第四章　基本平面图形 同步训练课件 2024—2025学年北师大版数学七年级上册

北师版 七年级上 第四章　基本平面图形 1　线段、射线、直线 第1课时　线段、射线、直线 1. [2024衡阳月考]下列说法正确的是(　B　) A. 直线 AB 和直线 BA 是两条直线 B. 射线 AB 和射线 BA 是两条射线 C. 线段 AB 和线段 BA 是两条线段 D. 直线 AB 和直线 a 不能是同一条直线 B 1 2 3 4 5 6 7 8 基础题 返回 2. 下列选项中的两条线可以相交的是(　B　) 　 　 　 B 1 2 3 4 5 6 7 8 基础题 返回 3. [2024保定期末]如图，下列说法正确的是(　D　) A. 点 O 在射线 BA 上 B. 点 B 是直线 AB 的端点 C. 直线 AO 比直线 BO 长 D. 经过 A ， B 两点的直线有且只有一条 D 1 2 3 4 5 6 7 8 基础题 返回 4. [新考向·身边的数学·2024·六安月考]在队列中向右看齐 时，判断自己是否与其他队员排齐，最直接的方法就是看 自己是否能隔着身边的一个队友看到另一个队友的肩膀或 者头部，如果看不到，就说明与其他队员排齐了.这里用 到的数学知识是 ⁠. 经过两点有且只有一条直线　 1 2 3 4 5 6 7 8 基础题 返回 5. [易错题]经过四个点中的每两个点画直线共可以画(　B　) A. 2条、4条或5条 B. 1条、4条或6条 C. 2条、4条或6条 D. 1条、3条或6条 B 1 2 3 4 5 6 7 8 综合应用题 返回 故经过四个点中的每两个点画直线共可以画1条、4条 或6条.故选B. 【点拨】 如图，分以下三种情况： 1 2 3 4 5 6 7 8 综合应用题 返回 6. [情境题·高铁车票] 济郑高铁是发改委规划的重要的交通 连线.线路走向为郑州东－开封－濮阳－聊城－济南西 站，全线办理客运业务的车站数为13个，每两站之间由于 方向不同，车票也不同. 1 2 3 4 5 6 7 8 综合应用题 返回 (1)济郑高铁共有 种票价； 78　 【点拨】 把这13个车站看成一条直线上的13个点，一共 可以构成12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝ 78(条)线段，所以共有78种票价. 1 2 3 4 5 6 7 8 综合应用题 返回 (2)铁路运营公司要为济郑高铁(往返)最多准 ⁠ 种车票. 【点拨】 156　 因为每两站之间由于方向不同，车票也不同， 所以铁路运营公司要为济郑高铁(往返)最多准备 78×2＝156(种)车票. 1 2 3 4 5 6 7 8 综合应用题 返回 7. [母题·教材P116习题T2]如图，平面上有四个点 A ， B ， C ， D ，根据下列语句画图： (1)画直线 AD 、直线 BC 交于点 E ； 【解】如图，直线 AD 、直线 BC 、点 E 即为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 综合应用题 返回 (2)画射线 AB 、射线 DC 交于点 F ； 【解】如图，射线 AB 、射线 DC 、点 F 即为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 综合应用题 返回 (3)连接线段 BD ，并反向延长线段 BD . 【解】如图，线段 BD 、射线 DB 即为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 综合应用题 返回 8. [新考法·由特殊到一般]如图①，图中共有1条线段，1＝ ；　 如图②，线段 AB 上有1个点 C ，图中共有3条线段，3＝1 ＋2＝ ； 如图③，线段 AB 上有2个点 C ， D ，图中共有6条线段， 6＝1＋2＋3＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 创新拓展题 返回 (1)若线段 AB 上有3个点，则共有 条线段； 10　 (2)若线段 AB 上有9个点，则共有 条线段； 【点拨】 【点拨】 55　 1＋2＋3＋4＝ ＝10. 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝ ＝55. 1 2 3 4 5 6 7 8 创新拓展题 返回 (3)若线段 AB 上有 n 个点，则共有 ⁠条线 段.(用含 n 的代数式表示) 　 【点拨】 1＋2＋3＋4＋…＋( n ＋1)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 创新拓展题 返回 $$北师版 七年级上 第四章　基本平面图形 1　线段、射线、直线 第2课时　比较线段的长短 1. A ， B 两地间修建弯河道与修建直河道相比，增加了河道 的长度，其中蕴含的数学道理是(　A　) A. 两点之间线段最短 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 2. [2024威海期末]如图，从 A 地到 F 地的最短路线是(　A　) A. A → E → F B. A → C → E → F C. A → C → D → E → F D. A → B → C → D → E → F A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 3. 下列关于几何画图的语句，正确的是(　C　) A. 延长射线 AB 到点 C ，使 BC ＝2 AB B. 延长线段 AB 到点 C ，使 AC ＝ BC C. 反向延长射线 BC D. 连接 BC ，使 BC ＝5 cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 4. C 是线段 MN 的中点， D 是 NC 上一点，则选项中错误的 是(　C　) A. CD ＝ MC － ND B. CD ＝ MN － ND C. CD ＝ NC D. CD ＝ MD － NC C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 5. [2024泰州期末]如图，线段 AB ＝16 cm， C 是 AB 上一 点， M 是 AC 的中点， N 是 BC 的中点，则 MN ＝ cm. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 6. [母题·教材P117习题T4]作图题：如图，已知线段 a ， b ， c ( a ＞ b ＞ c ).画出满足下列条件的线段： (1) a － b ＋ c ； 【解】如图①，线段 AB 即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 (2)2 a － b － c ； 【解】如图②，线段 CD 即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 (3)2( a － b )＋3( b － c ). 【解】2( a － b )＋3( b － c )＝2 a －2 b ＋ 3 b －3 c ＝2 a ＋ b －3 c .如图③，线段 EF 即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 7. 如图，已知线段 AB 的长度是 a ，线段 BC 的长度比线段 AB 长度的2倍多5，线段 AD 的长度比线段 BC 长度的2倍 少5. (1)写出线段 CD 长；(用含 a 的代数式表示) 【解】由题知 BC ＝2 a ＋5， AD ＝2 BC －5，所以 AD ＝2(2 a ＋5)－5＝4 a ＋5. 所以 CD ＝ DA ＋ AB ＋ BC ＝(4 a ＋5)＋ a ＋(2 a ＋5)＝7 a ＋10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 (2)当 a ＝15时，求线段 CD 的长. 【解】当 a ＝15时， CD ＝ 7×15＋10＝115. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 8. [易错题]点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 AC 的三等分 点.若线段 AB ＝12 cm，则线段 BD 的长为(　C　) A. 10 cm B. 8 cm C. 10 cm或8 cm D. 2 cm或4 cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 9. [新考法·分类讨论法]已知线段 AB ＝16 cm，点 C 在直线 AB 上，且 AC ＝10 cm， O 为 AB 的中点，则线段 OC 的长 度是 ⁠. 2 cm或18 cm　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 (1)当点 C 在线段 AB 上时，如图①， OC ＝ AC － AO ＝ AC － AB ＝10－ ×16＝2(cm). 【点拨】 因为 O 为 AB 的中点，所以 AO ＝ AB . 本题有以下 两种情形： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 (2)当点 C 在线段 BA 的延长线上时，如图②， OC ＝ AC ＋ AO ＝ AC ＋ AB ＝10＋ ×16＝18(cm). 故线段 OC 的长度是2 cm或18 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 10. [2024南京玄武区期中]如图，甲、乙均从 A 处去往 E 处. 甲选择图中的路线①，即依次途经 B ， C ， D ，最终到 达 E 处；乙选择图中的路线②，即途经 P ，最终到达 E 处.图中的 A ， B ， C ， D ， P ， E 均在格点上，且从一 处到下一处均按直线行走，则两条路线中较长的 是 .(填“①”“②”或“一样长”) ①　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 11. [2024晋中期末]如图，在一条东西向的笔直公路 a 上，点 A 表示图书馆，向东走500米是学校 B . (1)小明家在公路 a 上，且到图书馆的距离是1 000米，请 用尺规作图的方法找到小明家可能的位置(不写作法， 保留作图痕迹)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【解】如图，点 C1， C2即是所求小明家可能的位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 (2) M ， N 是公路 a 两旁的两个村庄，现欲在公路上合力 修一个汽车站 P ，使它到 M ， N 两村的距离和最小， 请在公路 a 上标注出点 P 的位置.依据是 ⁠ ⁠. 【解】如图，点 P 即为所求. 两点之间线 段最短　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 12. 如图，将两根木棒 AB 和 CD 捆绑成一根较长的木棒 AD ，捆绑处 AB 有三分之一部分与 CD 重合， M ， N 分 别是 AB 和 CD 的中点，且 AB ＝12 cm， MN ＝10 cm， 求木棒 AD 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【解】因为 AB ＝12 cm， M 是 AB 的中点， 所以 MB ＝ AB ＝6 cm. 依题意得 CB ＝ AB ＝4 cm， 所以 MC ＝ MB － CB ＝2 cm， AC ＝ AB － CB ＝8 cm. 因为 MN ＝10 cm，所以 CN ＝ MN － MC ＝8 cm. 又因为 N 是 CD 的中点，所以 CD ＝2 CN ＝16 cm. 所以 AD ＝ AC ＋ CD ＝8＋16＝24(cm). 所以木棒 AD 的长为24 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 13. 已知 C ， D 为线段 AB 上的两点，点 M ， N 分别为 AC 与 BD 的中点，若 AB ＝13， CD ＝5，求线段 MN 的长. 【解】分两种情况： (1)如图①.因为 AB ＝13， CD ＝5， 所以 AC ＋ BD ＝ AB － CD ＝13－5＝8. 因为 M ， N 分别为 AC 与 BD 的中点， 所以 MC ＝ AC ， ND ＝ BD . 所以 MC ＋ ND ＝ ( AC ＋ BD )＝ ×8＝4. 所以 MN ＝ MC ＋ ND ＋ CD ＝4＋5＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 (2)如图②.因为 AB ＝13， CD ＝5，所以 AC ＋ BD ＝ AC ＋ BC ＋ CD ＝ AB ＋ CD ＝13＋5＝18. 因为 M ， N 分别为 AC 与 BD 的中点， 所以 AM ＝ AC ， BN ＝ BD . 所以 MN ＝ AB －( AM ＋ BN )＝ AB － ( AC ＋ BD )＝13 － ×18＝4. 综上，线段 MN 的长为9或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 14. [新视角·存在性探究题·2024·成都双流区期末]点 C 在线 段 AB 上，在线段 AB ， BC ， CA 中，若有一条线段的长 度恰好是另一条线段长度的一半，则称点 C 为线段 AB 的“半分点”. (1)当点 C 是线段 AB 的中点时，点 C 线段 AB 的 “半分点”(填“是”或“不是”)； 是　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 (2)已知 AB ＝9 cm，若点 C 为线段 AB 的“半分点”，求 线段 AC 的长度； 【解】①当 AC ＝ AB 时，因为 AB ＝9 cm， 所以 AC ＝ AB ＝ cm. ②当 BC ＝ AC 时， AC ＝ AB ， 因为 AB ＝9 cm，所以 AC ＝6 cm. ③当 AC ＝ BC 时， AC ＝ AB ， 因为 AB ＝9 cm，所以 AC ＝3 cm. 综上所述， AC 的长为 cm，6 cm或3 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 (3)已知点 D ， O ， E 是数轴上互不重合的三个点，点 O 为原点，点 D 表示的数是 t ( t ＞0)，若存在这三个点 中，一个点是另外两个点为端点的线段的“半分 点”，求点 E 表示的数的最大值与最小值的差(用含 t 的式子表示). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 【解】当点 E 在点 O 的右侧，且 DE ＝2 OD 时取 最大值. 因为点 D 表示的数是 t ( t ＞0)，所以 OD ＝ t . 所以 DE ＝2 t .所以 OE ＝ OD ＋ DE ＝ t ＋2 t ＝3 t ， 即点 E 表示的数为3 t . 当点 E 在点 O 的左侧，且 OE ＝2 OD 时取最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 因为 OD ＝ t ，所以 OE ＝2 t ，即点 E 表示的数为 －2 t . 所以点 E 表示的数的最大值与最小值的差为3 t － (－2 t )＝5 t . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 $$北师版 七年级上 第四章　基本平面图形 2　角 第1课时　认识角 1. 如图是圆规的示意图，张开的两脚所形成的角是(　D　) A. 平角 B. 钝角 C. 直角 D. 锐角 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 2. [2024淄博期末]下列图形中，能用∠1，∠ ACB ，∠ C 三 种方法表示同一个角的是(　C　) 　 　 　 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 3. 下列说法正确的是(　A　) A. 角的大小与边的长短无关 B. 由两条射线组成的图形叫作角 C. 小于90°的角是锐角 D. 周角＝3个直角 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 4. 下列对于图形的描述中，正确的有(　B　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 5. [母题·教材P121随堂练习T1·2024·邢台期末]如图，位于点 O 南偏西20°方向上的点是(　A　) A. 点 P B. 点 Q C. 点 M D. 点 N A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 6. [母题·教材P121随堂练习T2]填空： (1)5 400″＝ '＝ °； (2)1.45°＝ '＝ ″； (3)10.26°＝ ° ' ″； (4)24°18'＝ ⁠°. 90　 1.5　 87　 5 220　 10　 15　 36　 24.3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 7. [母题·教材P127习题T8(1)·2024·宝鸡月考]小明在上数学课 时，恰好发现教室内时钟的钟面上时间是9点10分，此时 钟面上时针与分针的夹角是 ⁠°. 【点拨】 因为时针经过10分钟所走的度数为10×0.5°＝5°， 每大格对应的角度是30°，所以9点10分时，钟面上时针 与分针的夹角是30°×2＋30°×3－5°＝145°. 145　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 8. 一艘船从点 A 出发，向北偏西30°方向行驶了50 m到达点 B ，再从点 B 向南偏东15°方向行驶了60 m到达 C 点，则 ∠ ABC ＝ ⁠. 15°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 (1)如图①所示，当以点 O 为端点的射线有3条时，图中共 有 个角，它们分别是 ⁠ ⁠； 3　 ∠ AOC ，∠ AOB ， ∠COB 　 9. [新视角·规律探究题]回答下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 (2)如图②所示，当以点 O 为端点的射线有4条时，图中共 有 个角，它们分别是 ⁠ ⁠； 6　 ∠ AOC ，∠ AOD ， ∠AOB ，∠ COD ，∠ COB ，∠ DOB 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 (3)如图③所示，当以点 O 为端点的射线有5条时，图中共 有 个角，它们分别是 ⁠ ⁠ ⁠； 10　 ∠ AOC ，∠ AOD ， ∠AOE ，∠ AOB ，∠ COD ，∠ COE ，∠ COB ， ∠DOE ，∠ DOB ，∠ EOB 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 (4)当以点 O 为端点的射线有 n ( n 为大于或等于3的正整 数)条时，请你猜想共有 个角. n ( n －1)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 10. 根据下列语句画图： (1)画∠ AOB ＝100°； (2)在∠ AOB 的内部画射线 OC ，使∠ BOC ＝50°； (3)在∠ AOB 的外部画射线 OD ，使∠ DOA ＝40°； (4)在射线 OD 上取点 E ，在射线 OA 上取点 F ，使∠ OEF ＝90°. 【解】(1)～(4)如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 $$北师版 七年级上 第四章　基本平面图形 2　角 第2课时　角的比较 1. 用一副三角尺不能画出的角的度数是(　B　) A. 15° B. 55° C. 75° D. 105° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 2. 如图，若∠ AOC ＝∠ BOD ，那么∠ AOD 与∠ BOC 的大 小关系是(　C　) A. ∠ AOD ＞∠ BOC B. ∠ AOD ＜∠ BOC C. ∠ AOD ＝∠ BOC D. 无法确定 (第2题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 3. [2024唐山期中]如图， OC 是∠ AOB 的平分线， OD 是∠ AOC 的平分线，且∠ BOC ＝50°，则∠ COD ＝(　B　) A. 50° B. 25° C. 100° D. 75° (第3题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 4. [2024菏泽期末]如图， OE 平分∠ AOC ， OD 平分∠ BOC ，∠ AOB ＝80°，∠1＝15°，则∠2＝(　A　) A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° (第4题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 5. 如图，已知∠ AOB 是直角，∠ AOC 是∠ COB 的3倍，则 ∠ COB 的度数为 ⁠. (第5题) 22.5°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 6. 如图，点 A ， O ， B 在一条直线上，且∠ AOC ＝ 48°32'， OD 平分∠ AOC ，则∠ BOD ＝ ⁠. 155°44'　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 7. 如图，∠ AOB ＝∠ COD ＝90°， OE 为∠ BOD 的平分 线，∠ BOE ＝22°，求∠ AOC 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 【解】因为 OE 为∠ BOD 的平分线，∠ BOE ＝22°， 所以∠ BOD ＝44°. 又因为∠ AOB ＝∠ COD ＝90°. 所以∠ AOC ＝360°－(∠ AOB ＋∠ COD ＋∠ BOD )＝ 360°－(90°＋90°＋44°)＝136°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 8. [2024湖州期末]如图是一副三角尺，三角尺①固定不动， 将三角尺②的直角顶点 O 与三角尺①的顶点 A 重合.若三 角尺②的一条直角边与三角尺①的 AC 边的夹角为40°， 则三角尺②的另一条直角边与三角尺①的 AB 边的夹角不 可能是(　D　) A. 20° B. 80° C. 100° D. 150° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【点拨】 (1)当 OD 与 AC 边的夹角为40°时， ①若 OD 在 AC 下方，如图①. 因为∠ CAD ＝40°，∠ DAE ＝90°， 所以∠ CAE ＝90°－40°＝50°. 因为∠ BAC ＝30°， 所以∠ BAE ＝30°＋50°＝80°； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 ②若 OD 在 AC 上方，如图②. 因为∠ CAD ＝40°，∠ DAE ＝90°，∠ BAC ＝ 30°， 所以∠ BAE ＝30°＋40°＋90°＝160°； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 (2)当 OE 与 AC 边的夹角为40°时， ①若 OE 在 AC 下方，如图③. 因为∠ CAE ＝40°，∠ BAC ＝30°， 所以∠ BAE ＝40°－30°＝10°. 又因为∠ DAE ＝90°， 所以∠ BAD ＝10°＋90°＝100°； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 ②若 OE 在 AC 上方，如图④. 因为∠ CAE ＝40°，∠ BAC ＝30°，∠ DAE ＝ 90°， 所以∠ BAD ＝90°－40°－30°＝20°. 综上，另一条直角边与 AB 边的夹角可能是80°， 160°，20°，100°. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 9. [2024西安陕师大附中月考]如图， BD ， BE 在∠ ABC 的 内部， BD 平分∠ ABC ，∠ ABE ∶∠ CBE ＝3∶7，∠ ABC ＝110°，求∠ DBE 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【解】因为 BD 平分∠ ABC ， ∠ ABC ＝110°， 所以∠ ABD ＝ ∠ ABC ＝55°. 因为∠ ABE ∶∠ CBE ＝3∶7， 所以∠ ABE ＝ ∠ ABC ＝33°. 所以∠ DBE ＝∠ ABD －∠ ABE ＝22°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 10. 如图，已知∠ AOB ＝180°，∠ BOC ＝90°，∠ MON ＝90°. (1)指出图中所有和为180°的两个角； 【解】∠ BON ＋∠ AON ＝180°，∠ BOC ＋∠ AOC ＝180°，∠ BOM ＋∠ AOM ＝180°，∠ BOM ＋∠ CON ＝180°，∠ AON ＋∠ COM ＝180°，∠ AOC ＋∠ MON ＝180°，∠ BOC ＋∠ MON ＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 (2)求∠ AOM ＋∠ BON 的度数； 【解】因为∠ AOM ＋∠ MON ＋∠ BON ＝180°，∠ MON ＝90°，所以∠ AOM ＋∠ BON ＝90°. (3)直接写出图中相等的角(直角除外). 【解】∠ BON ＝∠ MOC ，∠ MOA ＝∠ NOC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 11. 如图，点 O 在直线 CD 上，已知∠ AOC ＝40°，∠ BOD ＝50°， OM ， ON 分别是∠ AOC ，∠ BOD 的平分线， 求∠ MON 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【解】因为点 O 在直线 CD 上，所以∠ COD ＝180°. 因为∠ AOC ＝40°，∠ BOD ＝50°，所以∠ AOB ＝ 90°. 因为 OM ， ON 分别是∠ AOC ，∠ BOD 的平分线， 所以∠ AOM ＝ ∠ AOC ＝20°，∠ BON ＝ ∠ BOD ＝ 25°. 所以∠ MON ＝∠ AOM ＋∠ AOB ＋∠ BON ＝135°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 12. [2024邯郸期末]如图，点 O 在直线 AB 上，∠ COD ＝ 60°，射线 OE 在∠ COD 内部，且∠ AOE ＝2∠ DOE . (1)若 OD 是∠ BOC 的平分线，求∠ COE 的度数. 下面是小宇同学的解答过程，请帮小宇补充完整. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 解：因为 OD 是∠ BOC 的平分线， 所以∠ BOD ＝∠ ＝60°. 所以∠ AOD ＝180°－∠ ＝120°. 因为∠ AOD ＝∠ AOE ＋∠ ， ∠ AOE ＝2∠ DOE ， 所以∠ AOD ＝3∠ ⁠. 所以∠ DOE ＝ ∠ AOD ＝40°. COD 　 BOD 　 DOE 　 DOE 　 所以∠ COE ＝∠ －∠ DOE ＝20°. COD 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 (2)设∠ COE ＝α，用含α的式子表示∠ BOD ，并写出推 导过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【解】∠ BOD ＝3α.推导过程如下： 因为∠ COD ＝60°，∠ COE ＝α， 所以∠ DOE ＝∠ COD －∠ COE ＝60°－α.　 由(1)知∠ AOD ＝3∠ DOE ， 所以∠ AOD ＝3(60°－α)＝180°－3α. 所以∠ BOD ＝180°－∠ AOD ＝180°－(180°－3α) ＝3α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 13. [新考法·分类讨论法]如图，∠ AOB ＝∠ DOC ＝90°， OE 平分∠ AOD ，反向延长射线 OE 至 F . (1)∠ AOD 与∠ BOC 的和是否等于180°？说明理由. 【解】∠ AOD 与∠ BOC 的和等于 180°.理由：因为∠ AOB ＝∠ DOC ＝90°，所以∠ AOD ＋∠ BOC ＝ 360°－∠ AOB －∠ DOC ＝360°－ 90°－90°＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 (2)射线 OF 是∠ BOC 的平分线吗？说明理由. 【解】射线 OF 是∠ BOC 的平分线. 理由：因为 OE 平分∠ AOD ，所以∠ AOE ＝∠ DOE . 又因为∠ COF ＝180°－∠ DOC －∠ DOE ＝90°－∠ DOE ，∠ BOF ＝180°－∠ AOB －∠ AOE ＝90°－∠ AOE ，所以∠ COF ＝∠ BOF ，所以 OF 是∠ BOC 的平分线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 (3)反向延长射线 OA 至点 G ，射线 OG 将∠ COF 分成了 4∶3的两个角，求∠ AOD 的度数. 【解】因为 OG 将∠ COF 分成了4∶3 的两个角，所以∠ COG ∶∠ GOF ＝ 4∶3或∠ COG ∶∠ GOF ＝3∶4. ①当∠ COG ∶∠ GOF ＝4∶3时，设 ∠ COG ＝4 x ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 则∠ GOF ＝3 x .结合(2)可知∠ BOF ＝∠ COF ＝7 x ， 所以∠ BOC ＝14 x . 因为∠ AOB ＋∠ BOF ＋∠ FOG ＝180°， 所以90°＋7 x ＋3 x ＝180°. 所以 x ＝9°.所以∠ BOC ＝126°. 由(1)知∠ AOD ＋∠ BOC ＝180°， 所以∠ AOD ＝180°－∠ BOC ＝180°－126°＝ 54°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 ②当∠ COG ∶∠ GOF ＝3∶4时， 设∠ COG ＝3 y ，则∠ GOF ＝4 y ， 所以∠ BOF ＝∠ COF ＝7 y ，所以∠ BOC ＝14 y . 同理可得出方程90°＋7 y ＋4 y ＝180°，解得 y ＝ °. 所以∠ BOC ＝ °.所以∠ AOD ＝180°－∠ BOC ＝180°－ °＝ °.　 综上所述，∠ AOD 的度数是54°或 °. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 $$北师版 七年级上 第四章　基本平面图形 2　角 第3课时　用尺规作角 1. 下列尺规作图的语句错误的是(　B　) A. 作∠ AOB ，使∠ AOB ＝3∠α B. 以点 O 为圆心作弧 C. 以点 A 为圆心，线段 a 的长为半径作弧 D. 作∠ ABC ，使∠ ABC ＝∠α＋∠β B 1 2 3 4 5 6 基础题 返回 2. [新趋势·过程性学习·2024·邢台信都区期中]下面是黑板上 出示的尺规作图题，其中序号①②③均表示点，则下列说 法正确的是(　C　) 如图，已知∠ AOB ， 求作：∠ DEF ，使∠ DEF ＝∠ AOB . 　 C 作法：(1)以①为圆心，以任意长为半径画弧，分别交 OA ， OB 于点 P ， Q ； (2)作射线 EG ，并以②为圆心，以 OP 为半径画弧交 EG 于点 D ； 1 2 3 4 5 6 基础题 返回 (3)以③为圆心，以 PQ 长为半径画弧交第(2)步中所画弧于 点 F ； (4)作射线 EF ，∠ DEF 即为所求作的角. A. ①表示点 P B. ③表示点 O C. ②表示点 E D. ③表示点 F 1 2 3 4 5 6 基础题 返回 3. [母题·教材P126习题T6]如图，是我们常用的一副三角尺. 请你用一副三角尺画出度数分别为15°和135°的两个 角.(要求：保留画图痕迹) 1 2 3 4 5 6 基础题 返回 【解】如图，图①中∠ AOC ＝15°，图②中∠ BOC ＝ 135°. 1 2 3 4 5 6 基础题 返回 4. 如图，点 C 在∠ AOB 的 OB 边上，用尺规作出了∠ BCD ＝∠ AOB . 以下是排乱的作图步骤： (第4题) 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 ①以点 C 为圆心， OE 长为半径画 ，交 OB 于点 M . ②作射线 CD ，则∠ BCD ＝∠ AOB . ③以点 M 为圆心， EF 长为半径画弧，交 于点 D . ④以点 O 为圆心，任 意长为半径画 ，分别交 OA ， OB 于点 E ， F ，则正确 的作图步骤是(　C　) A. ①②③④ B. ③②④① C. ④①③② D. ④③①② C 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 5. [2024济南长清区期中]如图，∠ DAE ＝100°，∠ EAB ＝ 60°，根据图中尺规作图的痕迹，可知∠ ABC 的度数 为 ⁠. (第5题) 40°　 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 6. [2024南京秦淮区期中]如图，已知∠1，∠2，用两种方法 求作∠3，使∠1＋∠2＋∠3＝360°.(要求：尺规作图， 保留作图痕迹，写出必要的文字说明) 1 2 3 4 5 6 创新拓展题 返回 【解】方法一：如图①，先作∠ AOB ＝∠1，再在∠ AOB 的外部作∠ BOC ＝∠2，则∠ AOC 即为所求作的∠3. 1 2 3 4 5 6 创新拓展题 返回 方法二：如图②，任意作直线 BC ，在直线 BC 上任取一 点 O ，先作∠ AOB ＝∠1，再在同侧作∠ COD ＝∠2，延 长 AO 至 E ，此时∠1＋∠2＝∠ AOB ＋∠ COD ＝∠ AOB ＋∠ COA ＋∠ AOD ＝180°＋∠ AOD ，所以∠3＝360° －(180°＋∠ AOD )＝180°－∠ AOD ＝∠ DOE ，则∠ DOE 即为所求作的∠3. 1 2 3 4 5 6 创新拓展题 返回 $$北师版 七年级上 第四章　基本平面图形 3　多边形和圆的初步认识 1. 如图所示的图形中，属于多边形的有(　A　) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 2. [2024泉州五中期中]下列图形中的角是圆心角的是(　B　) 　 　 　 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 3. [2024桂林模拟]在研究多边形的几何性质时，我们常常把 它分割成三角形进行研究.从八边形的一个顶点引对角 线，最多把它分割成三角形的个数为(　C　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 4. [母题·教材P130随堂练习T2]如图所示的扇形的圆心角度 数分别为30°，40°，50°，则剩下扇形是圆的(　B　) A. B. C. D. 5. 已知过 m 边形的一个顶点有3条对角线，正 n 边形的边长 为5，周长为40，则 n － m 的值为(　A　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 6. 圆心角为240°的扇形的半径为3 cm，则这个扇形的面积 是 cm2.(结果保留π) 6π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 7. [母题·教材P133复习题T5]某市某中学组织学生进行“低 碳生活”知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩，把学生成 绩分成 A ， B ， C ， D ， E 五个等级，并绘制如图的统计 图(不完整)统计成绩.若扇形的半径为2 cm，求 C 等级所 在的扇形的面积.(结果保留π) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 【解】 C 等级所在的扇形的圆心角 ＝(1－26％－37％－5％－12％)·360°＝72°， 所以 C 等级所在的扇形的面积＝ ·π·22＝ π(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 8. [2024张家口期末]对于八边形的对角线的描述，正确的是 (　A　) 甲：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线； 乙：过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个 八边形分成5个三角形. A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都错 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 9. 一个扇形的面积是13π cm2，半径是6 cm，则此扇形的圆 心角是 度. 【点拨】 本题考查了扇形面积计算公式，注意公式的灵活运用 是解题关键，设扇形的圆心角度数为 n °，根据 ＝ ，得 n ＝130. 130　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 10. 若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边 形的边数可能是 ⁠. 【点拨】 如图，可知原来多边形的边数可能是5，6或7. 5，6或7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 11. [情境题体育赛事]如图是杭州亚运会的会徽，其中的水 纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆 的半径分别为 R1＝5， R2＝3，那么亚运会会徽中的水纹 的面积为 .(结果保留π) π　 (第11题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【点拨】 ×π×(52－32) ＝ ×π×(25－9) ＝ π. 故亚运会会徽中的水纹的面积为 π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 12. [2024太原迎泽区模拟]如图，把一个直径为8 m的圆 平均分成四个扇形，再把每个扇形的弧三等分，则点 A 在点 O 的 偏 °方 向 m处. 北(东)　 东(北)　 30(60)　 4　 (第12题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 13. [新趋势·学科内综合]已知从 n 边形的一个顶点出发共有4 条对角线；从 m 边形的一个顶点出发的所有对角线把 m 边形分成7个三角形；正 t 边形的边长为6，周长为48.求 代数式 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【解】因为从 n 边形的一个顶点出发共有4条对角线， 所以 n ＝7. 因为从 m 边形的一个顶点出发的所有对角线把 m 边形分 成7个三角形，所以 m ＝9. 因为正 t 边形的边长为6，周长为48， 所以 t ＝48÷6＝8. 所以 ＝ ＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 14. [新视角·项目探究题]探究归纳题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 (1)试验分析： 如图①，经过一个顶点(如点 A )可以作 ⁠条对角 线，它把四边形 ABCD 分为 个三角形； 1　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 (2)拓展延伸： 运用(1)的分析方法，可得：图②过一个顶点作所有的 对角线，把这个多边形分为 个三角形；图③过 一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为 ⁠ 个三角形； 3　 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 (3)探索归纳：对于 n 边形( n ＞3)，过一个顶点的所有对 角线把这个 n 边形分为 个三角形；(用含 n 的式子表示) (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分 为 个三角形. ( n －2)　 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 15. [2024宿州期末]如图，某中学七年级数学课外兴趣小组 在探究：“ n 边形( n ＞3)共有多少条对角线”这一问题 时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的 结果： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发可画对角线的条数 1 2 ⁠ … ⁠ ⁠ 多边形对角线的 总条数 2 ⁠ ⁠ … ⁠ ⁠ ⁠ 3　 n － 3 5　 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 应用得到的结果解决以下问题： (1)十二边形有多少条对角线？ 【解】把 n ＝12代入 ，得 ＝54. 所以十二边形有54条对角线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 (2)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对 角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2 025 吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请 说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 【解】能.设这个多边形的边数为 x ， 由题意，得 x －3＋ x －2＝2 025， 解得 x ＝1 015. 所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对 角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2 025，这 个多边形的边数为1 015. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 $$