专题05 正多边形重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题05 正多边形重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优） 题型一 求正多边形的中心角 题型二 求正多边形的边数 题型三 根据正多边形与圆的关系求角度 题型四 根据正多边形与圆的关系求周长 题型五 根据正多边形与圆的关系求面积 题型六 根据正多边形与圆的关系求边心距 题型七 正多边形与圆中的最值 题型八 尺规作图—正多边形 题型九 正多边形与圆中的规律性问题 题型十 多边形与圆中的证明 题型十一 正多边形与圆的综合 知识点一、正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【经典例题一 求正多边形的中心角】 【例1】（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，如图，这个剪纸图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，则角可以为 度（写出一个即可）． 3．（22-23九年级下·吉林长春·期中）如图①，在中，为边上的中线，以点为顶点的直角绕点旋转，两边分别与交于点，连接．        (1)求证：； (2)若，则面积的最小值为_______； (3)拓展应用：如图②，点是半径为2的正十二边形的中心，点在此正十二边形的边上，连接，若，则阴影部分面积为______． 【经典例题二 求正多边形的边数】 【例2】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 3．（23-24九年级上·广西南宁·期末）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则． 【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． 【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积． 【经典例题三 根据正多边形与圆的关系求角度】 【例3】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 ． 3．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【经典例题四 根据正多边形与圆的关系求周长】 【例4】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·安徽·开学考试）如图，正六边形内接于，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，某校园内有一个由两个相同的边长为的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为 ．    3．（23-24九年级上·青海西宁·阶段练习）如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积． 【经典例题五 根据正多边形与圆的关系求面积】 【例5】（2024·河北唐山·二模）如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（    ） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1 1．（2024·四川攀枝花·一模）早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（    ） A．3 B． C． D．6 2．（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·期中）一个半径为的圆内接正三角形的面积等于 ． 3．（22-23九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知．    (1)用尺规作图作的内接正六边形（不写作法、保留作图痕迹）； (2)若的半径为2，求所作正六边形的面积． 【经典例题六 根据正多边形与圆的关系求边心距】 【例6】（23-24九年级上·云南德宏·期末）如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（    ） A． B． C．3 D． 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，的半径为2，正六边形内接于，则这个正六边形的边心距的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为点G，则正六边形的中心角 ，边心距 ．    3．（23-24九年级上·西藏日喀则·阶段练习）如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距． 【经典例题七 正多边形与圆中的最值】 【例7】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：）（    ） A． B．100 C． D． 2．（2021·浙江金华·一模）如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值： （1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间： ．（填①或②） （2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是 ．（用含a的代数式表示） 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）用长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有几种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大？ 【经典例题八 尺规作图—正多边形】 【例8】（2020·河北沧州·二模）如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 2．（2021九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 3．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【经典例题九 正多边形与圆中的规律性问题】 【例9】（23-24九年级上·北京·单元测试）先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 1．（2018·广西防城港·一模）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A11B11C11D11E11F11的边长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南湘西·期中）如图1，图2，图3⋯，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是 ． 3．（22-23九年级下·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 【经典例题十 多边形与圆中的证明】 【例10】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图，点P是正六边形内部一个动点，，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为（　　）． A．18 B． C．9 D． 1．（23-24九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·三模）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)； (2)． 【经典例题十一 正多边形与圆的综合】 【例11】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在边长为4的正五边形中，按以下步骤作图：①连接；②以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，③分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F；④作射线交线段于点G；⑤连接；则四边形的周长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 1．（2024·山东德州·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B．3 C． D．3.14 2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为 ． 3．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）一个圆的半径为1，则该圆的内接正六边形的周长为（    ） A．1 B．6 C． D．4 2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列关于正多边形的叙述，正确的是（     ） A．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为 C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 3．（23-24九年级上·广东湛江·期末）一个正方形的边长为，则它的内切圆的面积为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江·模拟预测）要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 （   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2023·河南·模拟预测）2024年春节期间，河南多地大范围降雪． 如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形 ）的图形，放在平面直角坐标系中，若 与 轴垂直，顶点 的坐标为 ，则顶点 的坐标为 （    ） A． B． C． D． 7．（2024·贵州黔南·一模）如图，正六边形内接于，为上的一点（点不与点，重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·四川成都·模拟预测）如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为(    ) A． B． C． D． 9．（2024·宁夏银川·二模）如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的大小为 ．    10．（2024·安徽淮北·二模）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ． 11．（2024·江苏徐州·二模）蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是 ． 12．（2024·河北石家庄·二模）某厂家要设计一个装截面为正方形木条的圆柱形纸盒（横截面如图），已知每条木棍形状、大小相同，底面均为边长为的正方形，目前厂家提供了装不同数量木条的圆柱形纸盒的收纳设计方案． 图1            图2 （1）如果要装1支木条，如图1，圆柱形纸盒最小的底面积为 ． （2）如果要装2支木条，如图2，圆柱形纸盒最小的底面积为 ． （3）如果要装3支木条，圆柱形纸盒最小的底面积为 ． 13．（2024·上海闵行·三模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为 ． 14．（23-24九年级下·河北沧州·期中）如图，六边形是的内接正六边形． （1）若的半径为1，则六边形的周长为 ． （2）设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 15．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 16．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知正六边形的半径是，求正六边形的边长和面积． 17．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），求的大小．    18．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 20．（2024·辽宁鞍山·三模）【发现问题】 蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．    【提出问题】 在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系? 【分析问题】 同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据 第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 … 拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 … 然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．      为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式． 【解决问题】 (1)直接写出y与x的关系式； (2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数； (3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 正多边形重难点题型专训（11大题型+20道拓展培优） 题型一 求正多边形的中心角 题型二 求正多边形的边数 题型三 根据正多边形与圆的关系求角度 题型四 根据正多边形与圆的关系求周长 题型五 根据正多边形与圆的关系求面积 题型六 根据正多边形与圆的关系求边心距 题型七 正多边形与圆中的最值 题型八 尺规作图—正多边形 题型九 正多边形与圆中的规律性问题 题型十 多边形与圆中的证明 题型十一 正多边形与圆的综合 知识点一、正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【经典例题一 求正多边形的中心角】 【例1】（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴这个正n边形的中心角为， 故选：D． 1．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角的性质，添加辅助线是解题的关键．根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为， 则， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，如图，这个剪纸图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，则角可以为 度（写出一个即可）． 【答案】60 【分析】本题主要考查正多边形的性质，能够熟练计算正多边形的中心角是解题关键．正六边形是中心对称图形也是轴对称图形，中心角是，故而只要旋转角度是的整数倍即可． 【详解】解：正六边形的中心角是， ∴． 故答案为：60． 3．（22-23九年级下·吉林长春·期中）如图①，在中，为边上的中线，以点为顶点的直角绕点旋转，两边分别与交于点，连接．        (1)求证：； (2)若，则面积的最小值为_______； (3)拓展应用：如图②，点是半径为2的正十二边形的中心，点在此正十二边形的边上，连接，若，则阴影部分面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)3 【分析】（1）根据为边上的中线，可得即可证明； （2）先证明，可知当时，面积最小，根据此时是等腰直角三角形求出，即可求解； （3）将正十二边形进行分割证明，可得阴影面积倍的面积，即可求解． 【详解】（1）证明：在Rt中，， ， ， ， 为边上的中线， ，，， ， ， ； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴当最短时，面积最小， 根据垂线段最短，即，面积最小，如图，    ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵为边上的中线， ∴， ∴ 解得：，即 ∴， ∴面积的最小值为1； （3）作辅助线如图所示，其中，    由正十二变形的性质可得： 又∵ ∴， 即 ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴阴影面积； 【点睛】本题考查了几何问题，涉及到平行截线成比例线段、全等三角形的判定与性质等，掌握分割法是关键． 【经典例题二 求正多边形的边数】 【例2】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：． 1．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形的中心角与边数之间的关系，根据正边形的中心角为，即可解题． 【详解】解：设这个正多边形的边数是，且一个正多边形的中心角等于， 有，解得， 故答案为：12． 3．（23-24九年级上·广西南宁·期末）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则． 【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． 【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积． 【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6 【分析】类比探究：通过证明可得，则． 拓展应用：通过证明可得，则． 【详解】解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角， ∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点 ∴∠BOM=∠CON， ∴△BOM≌△CON， ∴． 拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角， ∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点 ∴∠BOM=∠CON， ∴△BOM≌△CON， ∴． ∵四边形面积为， ∴正六边形的面积为6． 【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键． 【经典例题三 根据正多边形与圆的关系求角度】 【例3】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的性质，圆周角定理等知识，连接．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论． 【详解】解：连接．      在正五边形中，， ， ， ， 故选：B． 1．（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查正多边形和圆的关系，以及同弧所对圆周角是它所对圆心角得一半，先求出正六边形和正方形的边所对的圆心角，求差可得弦所对得圆心角，再分别求出优弧和劣弧所对得圆周角即可． 【详解】如图，连接，， ∵四边形是正方形 ∴ ∵六边形是正六边形 ∴ ∴ ∴弦所对圆周角的度数为或 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 【经典例题四 根据正多边形与圆的关系求周长】 【例4】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，即可． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则， 点是正六边形的中心， ， ， 是正三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形的周长是， 故选：C 1．（23-24九年级下·安徽·开学考试）如图，正六边形内接于，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接交点，连接，可推出，，可证明是等边三角形，得到，，推出，在中，设，则，根据勾股定理即可求出，进而得到半径，即可求解． 【详解】解：连接交点，连接， 正六边形内接于， ，，， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ， 的半径为， 的周长为， 故选：B． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，某校园内有一个由两个相同的边长为的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及正六边形的性质．注意解此题的关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形． 根据题意和正六边形的性质得出是等边三角形，再根据正六边形的边长得出，同理可证出，再根据，求出，从而得出扩建后菱形区域的周长． 【详解】如解图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，    ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，同理可证：， ∴， ∴扩建后菱形区域的周长为． 故答案为：24． 3．（23-24九年级上·青海西宁·阶段练习）如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积． 【答案】正△ABC的边长为，边心距为1，周长为，面积为 【分析】如图：连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积． 【详解】解：如图：连接，延长交于D， ∵正外接圆是， ∴， ∴边心距, 由勾股定理得：， ∴三角形边长为，， ∴的周长是；的面积是． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键． 【经典例题五 根据正多边形与圆的关系求面积】 【例5】（2024·河北唐山·二模）如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（    ） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1 【答案】A 【分析】此题考查的是正多边形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 连接，由正六边形的性质可得，然后利用面积公式可得答案． 【详解】解：连接，由正六边形的性质可知，，，， ∴， ， 同理 空白部分面积和阴影部分面积的比值为：． 故选：A． 1．（2024·四川攀枝花·一模）早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C，      ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：A． 2．（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·期中）一个半径为的圆内接正三角形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外接圆与外心，正三角形的性质等知识点，掌握正三角形与外接圆的性质是解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据正三角形与圆的性质得出的度数，从而得出，再通过含角的直角三角形的性质及勾股定理求得与的长，然后求得的面积即可． 【详解】解：如图，∵O为正三角形的中心，于点D，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴, ∴. 故答案为：. 3．（22-23九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知．    (1)用尺规作图作的内接正六边形（不写作法、保留作图痕迹）； (2)若的半径为2，求所作正六边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上任取一点A，然后过点A画的直径，以点A为圆心，圆的半径为半径依次在圆上画出交点，则六边形满足条件； （2）连接、，过O点作于G点，则，利用正六边形的性质得到，则可判断为等边三角形，接着计算出的面积，然后把的面积乘以6得到正六边形的面积． 【详解】（1）解：正六边形如图所示：    （2）连接，过点作，垂足为， 则， ． 正六边形的面积． 【点睛】本题主要考查了圆和内接多边形，首先确定六边形的度数或边长关系，再结合圆的度数作图，利用内接六边形的小三角形为正三角形是解题的关键． 【经典例题六 根据正多边形与圆的关系求边心距】 【例6】（23-24九年级上·云南德宏·期末）如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键． 【详解】解：解：连接、，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，的半径为2，正六边形内接于，则这个正六边形的边心距的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出，根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D 2．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为点G，则正六边形的中心角 ，边心距 ．    【答案】 /60度 【分析】正多边形的中心角等于除以边数；先证是等边三角形，推出，再利用得出，再利用勾股定理即可求出边心距． 【详解】解：在圆内接正六边形中，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆内接多边形的知识，熟练掌握中心角和边心距的求法是解题的关键．边心距：正多边形的外接圆的圆心到正多边形边的距离． 3．（23-24九年级上·西藏日喀则·阶段练习）如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距． 【答案】正方形ABCD的边长为，边心距为． 【分析】过点O作，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出，然后在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过点O作，垂足为E， ∵正方形是半径为R的⊙O内接四边形，， ， ． 在中，， 由勾股定理可得 ， ， ， ， 即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于． 【经典例题七 正多边形与圆中的最值】 【例7】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得，即可判断①正确；根据最长时，为直径，可判定②正确；在上取一点E，使，可得是等边三角形，从而，有，可判断③正确；过点A作于点，根据直角三角形的性质以及勾股定理，即可判断④是错误的；把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，因为，则，再结合②，即可作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故①正确； 因为当最长时，则为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在上取一点E，使，如图： ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 由③知，则， 过点A作于点，如图所示： 在中，， 则， 因为 所以 在中，， ∵是等边三角形， ，故④是错误的； 把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，如图所示： 因为， 所以是等边三角形， 易知 所以 则 要使四边形最大面积，则最大 此时为的直径 由②知， 则 所以 因为 所以在， 那么 则，故⑤是正确的； ∴正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识内容，解题的关键是正确作辅助线，构造三角形全等解决问题． 1．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：）（    ） A． B．100 C． D． 【答案】D 【分析】依题意，画出圆形硬纸板最小时的图形，设圆形硬纸板的圆心为O，延长交于P，连接、、，则，证明点O在上，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，设圆形硬纸板的圆心为O，延长交于P，连接、、， 则，， ∵垂直平分，， ∴点O在上，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， 故圆形硬纸板的最小直径为． 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形与圆的有关计算，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和垂径定理是解答的关键． 2．（2021·浙江金华·一模）如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值： （1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间： ．（填①或②） （2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是 ．（用含a的代数式表示） 【答案】 图① 【分析】(1)图①由10个正六边形构成，图②由10个正六边形和4个正三角形构成，分别计算出其面积比较大小即可， (2)要装24支铅笔，要使纸盒底面最小，按图①方式排每个正六边形相邻的空间最小计算出半径即可； 【详解】（1）∵一个正六边形可以分为6个全等的等边三角形，且边长为 ∴小三角形的高= ∴ ， 图①由10个正六边形构成 ， 图②由10个正六边形和4个正三角形构成 ∵ ∴图①更节省空间 故答案为：① （2）由（1）可知，每个正六边形相邻空间最小，此时的盒地面半径最小，如图 以中点O为圆心，OA长为半径纸盒底面半径最小,过O点作OB⊥AB，由（1）可知，OB= 在Rt△AOB中，AB=a，OB OA= 纸盒底面最小半径是 故答案为： 【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，正多边形的面积，勾股定理，以及圆的知识，解题的关键要读懂题意画出示意图． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）用长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有几种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大？ 【答案】圆形场地． 【分析】分别求出各个正多边形和圆的面积，再比较不同图形面积的大小即可． 【详解】解：围成圆形场地面积较大．理由如下： ∵正三角形的周长为60m，则边长为20m， ∴正三角形的面积＝＝100（m2） ∵正方形的周长为60m，则边长为15m， ∴正方形的面积＝15×15＝225（m2）； ∵正六边形的周长为60m，则边长AB＝60÷6＝10（m）， 过O作OC⊥AB于C，如图所示： ∵AB＝BO＝AO＝10， ∴AC= ∴CO＝， ∴正六边形面积为＝×10×5×6＝150（m2）； ∵2r＝60， ∴r＝， ∴S＝r2＝（m2）； ∵100＜225＜150＜， ∴圆的面积最大． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的性质；熟练掌握正多边形和圆的面积的计算方法是解决问题的关键． 【经典例题八 尺规作图—正多边形】 【例8】（2020·河北沧州·二模）如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 2．（2021九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 3．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键． 【经典例题九 正多边形与圆中的规律性问题】 【例9】（23-24九年级上·北京·单元测试）先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次计算出第一个，第二个，第三个正方形的边长，得到规律，即可求得． 【详解】解：由于圆内接正方形的边长与圆的半径的比为，内接正方形的内切圆的半径与正方形的边长的比为， 即这样做一次后，圆的内接正方形的边长为×=1； 做第二次后的正方形的边长为； 依次类推可得：第n个正方形的边长是（）n-1， 则做第7次后的圆的内接正方形的边长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接（外切）正方形的边长与圆的半径的关系，找到规律是解题的关键． 1．（2018·广西防城港·一模）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A11B11C11D11E11F11的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：连接OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2，然后化简即可． 详解：连接OE1，OD1，OD2，如图， ∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形， ∴∠E1OD1=60°， ∴△E1OD1为等边三角形， ∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切， ∴OD2⊥E1D1， ∴OD2=E1D1=×2， ∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2， 同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2， 则正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2=． 故选A． 点睛：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径． 2．（23-24九年级上·湖南湘西·期中）如图1，图2，图3⋯，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是 ． 【答案】 【分析】作多边形的半径，根据多边形的性质可证，得，再根据“等边对等角”得，于是可得，从而可证则，因此． 本题考查了正多边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角、正多边形中心角等知识点，解题的关键综合运用这些性质解题． 【详解】不失一般性，设时的情形，可以推广到一般情况．连接，如下图 由正多边形的性质知： ∴ ∴ 由得： ∴ 即： 又∵ ∴ ∴ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：． 3．（22-23九年级下·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 【答案】(1) (2)， (3)随着n的增大，越来越接近于1，见解析 【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可； （2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可； （3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：假设正方形边长1， ∴此时正方形的内切圆半径为， ∴； 设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键． 【经典例题十 多边形与圆中的证明】 【例10】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图，点P是正六边形内部一个动点，，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为（　　）． A．18 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】此题考查了正多边形的性质，根据正六边形的性质求出正六边形的“边心距”，再将问题转化为“边心距”的6倍即可．． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，过点O作，垂足为T， ∵正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴， 过点P分别作正六边形的各条边的垂线，垂足分别为M、N、S、Q、G、H， 则点P到这个正六边形六条边的距离之和， 故选：B． 1．（23-24九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握求正多边形中心角的方法，旋转的性质． 连接，根据正六边形的性质推出，进而得出，，则，再根据旋转的性质，依次得出前几次旋转的点A的对应点坐标，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：如图所示，连接， ∵该六边形为正六边形， ∴，， ∵轴，正六边形中心与原点O重合， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 第1次旋转结束时，点A的坐标为； 第2次旋转结束时，点A的坐标为； 第3次旋转结束时，点A的坐标为； 第4次旋转结束时，点A的坐标为， ∵4次一个循环， ∴ 第2023次旋转结束时，点A的坐标为． 故选：A． 2．（2024·河北石家庄·三模）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）先求出正六边形的一个内角的度数，再结合等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）连接交于，连接，交于，则，当、重合时，点到线段的值最大，为，证明是等边三角形，得到，故，由含的直角三角形的性质得出，，从而求出，的长，最后由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：正六边形的一个内角为， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接交于，连接，交于，则， ， ∴当、重合时，点到线段的值最大，为， 由正六边形的性质可得：， ∴是等边三角形， ∴，故， ∵， ∴，， ∴，， ∴的最大值为， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据圆心角的计算可得，，由此可得，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得，根据三角形内角和可得，根据正十边形的性质，内角和定理可得，由此可得，根据平行线的判定即可求解； （2）根据（1）的计算，可得，，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，则， ∵是内接正十边形的边长， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵内接正十边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多形的性质，多边形内角和定理，圆心角的计算，等腰三角形的性质，同弧所对圆心角与圆周角的关系，平行线的判定等知识，图形结合分析是解题的关键． 【经典例题十一 正多边形与圆的综合】 【例11】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在边长为4的正五边形中，按以下步骤作图：①连接；②以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，③分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F；④作射线交线段于点G；⑤连接；则四边形的周长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】先求解正五边形的每一个内角为108度，再求解，证明，可得，同理可得，从而可得答案． 【详解】解：∵边长为4的正五边形， ∴， ， ∴， ∴， 由作图可得：， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形的周长为； 故选B 【点睛】本题考查的是作角平分线，等腰三角形的判定与性质，正五边形的性质，掌握正多边形的性质是解本题的关键． 1．（2024·山东德州·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B．3 C． D．3.14 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ，的半径为1， ， ， 故圆内接正十二边形的面积为：， 的面积为， ，即的估计值为． 故选：B． 2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形．熟练掌握圆内接正六边形的性质，等边三角形的判断和性质，含的直角三角形性质，是解题关键．含的直角三角形性质：三边是的关系． 连接、，根据圆内接正六边形的性质得到是等边三角形，得到，推出，，得到，得到，推出，，得到是等边三角形，即得． 【详解】连接、， ∵六边形是圆内接正六边形，圆的半径为12， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 3．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）见解析 【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得； （2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案； （3）由，，，可得，，即可求得答案； （4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、， 则、、、经过点，， ，， 四边形、是正方形， ， 是正八边形， ，， ， ， 同理， ， ； （2）正八边形的边长为2， ， 由（1）知：、、均为等腰直角三角形， ，， ； （3），理由如下： 由（2）知：，，， 可得，， ， ； （4）如图： 连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）一个圆的半径为1，则该圆的内接正六边形的周长为（    ） A．1 B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要正六边形外接圆、等边三角形的性质等知识点，说明为等边三角形是解题的关键． 首先求出,进而证明为等边三角形，即可求得正六边形的边长为1，进而求得周长． 【详解】解：如图： ∵， ∴为等边三角形， ∴正六边形的边长为， ∴该圆的内接正六边形的周长为6． 故选：B． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列关于正多边形的叙述，正确的是（     ） A．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为 C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，轴对称和中心对称图形，根据正多边形和圆的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，原说法错误，不符合题意； B、任意一个正多边形，它的外角和为，原说法错误，不符合题意； C、任何正多边形都有一个外接圆，正确，符合题意； D、正三角形的每个外角都是对应每个内角的两倍，原说法错误，不符合题意； 故选C． 3．（23-24九年级上·广东湛江·期末）一个正方形的边长为，则它的内切圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、正多边形与圆等知识，正确地求出正方形的边心距是解题的关键． 先证明正方形的两条对角线的交点为正方形的内切圆的圆心，再从该圆心向正方形的一边作垂线，得到该正方形的边心距，求出它的长即得到该正方形的内切圆的半径，再求出该正方形的内切圆的面积即可． 【详解】解：如图，正方形的对角线、BD交于点O， ，，， ， 点O是正方形的外心，也是它的内心， 作于点E，以点O为圆心，以为半径作，则是正方形的内切圆， ， ， ， ， ， ， 该正方形内切圆的面积为． 故选：B．    3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形内角和公式、正多边形的中心角，根据多边形的内角和可以求得的度数，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ，， ， 故选：D． 5．（2024·浙江·模拟预测）要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 （   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，要使整个草坪都喷到水，必须计算出正方形的外接圆的面积是解题的关键．根据已知可计算得到每个喷水龙头的喷洒面积，及正方形的外接圆的面积，则此时就不难求得需安装这种喷水龙头的个数． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的外接圆的半径是，则其外接圆的面积是， ∵每个喷水龙头喷洒的面积是， 则． 故选：B． 6．（2023·河南·模拟预测）2024年春节期间，河南多地大范围降雪． 如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形 ）的图形，放在平面直角坐标系中，若 与 轴垂直，顶点 的坐标为 ，则顶点 的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查图形与坐标、正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．设正六边形的中心为点，连接、、，连接 交 与点，则 ．利用正多边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等可求，，证明轴，结合点A的坐标即可求解． 【详解】解∶设正六边形的中心为点，连接、、，连接 交 与点，则 ． 正六边形 的边长为4， ，，， ，，， ， ， ． ，， 是等边三角形， ， 又轴， 轴， ． 故选∶D． 7．（2024·贵州黔南·一模）如图，正六边形内接于，为上的一点（点不与点，重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，连接 ，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出 是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（2023·四川成都·模拟预测）如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，连接，，，由圆内接四边形的性质可得到，，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：连接，，， 正方形内接于， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：D． 9．（2024·宁夏银川·二模）如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的大小为 ．    【答案】/144度 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，作出圆中常用辅助线是解题的关键．连接，正多边形的性质得的度数，由圆周角定理得的度数，再圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵正五边形的外接圆为， ∴四边形是内接四边形， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（2024·安徽淮北·二模）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查正多边形与圆，连接，根据正多边形的性质可得：，进而得到，，再根据即可求解． 【详解】解：连接， 根据题意得：， ， ， ， 故答案为：． 11．（2024·江苏徐州·二模）蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．先求出正六边形的外角为，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 正六边形的外角和为， 它的每一个外角都为， ， 为等边三角形， ， 共需要正六边形的个数为， 故答案为：6． 12．（2024·河北石家庄·二模）某厂家要设计一个装截面为正方形木条的圆柱形纸盒（横截面如图），已知每条木棍形状、大小相同，底面均为边长为的正方形，目前厂家提供了装不同数量木条的圆柱形纸盒的收纳设计方案． 图1            图2 （1）如果要装1支木条，如图1，圆柱形纸盒最小的底面积为 ． （2）如果要装2支木条，如图2，圆柱形纸盒最小的底面积为 ． （3）如果要装3支木条，圆柱形纸盒最小的底面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正方形的性质，勾股定理； （1）根据底面圆的直径为正方形的对角线，即可求解； （2）根据题意，底面圆的直径为2个正方形的对角线，即可求解； 【详解】（1）依题意，正方形的对角线长为， 则底面半径为， ∴圆柱形纸盒最小的底面积为， 故答案为：． （2）依题意，底面圆的直径为 ∴底面圆的半径为， ∴圆柱形纸盒最小的底面积为， 故答案为：． （3）解：如图所示，为下方正方形边的中点， 设，则， 在中，， 在中， ∵ ∴ 解得： ∴ ∴底面圆的半径为， ∴圆柱形纸盒最小的底面积为， 故答案为：． 13．（2024·上海闵行·三模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】设中间正六边形的中心为，连接．判断出，的长，可得结论．本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：设中间正六边形的中心为，连接． 点，的坐标分别为，，图中是7个全等的正六边形， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为： 14．（23-24九年级下·河北沧州·期中）如图，六边形是的内接正六边形． （1）若的半径为1，则六边形的周长为 ． （2）设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 【答案】 6 2 【分析】本题考查正多边形和圆、三角形的面积、全等三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接,由正六边形的性质得到把圆六等分，推出可得到、是等边三角形，可得,进而确定六边形的周长；再证明可得，再说明、，然后结合图形即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵六边形是的内接正六边形， ∴把圆六等分， ∴， ∵， ∴、是等边三角形， ∴， ， ∴， 由圆和正六边形的性质可得，， 由圆和正三角形的性质可得：， ∵， ∴． 故答案为：6,2． 15．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查运用所学的基本尺规作图，实际作图问题，掌握好基本的尺规作图，与实际问题的结合． 【详解】解：方法一：（1）用量角器画圆心角，； （2）连接，，，则为圆内接正三角形． 方法二：（1）用量角器画圆心角； （2）在上用圆规截取； （3）连接，，，则为圆内接正三角形． 方法三：（1）作直径； （2）以为圆心，以长为半径画弧，交于，； （3）连接，，，则为圆内接正三角形． 方法四：（1）作直径； （2）分别以，为圆心，长为半径画弧与分别交于点，，，； （3）连接，，（或连接，，， 则（或为圆内接正三角形． 16．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知正六边形的半径是，求正六边形的边长和面积． 【答案】，． 【分析】本题考查了正多边形和圆，过点作于，先求出正多边形的中心角，再根据等腰三角形的性质和勾股定理解答即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵是正六边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴． 17．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），求的大小．    【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，    是正五边形， ， ． 18．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角的计算，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）连接，由圆周角定理即可求出，由全等三角形的判定与性质即可得到； （2）连接，分别求出图②③中的的度数，由全等三角形的判定与性质即可得到； （3）由前三个图可得到规律在正n边形中，的度数为． 【详解】（1）解：如图1中，连接． ， 分别为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图②，连接， 为正方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ； 如图③，连接， 为正五边方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ， 故答案为：，； （3）在图①中，， 在图②中，， 在图③中，， 故在正n边形中，的度数为， 故答案为：． 19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了多边形内角和，图形的变化规律，圆周角定理，等边三角形性质，三角形外角性质，利用解答中反映长的规律解答是解题的关键． （1）利用等弧所对的圆周角相等和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可； （2）利用（1）中解答过程反映出的规律解答即可． 【详解】（1）解：图①中， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∴， 同理图②中，， ， 图③中，， ， 故答案为：；；； （2）由（1）知：的度数等于圆内接正多边形的一个内角， ∵正n边形的每一个内角等于， ． 20．（2024·辽宁鞍山·三模）【发现问题】 蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．    【提出问题】 在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系? 【分析问题】 同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据 第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 … 拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 … 然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．      为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式． 【解决问题】 (1)直接写出y与x的关系式； (2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数； (3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（） 【答案】(1) (2)8个 (3)469个 【分析】 本题主要考查求二次函数式，二次函数的应用以及正多边形和圆： （1）运用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可； （3）设正六边形其它顶点分别为，连接，，求出，，设第一层有x个正六边形模具，求出拼接图案的最大宽度为，最大高度为，分拼接图案的高与长方形桌子的长平行和拼接图案的高与长方形桌子的宽平行两种情况求出x的值，代入函数关系式求出y的值即可求解 【详解】（1） 解：设y与x之间的函数关系式为， 将点代入关系式，得： 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由（2）知，， 将代入，得， 解得，，（不合题意，舍去） 所以，他拼接成的图案中第一层有8个六边形模具； （3） 解：如图，设正六边形其它顶点分别为，连接，，    由正六边形及其外接圆的性质得，为的直径，，线段的长即为边，间的距离， ∴， ∴ ∵的长为， ∵的周长为， ∴的直径，即， ∴， 设第一层有x个正六边形模具， ∴第x层的正六边形模具个数最多，有个，拼接成的图案共有层，其中有x层的高度按的直径计算，层的高度按正六边形的边长计算， 所以，拼接图案的最大宽度为，最大高度为， ①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时，有， 解得，， ∵x为整数， ∴x最大取12； ②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，有， 解得，， ∵x为整数， ∴x最大取13； 将代入，得，； 将代入得，， ∵， ∴最多可以放下469个正六边形模具 学科网（北京）股份有限公司 $$