专题04 圆周角定理与圆内接四边形重难点题型专训（10大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题04 圆周角定理与圆内接四边形重难点题型专训（10大题型+20道拓展培优） 题型一 圆周角的概念辨析 题型二 利用圆周角定理求角度 题型三 利用圆周角定理求长度 题型四 利用圆周角定理求面积 题型五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题 题型六 半圆所对的圆周角是直角问题 题型七 90°的圆周角所对的弦是直径问题 题型八 已知圆内接四边形求角度 题型九 求四边形外接圆的直径 题型十 圆周角综合问题 知识点一、圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【经典例题一 圆周角的概念辨析】 【例1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列四个命题中不正确的是（    ） A．直径是弦 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 3．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【经典例题二 利用圆周角定理求角度】 【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，且，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，内接于，是的直径，点是圆上一点，连接，，，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，锐角三角形内接于，于点，的延长线交线段于点．若，，则的度数为 ． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结．设交于点E． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【经典例题三 利用圆周角定理求长度】 【例3】（2024·陕西榆林·三模）如图，矩形内接于，若，则的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 1．（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，的直径垂直于弦，垂足是，，若点平分，则的长为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 3．（2024·湖南娄底·三模）如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于、两点，点为劣弧上一个动点，且、． (1)的度数为 ； (2)如图2，连接，取中点，则的最大值为 ； (3)如图3，连接、、、．若平分交于点，求的长； 【经典例题四 利用圆周角定理求面积】 【例4】（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图所示，的半径是3，直线l与相交于A，B两点，点M，N在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点D．若的半径为，，则的面积是（    ）    A．3 B．1.5 C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，的半径为，，，点是弧上的动点（不与、重合），过点作，与的延长线交于点，则面积的最大值为 ． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知，点是下方一点，且，求四边形面积的最大值． 【经典例题五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题】 【例5】（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，作于点，连接．则的度数为（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点均在上，且是直径，点为优弧的中点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南信阳·三模）如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形内部找一点E，使得．，则线段的最小值为 ． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为的直径，弦交于点 E（E不与O重合），且 ． (1)如图1，求证： (2)如图2，点 P为上一点，连接交于点 F，，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，连接交P于点G，若，求的半径． 【经典例题六 半圆所对的圆周角是直角问题】 【例6】（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，是的直径，C是上的一点，若，于点D，则的长为（　　）    A． B． C． D． 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，连接对角线与交于点，且为的直径，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东汕尾·期末）如图，是边长为2的等边三角形，点P是边上一动点，以为直径的圆交于点则Q，线段的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径及的长． 【经典例题七 90°的圆周角所对的弦是直径问题】 【例5】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为（　　） A．10 B． C．5 D． 1．（23-24九年级下·内蒙古通辽·期中）如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东威海·期中）如图，在矩形中，，点P是矩形内一动点，连接，，，若，则的最小值为 ．    3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．    (1)连接，求的度数； (2)若，求的长． 【经典例题八 已知圆内接四边形求角度】 【例8】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东烟台·期中）如图，四边形是的内接四边形，，连接，，，，．则的度数是 ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，四边形内接于，，，垂足为． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【经典例题九 求四边形外接圆的直径】 【例9】．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 3．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2,∠ADB=45°. 求⊙O半径的长. 【经典例题十 圆周角综合问题】 【例10】（2024·山东济南·二模）已知，作图． 步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线． 步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C； 步骤3：连接，． 则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．垂直平分 D． 1．（2024·辽宁大连·二模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C．4 D．3.5 2．（2024·四川泸州·三模）如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 1．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2、（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，以为直径的中，点C为圆上的一点，，弦于点E，弦交于点H，交于点G．若点H是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5、（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北·中考真题）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点在上，为的直径，，，是的中点，与相交于点，则的长为（　　）      A． B． C． D． 8．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，中，，以为直径的半圆交的边于、两点，为圆心，且，则长为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，是直径，弦，垂足为，若，，则的半径为 ． 10．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知四边形中，，，，则 ． 11．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，内接于，是的直径，于点，连接，半径，连接，于点若，则的长为 ． 12．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知、是的两条弦，且，，，分别连接、并延长，两线相交于点，若，则的半径为 ． 13．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，半圆的直径，弦，把沿直线对折恰好与重合，则的长为 ． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，四边形内接于以为直径的，平分，若四边形的面积是，则 cm． 15．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，C，D是圆上的两点，，且C为弧的中点，，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆的半径． 16．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 17．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知是半径为1的的直径，C是圆上一点，D是延长线上一点，过点D的直线交于点E，交于点F，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求证：． 18．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，点C在半径上，在上取点D，使，过点A作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 19．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知为的直径且，A为上一个动点（不与点D、E重合），线段经过点E，且，F为上一点，，的延长线与的延长线交于点C． (1)求证：； (2)当点A在上运动时，求四边形的最大面积． 20．（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若点为的中点，的半径为，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆周角定理与圆内接四边形重难点题型专训（10大题型+20道拓展培优） 题型一 圆周角的概念辨析 题型二 利用圆周角定理求角度 题型三 利用圆周角定理求长度 题型四 利用圆周角定理求面积 题型五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题 题型六 半圆所对的圆周角是直角问题 题型七 90°的圆周角所对的弦是直径问题 题型八 已知圆内接四边形求角度 题型九 求四边形外接圆的直径 题型十 圆周角综合问题 知识点一、圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【经典例题一 圆周角的概念辨析】 【例1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可． 【详解】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆； （2）直径所对的圆周角是直角；正确； （3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直； （4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中； （5）圆内接四边形对角互补；正确； 故选：B． 【点睛】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列四个命题中不正确的是（    ） A．直径是弦 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧 【答案】C 【分析】用弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、直径是圆内最长的弦，正确； B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确； C、顶点在圆周角上且两边都与圆相交的角是圆周角，故错误； D、半径相等的两个半圆是等弧，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念等知识． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形，圆的知识，解题的关键是掌握点为内部的一个动点，点会随点的运动而运动，当点、、三点构成时，，当点、、三点共线时，即点在线段上时，，则，根据点的运动轨迹，则点在以点为弦，圆心为点，以点，点组成圆心角的圆弧上运动，当点与点重合，点与点或点重合时，有最大值，；当点与点重合时，有最小值，；得到，即可． 【详解】由题意得，点为内部的一个动点，点会随点的运动而运动， 当点、、三点构成时，， 当点、、三点共线时，即点在线段上时，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点在以点为弦，圆心为点，以点，点组成圆心角的圆弧上运动 ∴当点与点重合，点与点或点重合时，有最大值，； 当点与点重合时，有最小值，； ∴， 由可得：． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【答案】 【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】连接OD， ∵CD=OA=OD, ， ∴∠ODE=2， ∵OD=OE， ∴∠E=∠EDO=， ∴∠EOB=∠C+∠E=. 【点睛】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 【经典例题二 利用圆周角定理求角度】 【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，且，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据圆周角定理，三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图，设于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，内接于，是的直径，点是圆上一点，连接，，，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，圆周角定理；由圆的基本性质得，，由圆周角定理得，由等腰三角形的性质即可求解；掌握圆周角定理和圆的基本性质是解题的关键． 【详解】解：是的直径， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，锐角三角形内接于，于点，的延长线交线段于点．若，，则的度数为 ． 【答案】30°/30度 【分析】由圆周角定理得，，再根据等腰三角形的性质得出，于是推出，设，用含的式子表示、、，最后根据即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接、， 由圆周角定理得，，， ，， ， ， 设， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 解得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结．设交于点E． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据求出，求出，求出，根据圆周角定理得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）求出，求出，根据三角形内角和定理求出，求出的度数，再求出答案即可． 【详解】（1）证明：， ， （两边都减去）， ， 由圆周角定理得：， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ， ， ， 的度数是， ， ， 的度数是 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键． 【经典例题三 利用圆周角定理求长度】 【例3】（2024·陕西榆林·三模）如图，矩形内接于，若，则的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，连接，由四边形是矩形得到，则是的直径，由勾股定理求出，即可得到的半径． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∵，， ∴， ∴的半径为． 故选：D． 1．（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，的直径垂直于弦，垂足是，，若点平分，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到是等边三角形，得到，求出，因此，由圆周角定理推出，求出，得到． 【详解】解：如图，连接， 的直径垂直于弦，点平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是中点，， ， ， 是圆的直径， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形，圆周角定理，关键是由含角的直角三角形的性质求出的长，即可得到的长． 2．（2024·广东广州·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 4 【分析】（1）根据正方形内接于，得到是，根据，解得（舍去），解得即可． （2）根据正方形的性质，得到点A与点C是对称点，连接，交于点O，连接，则，过点C作，连接，则四边形是平行四边形，继而得到，继而得到，结合，故当三点共线时，取得最小值，得到周长的最小值． 【详解】解：（1）∵正方形内接于， ∴是的直径， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． （2）根据正方形的性质，得到点A与点C是对称点，， 连接，交于点O，连接，则， 过点C作， 连接，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值，得到周长的最小值． ∵， ∴， ∴， 故周长的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式的应用，圆的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用是解题的关键． 3．（2024·湖南娄底·三模）如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于、两点，点为劣弧上一个动点，且、． (1)的度数为 ； (2)如图2，连接，取中点，则的最大值为 ； (3)如图3，连接、、、．若平分交于点，求的长； 【答案】(1) (2)2 (3)2 【分析】本题考查坐标与图形，圆周角定理，垂径定理，中位线的性质等知识点． （1）由已知条件可以得到垂直平分，所以，由于，所以可以证得三角形为等边三角形，得到； （2）由于直径，根据垂径定理，可以得到是的中点，又是的中点，连接，则，，要求最大值，只需要求最大值，由于是劣弧上的一动点，故当，，三点共线，即为直径时，最大，此时最大； （3）由于直径，根据垂径定理，可以得到，所以，又平分，所以，可以证明，所以，由（1）可得，，所以． 【详解】（1）（1）连接，， 、， ， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 故答案为：120． （2）由题可得，为直径，且， 由垂径定理可得，， 连接，如图2， 又为的中点， ，且， 当，，三点共线时，此时取得最大值， 且， 的最大值为2， 故答案为：2． （3）连接，， 直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ． 【经典例题四 利用圆周角定理求面积】 【例4】（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图所示，的半径是3，直线l与相交于A，B两点，点M，N在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形面积的最值问题，圆周角定理，勾股定理，找到使四边形面积最大的点M与点N的位置是解题的关键．过点O作于C，交于D，E两点，连结，，，，，，先证明，得到为等腰直角三角形，求出的长，然后利用，得出当M点运动到D点，N点运动到E点，四边形面积最大值，由此计算，即得答案． 【详解】如图，过点O作于C，交于D，E两点，连结，，，，，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 当点M到的距离最大时，的面积最大，当点N到的距离最大时，的面积最大， 即M点运动到D点，N点运动到E点， 此时四边形面积的最大值 ． 故选B． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点D．若的半径为，，则的面积是（    ）    A．3 B．1.5 C． D． 【答案】B 【分析】连接、、，过C点作于E点，过O点作于F点，于H点，如图，先根据垂径定理的推论得到，则利用勾股定理可计算出，再根据折叠的性质得到和在等圆中，由于它们所对的圆周角相等得到，则，于是根据等腰三角形的性质得到，接着证明四边形为正方形得到，则可计算出，，所以，然后利用勾股定理计算出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：连接、、，过C点作于E点，过O点作于F点，于H点，如图， ∵点D为的中点， ，， 在中，， ∵沿折叠后刚好经过的中点D， ∴和在等圆中，又， ∴， ， ， ， ，， ∴四边形为正方形， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 在中，， ∴． 故选：B．    【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，的半径为，，，点是弧上的动点（不与、重合），过点作，与的延长线交于点，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，证明是等边三角形是解本题的关键．如图，作直径，连接证明和是等边三角形，是的直径时，面积的最大，可求解． 【详解】解：如图，作直径，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， 当是的直径时，的面积最大， 此时 的最大面积． 故答案为：． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知，点是下方一点，且，求四边形面积的最大值． 【答案】四边形面积的最大值为16 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知并结合图形分析当这两个三角形的高之和等于圆的直径时，四边形的面积最大是解题的关键．根据，可得，，，四个点在同一个圆上，因为四边形的面积等于两个三角形的面积之和，这两个三角形的底相同，所以当两个三角形的高之和等于圆的直径时，四边形面积最大． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， 是圆的直径，即，，，四个点在以为直径的圆上， ， ， 四边形的面积的面积的面积， 四边形的面积 ， 当与的和等于圆的直径时，四边形的面积最大， 即当时， 四边形的面积， 四边形面积的最大值为16． 【经典例题五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题】 【例5】（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，作于点，连接．则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据等角的余角相等得出，则在同一个圆上，根据同弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵， ∴ ∴ ∴在同一个圆上， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等角的余角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点均在上，且是直径，点为优弧的中点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，连接，得出，，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据点为优弧的中点，得出，进而根据三角形内角和定理得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直径，， ∴， ∵ ∴ ∵点为优弧的中点， ∴ ∴， ∴ ∴， 故选：B． 2．（2024·河南信阳·三模）如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形内部找一点E，使得．，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】以的中点O为圆心，为半径画圆，可得所画圆是的外接圆，弦左侧圆弧上任意一点E与构成的与共弦，可得，连接与圆的交点即为的最短距离，作于点H，可得是的中位线，根据勾股定理求出和的值，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，以的中点O为圆心，为半径画圆， 在矩形中，，， ∵， ∴所画圆是的外接圆， ∵弦左侧圆弧上任意一点E与构成的与共弦， ∴， 连接与圆的交点即为的最短距离， 作于点H，则， ∴H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题的关键是综合利用以上知识找到点E． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为的直径，弦交于点 E（E不与O重合），且 ． (1)如图1，求证： (2)如图2，点 P为上一点，连接交于点 F，，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，连接交P于点G，若，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，全等三角形性的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角函数等 （1）连接、，由同弧所对的圆周角相等得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2） 设，由圆周角定理得，由等腰三角形的性质得，，即可求证； （3）延长至点H，使，连接，过点H作，交延长线于点K，由等腰三角形的性质得 ，，由 可判定，由全等三角形的性质得，设，则，，，由正弦函数得，由此可求的值， 可求， 设，由勾股定理得 ，即可求解； 掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】（1）解：连接、， ， ， ， ， ； （2）解：为的直径， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：延长至点H，使，连接，过点H作，交延长线于点K． ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 设， 则， ， ， ， ， 解得：，或（舍去）， ，， 在中， ， 设， 则 ， ， ， ， 解得：， 的半径的长为． 【经典例题六 半圆所对的圆周角是直角问题】 【例6】（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，是的直径，C是上的一点，若，于点D，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由勾股定理，可求得的长，又由，根据垂径定理，易证得是的中位线，则可求得的长． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握数形结合思想的应用． 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，连接对角线与交于点，且为的直径，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，由同弧所对的圆周角相等得，根据三角形内角和定理可得，即可解答．掌握直径所对的圆周角为、直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵和所对的弧是，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 2．（22-23九年级上·广东汕尾·期末）如图，是边长为2的等边三角形，点P是边上一动点，以为直径的圆交于点则Q，线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握等边三角形的性质，圆周角定理，理解两点之间线段最短是解决问题的关键．过点C作于点N，连接，，则，，，进而得，根据“两点之间线段最短”得，则，由此可得的最小值． 【详解】解：过点C作于点N，连接，如下图所示： ∵为等边三角形，且边长为1， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵以为直径的圆交于点Q， ∴， ∵点N是斜边的中点， ∴， 根据“两点之间线段最短”得：， 即， ∴， 的最小值为． 故答案为． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径为，BF为 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，根据直径所对的圆周角是直角得，再结合，可得出，即可得证； （2）根据圆心角、弧、弦之间的关系得，在中，得，得出的半径，再根据，得，继而得到，设，则，在中，根据勾股定理得出， 解得：，即可得解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴的半径为， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为，的长为． 【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆心角、弧、弦之间的关系，直角三角形两锐角互余，等角对等边，勾股定理，等积法等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． 【经典例题七 90°的圆周角所对的弦是直径问题】 【例5】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为（　　） A．10 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由得出点E在以为直径圆上，求出的长度，当A、O、E三点共线时，取得最小值，据此即可得出答案． 【详解】解：设的中点为点O，以O为圆心，为直径画圆，如图： ∵， ∴点E在以O为圆心，半径为的圆上， ∴， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当A、O、E三点共线时，取得最小值， 此时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点E在“以O为圆心，半径为的圆上”是解决问题的关键． 1．（23-24九年级下·内蒙古通辽·期中）如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，由轴对称的性质及的圆周角所对的弦是直径，可知线段的最小值为的值减去以为直径的圆的半径，根据正方形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解：作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，如图： 动点在边长为的正方形内，且， 点在以为直径的圆上，， 正方形的边长为， ，， 是的中点， ， 点与点关于对称， ，， ， 在中，， 当共线时，最小 线段的最小值为： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 2．（23-24九年级下·山东威海·期中）如图，在矩形中，，点P是矩形内一动点，连接，，，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】由可得点P在以中点O为圆心为直径的圆上，连接交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点P在以中点O为圆心为直径的圆上，如图所示，    ∴连接交圆于点P，如图所示，此时的值最小    ∵矩形中，， ∴，， ∴， 根据勾股定理可得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．    (1)连接，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键． （1）根据是直径，求出，再根据点D在上且平分，求出的度数； （2）由题意得，利用勾股定理求出的长，即可求得的长． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵点在上且平分， ， ； （2）解：点D在上且平分， ， ， ， ， ． 【经典例题八 已知圆内接四边形求角度】 【例8】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得，．根据三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解． 本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵四边形是的内接四边形我 ∴， ，， ， ，，， ， 解得， ， ． 故选：C 2．（23-24九年级下·山东烟台·期中）如图，四边形是的内接四边形，，连接，，，，．则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由题意知，，则，，进而可求根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，四边形内接于，，，垂足为． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． （1）根据垂径定理得到垂直平分，，则，利用圆内接四边形的性质即可得到答案； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，再根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：延长交于点H， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ， 四边形是的内接四边形， ， （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ； 【经典例题九 求四边形外接圆的直径】 【例9】．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 1．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：连接，，， 在中，，， ， 点分别是和的中点， ，，，， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角等知识，解题的关键是正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质． 3．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2,∠ADB=45°. 求⊙O半径的长. 【答案】. 【分析】根据圆周角定理得∠ABC=90°，∠ACB=∠ADB=45°，然后在Rt△ABC利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∵∠ADB=45°， ∴∠ACB=∠ADB=45°， ∴BC=AB=2， ∴AC=， ∴⊙O半径的长为：. 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 【经典例题十 圆周角综合问题】 【例10】（2024·山东济南·二模）已知，作图． 步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线． 步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C； 步骤3：连接，． 则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，平行线的判定和性质，根据四量关系定理求出，根据垂径定理的推论得出垂直平分，根据圆周角定理得出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】解：．由作图可知：， ，垂直平分，故选项A、C正确，不符合题意； B．为半圆的直径， ，， ， ，选项B正确，不符合题意； C．的度数未知，和互余， 不一定等于， 不一定等于，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 1．（2024·辽宁大连·二模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C．4 D．3.5 【答案】C 【分析】过点E作于G，证明A、E、B、F四点共圆，得到，从而可证明，由勾股定理可求得，再求，从而求得，从而求得，即可由勾股定理得，代入即可求解． 【详解】解：过点E作于G， ∵ ∴ ∵正方形 ∴，， ∴ ∴A、E、B、F四点共圆， ∴ ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定．证明A、E、B、F四点共圆是解题的关键． 2．（2024·四川泸州·三模）如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段上，想到将军饮马，Q在以为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题． 【详解】解：连接，以为一条边在右侧作正方形，如图所示： 则， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 即点Q在上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为， ∵， ∴O、C、F在同一直线上， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等： （1）利用证明，即可； （2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可； （3）连接，取的中点F，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由为的直径，可得，从而得到，然后根据，可得，可证明，从而得到，即可． 【详解】解：（1）在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接，取的中点F，连接， ∵的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 连接，根据平行线的性质求出根据圆周角定理得到进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可. 【详解】解：如图, 连接, ， ， ∵是的直径, ， ， ∵四边形为的内接四边形， ， ， 故选: . 2、（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定和性质，连接，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理求出的长，得到为等腰直角三角形，得到，圆周角定理，得到，，利用三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴； 故选C 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，正方形的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，先由正方形和等边三角形的性质得到，，，，则，进而得到，再由等弧所对的圆周角相等得到，则的度数为，再求出的度数为，则的度数为． 【详解】解：如图所示，连接 ∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴ ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， 故选B． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，以为直径的中，点C为圆上的一点，，弦于点E，弦交于点H，交于点G．若点H是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．由圆周角求出，由弧的关系得出角的关系，求出，即可求解． 【详解】解：是直径， ， ， ， ， ， ， ， 点H是的中点，， ， ， ， ， 故选C． 5、（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、割线长定理的应用，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键； 根据题意作线段关于的对称线段，交圆于点，然后利用勾股定理和割线定理解答即可． 【详解】解：如图所示：作线段关于的对称线段，交圆于点 为圆的直径， ， ， 由对称轴的性质可知：，，， ， 由割线定理可知：， 即， 解得：， ， 故选：C． 6．（2024·湖北·中考真题）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 由题意得，为的平分线， ． 故选：． 7．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点在上，为的直径，，，是的中点，与相交于点，则的长为（　　）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、角平分线的性质定理等知识．过点作于．首先证明，设，根据勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于．   ， ， 是直径， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 故选：B． 8．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，中，，以为直径的半圆交的边于、两点，为圆心，且，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，余角性质，线段垂直平分线的性质，连接，可得，得到，，再由得到，即得，再得到，进而得到是的垂直平分线，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 故选：． 9．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，是直径，弦，垂足为，若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆综合．熟练掌握圆周角定理推论，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 连接，根据直径性质得出，再利用含角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理求出，即得．（方法不唯一） 【详解】连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴． ∴的半径为． 故答案为：． 10．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知四边形中，，，，则 ． 【答案】 【分析】以为圆心，长为半径作圆，延长交于，连接，在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解： ， 点，，在以为圆心，长为半径的同一个圆上，以为圆心，长为半径作圆，延长交于，连接， ， ， ，， 是的直径， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是作出以为圆心，长为半径的圆，构建直角三角形，从而求解． 11．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，内接于，是的直径，于点，连接，半径，连接，于点若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 根据垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，得到，求得，求得，于是得到，根据勾股定理即可得到结论 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知、是的两条弦，且，，，分别连接、并延长，两线相交于点，若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理和含角的直角三角形的性质．连接，根据，可知为直径，所以，根据，得，，所以，再根据勾股定理得，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 为直径， ， ，，， ，，则， ， 在中，， ， ， 的半径为． 故答案为：． 13．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，半圆的直径，弦，把沿直线对折恰好与重合，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理、圆周角定理和勾股定理等知识，在圆的有关计算中，作弦的弦心距是常见的辅助线之一．连接，作于，于，运用圆周角定理，可证得，即证，所以，根据勾股定理，得，在直角三角形中，根据勾股定理，可求的长． 【详解】解：如图，连接，作于，于． 根据题意知， ， 由折叠的性质可得， ， 点是弧的中点． ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，四边形内接于以为直径的，平分，若四边形的面积是，则 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查了直径对的圆周角是直角，全等三角形的性质和判定，关键在于运用转化思想，将四边形的面积转化为的面积．过A点作，交的延长线与点E，证明，从而得到四边形的面积等于的面积，然后证明出是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出的长度． 【详解】解：如图，过A点作，交的延长线与点E． ∵为的直径， ∴； ∵， ∴； ∵平分， ∴； ∴； ∴； ∴； 又∵， ∴； 又∵， 在和中， ， ∴； ∴； ∴； ∴； ∴； 故答案为：． 15．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，C，D是圆上的两点，，且C为弧的中点，，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用． （1）由已知条件可得出，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得出， 根据角的和差关系可得出， 最后根据三角形内角和即可得出答案． （2）由，可得出为直径，过点E作，证明，由全等三角形的性质可得出，，设，则，由勾股定理可得出，即可得出圆的半径． 【详解】（1）解：∵C为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴为圆的直径． 过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ∴， 即半径为5． 16．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等； （1）连接，由同弧所对的圆周角相等得，由同角的余角相等得，从而可得，由等腰三角形的判定及性质即可得证； （2）连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解； 掌握垂径定理，能构建直角三角形，并熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 设， ， ， ， ， 为直径，， ， 在中， ， ， 解得：，， 故的半径为． 17．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知是半径为1的的直径，C是圆上一点，D是延长线上一点，过点D的直线交于点E，交于点F，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由圆周角定理得出，则，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质得出，再证，得出即可； （2）由等边三角形的性质和三角形的外角性质得出，证，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：是半径为1的圆直径， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）得：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，点C在半径上，在上取点D，使，过点A作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据切线的性质可得，根据等腰三角形的性质和对顶角相等可知，从而可知，证得； （2）设，则，，，，根据勾股定理列出方程求解即可得出的值，从而求得的半径． 【详解】（1）证明：是的直径， ，即． 为的切线， ， ． ， ， ， ． （2）解：设，则． ， ， ，． ， ， ， 解得（舍去）或， ， ，即的半径为5． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，切线的性质，一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 19．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知为的直径且，A为上一个动点（不与点D、E重合），线段经过点E，且，F为上一点，，的延长线与的延长线交于点C． (1)求证：； (2)当点A在上运动时，求四边形的最大面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，首先证明四边形是矩形，推出，即可解决问题； （2）证明四边形是平行四边形，推出，根据题意计算即可； 【详解】（1）证明：连接， 是直径， ， ， ， 是直径， ， ， 四边形是矩形， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 矩形面积最大时，四边形的面积最大， 当时，矩形面积最大， 此时矩形面积最大值为：， 故四边形的面积最大值为． 20．（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若点为的中点，的半径为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关的知识． （1）连接，则，得到，结合平分可推出，根据平行线的性质并结合，交的延长线于点，即可证明； （2）连接，则，由圆周角定理和角平分线的定义可推出是等边三角形，得到，，推出，得到，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，则，   ， 平分， ， ， ，                ， ，交AE的延长线于点， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，则，    由（1）知， ， ， 点为的中点， ， ，         是等边三角形， ，，            由（1）知是的切线， ， ，       ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$