专题06 弧长及扇形面积重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题06 弧长及扇形面积重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 求弧长 题型二 求扇形半径 题型三 求圆心角 题型四 求某点的弧形运动路径路径长度 题型五 求扇形面积 题型六 求图形旋转后扫过的面积 题型七 求弓形面积 题型八 求其他不规则图形的面积 题型九 弧长与扇形面积计算综合 知识点一、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【经典例题一 求弧长】 【例1】（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，点在圆上将沿翻折与交于点若，的度数为，则（   ）． A． B． C． D． 1．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在扇形中，C为的中点，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，为⊙O的直径，弦，垂足为点E，，连接BD，若，则的长为 ． 3．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，在中，，且，垂足为点E． (1)求的度数． (2)如图2，连接OA，当，，求的长． 【经典例题二 求扇形半径】 【例2】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知圆心角为的弧长为，则扇形的半径为（     ） A．6 B． C．4 D． 2．（2021·江苏扬州·三模）如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，点M为上的一点，过M作于N，交AB于C，若MC＝CN＝，则此扇形的半径为 ． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的半径． 【经典例题三 求圆心角】 【例3】（2023·河北邯郸·三模）如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（    ）    A．1 B．2 C． D． 1．（23-24九年级上·天津静海·阶段练习）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（    ） A．120° B．150° C．60° D．100° 2．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图，边长为2的等边，将边不改变长度，变为弧，得到以A为圆心，为半径的扇形，由三角形变成扇形，下列量的变化情况是：的度数 ，图形的面积 ．（空格处填“变大”，“变小”或“不变”） 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）将一个半径为的圆分成三个扇形，其圆心角度数之比为． (1)求三个扇形的圆心角度数； (2)求其中最小一个扇形的面积．（结果保留） 【经典例题四 求某点的弧形运动路径路径长度】 【例4】（2024·河北保定·一模）如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，将扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当第一次落在上时，停止旋转，则旋转过程中点O所经过的路线长为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（　　）    A． B． C． D．π 2．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在矩形中，已知，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转至图➀位置，再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转至图➁位置，…，以此类推，这样连续旋转4次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ． 3．（22-23九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，将绕点顺时针方向旋转后得到． (1)在图中画出； (2)写出点和点的坐标； (3)求出点旋转到点经过的路径的长度． 【经典例题五 求扇形面积】 【例5】（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 1．（2018·江苏无锡·模拟预测）如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形．设点I为对称轴的交点，如图2，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（　　） A．18π B．27π C．π D．45π 2．（23-24九年级上·河北张家口·期中）如图，中，，，，将沿直线向右无滑动的滚动一次，则点C经过的路径长是 ，此时旋转过程中边扫过的面积是 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的； (2)计算在旋转过程中，点经过的路径长度； (3)直接写出在旋转过程中线段扫过区域的面积 【经典例题六 求图形旋转后扫过的面积】 【例6】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在长方形中，作扇形，扇形，扇形，若要求的长，只需要知道（　　）的面积 A．扇形 B．扇形 C．扇形 D．长方形 2．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，中，为的中点，以为圆心，长为半径画一弧，交于点，若，，，则扇形的面积为 ． 3．（2024·福建福州·一模）如图，为的直径，为的弦，，为的中点，连接，，交于点． (1)求的度数； (2)若，求扇形的面积． 【经典例题七 求弓形面积】 【例7】（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南南阳·一模）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为 ．    3．（23-24九年级下·湖北宜昌·阶段练习）已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F． (1)如图1，求证：为的角平分线； (2)如图2，连接，若，①求的长；②求图中阴影部分的面积． 【经典例题八 求其他不规则图形的面积】 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，边长为的正方形的对角线，相交于点，以为圆心，长为半径的弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为的直径，弦于点E，连接，，，F为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ① ； ②求阴影部分的周长和面积． 【经典例题九 弧长及扇形面积计算综合】 【例9】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，D在线段上，连，以为的直径交于P，，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径长是（    ） A．3 B． C． D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 3．（2024·吉林·模拟预测）【模型提出】如图①，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； (3)若点I是的内心，连接，则线段的最小值为______． 1．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，汽车雨刮器摆动的轨迹是以点为圆心的扇形，已知雨刮器的总长为，其中橡胶部分的长为．若其中一个雨刮器在车窗上从位置摆动至位置，则橡胶部分扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为8，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·吉林·模拟预测）如图，是的直径，，点C是上半圆的中点，点D是下半圆上一点，点E是的中点，连接交于点F．当点D从点A运动到点B的过程中，点F运动的路径长是（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·湖北鄂州·模拟预测）如图，点在上，，，．若的半径为，则的长为（   ）    A． B． C． D． 6．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东泰安·二模）如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 8．（2024·四川达州·一模）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在弧上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E．若，则阴影部分面积为 ． 10．（2024·浙江杭州·三模）如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为，两直管道的长度都为，求图中管道的展直长度（即图中虚线所表示的中心线的长度）为 ． 11．（2024·山东聊城·三模）如图，在中，，，，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 12．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，在扇形中，点在线段上，连接，将沿所在直线翻折，使得点的对应点正好落在上，若，则图中阴影部分的面积为 ． 13．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在扇形中，C为上一点且，点D为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ． 14．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图， 四边形中，，，交于点E，以点E为圆心，为半径的圆交于点 F，若，则阴影部分的面积为 ． 15．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，，连接． (1)求的度数； (2)当的半径等于2时，请直接写出弧的长（结果保留π） 16．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：用尺规作的外接圆，保留作图痕迹； (2)若外接圆半径是，求弦所对优弧的长． 17．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，将矩形绕点C沿顺时针方向旋转到矩形的位置，，． (1)连接，，判断的形状并证明； (2)计算阴影部分面积． 18．（2024·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A为顶点，作边长为4的正方形，点B、C分别在y轴和x轴上，反比例函数图象上另一点D向右作正方形，以点C为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值． (2)求正方形的边长． (3)请直接写出图中阴影部分的面积．（结果保留） 19．（2024·安徽六安·三模）如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．(结果保留) 20．（24-25七年级上·全国·假期作业）圆是一个很有意思的图形，关于圆的面积计算也有很多巧妙的方法，让我们一起来学习与尝试吧！ 我有发现：（1）亮亮巧用“”求出下图中圆的面积． 他的解题思路是：因为正方形的边长等于圆的半径，那么正方形的面积正好是，因此圆的面积是（ ）平方厘米．你瞧！半径不知道，但是已经知道，也能求出圆的面积． 我来尝试：（2）已知下图中三角形的面积是8平方厘米，那么圆的面积是多少平方厘米？ 我能创新：（3）如图，等腰直角三角形的直角边长厘米，以直角顶点为圆心，直角边为半径画一个圆，再以直角三角形斜边的中点为圆心，斜边为直径画一个圆．图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 弧长及扇形面积重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 求弧长 题型二 求扇形半径 题型三 求圆心角 题型四 求某点的弧形运动路径路径长度 题型五 求扇形面积 题型六 求图形旋转后扫过的面积 题型七 求弓形面积 题型八 求其他不规则图形的面积 题型九 弧长与扇形面积计算综合 知识点一、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【经典例题一 求弧长】 【例1】（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，点在圆上将沿翻折与交于点若，的度数为，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、弧长公式等知识点，求得的度数是解答本题的关键．作D关于的对称点E，连接,则，然后再根据的度数为可知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，最后运用弧长公式即可解答． 【详解】解：如图：作D关于的对称点E，连接,则， ∵的度数为， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴的长度为， ∴的长度为． 故选：D． 1．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在扇形中，C为的中点，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，判定是等边三角形，推出，由圆心角、弧、弦的关系得到，由弧长公式即可求出；本题考查圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定，弧长的计算，关键是判定是等边三角形，掌握弧长公式． 【详解】解：连接 ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∵C为的中点， ∴ ∴ ∴的长 故选：B． 2．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，为⊙O的直径，弦，垂足为点E，，连接BD，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，求出圆心角和半径，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，， 是的直径，弦， ，， ， ， ， ， ， ， 的长为． 故答案为：． 3．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，在中，，且，垂足为点E． (1)求的度数． (2)如图2，连接OA，当，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，证明，计算即可． （2）连接，计算出的度数，运用弧长公式求的长即可． 本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴的长． 【经典例题二 求扇形半径】 【例2】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】取圆心，连接，，，，根据圆周角定理得，设半径为米，则米，在中，根据勾股定理得，解得，圆弧所在圆的半径米． 【详解】解：如图，取圆心，连接 ， ， ， 设半径为米，则米， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得， 圆弧所在圆的半径米． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知圆心角为的弧长为，则扇形的半径为（     ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设扇形的半径为r，根据弧长公式可求出r的值，再由扇形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设扇形的半径为r， ∵扇形的圆心角为的弧长为， 解得：r= 故选B. 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键，属于基础题． 2．（2021·江苏扬州·三模）如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，点M为上的一点，过M作于N，交AB于C，若MC＝CN＝，则此扇形的半径为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件求出，再连接，设半径为，则，构建，利用勾股定理求解． 【详解】解：， ， 且， ， ， ， 连接，设半径为，则， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了求解扇形的半径、等腰三角形、直角三角形、勾股定理，解题的关键是：构造一个直角三角形，利用勾股定理求解． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的半径． 【答案】18 【分析】设弧所在的圆的半径为，由弧长公式计算即可得到答案． 【详解】解：设弧所在的圆的半径为， 由弧长公式得：， 解得：， 弧所在的圆的半径为18． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【经典例题三 求圆心角】 【例3】（2023·河北邯郸·三模）如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式求得扇形的圆心角的度数，进而根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：设， ， ， 解得：， 圆心角的度数为： 扇形的面积是， 故选：C． 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，扇形的面积计算，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键． 1．（23-24九年级上·天津静海·阶段练习）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（    ） A．120° B．150° C．60° D．100° 【答案】B 【分析】利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即240π＝×20πr， 解得：r＝24， 又由可得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算，熟练掌握相关的公式是解本题的关键． 2．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图，边长为2的等边，将边不改变长度，变为弧，得到以A为圆心，为半径的扇形，由三角形变成扇形，下列量的变化情况是：的度数 ，图形的面积 ．（空格处填“变大”，“变小”或“不变”） 【答案】 变小 变大 【分析】根据扇形面积公式求出圆心角的度数，与原来的度数比较，分别求出扇形和等边三角形的面积，比较即可得到答案． 【详解】解：设的度数大小由变为， 由题意得， ∵， ∴， 即的度数变小， 以A为圆心，为半径的扇形的面积为， 边长为2的等边的面积为， ∵， ∴图形的面积变大． 故答案为：变小，变大 【点睛】此题考查了扇形面积、弧长公式、等边三角形的性质和面积等知识，读懂题意是解题的关键． 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）将一个半径为的圆分成三个扇形，其圆心角度数之比为． (1)求三个扇形的圆心角度数； (2)求其中最小一个扇形的面积．（结果保留） 【答案】(1)，和． (2) 【分析】（1）根据周角为，根据三个扇形的圆心角的度数之比为．列出式子，，．可得结论； （2）比较出圆心角的大小，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1），，，， 所以三个扇形的圆心角度数分别是，和． （2）∵， ∴最小扇形的面积为：． 【点睛】本题考查扇形的面积，分配问题等知识，解题的关键是求出扇形的圆心角． 【经典例题四 求某点的弧形运动路径路径长度】 【例4】（2024·河北保定·一模）如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，将扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当第一次落在上时，停止旋转，则旋转过程中点O所经过的路线长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算公式，理解O运动的路线是关键．O点运动的路径是：旋转的路程的和是以为半径的半圆的弧长，平移的路线是的长，进行求解即可． 【详解】解：的长为； 以为半径的半圆的弧长：， ∴旋转过程中点O所经过的路线长为； 故选C． 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（　　）    A． B． C． D．π 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、弧长公式等知识点，能求出线段的长和的度数是解此题的关键． 解直角三角形求出，求出度数，从而求出度数，根据弧长公式求出即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∵绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴点C经过的路径长为：， 故选：C． 2．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在矩形中，已知，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转至图➀位置，再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转至图➁位置，…，以此类推，这样连续旋转4次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式是解决问题的关键．先求出对角线的长，然后根据弧长公式依次计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 转动一次顶点A的路线长是：， 转动第二次顶点A的路线长是：， 转动第三次顶点A的路线长是：， 转动第四次顶点A的路线长是0， 故顶点A转动四次经过的路线长为：， 故答案为． 3．（22-23九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，将绕点顺时针方向旋转后得到． (1)在图中画出； (2)写出点和点的坐标； (3)求出点旋转到点经过的路径的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据，设点和点，利用中点坐标公式，计算出点和点，再描点，画图即可． （2）根据（1）的解答，直接写出答案即可． （3）利用勾股定理，弧长公式解答即可． 本题考查了中心对称的特点和画图，勾股定理，弧长公式的应用，熟练掌握作图和公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，设点和点， ∴， 解得 故点和点，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据（1）的解答，得点和点． （3）解：∵， ∴， 圆心角为， ∴点旋转到点经过的路径的长度为． 【经典例题五 求扇形面积】 【例5】（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题知， ， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：C． 1．（2018·江苏无锡·模拟预测）如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形．设点I为对称轴的交点，如图2，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（　　） A．18π B．27π C．π D．45π 【答案】B 【分析】先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可. 【详解】如图1中， ∵等边△DEF的边长为2π，等边△ABC的边长为3， ∴S矩形AGHF=2π×3=6π， 由题意知，AB⊥DE，AG⊥AF， ∴∠BAG=120°， ∴S扇形BAG==3π， ∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S矩形AGHF+S扇形BAG）=3（6π+3π）=27π； 故选B． 【点睛】本题考查轨迹，弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解题的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF扫过的图形． 2．（23-24九年级上·河北张家口·期中）如图，中，，，，将沿直线向右无滑动的滚动一次，则点C经过的路径长是 ，此时旋转过程中边扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理和含30度的直角三角形的性质求出以及相应角，再找出相应的运动路径和扫过的部分为扇形，利用弧长公式和扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， 由旋转的性质，得是以为圆心，长为半径，旋转了， 由弧长公式，得， 旋转过程中边扫过的面积是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了弧长公式和扇形面积公式，利用线段旋转得出圆弧是解题关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的； (2)计算在旋转过程中，点经过的路径长度； (3)直接写出在旋转过程中线段扫过区域的面积 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了画旋转图形，求弧长，以及扇形面积公式； （1）根据旋转的性质画出； （2）根据勾股定理求得的长，进而根据弧长公式，即可求解． （3）根据线段扫过区域的面积为即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）∵， ∴在旋转过程中，点经过的路径长度为 （3）解：如图所示，    ∵ ∵旋转， ∴ 线段扫过区域的面积为 【经典例题六 求图形旋转后扫过的面积】 【例6】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】 本题考查扇形的面积，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，扇叶扫过的图形为扇形，且，半径米， ∴扇叶扫过的面积为平方米， 故选：C． 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在长方形中，作扇形，扇形，扇形，若要求的长，只需要知道（　　）的面积 A．扇形 B．扇形 C．扇形 D．长方形 【答案】B 【分析】此题考查了扇形的面积、矩形的性质，熟记扇形的面积公式、矩形的性质是解题的关键． 根据题意并结合矩形的性质求出，若要求的长，只需要知道线段的长，根据扇形面积，知道了扇形的面积，就能求出半径的长，据此即可得解． 【详解】解：在长方形中，，， 根据题意得，，，， 设，， ， ， ， 若要求的长，只需要知道线段的长， 根据扇形面积，知道了扇形的面积，就能求出半径的长， 故选：B． 2．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，中，为的中点，以为圆心，长为半径画一弧，交于点，若，，，则扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角的性质求出，根据扇形面积公式计算． 【详解】解：，， ， 又为的中点， ， ， ， ， ， 扇形的面积， 故答案为：． 3．（2024·福建福州·一模）如图，为的直径，为的弦，，为的中点，连接，，交于点． (1)求的度数； (2)若，求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了圆周角定理，扇形的面积，准确识图，熟练掌握圆周角定理和扇形的面积公式是解决问题的关键． （1）连接，则，根据点为的中点得，进而得，据此可得的度数； （2）先求出半径为3，再根据得，然后根据扇形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：连接，如下图所示： ∵为的直径，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积为：． 【经典例题七 求弓形面积】 【例7】（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据，计算即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 1．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求弓形的面积，连接，利用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：， ∴, ∵，直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故选A． 2．（2024·河南南阳·一模）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键． 如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，    ∴，， ∴， ∴扇形与扇形重合， ∴， ∵为等边三角形，，过作于， ∴，，， ∴； 故答案为：． 3．（23-24九年级下·湖北宜昌·阶段练习）已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F． (1)如图1，求证：为的角平分线； (2)如图2，连接，若，①求的长；②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①AE= 6；② 【分析】（1）首先由圆周角定理得到，推出，得到，等边对等角，得到，即可得证； （2）①，推出，进一步得到，求出，进而推出，等边对等角以及含30度角的之间三角形的性质，求出的长，即可得解； ②首先求出，证明出为等边三角形，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，    ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故为的角平分线； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②由①，得：， 又 ∴为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 【经典例题八 求其他不规则图形的面积】 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．连接，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形面积减去直角三角形的面积之差． 【详解】解：连接，，如图， 正方形的边长为2，为对角线的交点， 由题意可得：，经过点，且，． 点，分别为，的中点， ， ，． 以为弦的两个弓形面积相等． ． 故选：C． 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，边长为的正方形的对角线，相交于点，以为圆心，长为半径的弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，不规则图形的面积，根据正方形的性质求出，利用阴影部分的面积等于计算即可． 【详解】解：四边形是边长为的正方形， ，， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为的直径，弦于点E，连接，，，F为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ① ； ②求阴影部分的周长和面积． 【答案】(1)2 (2)①；②周长，面积 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，，从而求得的值，最后根据垂径定理即可得出； （2）①根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，再根据垂径定理即可求得的长； ②连接，圆周角定理可得，从而可得，再根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，最后根据扇形的面积公式和弧长公式即可解题． 【详解】（1）解：为的直径， ， 为中点，O为中点， 且， ， ， ∵弦于点E， ， ； （2）解：①∵弦于点E， ，， ，， ，， ． 故答案为：； ②连接， ，， ， ． 在， ，，， ，， 的长， 阴影部分的周长， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，含角度直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，扇形的面积公式和弧长公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 【经典例题九 弧长及扇形面积计算综合】 【例9】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积以及图形面积之间的转化． 图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和，图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，由此可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图形1如下图所示： 图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和， 图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，四边形和弓形如下图所示： 四边形的面积， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积，扇形和三角形如下图所示： 扇形的面积， 三角形面积， 弓形的面积， 图形1的面积， 图中阴影部分的面积图形1的面积． 故选：A． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，D在线段上，连，以为的直径交于P，，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质及动点轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用圆周角定理确定P点的轨迹．连接，由，可得点P是在以为直径的弧上运动，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径是的长，据此求解即可． 【详解】如图，连接， 是的直径， ， 点P是在以为直径的弧上运动， 当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径是的长， ， 中，， ， 故选：C 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积，作辅助线构造全等三角形是解问题的关键． 连接，过点D作于点M，过点D作于点N，先证明是正方形，然后证明，最后运用解题即可． 【详解】如图，连接，过点D作于点M，过点D作于点N， 则 ∵， ∴，，四边形是矩形 ∵，D是的中点， ∴ ∴ 同理 ∴四边形是正方形 ∴， 由题可知，， ∴ 在与中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为 3．（2024·吉林·模拟预测）【模型提出】如图①，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； (3)若点I是的内心，连接，则线段的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，进而得到点在上，继而得到点G的路径为，求出的长度，即可求解； （3）根据点I是的内心，可得，作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，再证得是等腰直角三角形，可得，进而得到是等腰直角三角形，可得到，连接，与交于点，当点I与点重合时，此时线段最短，即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，由（1）得， 点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则， 以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则， ∴点在上， 当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合， 当E与C重合时，F与D重合，则G与重合， ∴点G的路径为， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点G经过的路径为； 故答案为： （3）解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接，与交于点， 当点I与点重合时，此时线段最短， ∵， ∴， 即线段最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，圆周角定理，弧长公式，三角形出内心及外接圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 1．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，汽车雨刮器摆动的轨迹是以点为圆心的扇形，已知雨刮器的总长为，其中橡胶部分的长为．若其中一个雨刮器在车窗上从位置摆动至位置，则橡胶部分扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据、求出，结合扇形的面积公式，根据橡胶部分扫过的图形面积计算即可． 【详解】解：，， ， ， 橡胶部分扫过的图形面积 ． 故选：D． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为8，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，解题的关键是修改利用分割法求阴影部分面积．据图形可得，阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，代入面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理、扇形面积公式、等腰直角三角形的判定和性质等知识，根据阴影部分的面积进行解答即可． 【详解】∵， ∴， 同理， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 故选：C． 4．（2024·吉林·模拟预测）如图，是的直径，，点C是上半圆的中点，点D是下半圆上一点，点E是的中点，连接交于点F．当点D从点A运动到点B的过程中，点F运动的路径长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键．连接，圆周角定理，推出，进而得到点只在上运动，求解即可． 【详解】解：连接，    ∵是的直径，点C是上半圆的中点， ∴，， ∴， ∴， 设，则：，，， ∴的度数为，， ∵点E是的中点， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴点在以点为圆心，以长为半径的圆上，且只在的上运动， ∴点的轨迹为的长． 故选B． 5．（2024·湖北鄂州·模拟预测）如图，点在上，，，．若的半径为，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，弧长公式，连接，由可得，进而得，即得，得到，再根据圆周角定理可得，，即可得，最后根据弧长公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：． 6．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．（2024·山东泰安·二模）如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，等腰三角形的性质，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．先证明，从而阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差． 【详解】解：令半圆的圆心为， 在中，,， ∴, ∵是半圆的直径， ∴，, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴,, ∴即， ∴π． 故选． 8．（2024·四川达州·一模）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在弧上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积．连接，交于，根据对折得出，，，，求出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，求出，再根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：连接，交于， 沿过点的直线折叠，和重合，， ，，，， ，是等边三角形， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选：D． 9．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E．若，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理以及扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据题意求出，再由即可得到答案． 【详解】解：连接， 是直径， ， ， ， ， 半圆O的直径为， ， ． 故答案为：． 10．（2024·浙江杭州·三模）如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为，两直管道的长度都为，求图中管道的展直长度（即图中虚线所表示的中心线的长度）为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，根据图形和弧长公式计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：图中管道的展直长度， 故答案为：． 11．（2024·山东聊城·三模）如图，在中，，，，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，熟练运用扇形的面积公式，正确进行图形面积的分割是解题的关键． 连接，证明是等边三角形，求得，根据得，求解即可， 【详解】如图，连接， ∵，，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 12．（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，在扇形中，点在线段上，连接，将沿所在直线翻折，使得点的对应点正好落在上，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，连接，过点作于，由折叠可得，进而可得为等边三角形，得到，，利用勾股定理求出，再根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作于，则， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在扇形中，C为上一点且，点D为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题和弧长公式以及勾股定理，解题关键是把周长最小问题转化为两点之间，线段最短问题，熟练的运用圆的有关性质和勾股定理是解题的关键． 作点关于的对称点F，连接，与交点为D，此时最小，最小值就是长，再加上弧的长即可． 【详解】解: 作点关于的对称点, 连接,与交点为D,交于点,过点作 交延长线于点，由对称可知 ，    ∵四边形是矩形, ， ∴， ∴， ∴阴影部分周长的最小值为， 故答案为：． 14．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图， 四边形中，，，交于点E，以点E为圆心，为半径的圆交于点 F，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，过点E作交于点G，求出，根据求解即可． 【详解】解：过点E作交于点G， ∵交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 15．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，，连接． (1)求的度数； (2)当的半径等于2时，请直接写出弧的长（结果保留π） 【答案】(1) (2)的长为 【分析】本题考查了角度的运算，圆的内接四边形性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据四边形是的内接四边形，可知，再根据，，即可求得的度数； （2）连接、，根据圆周角是圆心角的一半可得，再根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）四边形是的内接四边形， ， ， 而， ， ； （2）解：连接、，如图， ， 的长． 16．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：用尺规作的外接圆，保留作图痕迹； (2)若外接圆半径是，求弦所对优弧的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)弦所对优弧的长为． 【分析】（）分别作的垂直平分线，交点为，以为半径画圆即可； （）连接，由圆周角定理得，然后用弧长公式即可求解； 此题考查了尺规作图——线段垂直平分线，弧长公式，圆周角定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：分别作的垂直平分线，交点为，以为半径画圆，如图， ∴即为所求； （2）解：连接， ∴， ∴弦所对优弧的长为． 17．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，将矩形绕点C沿顺时针方向旋转到矩形的位置，，． (1)连接，，判断的形状并证明； (2)计算阴影部分面积． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先根据旋转的性质得到，，然后利用垂直平分线的性质得到，进而求解即可； （2）先求出，，求出，，然后利用代数即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接，， ∵矩形绕点C沿顺时针方向旋转到矩形的位置， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰三角形； （2）由旋转可得，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了求扇形和阴影面积，旋转的性质，垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的判定，矩形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 18．（2024·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A为顶点，作边长为4的正方形，点B、C分别在y轴和x轴上，反比例函数图象上另一点D向右作正方形，以点C为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值． (2)求正方形的边长． (3)请直接写出图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，求扇形的面积： （1）求出，再代入，即可求解； （2）设正方形的边长为m，则点D的坐标为，从而得到，即可求解； （3）根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，边长为4， ∴点． 将点代入到中，得∶ ，解得∶． （2）解：设正方形的边长为m，则点D的坐标为． 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴正方形的边长为； （3）解：由（2）正方形的边长为， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 19．（2024·安徽六安·三模）如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．(结果保留) 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是正方形，为直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为的直径， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是边长为4的正方形 ∴ ∴的长度为． 【点睛】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 20．（24-25七年级上·全国·假期作业）圆是一个很有意思的图形，关于圆的面积计算也有很多巧妙的方法，让我们一起来学习与尝试吧！ 我有发现：（1）亮亮巧用“”求出下图中圆的面积． 他的解题思路是：因为正方形的边长等于圆的半径，那么正方形的面积正好是，因此圆的面积是（ ）平方厘米．你瞧！半径不知道，但是已经知道，也能求出圆的面积． 我来尝试：（2）已知下图中三角形的面积是8平方厘米，那么圆的面积是多少平方厘米？ 我能创新：（3）如图，等腰直角三角形的直角边长厘米，以直角顶点为圆心，直角边为半径画一个圆，再以直角三角形斜边的中点为圆心，斜边为直径画一个圆．图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）；（2）平方厘米；（3）平方厘米 【分析】本题考查巧用求圆的面积，虽然不知道圆的半径，但是知道，也能求出圆的面积，熟练掌握面积转换与面积公式是解题关键． （1）从图中可知，正方形的边长等于圆的半径，根据正方形的面积公式，把的值代入圆的面积公式中计算，即可求出圆的面积； （2）从图中可知，把阴影三角形用斜边上的高平均分成2个小直角三角形，如图中所示，把两个小直角三角形拼在一起，组成一个正方形，正方形的边长等于圆的半径，正方形的面积等于阴影三角形的面积8平方厘米，则正方形的面积正好是，把的值代入圆的面积公式中计算，即可求出圆的面积； （3）已知等腰直角三角形的直角边长厘米，求出这个三角形的面积；由（2）可知，这个三角形的面积正好是，把的值代入圆的面积公式中计算，求出以直角三角形斜边为直径的半圆的面积；再根据圆的面积公式求出以半径为厘米的圆的面积，减去等腰直角三角形的面积，即是圆的弧与三角形斜边组成的图形的面积；最后用半圆的面积减去圆的弧与三角形斜边组成的图形的面积，求出阴影部分的面积． 【详解】（1）因为正方形的面积， 则圆的面积为（平方厘米），   故答案为：； （2）由图可得正方形面积即为阴影部分面积， 则， 则圆的面积为（平方厘米），   答：圆的面积是平方厘米； （3）直角三角形的面积：（平方厘米）， 以斜边为直径的半圆的面积：（平方厘米）， 以直角边为直径圆的面积：（平方厘米）， 圆的弧与三角形斜边组成的图形的面积：（平方厘米）， 则阴影部分的面积：（平方厘米）， 答：图中阴影部分的面积是平方厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $$