3.2.2 基本不等式的应用 同步练习-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

3.2.2　基本不等式的应用 A级 基础达标练 1.设a,b为正数,且a+b≤4,则下列各式正确的是(　　) A.<1 B.≥1 C.<2 D.≥2 2.已知直角三角形的两条直角边的和等于4,则直角三角形面积的最大值是(　　) A.4 B.2 C.2 D. 3.若正实数a,b满足,则ab的最小值为(　　) A.2 B.2 C. D.1 4.(多选题)已知a>0,b>0,且a2+b2=1,则(　　) A.a+b≤ B.a+b≤ C.a+b> D.≥4 5.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为　　　　　.  6.51辆汽车装载了一批救灾物资从某市以v km/h的速度匀速直达灾区.已知两地公路线长400 km,为了安全起见,前后两辆汽车的间距不得小于 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要　　　　　 h.  7.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+升,司机的工资是每小时18元. (1)求这次行车总费用y(单位:元)关于x的关系式; (2)当x为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用. B级 能力提升练 8.若-4<x<1,则y=(　　) A.有最小值1 B.有最大值1 C.有最小值-1 D.有最大值-1 9.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为(　　) A.16 B.25 C.9 D.36 10.若当x=a时,代数式x-4+(x>-1)取得最小值b,则a+b=(　　) A.-3 B.2 C.3 D.8 11.某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则(　　) A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ 12.(多选题)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是(　　) A.ab有最小值 B.有最小值 C.有最小值1 D.a2+b2有最小值 13.(多选题)下列说法正确的有(　　) A.若x<,则2x+的最大值是-1 B.若x,y,z都是正数,且x+y+z=2,则的最小值是3 C.若x>0,y>0,x+2y=3,则的最小值为2 D.若实数a,b∈R+,且2a+b=1,则∈(0,2) 14.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则的最小值为　　　　　.  15.若实数x>0,y>0,且满足x+y=8-xy. (1)求xy的最大值; (2)求x+y的最小值. C级 拓展探究练 16.已知实数a,b满足ab>0,a+b=2,则a-的最大值是　　　　　.  17.某果农种植一种水果,每年施肥和灌溉等需投入4万元.为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场,计划在今年投入x万元用于改良品种.根据其他果农种植经验发现,该水果年产量t(单位:万千克)与用于改良品种的资金投入x(单位:万元)之间的关系大致为t=3-(x≥0,m为常数),若不改良品种,则年产量为1万千克.该水果最初售价为每千克元,改良品种后,售价每千克提高元.假设产量和价格不受其他因素的影响. (1)设该果农种植该水果所获得的年利润为y(单位:万元),试求y关于资金投入x的函数关系式,并求投入2万元改良品种时的年利润; (2)该果农一年内投入多少万元用于改良品种,才能使得年利润最大?最大年利润为多少? 参考答案 1.B　解析 因为ab≤2≤2=4,所以≥2≥2=1,当且仅当a=b=2时,等号成立.故选B. 2.C　解析 设直角三角形两条直角边长分别为a,b,则a+b=4,所以直角三角形的面积S=ab≤×4=2(当且仅当a=b=2时,等号成立).故直角三角形面积的最大值是2.故选C. 3.A　解析 由题意可知a>0,b>0,则≥2当且仅当,即b=2a时,等号成立,所以ab≥2,即ab的最小值为2.故选A. 4.AD　解析 (a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab≤1+(a2+b2)=2当且仅当a=b=时,等号成立. 因为a>0,b>0,所以a+b≤,故A正确,B,C错误; =1++1≥2+2=2+2=4当且仅当,即a=b=时,等号成立,故D正确.故选AD. 5.　解析 xy=x·4y≤·2=,当且仅当x=4y=时,等号成立.故xy的最大值为. 6.10　解析 当最后一辆汽车出发时,第一辆汽车行驶了(h).最后一辆车驶完全程共需要 h,所以一共需要h,由基本不等式,得≥2=10,当且仅当v=80时,等式成立,故最少需要10 h. 7.解 (1)由题意知,所用时间为小时, 故y=×6×+18×,50≤x≤100. 所以这次行车总费用y关于x的关系式是y=130x,50≤x≤100. (2)y=130x≥130×2=130, 当且仅当,即x=30时,等号成立. 所以当x=30时,这次行车的总费用最低,最低费用为130元. 8.D　解析 y=(x-1)+.因为-4<x<1,所以x-1<0.故y=--(x-1)+≤-×2=-1,当且仅当x-1=,即x=0时,等号成立.故选D. 9.B　解析 ∵x>0,y>0,且x+y=8,∴(1+x)(1+y)=1+x+y+xy=9+xy≤9+2=9+16=25.当且仅当x=y=4时,等号成立.故选B. 10.C　解析 由x>-1,得x+1>0,>0,所以由基本不等式得x-4+=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=(x>-1),即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,故a+b=3.故选C. 11.B　解析 由题意得A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2.因为(1+a)(1+b)≤2(当且仅当a=b时,等号成立),所以1+x≤=1+,所以x≤.故选B. 12.ABD　解析 因为a>0,b>0,且a+b=1,所以1=a+b≥2, 当且仅当a=b=时,等号成立.所以ab≤,故A错误;()2=a+b+2=1+2≤1+2=2,当且仅当a=b=时,等号成立.所以,故B错误;≥1,当且仅当a=b=时,等号成立.所以有最小值1,故C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×,当且仅当a=b=时,等号成立.所以a2+b2的最小值是,不是,故D错误.故选ABD. 13.ABD　解析 对于A,因为x<,所以2x-1<0,所以1-2x>0,所以2x+=(2x-1)++1=-+1≤-2·+1=-1,当且仅当1-2x=,即x=0时,等号成立,所以2x+的最大值为-1,故A正确;对于B,因为x,y,z都是正数,且x+y+z=2,所以x+1+y+z=3,所以(x+1+y+z)=5+2=3,当且仅当,即x+1=2(y+z)时,等号成立,所以的最小值为3,故B正确;对于C,()2=x+2y+2≤3+2×=3+3=6,则,当且仅当x=2y,即x=,y=时,等号成立,故C错误;对于D,由2a+b=1,得b=1-2a>0,所以0<a<,则=-2-,因为0<a<,所以-1<a-1<-,-2<<-1,可得0<-2-<2,所以∈(0,2),故D正确.故选ABD. 14.3　解析 因为a,b都是正数,满足2a+b=3, 所以(2a+b)·=5+≥×(5+4)=3,当且仅当且2a+b=3,即a=b=1时,等号成立.故的最小值为3. 15.解 (1)因为x>0,y>0,所以8-xy=x+y≥2,即xy+2-8≤0. 整理得(+4)(-2)≤0,解得xy≤4(当且仅当x=y=2时,等号成立).故xy的最大值为4. (2)(方法一)因为8-(x+y)=xy≤, 所以[(x+y)+8][(x+y)-4]≥0, 解得x+y≥4(当且仅当x=y=2时,等号成立). 故x+y的最小值为4. (方法二)由(1)可得x+y=8-xy≥8-4=4(当且仅当x=y=2时,等号成立),即x+y的最小值为4. 16.2-2　解析 由a+b=2,得a=2-b.由ab>0,得(2-b)b>0,解得0<b<2.所以a-=2-b-=2-b+≤2-2=2-2,当且仅当b=且0<b<2,即b=时,等号成立.故a-的最大值为2-2. 17.解 (1)由已知得3-=1,解得m=2, 所以t=3-(x≥0). 设改良品种后的销售额为w万元, 则w=×3-=. 所以y=w-4-x=-4-x=(x≥0). 当x=2时,y=, 即投入2万元改良品种时的年利润为万元. (2)因为x≥0, 所以x+1≥1>0, 所以y==10-≤10-2=7, 当且仅当(x≥0),即x=5时,等号成立. 所以该果农一年内投入5万元用于改良品种,才能使年利润最大,最大年利润为7万元. 学科网（北京）股份有限公司 $$