专项训练：利用空间向量求空间角与空间距离巩固卷-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

专项训练：利用空间向量求空间角与空间距离巩固卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·山西忻州·月考）在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·云南丽江·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏南通·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 4．（23-24高二上·云南文山·月考）在正四棱锥中，为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南焦作·月考）已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏泰州·月考）如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，为BC的中点，.则平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·内蒙古赤峰·月考）人教版选择性必修第一册教材页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点.由，可得，此即平面的点法式方程.利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东湛江·月考）设三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，，，，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·河北张家口·月考）如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 10．（23-24高二上·江苏南京·月考）如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（    ） A．存在点，使得直线与直线所成的角为 B．存在点，使得直线与直线所成的角为 C．存在点，使得三棱锥的体积为 D．存在点，使得平面 11．（23-24高二下·辽宁·月考）如图，棱长为的平行六面体中，，点分别是棱的中点，与平面交于点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线所成角的余弦值等于 C． D．三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为 . 13．（23-24高二上·广东惠州·月考）如图，在平行六面体中，，，，，．则 ；该平行六面体的体积为 ． 14．（23-24高二下·山东烟台·月考）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二下·江苏·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为1，且与的夹角都等于60°，M在棱上，，设，． (1)试用表示出向量； (2)求与所成的角的余弦值． 16．（23-24高二下·广东·月考）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，为的中点，且，，． (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值． 17．（23-24高二下·广东河源·月考）如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． (1)证明：是等边三角形； (2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 18．（23-24高二下·江苏南京·月考）如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上． (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 19．（23-24高二上·天津河西·月考）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，，，且. (1)求证：平面PDC； (2)求平面CPB与平面PBQ所成角的大小； (3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，试确定点H的位置. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项训练：利用空间向量求空间角与空间距离巩固卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·山西忻州·月考）在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 得直线与平面所成角的正弦值为．故选：B 2．（23-24高二上·云南丽江·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设两平面的夹角为， 又平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以．故选：D． 3．（23-24高二下·江苏南通·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】根据题意，， 则， 设向量是直线的单位方向向量，， ， 则点C到直线AB的距离为.故选：A. 4．（23-24高二上·云南文山·月考）在正四棱锥中，为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，为的中点，，且，， 由于,故，则，， ， 又， ． 故异面直线所成角的余弦值为故选：D． 5．（23-24高二上·河南焦作·月考）已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 设异面直线与所成的角为， 可得， 所以，异面直线与所成的角的余弦值为．故选：B. 6．（23-24高二下·江苏泰州·月考）如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，为BC的中点，.则平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以． 又因为，平面, 所以平面,平面，所以． 由于,所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以，所以． 因为，所以， 又，平面，所以平面，则面． 取中点，连接，由面，面，则面面，面面， 根据已知易知，所以为三棱柱， 设，多面体的体积为， 则 ． 解得． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 则平面的一个法向量，且， 设平面的一个法向量，则即取． 所以，平面与平面夹角的余弦值为．故选：C 7．（23-24高二下·内蒙古赤峰·月考）人教版选择性必修第一册教材页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点.由，可得，此即平面的点法式方程.利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为平面的方程为， 所以平面的一个法向量为， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成角为， 则，则， 即直线与平面所成角的余弦值为．故选：A． 8．（23-24高二上·广东湛江·月考）设三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，，，，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，且，，， 以SA，SB，SC为棱构造长方体，则，解得， 如图，以A为原点，AE为x轴，AG为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，， 可知球心O是SF的中点，则， 可得，，. 设平面ABC的法向量，则， 令，则，可得， 所以球心O到平面ABC的距离为.故选：A. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·河北张家口·月考）如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABC 【解析】由题意， 在正方体中，棱长为2，，分别是，的中点 作空间直角坐标系如下图所示， ,， A项，， 面的一个法向量为， ∵， ∴平面，A正确； B项，，B正确； ∵，平面的一个法向量为， 设线与平面所成角为， ， ∴C正确，D错误.故选：ABC. 10．（23-24高二上·江苏南京·月考）如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（    ） A．存在点，使得直线与直线所成的角为 B．存在点，使得直线与直线所成的角为 C．存在点，使得三棱锥的体积为 D．存在点，使得平面 【答案】CD 【解析】在棱长为1的正方体中，建立以为坐标原点， 以所在直线分别为轴的空间直角坐标系，如图： 则，， 设，即点，且， 对于AB，，则，即， 因此不存在点，使得直线与直线所成的角为或，AB错误； 对于C，假设存在点，使得三棱锥的体积为，而， 且点到平面的距离为，则，解得， 当点为线段的靠近的三等分点，即时，三棱锥的体积为，C正确； 对于D，假设存在点，使得平面， 而， 则，解得， 当点为线段的中点，即时，使得平面，D正确.故选：CD 11．（23-24高二下·辽宁·月考）如图，棱长为的平行六面体中，，点分别是棱的中点，与平面交于点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线所成角的余弦值等于 C． D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】棱长为的平行六面体中， 以作为空间的一组基底，则，， 所以， 所以，即， 同理可得，平面，， 所以平面，故A正确； 因为 ， 所以， 又， 设直线和直线所成的角为， 由，则， 即直线与直线所成角的余弦值等于，故B错误； 由，所以三棱锥为正四面体， 与平面交于点，则是点到平面的距离， 可得，又，所以故C正确； 将正四面体放置到正方体中，正四面体外接球即正方体的外接球， 易知正方体的边长为，则正方体的外接球直径为其体对角线的长. 令正四面体的外接球直径为，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确.故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为 . 【答案】 【解析】由题意可得， 又是平面的法向量， 则点到平面的距离为， 13．（23-24高二上·广东惠州·月考）如图，在平行六面体中，，，，，．则 ；该平行六面体的体积为 ． 【答案】 【解析】由题意易知， ； 如图所示，建立空间直角坐标系，则，设， 由题意可知， 不妨取，则， 易知是底面的一个法向量， 所以到底面的距离为. 14．（23-24高二下·山东烟台·月考）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为直线到平面的距离为， 所以必有面，即点到平面的距离为， 如图建立空间直角坐标系，设，又， 则， 设面的法向量为， 则，取得， 则，解得，即， 过作平面的平行平面，与正方体的截面为， 分别为线段和线段的中点，则 所以在直线上， 设， 又，则， 当时，， 当时，， 又，所以， 则的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二下·江苏·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为1，且与的夹角都等于60°，M在棱上，，设，． (1)试用表示出向量； (2)求与所成的角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由知，点是的中点， 故； （2）设与所成的角为， 依题意，，， 则由（1）可得， 故， 又， 故，即与所成的角的余弦值为. 16．（23-24高二下·广东·月考）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，为的中点，且，，． (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）连接，设点到平面的距离为， 因为，又因为平面，所以； 因为，底面是矩形，； 又面，故，所以， 又,， 所以，故， 则； 所以，即，即得. （2）平面，面，故，又底面为矩形， 故以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴,建系如下： 则， 平面一个法向量为，设平面的法向量为， ， 可得，即，取，可得，所以. 设二面角的平面角为. ，故二面角的余弦值为. 17．（23-24高二下·广东河源·月考）如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． (1)证明：是等边三角形； (2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）证明：由及AB，CD分别是上、下底面的直径可知，A，B，C，D四点共面． 作于点F，则，，故， 因为，所以， 故是等边三角形． （2）以为原点，过点与平面ABCD垂直的直线为x轴， 分别以，所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接， 则，，，由题易知，故， ，，， 设平面BCE的法向量为， 则即，取，得， 记直线BD与平面BCE所成的角为θ， 则． 故直线BD与平面BCE所成角的正弦值为． 18．（23-24高二下·江苏南京·月考）如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上． (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，，， 所以，所以，，，四点共面． （2）因为， 所以点在底面的射影落在上，过点作，过点作，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，， 所以平面，又平面， 则，在中，， 又因为底面是边长为4的菱形，且， 所以，则， 设与的交点为，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴， 以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 由，可求得，， 所以，， 设为平面的法向量， 由，即，取，则，， 所以， 因为，所以， 设，所以， 所以， 设直线与平面所成角的为， 所以， 因为，所以，， 所以． 19．（23-24高二上·天津河西·月考）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，，，且. (1)求证：平面PDC； (2)求平面CPB与平面PBQ所成角的大小； (3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，试确定点H的位置. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)H为线段PD的四等分点靠近P点 【解析】（1）四边形ABCD是正方形， ，平面PDC，平面PDC， 平面PDC， 四边形ADPQ是梯形，，平面PDC，平面PDC， 平面PDC， 平面ABQ，平面ABQ，， 平面平面DCP， 平面ABQ，平面PDC； （2），即，，又， 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面PBC的法向量， 则，取，得，，得， 设平面PBQ的法向量， 则，取，，，得， 设二面角的大小为，由图形得为钝角， 则， 为钝角，，二面角的大小为， 平面CPB与平面PBQ所成角的大小为； （3）点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为， 设，，则，， ，， ，解得，或舍去， 线段DH的长为， 又，即， H为线段PD的四等分点靠近P点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$