强，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28．已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．    (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当时，求点A、P之间的距离． 【答案】(1) (2)4或 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可得； （2）分两种情况：①和②，利用勾股定理求解即可得； （3）先求出，从而可得，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ． （2）解：由题意得：， 分以下两种情况： ①如图，当时，为直角三角形，      则， ； ②如图，当时，为直角三角形，      则， 由勾股定理得：， ， 解得， 综上，的值为4或． （3）解：当时，， ， 在中，， 即点、之间的距离为．      【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 29．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．    (1)用含t的代数式表示 ①当点P在线段上时，________． ②当点P在线段的延长线上时，________． (2)当为直角三角形时，求t的值； 【答案】(1)① ；② (2)或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，然后再根据图形求解即可； （2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的t值即可． 【详解】（1）∵，，， ∴． ∵动点P从点B出发沿射线以的速度移动， ∴． ①当点P在线段上时，． ②当点P在线段的延长线上时，． 故答案为：①；②； （2）①当为直角时，点P与点C重合，，即； ②当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即：， 解得， 故当为直角三角形时，或； 【点睛】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理，以及分情况讨论． 30．如图所示，已知：在中，，点D是边上的动点(点D与点A、B不重合)，过点D作垂直于交射线与E，连接，点F是的中点，连接． (1)当点E在边上（点E与点C不重合）时，设． ①直接写出y关于x的函数解析式及定义域； ②求证：是等边三角形； (2)如果BE=，求出的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【分析】（1）①根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后根据进行解答即可；根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，然后即可证得是等边三角形； （2）先求出的长，在中，再利用勾股定理求出 ，再分点在上和点在延长线上两种情况求解． 【详解】（1） ， 又 ， ； 证明：在和中，， 是的中点， ． ， ， ， 即． ， 是等边三角形； （2） ， 在中， ． 当点在上时，； 当点在延长线上时，． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及勾股定理及等边三角形的判定与性质的综合运用，综合性较强，注意认真分析题中条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理解答压轴动点问题专项训练（共30道） 1．如图1，在中，，，，点为的中点，连接    (1)求的长； (2)如图2，点为线段延长线上的一个动点，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，连接． ①当时，求的长； ②在动点运动的过程中，的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 2．阅读材料：如图1，如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． (1)若直角三角形两直角边长分别为3和4，则斜边长为 ； (2)如图2，中，，设AC长为x，BC长为y，，中，，． ①请用含有x，y的代数式表示的面积 ； ②四边形CADB的面积是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 3．如图1，在等边中，线段为边上的高线．动点在线段（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连结． (1)判断与是否相等，请说明理由； (2)如图2，若两点在直线上且满足，试求的长． (3)在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值，若是，请画出图形并求出的长；若不是，请简单说明理由． 4．已知：DA⊥AB，CB⊥AB，AB＝25，AD＝15，BC＝10，如图1，点P是线段AB上的一个动点，连接PD、PC． （1）当PD＝PC时，求AP的长； （2）线段AB上是否存在点P，使PD+PC的值最小，若存在，在线段AB上标出点P，并求PD+PC的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点M在线段AB上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点N在线段AD上从点A以x个单位每秒的速度向点D运动（当一个点运动结束时另一个点也停止运动），点M、N运动的时间为t秒，是否存在实数x，使△AMN与△BMC全等？若存在，求出x、t的值，若不存在，请说明理由． 5．如图，在中，，，，动点从点出发，以秒的速度沿移动至点，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)在点的运动过程中，是否存在某个时刻，使得点到边的距离与点到点的距离相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C匀速运动，设线段DP扫过四边形ABCD所形成的阴影面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0≤t≤9），请解答以下问题： （1）边DC的长为 　 　cm； （2）当点P在BC上运动时，求出阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 7．如图1，在长方形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为 （1）当P点在线段BC上且不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且∠PAM=45°，试求：AB的长 （2）若AB=4 ①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值 ②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由 8．如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=6cm，DC=8cm，BC=12cm．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）． （1）求线段AB的长． （2）当t为何值时，MN∥CD？ （3）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式． （4）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在中，，点D在线段上，且，动点P从的延长线上距A点的E点出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了t秒． (1)求的长． (2)直接写出用含有t的代数式表示 ． (3)在运动过程中，是否存在某个时刻，使与全等？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 10．如图，在中，，点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：≌； (2)若时，求的长； (3)点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 11．如图，在中，，， ，是从点 出发的动点，沿的轨迹以2的速度向点 运动，设点 的运动时间为    (1)当时，求的面积． (2)是否存在点 ，使得是以 为腰的等腰三角形 若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (3)若点 在的角平分线上不与点 重合，求的值． 12．如图，在中，，，，点在线段上，且，动点从距点的点出发，以每秒的速度沿射线的方向运动，时间为秒．    (1)求的长． (2)用含有的代数式表示的长． (3)在运动过程中，是否存在某个时刻，使与全等？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 13．已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒， (1)当秒时，求的面积； (2)当时，______； (3)若将周长分为两部分，求出t的值． 14．如图，是边长为2的等边三角形，点C为下方的一动点，．    (1)若，求的长； (2)求点C到的最大距离； (3)当线段的长度最大时，求四边形的面积． 15．在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 16．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 17．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动．若、两点同时出发，其中一点运动到终点另一点也停止运动，设运动时间为，连结、． (1)当时，四边形的面积等于________． (2)当为何值时，线段长为？ (3)当为何值时，的面积为？ 18．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动 (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 19．已知：如图，在中，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 20．已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒． (1)当时，__________； (2)若的面积是面积的，求t的值； (3)若将周长分为两部分，求t的值． 21．如图，在中，，，． (1)如图1，求的长； (2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； (3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值． 22．如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 23．如图，中，，，，动点从点开始，运动，速度为每秒，设运动时间为秒．    (1)________． (2)当点在线段上运动时，用含的代数式表示________． (3)动点与点同时出发，从点出发，向点运动，速度为每秒，当点在边上运动时，用含的代数式表示的面积． (4)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 24．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．    (1)若点P运动到B的中点时，t的值是_______； (2)4秒内，若，求的长； (3)当为直角三角形时，求t的值． 25．如图，长方形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，设点P运动的时间为t（秒）． (1)　　　　．（用含t的代数式表示） (2)连接、，当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． (3)作射线．另有一动点Q从点C出发以每秒m个单位的速度沿射线运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动，点P与点Q同时开始运动．若以点P、Q、C或P、Q、A为顶点的三角形与全等，请直接写出m与对应t的值． 26．如图，在等腰中，，，点F是直线AB上一个动点，作等腰，且，连接．    (1)找出图中全等三角形______． (2)如图求证：； (3)若，则______． 27．如图，在中，E是中点，F是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图①，若，且点D恰好落在线段上，求证：点F为线段的中点； (2)如图②，若为等边三角形，且边长为4，当点D落在线段上时，求的长度； (3)如图③，若为直角三角形，．连接，若与面积相等，且，求的面积． 28．已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．    (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当时，求点A、P之间的距离． 29．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．    (1)用含t的代数式表示 ①当点P在线段上时，________． ②当点P在线段的延长线上时，________． (2)当为直角三角形时，求t的值； 30．如图所示，已知：在中，，点D是边上的动点(点D与点A、B不重合)，过点D作垂直于交射线与E，连接，点F是的中点，连接． (1)当点E在边上（点E与点C不重合）时，设． ①直接写出y关于x的函数解析式及定义域； ②求证：是等边三角形； (2)如果BE=，求出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$