专题01 圆的基本概念重难点题型专训（10大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题01 圆的基本概念重难点题型专训（10大题型+20道拓展培优） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 点与圆的位置关系 题型六 三角形的外接圆 题型七 确定圆的条件 题型八 圆中角度的计算 题型九 圆中线段长度的计算 题型十 求一点到圆上点距离的最值 知识点一、圆的相关概念 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 （2）点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 知识点二、确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【经典例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（22-23九年级上·四川绵阳·开学考试）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，则的度数是 ． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的弦，，，垂足分别为M、N，且．    (1)与相等吗？为什么？ (2)判断与是否相等，并说明理由． 【经典例题二 求圆中弦的条数】 【例2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级下·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】 【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·四川·期中）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 3．（2024九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【经典例题四 圆的周长和面积问题】 【例4】（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 1．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为方便销售，售货员把直径都为7cm的啤酒瓶捆成如图的形状，如果每组分别捆5圈（接头处不计），每组至少需要绳子（    ）cm．（π取3.14） A．49.98 B．249.9 C．179.9 D．332.325 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，是编号为1、2、3、4的400m跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1m，内侧的1号跑道长度为400m，则2号跑道比1号跑道长 m；若在一次200m比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 m（π取3.14）． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 【经典例题五 点与圆的位置关系】 【例5】（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·四川凉山·模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西西安·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．    3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，矩形中，.作于点E，作于点F． (1)求、的长； (2)若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求的半径r的取值范围． 【经典例题六 三角形的外接圆】 【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（    ）. A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）数学活动课上，九（1）班同学在研究（）和等腰（）的外接圆时，有以下发现： 小明说“当时，这两个三角形的外接圆是等圆”； 小刚说“当，时，这两个三角形的外接圆是等圆”． 你认为说法正确的是（    ） A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对 C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 3．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 【经典例题七 确定圆的条件】 【例7】（2023秋·九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三个点确定一个圆 C．三角形外心到三边距离相等 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．（23-24九年级上·江苏·期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3）， 确定一个圆．（填“能”或“不能”） 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆． 【经典例题八 圆中角度的计算】 【例8】1（2023·甘肃白银·校考三模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形是平行四边形，交圆O于点F，则等于（    ）      A．15° B．30° C．45° D．60° 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在扇形中，为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则 °． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，点在的延长线上，交于点，，且．若，求的度数． 【经典例题九 圆中线段长度的计算】 【例9】（2023·全国·九年级专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为何（　　） A．4 B．5 C． D． 1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于点．若，则的长为（　　） A． B． C．1 D．2 2．（2023春·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，M是边上的一点，将沿对折至，连接，当的长最小时，则的长是 ．    3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，在射线上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点．求： (1)圆心O到的距离． (2)求的长． 【经典例题十 求一点到圆上点距离的最值】 【例10】（2023秋·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B．6 C．4 D． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中， ，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ．    3．（2023·河北衡水·统考二模）如图，和均为边长为的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的最小值； (3)若与垂直，求的长． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 2．（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，则下列结论中错误的是(   ) A． B． C． D．点是的外心 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，已知，点是的中点，以点为圆心作一个半径为的圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 5．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，P为上任意一点，E是的中点，则的最大值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的上运动，点Q是的中点，则长的最大值为（       ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，，，．若在中点M处建一个网络基站，该基站的覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 8．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 9．（2024九年级上·江苏·专题练习）若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 10．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 11．（22-23九年级上·广西河池·期中）如图，已知的半径为1，圆心的坐标为．点是上的一个动点，则的最大值为 ． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）在中，，，，D是边的中点，以点C为圆心，为半径作圆，则点D与的位置关系是 ． 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为 ． 14．（2024·江苏盐城·二模）如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，，连接并延长交于点E，若，则的最大值是 ． 15．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 16．（2024九年级上·江苏·专题练习）设，作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形． (2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 17．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 18．（2024·吉林长春·一模）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，找一格点C，连接，使； (2)在图②中，在线段上找一点C，连接，使； (3)在图③中，经过点A、B、M作圆，在优弧上找一点C，连接，使． 19．（23-24九年级上·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．    (1)直接写出圆心的坐标： ； (2)求的半径． 20．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径以及上，并且，若．    (1)求的长； (2)求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆的基本概念重难点题型专训（10大题型+20道拓展培优） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 点与圆的位置关系 题型六 三角形的外接圆 题型七 确定圆的条件 题型八 圆中角度的计算 题型九 圆中线段长度的计算 题型十 求一点到圆上点距离的最值 知识点一、圆的相关概念 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 （2）点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 知识点二、确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【经典例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， 综上所述，四个说法中正确的只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查圆中有关定义，能够熟练掌握圆的有关知识是解答本题的关键． 1．（22-23九年级上·四川绵阳·开学考试）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】半径相等的圆是等圆，所以①正确； 同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以②错误； 半圆是弧，但弧不一定是半圆，所以③正确； 平面上不共线的三点能确定一个圆，故④不正确； 故选：B． 2．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，则的度数是 ． 【答案】/27度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角定理，正确作出辅助线是解题的关键．由得到，则，而，因此，即可求出． 【详解】 解：连，如图， ，， ， ， 而， ， ， ， ， 而， ， 所以． 故答案为：． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的弦，，，垂足分别为M、N，且．    (1)与相等吗？为什么？ (2)判断与是否相等，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据垂直的定义得到，再由可证明，由此可得； （2）如图所示，连接，证明得到，同理得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了圆的基本形状，全等三角形的性质与判定，等角对等边等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题二 求圆中弦的条数】 【例2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 2．（23-24九年级下·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 【答案】 1 3 4 4 【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条， 故答案为1，3，4，4． 3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】 【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝2， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取OD＝OA＝4，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°， ∴BD＝4， ∴CD＝4+2， ∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点． 1．（23-24九年级上·四川·期中）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解． 【详解】∵圆中最长的弦为直径， ∴． ∴故选D． 【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦的范围． 【详解】解：A、是上不同的两点，， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 3．（2024九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【答案】的最大值为. 【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求. 【详解】连结，， ∵    ∴ ∴为等边三角形， ∵点，分别是，的中点 ∴，∵ 为的一条弦 ∴最大值为直径14    ∴的最大值为. 【点睛】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题. 【经典例题四 圆的周长和面积问题】 【例4】（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 【答案】A 【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即，又知绕行8段为一循环，则爬行一圈的路程为， ∵，， ∴行走后才停下来，那一个点为D点， 故选：A． 【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复的圈数，再由余数确定最终的位置． 1．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为方便销售，售货员把直径都为7cm的啤酒瓶捆成如图的形状，如果每组分别捆5圈（接头处不计），每组至少需要绳子（    ）cm．（π取3.14） A．49.98 B．249.9 C．179.9 D．332.325 【答案】B 【分析】根据一圈绳子长=一个圆周长+一个正方形周长，列出算式，进而即可求解． 【详解】解：一圈的长度为：（cm）， 5圈的长度为：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查几何图形的周长问题，掌握圆周长公式是关键． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，是编号为1、2、3、4的400m跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1m，内侧的1号跑道长度为400m，则2号跑道比1号跑道长 m；若在一次200m比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 m（π取3.14）． 【答案】 6.28 6.28 【分析】利用各跑道直线跑道相等，每条跑道宽1m，两个半圆相加得一个整圆列出式子对比即可． 【详解】解：设直线部分长为l米 1号： 2号： 3号： 4号： 2号比1号长： 4号起点比2号起点前移： 故答案为：6.28，6.28 【点睛】本题考查了列代数式，圆的周长公式，整式的加减等知识点，熟练掌握是解题的关键． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 【答案】(1)米 (2)不能省材料，理由见解析 (3)甲得到280元，乙得到320元 【分析】本题考查圆的周长公式，有理数混合运算解决实际问题． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可； （2）求出B方案中两个小花坛的直径，再根据圆的周长公式即可两个小花坛的周长之和，与（1）进行比较即可； （3）根据甲每天能完成工程的可求出甲原来每天的效率，进而可求出甲总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数，同理求出乙总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数． 【详解】（1）解：∵大圆花坛的半径为10米，则直径为20米， ∴两个小圆花坛的直径为（米）， ∴修两个花坛的周长为（米）． 故答案为：米 （2）解：不能省材料，理由如下： 根据B方案，两个小圆花坛的直径分别为： （米）， （米）， 它们的周长之和为（米） ∴方案B与方案A修的花坛的周长相等， ∴按照方案B修，与方案A比，不能省材料． （3）解：整项工程为（米）， 甲原来每天可以修（米）， 甲总共修了（米）， 甲得到的工资为（元）； 乙总共修了（米）， 乙得到的工资为（元）， 答：甲得到280元，乙得到320元． 【经典例题五 点与圆的位置关系】 【例5】（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【详解】解：连接交于，如图，    在中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键． 1．（2024·四川凉山·模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系． 由勾股定理可求得的长，进而得到的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为和长度之间时，B、C、D三点中只有点D在内，据此即可解答． 【详解】∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴．    由上图可知，当的半径时，点D在上， 当的半径时，点C在上，点D在圆内， 当的半径时，点B在上，点C、D在圆内， 当的半径满足时，点D在内， 当的半径满足时，点C、D在内， 当的半径满足时，点B、C、D在内， ∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是． 故选：A 2．（2023·陕西西安·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置． 由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点、点关于原点对称， ∴， ∴， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值， 过点作轴于点，    则、， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∴， 即点A的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，矩形中，.作于点E，作于点F． (1)求、的长； (2)若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出； （2）根据，结合点与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， 在中，； （2）解：∵， ∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外， ∴的半径r的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握点与圆的位置关系． 【经典例题六 三角形的外接圆】 【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线上，由图可知线段的垂直平分线经过点，由此可得，过点M作于点D，连接，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设的外心为M， 、， M必在直线上， 由图可知，线段的垂直平分线经过点， ， 如图，过点M作于点D，连接， 中，，， 由勾股定理得：， 即外接圆半径的长为． 故选D． 【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出外心的位置是解题的关键． 1．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）数学活动课上，九（1）班同学在研究（）和等腰（）的外接圆时，有以下发现： 小明说“当时，这两个三角形的外接圆是等圆”； 小刚说“当，时，这两个三角形的外接圆是等圆”． 你认为说法正确的是（    ） A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对 C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外接圆的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、三角形三边关系，记外接圆圆心为（如图1），外接圆圆心为（如图2），设，则，，证明，，再证明，即可判断小明的说法，画出图形，利用三角形三边关系即可判断小刚的说法，得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 记外接圆圆心为（如图1），外接圆圆心为（如图2）， 设，则， 为等腰三角形， 在底边的垂直平分线上， 由等腰三角形的三线合一可得：平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，故小明说法正确， 如图，当，时，由三角形三边关系可得：，故小刚说法错误， 故选：A． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，该圆为外接圆，根据垂径定理确定外接圆的圆心，即可求解． 【详解】解：由题意可得：完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆， 作线段的垂直平分线，如图， 可得外接圆的圆心坐标为， 半径 故答案为： 【点睛】此题考查了三角形的外接圆，涉及了垂径定理，解题的关键是确定外接圆的圆心． 3．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 【答案】作图见解析，的外接圆的半径为4 【分析】由三角形的外接圆的圆心是线段垂直平分线的交点，确定圆心，然后作外接圆即可，由等腰三角形的性质可求，证明是等边三角形，然后作答即可． 【详解】解：作的垂直平分线，交点即为的外接圆的圆心，连接，以为圆心，为半径画圆，则即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径为4． 【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【经典例题七 确定圆的条件】 【例7】（2023秋·九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题； ②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题； ③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题； ⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题； 综上，真命题的个数为2个； 故选B． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键． 1．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三个点确定一个圆 C．三角形外心到三边距离相等 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【答案】D 【分析】根据等弧的定义对进行判断；根据三角形外心的定义对进行判断；根据确定圆的条件对进行判断． 【详解】解：、能够完全重合的弧叫等弧，所以选项错误，不符合题意； 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以选项错误，不符合题意； 、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，所以选项错误，不符合题意； 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，三角形的外心，等弧的定义，解题的关键是掌握圆可以看做是所有到定点的距离等于定长的点的集合，掌握与圆有关的概念． 2．（23-24九年级上·江苏·期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3）， 确定一个圆．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆． 【详解】解：∵B（0，-3）、C（2，-3）， ∴BC∥x轴， 而点A（1，-3）与C、B共线， ∴点A、B、C共线， ∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【点睛】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆． 【答案】A，B，C三点可以确定一个圆． 【分析】先设出过A，B两点函数的解析式，把A（2，3），B（-3，-7）代入即可求出其解析式，再把C（5，11）代入解析式看是否与A，B两点在同一条直线上即可． 【详解】设经过A，B两点的直线解析式为y=kx+b， 由A（2，3），B（-3，-7）， 得， 解得． ∴经过A，B两点的直线解析式为y=2x-1； 当x=5时y=2x-1=2×5-1=9≠11， 所以点C（5，11）不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一直线上， 所以A，B，C三点可以确定一个圆． 【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及三点能确定圆的条件,解题的关键是熟练掌握用待定系数法求一次函数的解析式． 【经典例题八 圆中角度的计算】 【例8】1（2023·甘肃白银·校考三模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形是平行四边形，交圆O于点F，则等于（    ）      A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到答案． 【详解】解：    连接，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，又， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内半径相等，平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质得出，根据等腰三角形的性质求出，求出，再求出答案即可．本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 【详解】解：连接，   ，， ， ， 为的中点，， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在扇形中，为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则 °． 【答案】66 【详解】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，解题的关键是正确添加辅助线构造等腰三角形．连接，根据等腰三角形的性质得出，进而求出，再利用三角形的内角和求出． 【解答】解：连接， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：66． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，点在的延长线上，交于点，，且．若，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，连接，则，又则，然后根据等腰三角形的性质和外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点，在上，为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题九 圆中线段长度的计算】 【例9】（2023·全国·九年级专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为何（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵的外心为O， ， ， ， 、是方格纸格线的交点， 、的位置如图所示， ． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质． 1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于点．若，则的长为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】连接，由勾股定理得，，从而即可得到，最后由计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ，弦于点， ， 是的直径， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关概念进行计算是解题的关键． 2．（2023春·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，M是边上的一点，将沿对折至，连接，当的长最小时，则的长是 ．    【答案】 【分析】由翻折可得，故可确定点的轨迹，即可求解． 【详解】解：由题意得： 故点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，如图所示：    设则 在中，， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查动点轨迹问题．矩形的性质，勾股定理的应用，确定点的轨迹是解题关键． 3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，在射线上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点．求： (1)圆心O到的距离． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于，如图，根据含度的直角三角形三边的关系求出即可； （2）连接，如图，利用勾股定理计算出 和即可得答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图， ， ， ， 在中，， ， 即圆心到的距离为； （2）解：连接，如图， ， ∴在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形、勾股定理及圆的概念，解本题的关键在熟练掌握度角所对的直角边等于斜边的一半的性质． 【经典例题十 求一点到圆上点距离的最值】 【例10】（2023秋·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ，， 当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键． 1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】如图，的运动轨迹是以E为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，取得最小值．过点D作交延长线于G，解,得，，进一步求得，从而解得． 【详解】解：如图，的运动轨迹是以E为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，取得最小值．    过点D作交延长线于G， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴ ∴ 由折叠的性质可知 ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行四边形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，是解决问题的关键． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中， ，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】根据折叠的性质得出在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在上时，当点P在上时，当P在上时，即可求解． 【详解】解：在矩形中， ， ∴， ， 如图所示，当点P在上时，    ∵， ．∴在A为圆心，2为半径的弧上运动， 当A，，C三点共线时，最短， 此时， 当点P在上时，如图所示，    此时， 当P在上时，如图所示，此时，    综上所述，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 3．（2023·河北衡水·统考二模）如图，和均为边长为的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的最小值； (3)若与垂直，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出，即可得证； （2）根据题意得出点在以为圆心，为半径的圆上，进而勾股定理求得的长，当在线段上时，取得最小值，即可求解； （3）根据题意作出图形，延长交于点，得出，，勾股定理求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和均为边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是的中点， ∴， ∵点关于的对称点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 连接，如图所示， ∵是的中点，是等边三角形 ∴， ∴， 当在线段上时，取得最小值， ∴的最小值为 （3）解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴，， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的距离，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，菱形的判定，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，点与圆的位置关系的判定，掌握根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断是解题的关键．先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与圆的位置关系即可． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别是上的高和中线， ，， 即， ， ， ，， 点在内、点在外， 故选：． 2．（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，则下列结论中错误的是(   ) A． B． C． D．点是的外心 【答案】C 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线， ，， ， ， ． ， ， A正确，C错误； ，， ， 点为的外心，故D正确； ，， ，故B正确． 故选：C． 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 4．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，已知，点是的中点，以点为圆心作一个半径为的圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．连接，由等腰三角形三线合一得，求出，根据勾股定理求出，和半径比较即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵，，D是的中点， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， ∵的半径为， ∴点A在上， 故选B． 5．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，P为上任意一点，E是的中点，则的最大值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用中位线和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半辅助线，属于中考选择题中的压轴题．如图，连接，取的中点，连接，．利用三角形的中位线定理可得，再求出OH，从而得出．当点O、H、E三点共线，且点H在O、E之间时，的最大值． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，． ，， ， ，， ， ， ∴当点O、H、E三点共线，且点H在O、E之间时， 的最大值， 故选：B． 6．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的上运动，点Q是的中点，则长的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题,三角形中位线定理,圆的性质等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键．连结，根据反比例函数的中心对称性可得，即得是的中位线，所以，当经过圆心C时，取得最大值，最大值为，求出，的值，即得答案． 【详解】连结， 正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点， 点A与点B关于原点O对称， ， 点Q是AP的中点， 是的中位线， ， 当经过圆心C时，取得最大值，最大值为， 联立， 解得或， ， ， ， 点P在1为半径的上运动， ， ， 长的最大值为． 故选A． 7．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，，，．若在中点M处建一个网络基站，该基站的覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 【答案】A 【分析】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到点的距离．根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题． 【详解】解：，，． ， 是直角三角形， ， 点是斜边的中点， ， 是直角三角形，是斜边的中线， ， ， 点、、都在圆内， 这三栋楼都在该基站覆盖范围内． 故选：A 8．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键． 连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 9．（2024九年级上·江苏·专题练习）若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或． 10．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和圆的性质，以为弦，构造延长到Q，使得，连接，则，此时周长，结合为定值，当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形，即，即可求得最小值． 【详解】解：如图：以为弦，构造延长到Q，使得，连接， 则，周长 ∵为定值， ∴当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形， ∴， 则周长的最大值． 故答案为：12． 11．（22-23九年级上·广西河池·期中）如图，已知的半径为1，圆心的坐标为．点是上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，以及勾股定理和坐标与图形的关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．连接并延长交于点，求出，，则是点P到原点的距离的平方，当点P运动到射线上时，即处，点P离原点最远，即最大，此时，即可求出答案． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵圆心的坐标为，点的坐标为 ， 是点P到原点的距离的平方 当点P运动到射线上时，即处，点P离原点最远，即最大， 此时 故答案为：． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）在中，，，，D是边的中点，以点C为圆心，为半径作圆，则点D与的位置关系是 ． 【答案】点D在外 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据勾股定理可求出，再根据直角三角形的性质求得，比较与的半径即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵中，，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， 即点D到圆心C的距离为， ∵的半径为，而， ∴点D在外． 故答案为：点D在外 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，作的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，即可求解． 【详解】解：作的中点E，连接， 在直角中，， ∵E是直角斜边上的中点， ∴， ∵M是的中点，E是的中点， ∴， M轨迹为以E为圆心，为半径的圆， ∴线段长度的最小值为． 故答案为：5． 14．（2024·江苏盐城·二模）如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，，连接并延长交于点E，若，则的最大值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，圆的基本概念，连接，根据，当O，D重合时，则有最大值，有． 【详解】解：如图，连接， ∴， 当O，D不重合时，在中，两边之和大于第三边， ∴． 又，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴当O，D重合时，如图，有， 故综上得：， 故答案为：8． 15．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．求得到圆心的距离，与圆的半径进行比较即可作出判断． 【详解】解：连接． C在上； 在直角中，， 则A在的外部； ，则E在内部； ，则在直角中，，则F在的外部． 16．（2024九年级上·江苏·专题练习）设，作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形． (2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． （1）分别以点为圆心，为半径画和，则到点A和点B的距离都等于的点为两圆的公共部分，即它们的交点； （2）到点A的距离小于的点在以A点为圆心，为半径圆内；到点B的距离大于的所有点在以B点为圆心，为半径的圆外． 【详解】（1）解：如图1， 分别以点为圆心，为半径画和，它们的交点为所求； （2）解：以A点为圆心，为半径画；以B点为圆心，为半径画， 如图2，和相交于P和Q，则在内，除去与的公共部分为所求． 17．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心的性质和勾股定理等知识的综合应用，根据外心的性质可知垂直平分，可知为直角三角形，，，由勾股定理可求半径． 【详解】解：为外心，， ，又， 由勾股定理，得 ， 的外接圆的半径是． 18．（2024·吉林长春·一模）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，找一格点C，连接，使； (2)在图②中，在线段上找一点C，连接，使； (3)在图③中，经过点A、B、M作圆，在优弧上找一点C，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出符合题意的等腰直角三角形． （1）结合格点图的特点，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，即可求解； （2）结合格点图的特点，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，则与交于点，即可求解； （3）结合网格图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，则与圆交于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，即为所求； （2）解：如图所示，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，则与交于点，即为所求； （3）解：如图所示，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，则与圆交于点，即为所求． 19．（23-24九年级上·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．    (1)直接写出圆心的坐标： ； (2)求的半径． 【答案】(1) (2)的半径为 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的运用． （1）连接，，作直线，的垂直平分线，其交点即为圆心； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）连接，，作直线，的垂直平分线，其交点即为圆心 ∴圆心的坐标为：，    （2）连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为． 20．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径以及上，并且，若．    (1)求的长； (2)求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和等腰三角形的判定可得，再根据勾股定理求解即可； （2）连接，根据勾股定理求出即得答案． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接，则为直角三角形， ∵ ∴． 即的半径为．    【点睛】本题考查了圆的基本知识、正方形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$