专题03 垂径定理及其推论重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题03 垂径定理及其推论重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优） 题型一 根据垂径定理求半径 题型二 根据垂径定理求长度 题型三 根据垂径定理求角度 题型四 根据垂径定理求面积 题型五 利用垂径定理求平行弦问题 题型六 利用垂径定理求同心圆问题 题型七 利用垂径定理求解其他问题 题型八 垂径定理的推论 题型九 垂径定理的实际应用 题型十 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型十一 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型十二 垂径定理中的最值问题 知识点一、圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 知识点二、垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【经典例题一 根据垂径定理求半径】 【例1】（2024·浙江杭州·一模）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 1．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，是的直径，弦，垂足为，若，，则的半径为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·北京海淀·期中）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的弦，为的中点，的延长线与交于点，若，，求的半径． 【经典例题二 根据垂径定理求长度】 【例2】（23-24九年级下·山东菏泽·期中）如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（    ）    A．5 B．8 C． D． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知的直径垂直弦于点，连接 并延长交于点，且 (1)求证：点是的中点； (2)若，求的长． 【经典例题三 根据垂径定理求角度】 【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，是直径，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，点在上，平分弦，连接，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在中，弦和弦（，都不是直径）构成的，M，N分别是和的中点，则的度数为 ． 3．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，是的直径，，延长交于点，弦于点，且． (1)求和度数大小； (2)若，求和的长． 【经典例题四 根据垂径定理求面积】 【例4】（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，则两圆组成的圆环的面积是（　　）   A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为，，，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 ．    3．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，    (1)求的长 (2)求四边形的面积 【经典例题五 利用垂径定理求平行弦问题】 【例5】（2022·四川遂宁·中考真题）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）的半径为，两条弦，，且，直径于点，则的值为 ． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【经典例题六 利用垂径定理求同心圆问题】 【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 1．（2013·重庆·二模）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 2．（23-24九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【经典例题七 利用垂径定理求解其他问题】 【例7】（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C是圆上的点，则此圆的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2020秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为3，函数7．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）已知内接于，，点D是上一点，则下列命题正确的是（    ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若平分，则 D．若平分，则四边形的面积 2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ． 3．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点． (1)求证：平分； (2)求证： (3)若，，求的半径． 【经典例题八 垂径定理的推论】 【例8】（2022九年级上·全国·专题练习）下列命题中错误的有（    ）． （1）弦的垂直平分线经过圆心      （2）平分弦的直径垂直于弦 （3）梯形的对角线互相平分      （4）圆的对称轴是直径 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，，，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（    ） A．7 B．10 C． D． 2．（2024·浙江温州·二模）图1是圆形置物架，示意图如图2所示，已知置物板，且点E是的中点，测得，，，，则该圆形置物架的半径为 cm． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D．连接，若，，求的长． 【经典例题九 垂径定理的实际应用】 【例9】（2024·安徽池州·三模）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 1．（2024·广西南宁·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为2.5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 米． 3．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【经典例题十 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例10】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在半圆O中半径为，，与交于点D （1）＝ ； （2）当点D恰好为的中点时，＝ ． 3．（2022春·山东烟台·九年级校联考期中）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则 ． 4．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在半圆O中半径为，，，与交于点D， (1)__________； (2)当点D恰好为的中点时，__________． 5．（2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆． 我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证； (2)请直接写出___________度，___________度； (3)若，求证． 【经典例题十一 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例8】．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（　　） A． B． C． D． 1．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）已知锐角，观察下图中的作图痕迹，判断下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．与互相垂直平分 D．连接、，是等腰三角形 2．（2022秋·九年级单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 3．（2023秋·北京·九年级清华附中校考期中）如图，是的直径，弦，分别过、作的垂线，垂足为、，以下结论 ①； ②； ③若四边形是正方形，则； ④若为弧的中点，则为中点． 所有正确结论的序号是 ． 4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．    (1)连接，判断与的位置关系，并证明； (2)若，，求圆O的半径； 5．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程 证明：如图2，在上截取，连接，，和 是弧的中点， ∴， …… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______. (3)如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长. 【经典例题十二 垂径定理中的最值问题】 【例12】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为直径，且，点为中点，点为线段上一动点，点，在上且满足，当垂直于时，若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 1．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，是的直径，是的弦，于点是上一动点，连接是的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 2．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，D 为 上一点，且，连接，在绕点O旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是弦上的一个动点，连接，过点作交于点． (1)试说明当点在的什么位置时，的长取得最大值？ (2)若，求长的最大值． 1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，的半径为，是的弦，若，则的长为 (      )． A． B． C． D． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，是锐角三角形的外接圆，．垂足分别为D，E，F，连接．若，的周长为20，则的长为（　　） A．8 B．4 C． D．3 3．（23-24九年级上·北京·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点P恰好在上，则线段的长度为整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为2.4米，水平木条和铅锤木条长都为0.4米，点C恰好落在上，则此月亮门的半径为（　　） A．2.1米 B．2.0米 C．1.9米 D．1.8米 7．（2024·江苏宿迁·二模）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（    ） A． B． C． D． 8．（2023·广西防城港·模拟预测）如图，半径为1的经过平面直角坐标系的原点O，与x轴交于点A，点A的坐标为，点B是直角坐标系平面内一动点，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，于，，，则的半径为 ．    10．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，是慈溪近日才通行的跨潮塘江大桥．该桥是明月湖基础设施工程的标志性建筑，采用七跨连续拱梁组合．最大桥拱跨径为米，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为米，则拱桥半径为 米． 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为 ． 12．（2023·浙江衢州·一模）某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 13．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 14．（2024·江苏常州·一模）图1是利用边长为的正方形绘成的七巧板图案，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域（点在圆上，点在上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 ． 15．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)把绕点顺时针旋转之后得到，请你画出，并直接写出各点坐标为 、 、 ； (2)画出的外接圆，求出点坐标为 ，并求出的半径 ． 16．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，AB是的直径，交弦CD于点E，点E是CD的中点． (1)若的半径为5，，则______，______； (2)若，，求的半径． 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，直径弦于点E，若，，求的长． 18．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如果设计成抛物线型，如图1，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； (2)如果设计成圆弧型，如图2，求该圆弧所在圆的半径； (3)有一艘宽为12米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，在两种方案下，此货船能否顺利通过该桥？并说明理由． 20．（2023九年级·安徽·专题练习）利用勾股定理或垂径定理解决下列问题： （1）如图，是的弦，是的中点．连接并延长交于点．若，则的半径是 ． （2）如图，弦直径于点．若，则 ． （3）如图，是的直径，弦，垂足为点．若，则的直径为 ． （4）如图，在中，于点．若，则的长为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 垂径定理及其推论重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优） 题型一 根据垂径定理求半径 题型二 根据垂径定理求长度 题型三 根据垂径定理求角度 题型四 根据垂径定理求面积 题型五 利用垂径定理求平行弦问题 题型六 利用垂径定理求同心圆问题 题型七 利用垂径定理求解其他问题 题型八 垂径定理的推论 题型九 垂径定理的实际应用 题型十 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型十一 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型十二 垂径定理中的最值问题 知识点一、圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 知识点二、垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【经典例题一 根据垂径定理求半径】 【例1】（2024·浙江杭州·一模）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，设的半径是r，由垂径定理得，根据勾股定理列得，即，求出r即可． 【详解】解：设的半径是r， ∵弦， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径长为10． 故选：C． 1．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，是的直径，弦，垂足为，若，，则的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考考查了垂径定理和勾股定理．作辅助线构成直角三角形，熟练掌握定理，是解决问题的关键． 连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求得半径为5． 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：B． 2．（23-24九年级上·北京海淀·期中）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是理解垂径定理构建关于半径r的等式．根据可得，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 此时有， 解得：， 紫砂壶的壶口半径r的长为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的弦，为的中点，的延长线与交于点，若，，求的半径． 【答案】的半径为． 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理及推论的应用，连接，由为的中点，则，故有，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接， ∵为的中点， ∴，， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴的半径为． 【经典例题二 根据垂径定理求长度】 【例2】（23-24九年级下·山东菏泽·期中）如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，，根据圆内接四边形的性质可得，由平分，可得，，，，再证明，，可得，，则，进而求得，可知，再由勾股定理即可求解，能根据角平分线正确作出辅助线是解此题的关键． 【详解】解：过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，， ∵平分，， ∴，，(圆内接四边形对角互补)， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则， ∴， 由勾股定理可得：，即：， ∴， 故选：D． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（    ）    A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先连接，根据已知条件求出，从而求出，然后根据勾股定理求出，由垂径定理求出答案即可． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案, 能熟记垂径定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，过O作于F，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知的直径垂直弦于点，连接 并延长交于点，且 (1)求证：点是的中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据垂径定理得出，证明，得出，同理：，证明是等边三角形，得出，根据直角三角形性质得出，即可证明结论； （2）根据，得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出结果． 【详解】（1）解：证明：如图，连接． ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 同理：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴ ∴是的中点． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含度角直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，证明是等边三角形． 【经典例题三 根据垂径定理求角度】 【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，是直径，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解，解题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 1．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，点在上，平分弦，连接，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂径定理，根据等边对等角可得，由，平分弦，可得，从而得到，最有由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】，， ， 平分弦， ， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在中，弦和弦（，都不是直径）构成的，M，N分别是和的中点，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】连接，利用垂径定理得，，再分类讨论，当在圆心异侧时（如图1），利用四边形内角和得结果；当在圆心同侧时（如图2），利用三角形内角和定理得结果． 【详解】解：连接， ∵M，N分别是和的中点， ∴，， 当在圆心异侧时（如图1）， ∵，， ∴； 当在圆心同侧时（如图2）， ∵，， ∴， 综上，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、四边形内角和定理、三角形的内角和定理；熟练掌握垂径定理，进行分类讨论是解决问题的关键． 3．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，是的直径，，延长交于点，弦于点，且． (1)求和度数大小； (2)若，求和的长． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）根据平行线的性质得出，由，可得出，再根据数量关系即可求解； （）利用垂径定理和角所对直角边是斜边的一半即可求解； 此题考查了垂径定理，勾股定理，角所对直角边是斜边的一半，解题的关键是熟练掌握以上知识点的的应用． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， （2）由（）得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， 同理可得：， ∴． 【经典例题四 根据垂径定理求面积】 【例4】（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的底边为定值， ∴使得底边上的高最大时，面积最大， 点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，    ∵，的半径为1， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键． 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，则两圆组成的圆环的面积是（　　）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先根据切线的性质定理和垂径定理证出，再根据相交弦定理求得的长，最后根据圆环的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：连接．   ∵大圆的弦与小圆相切于点P， ∴， ∴． ∵， ∴． 根据相交弦定理，， 得， 则两圆组成的圆环的面积是． 故选B． 【点睛】题目主要考查垂径定理及相交弦定理，理解题意，熟练掌握运用垂径定理及相交弦定理是解题关键． 2．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为，，，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 ．    【答案】 【分析】如图，连接，作于，则，，是等边三角形，是等腰直角三角形，，，，由，可知该三角形是以为直角边的直角三角形，然后求面积即可． 【详解】解：如图，连接，作于，    ∴， ∴， ∴是等边三角形，是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴三条弦组成的三角形的三条边的长为1，，， ∵， ∴该三角形是以为直角边的直角三角形， ∴面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．正确求解线段长度是解题的关键． 3．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，    (1)求的长 (2)求四边形的面积 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理； （1）设圆的半径为，在和中，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）勾股定理求得，进而求得， 然后根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：设圆的半径为， ，为半径 ，       在和中 即     解得舍， ， ； （2）在中，，       ，    ， ，   为中点，为中点， 为中位线， ，   ， ∴ 【经典例题五 利用垂径定理求平行弦问题】 【例5】（2022·四川遂宁·中考真题）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB， ∴AD=DB= AB= 在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2， 解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3， ∵AO=OE,AD=DB, ∴BE=2OD=6 故选B 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）的半径为，两条弦，，且，直径于点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】分AB、CD在圆心O的两侧、AB、CD在圆心O的同侧两种情况，根据垂径定理、勾股定理计算即可． 【详解】解： 当AB、CD在圆心O的两侧时，如图，连接OA、OC， ∵AB∥CD，MN⊥AB， ∴AP=AB=4，MN⊥CD， ∴CQ=CD=3， 在Rt△OAP中，OP==3， 同理，OQ=4， 则PQ=OQ+OP=7， ∴PC= = 当AB、CD在圆心O的同侧时，PQ=OQ-OP=1， ∴PC= =， 故答案为或 【点睛】本题考查勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解． 【经典例题六 利用垂径定理求同心圆问题】 【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 1．（2013·重庆·二模）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 2．（23-24九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 【答案】16 【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 【经典例题七 利用垂径定理求解其他问题】 【例7】（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C是圆上的点，则此圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，根据垂直平分线可得AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，再根据OB=OC即可列出方程求得x=7，最后再根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC， 则OB=OC，AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6， 设OD=x，则OE=16-x， ∵OB=OC， ∴OB2=OC2， ∴22+(16-x) 2=62+x2， 解得x=7， ∴r2=OB2=22+92=85， ∴圆的面积S=πr2=85π， 故选：B． 【点睛】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用，圆的面积公式，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键． 1．（2020秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为3，函数7．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）已知内接于，，点D是上一点，则下列命题正确的是（    ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若平分，则 D．若平分，则四边形的面积 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理及其推论、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练运用相关知识时解决问题的关键．根据垂径定理的推论即可判定选项A；画出图形即可判定选项B；延长至点F，使得，连接，证明，是等腰直角三角形，即可得到．所以选项C错误；根据选项C的结论即可判定选项D． 【详解】解：A、平分，如图1， 当为直径时，与不一定垂直，选项A不正确； B、如图2， ， ∴平分， ，得不到， 不一定平分， 则B不正确； C、如图3，延长至点F，使得，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故C错误； D、， 四边形的面积， 是等腰直角三角形， ， 四边形的面积，故D正确． 故选：D． 2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作于点，于点，利用垂径定理得到，，且易得四边形为矩形，进而得到，再利用等量代换即可得到． 【详解】解：作于点，于点， ，，， ， 易得四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． 3．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点． (1)求证：平分； (2)求证： (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的半径为 【分析】（1）首先由平行线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，进而可证明结论； （2）过点作于点，由垂径定理可得，再根据垂直的定义可得，然后利用平行线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （3）由（2）知，，可得，在中，利用勾股定理即可求解 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 平分； （2）如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， 又， ； （3）由（2）知，， ， ， ， ，， 的半径为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识的综合运用，作出辅助线是解决本题的关键． 【经典例题八 垂径定理的推论】 【例8】（2022九年级上·全国·专题练习）下列命题中错误的有（    ）． （1）弦的垂直平分线经过圆心      （2）平分弦的直径垂直于弦 （3）梯形的对角线互相平分      （4）圆的对称轴是直径 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的性质，垂径定理和四边形的识别，根据垂径定理可对命题（1）（2）进行判断，根据四边形的相关性质可对命题（3）进行判断，根据对称轴的定义可对命题（4）进行判断，熟练掌握相关性质是解本题的关键． 【详解】（1）弦的垂直平分线经过圆心，这个命题正确； （2）“平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦”才是正确的，所以命题（2）错误； （3）对角线互相平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以命题（3）错误； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，所以命题（4）错误； 因此以上命题中有3个命题是错误的， 故选：C． 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，，，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，直角三角形斜边上中线的性质，三点共线等知识是解决问题的关键． 连接，，由垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，进而得出点M在以O为圆心，以3为半径的上，得出当O、M、N三点共线时，有最小值，由，求出，进而求出，即线段的最小值为7． 【详解】解：如图1，连接，， ，， ，O是的中点， 是的中点， ， ， ， ∴点M在以O为圆心，以3为半径的上， 如图2，当O、M、N三点共线时，有最小值， ， ， ， ， ∴线段的最小值为7， 故选：A． 2．（2024·浙江温州·二模）图1是圆形置物架，示意图如图2所示，已知置物板，且点E是的中点，测得，，，，则该圆形置物架的半径为 cm． 【答案】14 【分析】本题考查三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，垂径定理的推论，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线找出圆心所在的直线是解题的关键． 【详解】过点B作于点M，取的中点Q，连接并延长交AC于点P， ∵Q是BM的中点，点E是的中点， ∴，， ∴点P、Q、E、F共线， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴四边形，也是矩形， ∴，，， ∴， ∴是的垂直平分线，即直线是直径所在的直线， 在上取圆心为O，连接， 设，则， 在Rt△APO中， ∴， 解得：， 故答案为：14． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D．连接，若，，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理；熟练掌握垂径定理的推论：：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦是解题的关键． 连接，根据垂径定理得出，；求出的值；设的半径为r，表示出的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出，；再根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可得的长． 【详解】解：连接，如图： ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【经典例题九 垂径定理的实际应用】 【例9】（2024·安徽池州·三模）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题关键．连接，过点O作，交于点E，交于点F，，利用垂径定理，得到，再利用勾股定理，，，即可求出平底烧瓶的高度． 【详解】如图，连接，过点O作，交于点E，交于点F， ∵， ∴， 且易知平分， ∵， ∴， 在和中，， 由勾股定理得，， ∴该烧瓶的高度为． 故选：D 1．（2024·广西南宁·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设圆的半径为寸，利用勾股定理列出方程是解题的关键．利用垂径定理和勾股定理求得圆的半径即可得出结论． 【详解】解：， （寸）． 设圆的半径为寸，则寸， 寸， ， ， 解得：． 圆柱形木材的直径是（寸）． 故选：C 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为2.5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 米． 【答案】1 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接交于点，得到，推出，利用勾股定理算出，最后根据即可解题． 【详解】解：连接交于点， 点为运行轨道的最低点， ， , 由题知米，米， 米， 米, 米． 故答案为：． 3．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆弧形水道外侧的半径为483米 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图： （1）如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）如图所示，连接，由垂径定理可得，米，则四点共线，设米，则米，由勾股定理得，解得，则米． 【详解】（1）解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）解：如图所示，连接， ∵C为的中点，点D为圆弧形道路内侧中点， ∴，米， ∴四点共线， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米． 答：圆弧形水道外侧的半径为483米． 【经典例题十 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例10】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答． 【详解】解：A、∵点A是中点， ∴， ∴， 无法得出，故选项A错误； B、如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项正确； C、∵， ∴，故选项C错误； D、无法得出，故选项D错误． 故选：B．    【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键． 1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案． 【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图， ∵C为折叠后的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，, ∴， ∵沿折叠得到，， ∴点C和点D关于对称， ∴， ∴， 故选C 【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系． 2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在半圆O中半径为，，与交于点D （1）＝ ； （2）当点D恰好为的中点时，＝ ． 【答案】 60° 【分析】（1）根据，，得 ，所以，由为圆O的直径，得，所以； （2）设，得，，，在中，根据勾股定理得，即可求出答案． 【详解】解：（1）,， ， ， ， 为圆O的直径， ， ； 故答案为：； （2）设， ∵点D恰好为的中点， ， 在中，， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得（舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理解决问题． 3．（2022春·山东烟台·九年级校联考期中）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则 ． 【答案】75°/75度 【分析】连接OA，OF，OE，根据等边三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦关系，求得∠AFE=120°，再根据正方形的性质求得∠O1FE=45°，计算角的差即可解答； 【详解】解：如图，连接OA，OF，OE， ∵FE=OF=OE，∴△OFE是等边三角形，∴∠OFE=60°，∴弧FE=60°， 由圆心角、弧、弦关系可得弧FE=弧ED=弧DC=弧CB=弧BA=60°， ∴弧AF=360°-60°×5=60°，∴∠AOF=60°， ∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AFO=60°， ∴∠AFE=∠AFO+∠OFE=120°， ∵O1是正方形的中心，∴∠O1FE=45°， ∴∠AFO1=∠AFE-∠O1FE=75°， 故答案为：75°； 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；等边三角形的判定和性质；正方形的性质；掌握相关性质是解题关键． 4．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在半圆O中半径为，，，与交于点D， (1)__________； (2)当点D恰好为的中点时，__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，得 ，所以，由为圆O的直径，得，所以； （2）设，得，，，在中，根据勾股定理得，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴， ∴ ， ∴， ∵为圆O的直径， ∴， ∴； 故答案为：60°； （2）解：设， ∵点D恰好为的中点， ∴， 在中，， ∴，， 在中，根据勾股定理得，， ∵圆O半径为，则， ∴， 解得（舍去 ）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理解决问题． 5．（2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆． 我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证； (2)请直接写出___________度，___________度； (3)若，求证． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)， (3)证明过程见详解 【分析】（1）根据题意，证明即可求证； （2）由（1）可知，在，中即可求解；根据定理一，可知四点共圆，由此即可求解； （3）根据定理二，如图所示（见详解），，证明是等腰三角形，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， 在，， ∴在中，， ∴； ∵，根据定理一，可知四点共圆，如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形，即， ∵是圆周角，且与圆周角所对弧相同， ∴， 故答案为：，． （3）解：如图所示，取的中点，连接， 由（2）可知，，， ∴在中，点是的中点， ∴根据定理二，可知，即， ∴是等腰三角形，且， ∵是外角， ∴， 在中，， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆、直角三角形、等腰三角形的综合，掌握圆的基础知识，定理一，定理二，等腰三角形的性质是解题的关键． 【经典例题十一 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例8】．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，首先证明，设,在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题 【详解】解：如图，连接． ， ，， 点D是弧的中点， ， ， ， ， 设, 在中，则有， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 1．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）已知锐角，观察下图中的作图痕迹，判断下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．与互相垂直平分 D．连接、，是等腰三角形 【答案】C 【分析】根据尺规作图可知所作的平分，据此结合等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质、垂直平分线的判定即可作答． 【详解】根据尺规作图可知所作的平分，， ∴， A项，∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴在中，，即有， ∵， ∴，故该项正确，不符合题意； B项，∵， ∴，故该项正确，不符合题意； D项，连接、， ∵是等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形，故该项正确，不符合题意； C项，根据图形只能证明垂直平分，不能证明垂直平分， 故该项不正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定，同圆中相等的圆心角所对应的弧也相等等知识，掌握等腰三角形的判定，是解答本题的关键． 2．（2022秋·九年级单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 【答案】 真命题 假命题 真命题 假命题 【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假． 【详解】解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题； 对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题； 对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题； 对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为和所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题． 故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题． 【点睛】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 3．（2023秋·北京·九年级清华附中校考期中）如图，是的直径，弦，分别过、作的垂线，垂足为、，以下结论 ①； ②； ③若四边形是正方形，则； ④若为弧的中点，则为中点． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，可得结论①②正确，证明，可得③错误；证明是等边三角形，可得④正确，从而可得答案． 【详解】解：连接、，如图， 、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ，故②正确， ，， ，故①正确， 当四边形是正方形时，， ， ， 故③错误， 若是的中点，连接，而 ， ， 是等边三角形， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键． 4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．    (1)连接，判断与的位置关系，并证明； (2)若，，求圆O的半径； 【答案】(1)，证明见详解 (2)5 【分析】（1），理由如下：延长交于点，连接，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可； （2）由（1）中结论，，，先证明，再根据勾股定理即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长交于点，连接，    ， ， ； （2）解：由（1）中结论，， ， ， 设的半径为，则， 在中，，即， 解得：，即的半径为5．    【点睛】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 5．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程 证明：如图2，在上截取，连接，，和 是弧的中点， ∴， …… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______. (3)如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可证明结论； （2）直接根据阿基米德折弦定理，即可证明结论； （3）过点作，根据阿基米德折弦定理，勾股定理求得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和． 是的中点， ． 在和中 ， ， ， 又， ， ． （2）解：根据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为 故答案为：． （3）解：如图所示，过点作， 由阿基米德折弦定理得：， ∵ ∴ ∴， ∴的周长为 【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，理解“截长法”是解答本题的关键． 【经典例题十二 垂径定理中的最值问题】 【例12】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为直径，且，点为中点，点为线段上一动点，点，在上且满足，当垂直于时，若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得出当时，最小，即最小，进而可得是等腰直角三角形，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接， ∵垂直于 ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴当时，最小，即最小， ∴是等腰直角三角形， 设， 则， ∵， 在中， 即 解得：（负值舍去） 故选：B． 1．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，是的直径，是的弦，于点是上一动点，连接是的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中位线定理，垂径定理，勾股定理等．根据题意可知当为直径时，有最大值，再利用中位线定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，于点， ∴连接， ∴，， ∴当为直径时，有最大值， ∴， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴的最大值为， 故选：C． 2．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，D 为 上一点，且，连接，在绕点O旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题 【详解】解：∵， ∴ ∵C为的中点， ∴， 在绕点O旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ∵， ∴， ∴ 又 ∴是等边三角形， ∵C为的中点， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为： 3．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是弦上的一个动点，连接，过点作交于点． (1)试说明当点在的什么位置时，的长取得最大值？ (2)若，求长的最大值． 【答案】(1)为中点位置； (2) 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理； （1）连接，如图，利用勾股定理得，利用垂线段最短得到当时，最小； （2）根据（1）得出、重合进而根据，求出即可． 【详解】（1）解：连接 又为半径是一个定值， 越小，越大 当为垂线段时，为最小值，则取最大值 为中点位置时，的长取得最大值． （2）由（1）知 、重合 的最大值是． 1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，的半径为，是的弦，若，则的长为 (      )． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、含角的直角三角形的性质，作于，则，由含角的直角三角形的性质可得，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：作于，则， ，的半径为， ， ， ， ． 故答案为：A． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，是锐角三角形的外接圆，．垂足分别为D，E，F，连接．若，的周长为20，则的长为（　　） A．8 B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、垂径定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 由垂径定理可得，根据三角形的中位线定理得到，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．（23-24九年级上·北京·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 4．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点P恰好在上，则线段的长度为整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，过点O作于点，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的范围，计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点， 则， 由勾股定理得：， 则， ∴线段的长度为整数的值有6、7、8、9共4个， 故选：C． 5．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，作出辅助线是解题的关键．作于M，于N，连接，，首先利用勾股定理求出的长，然后判定四边形是正方形即可得到答案． 【详解】解：作于M，于N，连接，， 由垂径定理得 勾股定理得：， 弦互相垂直， ， 于M，于N， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 故选：D． 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为2.4米，水平木条和铅锤木条长都为0.4米，点C恰好落在上，则此月亮门的半径为（　　） A．2.1米 B．2.0米 C．1.9米 D．1.8米 【答案】B 【详解】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识，掌握垂径定理的应用是解题的关键． 过O作于N，过C作于M，由垂径定理得米，再证四边形是矩形，则米，（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程求解． 【解答】解：过O作于N，过C作于M，如图2所示： 则米，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，（米）， 设该圆的半径长为r米， 根据题意得，， ∴， ∴， 即此月亮门的半径为2米． 故选：B． 7．（2024·江苏宿迁·二模）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，先求得，，利用垂径定理求得的长，在中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，如图，连接， ∴，， ∴， 设该圆的半径长是，则，， 在中，由勾股定理得，解得， ∴该圆的半径长是， 故选：． 8．（2023·广西防城港·模拟预测）如图，半径为1的经过平面直角坐标系的原点O，与x轴交于点A，点A的坐标为，点B是直角坐标系平面内一动点，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理及推论，等边三角形性质及应用，勾股定理的应用，作出辅助线是解题的关键．过点作于点，以为边在上方作等边，以为圆心，的长为半径作，连接并延长交于．根据勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，以为边在上方作等边，以为圆心，的长为半径作，连接并延长交于， 为等边三角形， ， 当在上时，， 在上运动，当运动到时，取最大值，最大值即是的长度， 经过平面直角坐标系原点，与x轴交于点A， 在的垂直平分线上， ， ， 半径为，所以， ， 是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， 共线， ， ， ， ， 最大值为． 故选C． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，于，，，则的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，连接，由垂径定理得，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴的半径为， 故答案为：． 10．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，是慈溪近日才通行的跨潮塘江大桥．该桥是明月湖基础设施工程的标志性建筑，采用七跨连续拱梁组合．最大桥拱跨径为米，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为米，则拱桥半径为 米． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；能够构造出由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算是解题关键．设，根据即可求解； 【详解】解：， ， 设米，则在中， 则 解得：， 故答案为： 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，垂径定理，勾股定理，过点作，设直线与轴交于点，求出两点坐标，勾股定理求出的长，等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：设直线与轴交于点，过点作，则， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2023·浙江衢州·一模）某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 【答案】 【分析】取与的交点为点G，由题意得，，，从而可得，，根据直角三角形的性质可得，，设，则，，进而可得，，再利用，列方程求解即可． 【详解】解：取与的交点为点G， 由题意得，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、垂径定理、平行线的性质、解一元一次方程，熟练掌握直角三角形的性质和垂径定理是解题的关键． 13．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径． 【详解】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于， ∴，， 由矩形的性质可知，， ∴三点共线， 设，则， 由勾股定理得，，即； ，即； ∵， ∴， 解得，， ∴或（舍去）， ∴纸杯的直径是， 故答案为：． 14．（2024·江苏常州·一模）图1是利用边长为的正方形绘成的七巧板图案，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域（点在圆上，点在上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、垂径定理、勾股定理、七巧板图案，根据不共线三点确定一个圆，根据对称性确定圆心的位置，进而根据垂径定理和勾股定理进行计算即可得出答案． 【详解】解：如图， ，正方形的边长为， 图1中的， 由图可得：，， 过左侧的三个端点、、作圆， ， ， 点在上，连接，则为半径， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 圆的半径为， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)把绕点顺时针旋转之后得到，请你画出，并直接写出各点坐标为 、 、 ； (2)画出的外接圆，求出点坐标为 ，并求出的半径 ． 【答案】(1)画图见解析，，，； (2)画图见解析，，． 【分析】（）根据旋转的性质，找，，对应点，，，然后连接即可； （）分别作垂直平分线即可； 本题考查了作图——旋转，垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，找，，对应点，，，然后连接即可， ∴即为所求，，，； （2）解：如图，分别作垂直平分线即可， ∴点，， 故答案为：，． 16．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，AB是的直径，交弦CD于点E，点E是CD的中点． (1)若的半径为5，，则______，______； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理及推论是解题的关键； (1)根据垂径定理推论得到，根据勾股定理即可求解； (2)根据垂径定理推论得到，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接 是的直径，是的中点， ， ， ， ， ， （2）解：是的直径，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故的半径为 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，直径弦于点E，若，，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，设，可得，代入数据即可求得的值，从而得到的长． 【详解】如图，连接，设， 则，． ∵直径弦于点E， ， ， ， ，（舍去）， ， ． 18．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)13m (2)10m 【分析】本题考查了垂径定理的应用： （1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可； （2）利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于G，与交于H． ，，，， ，，， 设圆拱的半径为r， 在中，， ， 解得， 圆弧形拱顶的半径的长度为； （2）解：， ， 在中，， ， 解得， ， ． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如果设计成抛物线型，如图1，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； (2)如果设计成圆弧型，如图2，求该圆弧所在圆的半径； (3)有一艘宽为12米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，在两种方案下，此货船能否顺利通过该桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)该圆弧所在圆的半径10米 (3)①在抛物线型上时，货船不能顺利通过该桥；②在圆弧型时，货船能顺利通过该桥；见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质和垂径定理的应用以及勾股定理， 根据题意得，和，结合点A和点B设抛物线的解析式为，代入点C即可求得a； 设圆心为O，连接交于E点，连接，可得圆心距和半径之间关系，利用勾股定理即可求得半径； 当在抛物线型上时，当时，，由于，则判断货船不能顺利通过该桥；当在圆弧型时，设米，过点G作交弧于点F，过点O作交于H点，连接，利用勾股定理求得，即可求得船顶距圆弧的距离，由于，则判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设圆心为O，连接交于E点，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得， 则该圆弧所在圆的半径10米； （3）①在抛物线型上时，当时，， ∵， ∴货船不能顺利通过该桥； ②在圆弧型时，设米，过点G作交弧于点F，过点O作交于H点，连接，如上图， 则， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴货船能顺利通过该桥． 20．（2023九年级·安徽·专题练习）利用勾股定理或垂径定理解决下列问题： （1）如图，是的弦，是的中点．连接并延长交于点．若，则的半径是 ． （2）如图，弦直径于点．若，则 ． （3）如图，是的直径，弦，垂足为点．若，则的直径为 ． （4）如图，在中，于点．若，则的长为 ． 【答案】 5 12 10 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接半径，由垂径定理列出方程即可； （2）连接半径，由垂径定理列出方程即可； （3）连接半径，由垂径定理列出方程即可； （4）根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接、，设的半径为 是的中点， ， ， 即 解得： 故的半径为． （2）如图，连接， 的半径为 弦直径 则由垂径定理有， 即 ． （3）如图，连接，设的半径为 是的直径，弦， 则由垂径定理有， 解得： 则 故的直径为． （4）， 由勾股定理可得 则在中，由勾股定理可得 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$