精品解析：江西省南昌市青山湖区2023-2024学年九年级下学期学业质量检测数学试卷

青山湖区2023—2024学年度下学期九年级学业质量检测卷 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在，，0，6这四个数中，属于负整数的是（ ） A. 6 B. C. 0 D. 2. 下列银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是等边的边上的中线，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线，③其图象顶点坐标为，④当时，y随x的增大而增大，⑤图象与y轴的交点为，其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 单项式的系数为______． 8. 北京时间年月日时分，中国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座16星发射升空，其中执行此次发射任务的快舟一号甲火箭，是由航天科工火箭技术有限公司推出的一款小型固体运载火箭，主要为千克（克）级低轨小卫星提供发射服务，这个数据用科学记数法表示为________． 9. 已知是一元二次方程的两根，则=_____． 10. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为_____． 11. 如图，已知零件的外径为，要求它的厚度，需先求出内孔的直径，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）去量，若，且量得，则厚度________． 12. 在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在中，，，证明：． 14. 如图，内接于⊙O，，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作一个的顶点在上且角度为的圆周角； （2）在图2中的上找一点，作过点的直线平行AC． 15. 先化简再求值：，其中． 16. 2024年春节期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市（哈尔滨，南昌，三亚），为了民主起见，妈妈把旅行社推荐的城市名字写在颜色、大小和厚度都一样的卡片上，洗匀然后反扑在桌面上，小明先从中抽一张卡片后放回，然后小红又从中抽取一张卡片； （1）小明抽到写有“南昌”的卡片是（ ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 （2）请用列表或树状图的方法，求出小明和小红都抽中“哈尔滨”城市卡片的概率． 17. 如图，已知四边形为矩形，且B点坐标为，反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为了庆祝中共二十大胜利召开，某学校九年级举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣2分，不答得0分． （1）若某参赛同学有3道题没有作答，最后他的总得分为76分，则该参赛同学一共答对了多少道题； （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分不低于84分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少题． 19. 如图，在中，，点D是上一点，点D关于直线对称点为E，连接交于点F，连接． （1）如图1，若，则______°，_____°； （2）如图2，若，求证：． 20. 如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长与的延长线交于点．． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某区积极响应国家“双减”政策，为了了解全区4000名七年级的学生完成作业时间情况，随机抽取几所学校七年级学生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次调查活动抽取的七年级有______人，扇形统计图中的值是______； （2）补全频数分布直方图，并估计全区平均每天完成作业时长在“”分钟的学生约有______人； （3）若平均每天完成作业时长在100分钟以下学生认定为“学习轻松者”，那你估计一下全区有多少位七年级的孩子是“学习轻松者”? 22. 在正方形中，点F在边上． （1）如图1，若，垂足为M，交于E，则______（填“”，“”或“”）； （2）如图2，若点G是边上一点，且，垂足为M，判断与是否相等？并说明理由； （3）如图3，当M与F点重合时，直线交的延长线于E，猜想线段，及之间的数量关系，并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 问题提出 某兴趣小组开规综合实放活动：在正方形中，，动点以每秒1个单位的速度从点出发匀速运动，到达点时停止，作的垂线交于，连接，设点的运动时间为，的面积为，探究与的关系． 初步感知 （1）如图1，当点P由B点向C点运动时， ①当时，________，________； ②经探究发现S是关于t的二次函数，请写出S关于t的函数解析式为________．自变量取值范围为________． （2）根据所给的已知，完成列表中的填空，并在图3的坐标系中绘制出函数的图象； t 0 1 2 3 4 s 8 （ ） （ ） （ ） 8 延伸探究 （3）①当________时，； ②当△ABP的面积为S的一半时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青山湖区2023—2024学年度下学期九年级学业质量检测卷 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在，，0，6这四个数中，属于负整数的是（ ） A. 6 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数，小于零的整数是负整数，解答本题的关键是掌握负整数的定义． 根据小于零的整数是负整数，依次判断即可． 【详解】解：选项A：6是正整数，不是负整数，故不符合题意； 选项B：是正分数，故不符合题意； 选项C：0是整数，但不是负数，故不符合题意； 选项D：是负整数，故符合题意， 故选：D． 2. 下列银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，根据轴对称图形的定义“在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合”和中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合”依次判断即可得；掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； B、是轴对称图形不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、是轴对称图形又是中心对称图形，选项说法正确，符合题意； D、是轴对称图形不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 3. 若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：根号下的数大于等于零，是解题的关键，根据二次根式有意义的条件逐一判断即可得到答案． 【详解】A、有意义的条件是，则，能使二次根式有意义，故此选项符合题意； B、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意； C、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意； D、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的乘方法则进行计算求解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查幂的乘方运算，掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，准确计算是解题关键． 5. 如图，是等边的边上的中线，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是等边的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A 6. 已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线，③其图象顶点坐标为，④当时，y随x的增大而增大，⑤图象与y轴的交点为，其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断即可得；掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴此抛物线的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大； 故②错误，③错误，④正确； ∵， ∴此抛物线图象的开口向上， 故①正确； 当时，， ∴图象与y轴的交点为， 故⑤正确； 综上，①④⑤正确，正确的个数有3个， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 单项式的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数求解． 【详解】单项式的系数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 8. 北京时间年月日时分，中国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座16星发射升空，其中执行此次发射任务的快舟一号甲火箭，是由航天科工火箭技术有限公司推出的一款小型固体运载火箭，主要为千克（克）级低轨小卫星提供发射服务，这个数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为：． 9. 已知是一元二次方程的两根，则=_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，． 直接根据两根之和的公式可得答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴． 故答案为：． 10. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，利用三角板的特征求得的度数，再根据平行线的性质，即可解答，关键是根据两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，已知零件的外径为，要求它的厚度，需先求出内孔的直径，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）去量，若，且量得，则厚度________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可证，再利用相似三角形对应边成比例列式求得，最后根据外径即可得到答案． 【详解】解：， ，即 ． 故答案为：2． 12. 在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分和两种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， （）当时， ①作于，如图所示，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴此时点和点重合， ∴此时； ②当时，如图，； （）当时，如图，， ∴； 综上，的长度是或或， 故答案为：或或． 【点睛】 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在中，，，证明：． 【答案】（1）； （2）证明：∵ ∴ ∴在与中； ∴． 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，全等三角形的判定： （1）先进行开方，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）利用证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：原式 （2）略 14. 如图，内接于⊙O，，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作一个的顶点在上且角度为的圆周角； （2）在图2中的上找一点，作过点的直线平行AC． 【答案】（1）如图所示，为所求： （2） 如图所示，为所求： 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角、垂径定理． （1）过点作直径可得平分，即，在根据同弧所对圆周角相等即可作图； （2）作直径，，作直线MN，可得四边形是平行四边形，故. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解： 当时 原式 16. 2024年春节期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市（哈尔滨，南昌，三亚），为了民主起见，妈妈把旅行社推荐的城市名字写在颜色、大小和厚度都一样的卡片上，洗匀然后反扑在桌面上，小明先从中抽一张卡片后放回，然后小红又从中抽取一张卡片； （1）小明抽到写有“南昌”的卡片是（ ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 （2）请用列表或树状图的方法，求出小明和小红都抽中“哈尔滨”城市卡片的概率． 【答案】（1）B； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率， （1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此判断即可； （2）分别使用树状图法或列表法将小明和小红抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也各有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出两次抽中A城市“哈尔滨”卡片的抽取结果，即可算出概率． 【小问1详解】 解：从三张卡片中抽取一张卡片，抽到写有“南昌”的卡片是随机事件，故选B． 【小问2详解】 三个旅游城市哈尔滨，南昌，三亚分别记为A、B、C，根据题意，画出树状图如下： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中满足小明和小红都抽中A城市“哈尔滨”卡片的结果有1种， 所以，小明和小红都抽中A城市“哈尔滨”卡片的概率为． 17. 如图，已知四边形为矩形，且B点坐标为，反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的应用，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练的求解反比例函数的解析式是解本题的关键； （1）由矩形的性质先求解，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求解D的坐标，求解，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵B点坐标为， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵比例函数的图象与矩形交于D点和E点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵比例函数的图象与矩形交于D点， ∴D点的纵坐标为4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为了庆祝中共二十大胜利召开，某学校九年级举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣2分，不答得0分． （1）若某参赛同学有3道题没有作答，最后他的总得分为76分，则该参赛同学一共答对了多少道题； （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分不低于84分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少题． 【答案】（1）该参赛同学一共答对了20道题 （2）参赛者至少需答对23道题才能被评为“二十大知识小达人” 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了道题，根据一共得分为76分列出方程求解即可； （2）设参赛者需答对y道题才能被评为“二十大知识小达人”，则答错了道题，根据总得分不低于84分列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了道题， 依题意得：， 解得：， 答：该参赛同学一共答对了20道题； 【小问2详解】 解：设参赛者需答对y道题才能被评为“二十大知识小达人”，则答错了道题， 依题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y的最小值为23． 答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“二十大知识小达人”． 19. 如图，在中，，点D是上一点，点D关于直线对称点为E，连接交于点F，连接． （1）如图1，若，则______°，_____°； （2）如图2，若，求证：． 【答案】（1）50，40 （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵点D关于直线对称点为E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质，由轴对称的性质可得，即可求解； （2）先证明，再通过证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵点D关于直线对称点为E， ∴， ∴， 故答案为：50，40； 【小问2详解】 略 20. 如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长与的延长线交于点．． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， 的平分线交于点， ， ， ， 交的延长线于点， ， 是的半径，且， 为的切线． （2）阴影部分的面积是 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，所以，则，即可证明为的切线； （2）作于点，可证明四边形是矩形，则，因为，所以，由，求得，由，求得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点， 则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某区积极响应国家“双减”政策，为了了解全区4000名七年级的学生完成作业时间情况，随机抽取几所学校七年级学生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次调查活动抽取的七年级有______人，扇形统计图中的值是______； （2）补全频数分布直方图，并估计全区平均每天完成作业时长在“”分钟的学生约有______人； （3）若平均每天完成作业时长在100分钟以下学生认定为“学习轻松者”，那你估计一下全区有多少位七年级的孩子是“学习轻松者”? 【答案】（1）200；10 （2） 补充统计图如图所示： 400 （3）2200名 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体． （1）根据选A的人数和所占的百分比，可以求得此次调查的人数，再根据频数分布直方图中的数据，即可得到m的值； （2）根据（1）的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，再用样本估计总体即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：此次调查活动抽取的七年级人数为：（人）， （人）， ， 即m的值是10， 故答案为：200，10； 【小问2详解】 解：（人）， 即估计全区平均每天完成作业时长在“”分钟的学生约有400人． 故答案为：400； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全区有2200位七年级的孩子是“学习轻松者”． 22. 在正方形中，点F在边上． （1）如图1，若，垂足为M，交于E，则______（填“”，“”或“”）； （2）如图2，若点G是边上一点，且，垂足为M，判断与是否相等？并说明理由； （3）如图3，当M与F点重合时，直线交的延长线于E，猜想线段，及之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）=； （2）， 理由如下： 作， 四边形是正方形， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 又， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， （3）， 理由如下： 过点D作，交的延长线于点N， 四边形是正方形， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得出结论； （2）作，证明，由全等三角形的性质得出； （3）过点D作，交的延长线于点N，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：=； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 问题提出 某兴趣小组开规综合实放活动：在正方形中，，动点以每秒1个单位的速度从点出发匀速运动，到达点时停止，作的垂线交于，连接，设点的运动时间为，的面积为，探究与的关系． 初步感知 （1）如图1，当点P由B点向C点运动时， ①当时，________，________； ②经探究发现S是关于t的二次函数，请写出S关于t的函数解析式为________．自变量取值范围为________． （2）根据所给的已知，完成列表中的填空，并在图3的坐标系中绘制出函数的图象； t 0 1 2 3 4 s 8 （ ） （ ） （ ） 8 延伸探究 （3）①当________时，； ②当△ABP的面积为S的一半时，求t的值． 【答案】（1）①，；②，； （2）6.5，6，6.5，在坐标系中绘制出函数的图象如下； （3）①或；②． 【解析】 【分析】（1）①证明，计算出，利用三角形的面积公式即可求解；②由题意计算得，，利用三角形的面积公式即可求解； （2）根据函数解析式计算，完成填空绘制图象即可； （3）①由时，建立方程求出符合题意的值即可；②根据当的面积为的一半以及三角形的面积公式建立方程，求出答案即可． 【详解】解：（1）①当时，， 又四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ，则， 的面积， ②当点由点运动到点时，，， ， ，即， ， ， 的面积， （2）时，时，时，，完成列表中的填空如下， 0 1 2 3 4 8 6.5 6 6.5 8 在坐标系中绘制出函数的图象如下； （3）①， ，解得， ②当点由点运动到点时，， 的面积为的一半 ，解得， ∵， ； 【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积，一元二次方程的解法等，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $