精品解析：贵州省清镇市贵化中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年第二学期 高一数学试卷 2024年6月 注意事项： 1．试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟． 2．答案一律写在答题卡上，写在试卷上不给分． 3．考试过程中不得使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卡相应的位置上．） 1. 设，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算，化简复数，由复数模的公式求. 【详解】，所以. 故选：B. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 任一非零向量都可以平行移动 B. 单位向量，则 C. D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数为（ ） A. 15 B. 18 C. 27 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】利用分层抽样的方法计算即可. 【详解】由题意可知丙产量占全部的比重为， 所以抽取90件有丙产品件. 故选：A 4. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正方体体积减去截去的八个四面体体积即可. 【详解】截去的四面体体积，正方体体积， 所以石凳的体积为. 故选：C. 5. 两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线所处不同位置可以分析充分性，再根据两直线平行，可判断与面所成角相等即可判断必要性. 【详解】由题意，当直线与平面所成的角相等时，两条直线可能平行、相交或异面， 则充分性不成立， 当两条直线平行时，此时与平面所成的角相等的，必要性成立， 所以两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知，，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式可得，即可由夹角公式求解. 【详解】由题意，，，又，所以 ， ． 故选：B． 7. 正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【详解】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由， 有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 8. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 二、多项选题（本大题共2小题，每小题4分，共8分．每小题有四个选项，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，选全对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．） 9. 设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B. 复数的模 C. 若，则或 D. 若复数是纯虚数，则或 【答案】AB 【解析】 【分析】利用复数模的含义，纯虚数的概念及复数的几何意义可得答案. 【详解】因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限，A正确； 若，则，B正确； 因为，，所以C不正确； 因为是纯虚数，所以， 解得，D不正确. 故选：AB 10. 过大小为二面角内一点向半平面作，垂足为，向半平面作，垂足为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 的面积的最大值为 C. 点到的距离为2 D. 若二面角的半平面过直线，半平面过直线，则二面角的大小为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，由线线垂直证明线面垂直；B选项，由余弦定理，求出的最大值，可求的面积的最大值；C选项，利用正弦定理求三角形外接圆半径，得点到的距离；D选项，结合二面角的定义判断. 【详解】，，则；，，则， ，平面，所以平面，A选项正确； 平面交直线于点，连接，则有， 平面，平面，则有，， 所以，， 中，，由余弦定理， 则有， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即的面积的最大值为，B选项正确； 平面，平面，则有， ，则四点共圆，为圆的直径， 中，，，由正弦定理有， 所以点到的距离为2，C选项正确； 若二面角的半平面过直线，半平面过直线， 只有时，才有二面角的大小为，D选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛： 作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卡的相应位置上．） 11. 已知向量，则________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，求出坐标，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，可得，即， 解得或. 故答案为：或. 12. 若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，则这组数据的众数是_________；中位数是_________． 【答案】 ①. 96， ②. 92.5 【解析】 【分析】把数据从小到大排列，再根据相关定义求众数和中位数. 【详解】这组数据从小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，95，96，96， 96出现的次数最多，则这组数据的众数是96； 中位数是. 故答案为：96；92.5. 13. 长方形中，，沿对角线把平面折起，使平面平面，则折叠后的余弦值为______________ ． 【答案】##0.48 【解析】 【分析】作，证明，利用勾股定理和余弦定理求出，再由余弦定理求的余弦值. 【详解】过作，垂足为，连接， ，，则，，， 中，， 中，由余弦定理， 平面平面，平面平面， 平面，，则平面， 平面，，则， 中，由余弦定理. 故答案为： 14. 已知中角所对的边分别为，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若的周长为18，，则的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化可求，代入已知面积公式可求． 【详解】由题意得， ， 所以， 则， 所以． 故答案为：． 15. 在一个棱长为4的正方体封闭容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则容器内小球不可能到达的容积为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，先确定小球与正方体的三个相邻面相切时不能达到的容积，再计算小球与正方体两个面相切时不能达到的容积，即可得到结果. 【详解】 如上图所示，假设小球与正方体同一个顶点的三个相邻面相切时对应两个切点为，小球与正方体同一个棱的两个相邻面相切可看成是从切点对应移动到，移动长度为2， 不难求出小球与同一个顶点的三面相切时不能到达的容积为， 正方体有8个顶点，合计； 小球与正方体一组相邻面相切时不能到达的容积为， 正方体有12条棱，合计；总计. 故答案为：. 四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答写相应的文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 中，已知在线段上，且，设． （1）用向量表示； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量基本定理求出答案； （2）先求出，结合（1）中所求的，利用向量数量积公式求出的值. 【小问1详解】 因为，所以， 由题得； 【小问2详解】 由已知得， ． 17. 如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． （1）求证：平面． （2）若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点O，靠近C的四等分点H，利用平行线分线段成比例判定线线平行即可证明线面平行； （2）取的中点E，将异面直线化为共面直线，解三角形即可. 【小问1详解】 如图所示，取中点O，且P是中点， ∴ ， 取的四等分点H，使，且， ∴ ， ∴， ∴ 四边形为平行四边形， ∴ ，在平面外，且平面， ∴ 平面． 【小问2详解】 取的中点E，连接，易知， 则或其补角为异面直线和所成的角， 因为平面，平面， 所以，即， 显然，所以为直角三角形， 通过解三角形可得， 即异面直线和所成角的余弦值为． 18. 记内角的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）设，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出； （2）利用向量数量积公式计算出，结合余弦定理得到，求出周长 【小问1详解】 由及正弦定理， 得，即， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长为. 19. 如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面SAB⊥侧面SBC，M为AD的中点． （1）求证：平面SMC⊥平面SBC； （2）若AB与平面SBC成角时，求二面角的大小， 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直与面面垂直的判定定理求解即可； （2）取的中点，连接，由题意可得，取的中点，连接，可证明是二面角的平面角，求出角的大小即可求解 【小问1详解】 因为，又M为AD的中点， 所以， 又， 所以， 又M为AD的中点，底面为菱形，， 所以， 所以， 因为，，， 平面，平面， 所以平面， 因平面， 所以平面平面， 【小问2详解】 取的中点，连接，又， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又与平面所成的角为， 所以， 又， 所以， 由（1）知平面，又平面， 所以， 又， 所以， 取的中点，连接， 因为， 所以， 所以是二面角的平面角， 又， 所以， 又， 所以，即， 所以二面角的大小为， 五、阅读与探究（本大题共1小题，共8分．解答应写出文字说明，条理清晰．） 20. 阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为．这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式 请你解答下面的两个问题： （1）已知的三条边为，，，求这个三角形的面积； （2）请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分） 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三边求得，代入海伦公式中即可求得结果； （2）若证明秦九韶公式：作，设，，，结合勾股定理可构造方程组求得，由可整理得到结论； 若证明海伦公式：将秦九韶公式利用平方差公式进行整理化简，设即可整理得到结论. 【小问1详解】 由题意得：， 由海伦公式得：. 【小问2详解】 证明秦九韶公式如下： 在中，，，， 过点作，设，，， 由得：，，， . 证明海伦公式如下： 根据秦九韶公式得： 设， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期 高一数学试卷 2024年6月 注意事项： 1．试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟． 2．答案一律写在答题卡上，写在试卷上不给分． 3．考试过程中不得使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卡相应的位置上．） 1. 设，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列说法错误的是（ ） A. 任一非零向量都可以平行移动 B. 是单位向量，则 C. D. 若，则 3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数为（ ） A. 15 B. 18 C. 27 D. 30 4. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知，，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 二、多项选题（本大题共2小题，每小题4分，共8分．每小题有四个选项，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，选全对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．） 9. 设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B. 复数的模 C 若，则或 D. 若复数纯虚数，则或 10. 过大小为二面角内一点向半平面作，垂足为，向半平面作，垂足为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 的面积的最大值为 C. 点到的距离为2 D. 若二面角的半平面过直线，半平面过直线，则二面角的大小为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卡的相应位置上．） 11. 已知向量，则________. 12. 若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，则这组数据的众数是_________；中位数是_________． 13. 长方形中，，沿对角线把平面折起，使平面平面，则折叠后的余弦值为______________ ． 14. 已知中角所对边分别为，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若的周长为18，，则的面积为________. 15. 在一个棱长为4的正方体封闭容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则容器内小球不可能到达的容积为___________ ． 四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答写相应的文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 在中，已知在线段上，且，设． （1）用向量表示； （2）若，求． 17. 如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． （1）求证：平面． （2）若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值 ． 18. 记的内角的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）设，，求的周长. 19. 如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面SAB⊥侧面SBC，M为AD的中点． （1）求证：平面SMC⊥平面SBC； （2）若AB与平面SBC成角时，求二面角的大小， 五、阅读与探究（本大题共1小题，共8分．解答应写出文字说明，条理清晰．） 20. 阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为．这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式 请你解答下面两个问题： （1）已知的三条边为，，，求这个三角形的面积； （2）请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$